Percurso Livre - Fortalecendo Cálculos

PERCURSO LIVREFortalecendo Clculos

Matemtica Ensino Fundamental

Operaes bsicas da Matemtica, 9

Razo e proporo, 29

Equaes e outras expresses algbricas, 51

Tringulo retngulo e o teorema de Pitgoras, 71

reas de figuras planas, 85

1 ENCONTRO

2 ENCONTRO

3 ENCONTRO

4 ENCONTRO

5 ENCONTRO

Professor, professora,

Neste caderno, vamos relembrar conceitos e fortalecer os assuntos considerados complicados pelos estudantes. Vamos sugerir maneiras de abordar esses assuntos de forma agradvel e de fcil compreen-so, dialogando com o objetivo do Percurso Livre em que o entendi-mento da linguagem matemtica se d por aplicaes prticas e ldi-cas, partindo de conhecimentos informais que permeiam nossa vida diariamente.

A cada encontro, vamos tratar de vrios assuntos, que esto in-terligados e, para cada um destes, vamos apresentar uma proposta de jogo. Este ter a finalidade de mobilizar a turma e propiciar uma sondagem informal a respeito dos contedos a serem desenvolvidos. Conversando a respeito do jogo, vamos introduzir questes matem-ticas, seguidas de atividades para a fixao e a avaliao do conte-do apresentado. Os jogos sero pontos de partida para dilogo com questes desenvolvidas nas Olimpadas Brasileiras de Matemtica (OBMEP). Isto porque a proposta adotada na elaborao das provas entra em consonncia com a proposta do Percurso Livre, que desen-volver, no estudante, sua autonomia e suas capacidades reflexiva e crtica, fundamentais para o ingresso no Ensino Mdio.

Aqui, voc encontrar sugestes de atividades para serem traba-lhadas em cinco encontros. Ns oferecemos as ideias, mas s voc pode garantir que seja preservado o clima de prazer em cada um des-ses mdulos. Vamos em frente!

O caderno Percurso Livre de Matemtica do Ensino Fundamental est estruturado da seguinte forma:

A seo Primeiras palavras, como o nome j diz, uma conversa inicial, uma apresentao dos assuntos que sero revisados no encon-tro. No uma atividade para os estudantes e, sim, uma instigao para voc, professor(a). Sugerimos que este texto seja lido antes da preparao de sua aula. Pense nestas informaes como uma ferra-menta que vai auxili-lo na construo de um cenrio, na construo do seu planejamento de aula. Estabelecido o foco do encontro, voc poder organizar o trabalho passo a passo.

Vamos dividir o encontro por assuntos e todos iro conter as sees:

Apresentao do assunto uma fala para preparar o territrio. Por que importante conhecermos esse conceito? De onde surgiu? A que podemos relacionar? Informaes e curiosidades para criar um cenrio que aproxime e envolva nossos estudantes.

Jogo uma atividade para esquentar a turma. uma forma de mo-tivao, uma dinmica em que a matemtica est presente, mas no evidente. comum ouvirmos de pessoas de todas as idades a frase Eu no entendo nada de matemtica. Mas no percebemos que to-dos ns usamos o pensamento matemtico diariamente nas atividades do nosso cotidiano, seja calculando o troco ou a que horas precisamos acordar para chegar pontualmente na escola ou no trabalho. Todos ns sabemos pelo menos um pouco de matemtica. Durante o jogo, voc poder observar o quanto os estudantes j conhecem ou aplicam o contedo a ser abordado, sem que tenham, no entanto, um conhe-cimento formal a respeito deste contedo. E esse conhecimento pode ser resgatado, ampliado e formalizado de maneira divertida e dinmica.

Do jogo matemtica um momento para mostrar que pen-samentos matemticos esto presentes na dinmica realizada. Por exemplo, ao cozinhar, seguindo uma receita ou no, o cozinheiro pre-cisa pensar em porcentagens. Em um jogo, como Batalha Naval, pre-ciso pensar em organizao e interpretao de tabelas. Em um jogo de cartas, em probabilidades. J em um jogo de futebol, precisamos pen-sar em Geometria... Mas ser que todos se lembram disso enquanto esto jogando ou cozinhando?

Voc lembra? Essa seo para voc, professor(a). Aqui voc vai poder relacionar os contedos do encontro com as aulas do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), facilitando, assim, o enten-dimento dos estudantes sobre a reviso dos contedos abordados.

Desafio. Essa a hora de exercitar! Vamos, em cada assunto, pro-por exerccios que seguem a proposta da OBMEP. Todos os desafios

O caderno Percurso Livre de Matemtica do Ensino Fundamental est estruturado da seguinte forma:

A seo Primeiras palavras, como o nome j diz, uma conversa inicial, uma apresentao dos assuntos que sero revisados no encon-tro. No uma atividade para os estudantes e, sim, uma instigao para voc, professor(a). Sugerimos que este texto seja lido antes da preparao de sua aula. Pense nestas informaes como uma ferra-menta que vai auxili-lo na construo de um cenrio, na construo do seu planejamento de aula. Estabelecido o foco do encontro, voc poder organizar o trabalho passo a passo.

Vamos dividir o encontro por assuntos e todos iro conter as sees:

Apresentao do assunto uma fala para preparar o territrio. Por que importante conhecermos esse conceito? De onde surgiu? A que podemos relacionar? Informaes e curiosidades para criar um cenrio que aproxime e envolva nossos estudantes.

Jogo uma atividade para esquentar a turma. uma forma de mo-tivao, uma dinmica em que a matemtica est presente, mas no evidente. comum ouvirmos de pessoas de todas as idades a frase Eu no entendo nada de matemtica. Mas no percebemos que to-dos ns usamos o pensamento matemtico diariamente nas atividades do nosso cotidiano, seja calculando o troco ou a que horas precisamos acordar para chegar pontualmente na escola ou no trabalho. Todos ns sabemos pelo menos um pouco de matemtica. Durante o jogo, voc poder observar o quanto os estudantes j conhecem ou aplicam o contedo a ser abordado, sem que tenham, no entanto, um conhe-cimento formal a respeito deste contedo. E esse conhecimento pode ser resgatado, ampliado e formalizado de maneira divertida e dinmica.

Do jogo matemtica um momento para mostrar que pen-samentos matemticos esto presentes na dinmica realizada. Por exemplo, ao cozinhar, seguindo uma receita ou no, o cozinheiro pre-cisa pensar em porcentagens. Em um jogo, como Batalha Naval, pre-ciso pensar em organizao e interpretao de tabelas. Em um jogo de cartas, em probabilidades. J em um jogo de futebol, precisamos pen-sar em Geometria... Mas ser que todos se lembram disso enquanto esto jogando ou cozinhando?

Voc lembra? Essa seo para voc, professor(a). Aqui voc vai poder relacionar os contedos do encontro com as aulas do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental), facilitando, assim, o enten-dimento dos estudantes sobre a reviso dos contedos abordados.

Desafio. Essa a hora de exercitar! Vamos, em cada assunto, pro-por exerccios que seguem a proposta da OBMEP. Todos os desafios

vo conter uma fala para voc, professor(a), com comentrios e solu-es, passo a passo, a fim de aproximar ainda mais os contedos da realidade dos estudantes.

8 PERCURSO LIVRE Matemtica Ensino Fundamental

8 PERCURSO LIVRE Matemtica Ensino Fundamental 9PERCURSO LIVRE Matemtica Ensino Fundamental

Operaes bsicas da Matemtica

1 Encontro

Primeiras palavras

Professor(a), neste encontro apresentaremos assuntos fundamentais para a organizao do pensamento matemtico como a resoluo de clculos envolvendo adio, subtrao e multiplicao; problemas ex-pressos por enunciados escritos, que envolvam a adio e a subtrao, em situaes relacionadas aos seus diversos significados; e problemas significativos, usando MMC e MDC entre nmeros. Apresentando es-tes assuntos aos estudantes, lembre-se de mostrar que estes, alm da sua importncia na matemtica, so tambm fundamentais na nossa vida.

Princpio fundamental da contagem

Apresentao do assuntoDiferentemente dos outros habitantes do nosso planeta, o ser huma-no, num dado momento, passou ter a necessidade de contar, de me-dir, de calcular. E, principalmente, de organizar estes conhecimentos para que fossem disponibilizados e transmitidos para todos. Esta no-o facilitou em muito a sobrevivncia da espcie humana.

A organizao de sistemas de contagens foi o primeiro passo para observar sempre o acrscimo ou a falta de elementos, por maiores que fossem as quantidades. E, a partir de um dado momento, para facilitar as contagens, foram criadas operaes matemticas que re-lacionam estes elementos contados entre si de forma mais objetiva, evitando a trabalhosa e demorada contagem de um em um.

Vrios povos diferentes da Antiguidade criaram o seu prprio siste-ma de numerao. O sistema usado pelos romanos, dois mil anos atrs, mesmo no sendo de uso corriqueiro, ainda usado at hoje em alguns casos especiais. Por exemplo, estudando a Histria, voc pode observar que muitas datas so escritas utilizando este sistema. No sistema nu-


mrico utilizado hoje, agrupamos elementos de 10 em 10. E, alm disso, usamos smbolos especiais chamados de algarismos para representar estes elementos. Este um sistema que recebe o nome de decimal.

Jogo

Organizando fichasO objetivo deste jogo o de chamar a ateno dos estudantes, de forma ldica e concreta, para a organizao de um processo de conta-gem e agrupamento de qualidades.

DescrioPea que a turma se coloque em crculo. Mostre aos estudantes um punhado de fichas na sua mo, um prato de loua e uma caixa de papelo. No centro deste crculo coloque o prato. Pea que um es-tudante coloque uma venda nos olhos. Mostrando o prato vazio no centro da roda, pergunte ao estudante que est com os olhos venda-dos: Quantas fichas existem aqui dentro? Usando o tato, o estudante dever responder pergunta feita.

A resposta ser algo como: "nenhuma ficha", o prato est vazio.

Pea que o estudante tire a venda dos olhos. Confirme a percepo realizada pelo tato: nenhuma ficha dentro do prato.

Pea que outro estudante coloque a venda nos olhos. Agora, pe-gue uma das fichas e coloque, silenciosamente, dentro do prato. Em seguida, refaa a pergunta ao estudante de olhos vendados: E agora, quantas fichas existem aqui dentro?

A resposta ser: uma ficha. Representamos esta qualida-de pelo smbolo 1.

Sem a venda nos olhos, confirme a percepo realizada pelo tato: uma ficha dentro do prato.

Novamente, pea que outro estudante coloque uma venda nos olhos. Retire a ficha anterior deixe cair, uma a uma, duas fichas dentro do prato. Pedindo ao estudante vendado que no utilize o tato para


mrico utilizado hoje, agrupamos elementos de 10 em 10. E, alm disso, usamos smbolos especiais chamados de algarismos para representar estes elementos. Este um sistema que recebe o nome de decimal.

Jogo

Organizando fichasO objetivo deste jogo o de chamar a ateno dos estudantes, de forma ldica e concreta, para a organizao de um processo de conta-gem e agrupamento de qualidades.

DescrioPea que a turma se coloque em crculo. Mostre aos estudantes um punhado de fichas na sua mo, um prato de loua e uma caixa de papelo. No centro deste crculo coloque o prato. Pea que um es-tudante coloque uma venda nos olhos. Mostrando o prato vazio no centro da roda, pergunte ao estudante que est com os olhos venda-dos: Quantas fichas existem aqui dentro? Usando o tato, o estudante dever responder pergunta feita.

A resposta ser algo como: "nenhuma ficha", o prato est vazio.

Pea que o estudante tire a venda dos olhos. Confirme a percepo realizada pelo tato: nenhuma ficha dentro do prato.

Pea que outro estudante coloque a venda nos olhos. Agora, pe-gue uma das fichas e coloque, silenciosamente, dentro do prato. Em seguida, refaa a pergunta ao estudante de olhos vendados: E agora, quantas fichas existem aqui dentro?

A resposta ser: uma ficha. Representamos esta qualida-de pelo smbolo 1.

Sem a venda nos olhos, confirme a percepo realizada pelo tato: uma ficha dentro do prato.

Novamente, pea que outro estudante coloque uma venda nos olhos. Retire a ficha anterior deixe cair, uma a uma, duas fichas dentro do prato. Pedindo ao estudante vendado que no utilize o tato para

11PERCURSO LIVRE Matemtica Ensino Fundamental

fazer a verificao (e sim a audio), pergunte: E agora, quantas fichas existem dentro do prato?

A resposta ser: duas fichas.

A partir deste momento, sistematize o procedimento para dar con-tinuidade ao jogo.1. A cada rodada, substitua o estudante de olhos vendados. 2. Retire as fichas anteriores do prato.3. Adicione a nova quantidade de fichas, sempre somando de uma

em uma e alterne a forma de contagem, ora pelo tato, ora pela audio.

Chegando ao nmero de cinco fichas, sem nenhum estudante de olhos vendados, coloque as fichas dentro de uma caixa, e esta dentro de um prato.

Siga com o procedimento sistematizado anteriormente, mantendo a caixa dentro do prato. Coloque fichas no prato, uma a uma e juntando 5 fichas dentro do prato (junto com a caixa), coloque-as em outra caixa.

Siga com o procedimento sistematizado anteriormente, utilizando caixas cheias de fichas (com 5 fichas dentro) e fichas soltas. Siga jogan-do at a quantidade de trs caixas.


Do jogo matemtica

Em seguida, professor, mostre para os estudantes que, a partir de um processo semelhante, foi montado o sistema decimal por ns utiliza-dos. Mostre o "0", que significa "nenhuma ficha", mostre os outros algarismos, significando uma contagem crescente at o 9 (no caso do jogo, arbitrariamente, agrupamos de 5 em 5 fichas). Mostre o 10 re-presentando o momento do jogo onde tnhamos uma caixa cheia de fichas e nenhuma ficha fora da caixa. Mostre o 11, representando o momento em que tnhamos uma caixa cheia de fichas e uma ficha fora.

Siga o raciocnio mostrando aos estudantes que, no sistema deci-mal, quando completamos uma caixa cheia de fichas, recomeamos a contar as fichas do lado de fora, uma a uma e passamos a contar tambm o nmero de caixas cheias. Para representar a quantidade de caixas cheias, usamos os mesmos algarismos j conhecidos. Porm, para que as representaes no sejam confundidas, para que saiba-mos exatamente se a representao se refere a uma quantidade de fi-chas ou de caixas, colocamos estes algarismos em posies diferentes para formar um novo smbolo.

Voc lembra?

Aproveite este momento para observar como uma criana conta: voc se lembra da expresso "contar nos dedos"? E das parlendas para tirar sorte, como a "uni du ni t"?. Estas brincadeiras inocentes de criana so formas de contagem. So brincadeiras populares para, gradativa-mente, apresentar este conceito para os mais novos. A aula 2, Nme-ros do nosso dia a dia e a aula 3: Nosso sistema de numerao do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) abordam este assunto, mostrando o passo a passo necessrio para resolver clculos envol-vendo operaes de adio, subtrao e multiplicao. Lembrar aos estudantes que calcular uma palavra derivada de clculo, que quer dizer pedra, uma referncia contagem de pedras, nossa primeira forma de realizar uma operao de soma / subtrao.

Desafio

1) Para comemorar seu noivado, Joo abriu um pacote com 60 choco-lates para distribuir entre os amigos convidados. Separou 12 para os que no puderam comparecer ao encontro e, com o restante, fez 12


trouxinhas com nmero igual de chocolates para os que ali estavam. Quantos chocolates cada um dos convidados presentes ganhou?

ComentrioEste desafio pode ser resolvido fazendo a contagem de bombom por bombom, amigo por amigo. Certamente, chegaremos a uma respos-ta correta, embora de forma trabalhosa e demorada. Mas podemos aplicar uma operao matemtica para facilitar esta contagem e para sermos mais rpidos e seguros.

SoluoMatematicamente falando, a expresso "separou 12 para...", dita no enunciado, significa substrair 12 unidades de um total. Assim, pode-mos logo saber quantos chocolates foram distribudos entre os convi-dados presentes.

60 12 = 48. Temos ento 48 chocolates para distribuir entre os convidados presentes.

Temos ento 48 chocolates para agrup-los em 12 trouxinhas. Para descobrir quantos chocolates teremos em cada trouxinha, podemos distribu-los um a um, at que se esgotem os chocolates. Mas utilizan-do a operao de multiplicao, obtemos a mesma resposta fazendo a seguinte pergunta: qual o nmero que multiplicado por 12 tem 48 como resposta? Chegamos assim ao 4 pois, 4 x 12 = 48.

A resposta : 4 chocolates.

Observe este desafio bastante semelhante a um registrado no Banco de questes da 7 OBMEP 2011, nvel 1.

2) Lcia deixou sua mochila cair no cho e, quando foi usar a calcula-dora, descobriu, por acaso, que a tecla do zero no estava funcionan-do. Primeiro, tentou somar 7 + 3. E o resultado que apareceu no visor de sua mquina era 1. Resolveu fazer mais um teste teste multiplican-do 5 por 6. E no que apareceu um 3 como resposta?

Interessada em mais um teste, Lcia digitou outros dois nmeros, desta vez de dois algarismos. A operao de multiplicao entre estes nmeros resultou 11 no visor.

ComentrioPara resolver este problema, temos de trabalhar com resoluo de clculos envolvendo adio, subtrao e multiplicao. Antes de resol-ver o clculo, importante observar o valor posicional dos algarismos e limitar as possibilidades em funo da localizao dos possveis n-meros formandos no sistema de contagem.


Soluo

Primeiro passo: Se os nmeros utilizados possuem dois algarismos, o menor nmero formado pelos dois ser 11 x 11 = 121 e o maior ser 99 x 99 = 9801. Isso significa que o nmero que procuramos est entre os nmeros 121 e 9801.

Segundo passo: Como j aparecem dois algarismos (11) na tela, te-mos que procurar as possibilidades de incluir o zero, montando, com estes dois, nmeros entre 121 e 9801.

Terceiro passo: Encontramos assim os seguintes nmeros: 1001, 1010 e 1100.

Quarto passo: Descobrir que multiplicao entre dois nmeros tem como resultado uma das trs opes acima, ou seja, temos que desco-brir que nmeros formam esta operao. Se os estudantes j sabem, para ser mais rpido e facilitar, podemos calcular todas as possibilida-des rapidamente. Mas vamos por partes.

Quais os dois nmeros de dois algarismos que multiplicados entre si resultam em 1001? 11 e 91.

RespostaLogo, na primeira tentativa, descobrimos uma das possibilidades: 11 e 91 so dois dos possveis nmeros que Lcia digitou.

A adio e a subtrao

Apresentao do assunto

Operaes matemticas so formas e regras para realizar agrupa-mentos e contagens de maneira mais fcil.

A operao de soma, tambm chamada de adio ou conta de mais, representada pelo sinal (+), a operao que junta elementos para agru-p-los num conjunto maior. Esta operao criou regras para que este ajuntamento acontecesse de forma a facilitar a contagem de um em um.

A operao de subtrao, tambm chamada de "conta de menos", representada pelo sinal (-), se desenvolve da mesma forma que a ope-rao de adio. Na verdade, somar ou subtrair faz parte de uma mes-ma contagem. Diferem apenas porque, no caso da soma, contamos "a mais" e, no caso da subtrao, contamos "a menos".

Estas duas operaes nasceram da mesma observao do pastor que, para cada nova ovelha chegada ao seu rebanho, acrescentava uma pedra dentro de sua sacola. E, para cada ovelha negociada des-garrada do rebanho, retirava uma pedra.


Soluo

Primeiro passo: Se os nmeros utilizados possuem dois algarismos, o menor nmero formado pelos dois ser 11 x 11 = 121 e o maior ser 99 x 99 = 9801. Isso significa que o nmero que procuramos est entre os nmeros 121 e 9801.

Segundo passo: Como j aparecem dois algarismos (11) na tela, te-mos que procurar as possibilidades de incluir o zero, montando, com estes dois, nmeros entre 121 e 9801.

Terceiro passo: Encontramos assim os seguintes nmeros: 1001, 1010 e 1100.

Quarto passo: Descobrir que multiplicao entre dois nmeros tem como resultado uma das trs opes acima, ou seja, temos que desco-brir que nmeros formam esta operao. Se os estudantes j sabem, para ser mais rpido e facilitar, podemos calcular todas as possibilida-des rapidamente. Mas vamos por partes.

Quais os dois nmeros de dois algarismos que multiplicados entre si resultam em 1001? 11 e 91.

RespostaLogo, na primeira tentativa, descobrimos uma das possibilidades: 11 e 91 so dois dos possveis nmeros que Lcia digitou.

A adio e a subtrao

Apresentao do assunto

Operaes matemticas so formas e regras para realizar agrupa-mentos e contagens de maneira mais fcil.

A operao de soma, tambm chamada de adio ou conta de mais, representada pelo sinal (+), a operao que junta elementos para agru-p-los num conjunto maior. Esta operao criou regras para que este ajuntamento acontecesse de forma a facilitar a contagem de um em um.

A operao de subtrao, tambm chamada de "conta de menos", representada pelo sinal (-), se desenvolve da mesma forma que a ope-rao de adio. Na verdade, somar ou subtrair faz parte de uma mes-ma contagem. Diferem apenas porque, no caso da soma, contamos "a mais" e, no caso da subtrao, contamos "a menos".

Estas duas operaes nasceram da mesma observao do pastor que, para cada nova ovelha chegada ao seu rebanho, acrescentava uma pedra dentro de sua sacola. E, para cada ovelha negociada des-garrada do rebanho, retirava uma pedra.


Jogo

Vamos propor um jogo bastante simples: uma brincadeira chamada "adedanha". Porm, ao invs de contarmos os dedos de um em um, temos que fazer a conta somando os grupos de dedos de cada uma das mos.

Primeira faseQuatro estudantes em crculo, todos se olhando de frente, mos es-condidas para trs onde cada um esconde uma quantidade de dedos. Ao sinal combinado, mostram as mos ao mesmo tempo. Ganha a rodada o primeiro que somar de cabea a quantidade de dedos apre-sentada.

Segunda faseContinuamos com quatro estudantes, mesmo procedimento, porm: se a quantidade de dedos for apresentada com a palma da mo para baixo, a operao a soma. Se a palma da mo ficar para cima, a ope-rao a subtrao.

Do jogo matemtica

A partir do jogo, professor, mostre aos estudantes que, quando con-tamos os dedos, estamos realizando uma operao de soma ou sub-trao de dedos. Lgico, podemos sempre somar ou subtrair de um em um, mas, certamente muito mais demorado. A sistematizao destas operaes aconteceu com o intuito de facilitar o processo de contagem.

Voc lembra?

Estes contedos so encontrados no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) na aula 4: Somar e diminuir; na aula 5: A conta de mais; e na aula 6: A conta de menos. Neste momento, trabalhamos com a resoluo de problemas, expressos por enunciados escritos, que envolvam a adi-o e a subtrao, em situaes relacionadas aos seus diversos significa-dos (juntar e separar, acrescentar e retirar). As propriedades da adio so encontradas no livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) na aula 7: Somando de cabea. Neste momento, professor, mostre aos estu-dantes que podemos somar quantidades agrupadas ou mudar a ordem dos nmeros e o resultado ser o mesmo. Veja os exemplos a seguir:


Exemplo 11 + 1 + 1 = (1 + 1) + 1 = 2 + 1 = 1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3

Exemplo 21 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) = 2 + 2 = (1 + 1 + 1) + 1 = 3 + 1 = 1 + (1 + 1 + 1) = 1 + 3 = 4

A propriedade da operao de adio que permite mudar a or-dem dos termos, mantendo igual o resultado final, chamada de comutativa.

A propriedade da operao de adio que permite agrupar as par-celas de qualquer modo e somar o resultado destes agrupamentos, mantendo igual o resultado final, chamada de associativa.

Desafio

1) Utilizando estas propriedades, monte a operao abaixo de outra forma (voc j sabe que o resultado ser o mesmo). Procure usar as propriedades de forma a facilitar a realizao da operao para reali-z-la de cabea.

17 + 4 + 3 + 2 + 11 + 6 = 43

Soluoa. Vamos aplicar a propriedade comutativa e mudar alguns nme-

ros de lugar17 + 3 + 6 + 4 + 2 + 11 = 43

b. Vamos aplicar a propriedade associativa e juntar alguns nmeros(17 + 3) + (6 + 4) + 2 + 11 = 43 20 + 10 + 2 + 11 = 43 30 + 13 = 43

Veja esta questo proposta na 1 OBMEP 2005, 1 fase, nvel 1.

2) Marina, ao comprar uma blusa de R$17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota de R$10,00 e outra de R$50,00. O vendedor, dis-trado, deu o troco como se Marina lhe tivesse dado duas notas de R$10,00. Qual foi o prejuzo de Marina?

ComentrioTemos aqui dois caminhos bem interessantes para encontrar a solu-o deste desafio.


Exemplo 11 + 1 + 1 = (1 + 1) + 1 = 2 + 1 = 1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3

Exemplo 21 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) = 2 + 2 = (1 + 1 + 1) + 1 = 3 + 1 = 1 + (1 + 1 + 1) = 1 + 3 = 4

A propriedade da operao de adio que permite mudar a or-dem dos termos, mantendo igual o resultado final, chamada de comutativa.

A propriedade da operao de adio que permite agrupar as par-celas de qualquer modo e somar o resultado destes agrupamentos, mantendo igual o resultado final, chamada de associativa.

Desafio

1) Utilizando estas propriedades, monte a operao abaixo de outra forma (voc j sabe que o resultado ser o mesmo). Procure usar as propriedades de forma a facilitar a realizao da operao para reali-z-la de cabea.

17 + 4 + 3 + 2 + 11 + 6 = 43

Soluoa. Vamos aplicar a propriedade comutativa e mudar alguns nme-

ros de lugar17 + 3 + 6 + 4 + 2 + 11 = 43

b. Vamos aplicar a propriedade associativa e juntar alguns nmeros(17 + 3) + (6 + 4) + 2 + 11 = 43 20 + 10 + 2 + 11 = 43 30 + 13 = 43

Veja esta questo proposta na 1 OBMEP 2005, 1 fase, nvel 1.

2) Marina, ao comprar uma blusa de R$17,00, enganou-se e deu ao vendedor uma nota de R$10,00 e outra de R$50,00. O vendedor, dis-trado, deu o troco como se Marina lhe tivesse dado duas notas de R$10,00. Qual foi o prejuzo de Marina?

ComentrioTemos aqui dois caminhos bem interessantes para encontrar a solu-o deste desafio.


SoluoFaremos um passo a passo, refazendo todas as aes Marina.

Vejamos: Marina deu ao vendedor 50 + 10 = R$60,00. A blusa cus-tou R$17,00. O troco ento deveria ser:

60 17 = R$43,00. Mas como o vendedor tambm se confundiu e imaginou ter recebido de Marina 10 + 10, deu o troco de R$3,00. Se Marina deveria receber um troco de R$43,00 e recebeu apenas R$3,00, o seu prejuzo foi de 43 3 = R$40,00.

A resposta R$40,00.No segundo caminho, vamos simplesmente observar que, se Ma-

rina e o vendedor confundiram o valor de uma nota de R$50,00 por R$10,00, independente do custo da mercadoria, a diferena causada pela confuso foi de 50 10 = R$40,00.

A resposta R$40,00.

Outra questo semelhante foi apresentada na 8 OBMEP 2012, 1 fase, nvel 1.

3) Na sua festa de aniversrio, Maria fez uma enorme torta de moran-go. Dividiu a torta em 30 pedaos. Na festa, estavam presentes os 45 convidados. Porm, alguns no gostavam de morango e, depois de todos se servirem com uma fatia, sobraram ainda 4 pedaos de torta.

3.1. Quantos convidados de Maria no gostavam de morango?

ComentrioUsaremos o conceito de subtrao para resolver esta proposta (j que a pergunta : quantos no comeram?).

Soluo

Primeiro passo: Observao dos dados: 30 pedaos de torta, 45 con-vidados, sobraram 4 pedaos.Segundo passo: Se sobraram 4 pedaos e tnhamos 30, foram consu-midos 30 - 4 = 26 pedaos.Terceiro passo: Se eram 45 convidados e foram consumidos 26 peda-os de torta, quantos convidados no comeram? 45 - 26 = 19.

RespostaE esta a resposta final: 19 convidados no gostavam de morango.

3.2. Por causa da festa, Maria acabou deixando sujar um dos seus cadernos com anotaes e, no dia seguinte, teve que recuperar


algumas informaes. Vamos ajud-la?

a. Neste caso, os sinais das operaes ficaram ilegveis: quais seriam eles?1. 6 ( * ) 6 = 02. 6 ( * ) 6 = 123. 6 ( * ) 6 ( * ) 6 = 64. 6 ( * ) 6 ( * ) 6 = 18

Soluo a1. Com qual a operao que relacionando 6 e 6

obtemos o resultado 0? 6 ( - ) 6 = 02. Com qual a operao que relacionando 6 e 6

obtemos o resultado 12? 6 ( + ) 6 = 123. Com qual a operao que relacionando 6, 6 e 6

obtemos o resultado 6? 6 + 6 (-) 6 = 64. Com qual a operao que relacionando 6, 6 e 6

obtemos o resultado 18? 6 (+) 6 (+) 6 = 18

b. E, neste caso, agora, faltaram alguns nmeros... complete!1. 3 + 19 - 7 - ( * ) = 02. 11 - 7 ( * ) 4 - 8 = 0

Soluo b1. Primeiro passo: observar que falta um nmero.Segundo passo: somar as quantidades positivas. 3 + 19 = 21Terceiro passo: subtrair, deste total, a quantidade negativa: 21 - 7 = 14Quarto passo: descobrir 14 -? = 0 ? = 14, ou seja, falta o nmero 14.

2. Primeiro passo: observar que falta um sinal de operao.Segundo passo: resolver as operaes j definidas. 11 8 = 3Terceiro passo: observar que, se o resultado final 0, teremos que resolver a operao que falta tendo como resultado -3 (para que, 3 3 = 0) Quarto passo: descobrir -7 ( ? ) 4 = -3. -7 ( + ) 4 = -3, ou seja, a operao ( + )

Mltiplos e divisores

Apresentao do assuntoA necessidade de utilizar a operao de multiplicao surgiu com a necessidade de somar agrupamentos iguais. Esta operao ajuda a resolver questes de contagem com grandes valores de forma bem mais rpida. Assim, ganhamos velocidade e tempo para a realizao


algumas informaes. Vamos ajud-la?

a. Neste caso, os sinais das operaes ficaram ilegveis: quais seriam eles?1. 6 ( * ) 6 = 02. 6 ( * ) 6 = 123. 6 ( * ) 6 ( * ) 6 = 64. 6 ( * ) 6 ( * ) 6 = 18

Soluo a1. Com qual a operao que relacionando 6 e 6

obtemos o resultado 0? 6 ( - ) 6 = 02. Com qual a operao que relacionando 6 e 6

obtemos o resultado 12? 6 ( + ) 6 = 123. Com qual a operao que relacionando 6, 6 e 6

obtemos o resultado 6? 6 + 6 (-) 6 = 64. Com qual a operao que relacionando 6, 6 e 6

obtemos o resultado 18? 6 (+) 6 (+) 6 = 18

b. E, neste caso, agora, faltaram alguns nmeros... complete!1. 3 + 19 - 7 - ( * ) = 02. 11 - 7 ( * ) 4 - 8 = 0

Soluo b1. Primeiro passo: observar que falta um nmero.Segundo passo: somar as quantidades positivas. 3 + 19 = 21Terceiro passo: subtrair, deste total, a quantidade negativa: 21 - 7 = 14Quarto passo: descobrir 14 -? = 0 ? = 14, ou seja, falta o nmero 14.

2. Primeiro passo: observar que falta um sinal de operao.Segundo passo: resolver as operaes j definidas. 11 8 = 3Terceiro passo: observar que, se o resultado final 0, teremos que resolver a operao que falta tendo como resultado -3 (para que, 3 3 = 0) Quarto passo: descobrir -7 ( ? ) 4 = -3. -7 ( + ) 4 = -3, ou seja, a operao ( + )

Mltiplos e divisores

Apresentao do assuntoA necessidade de utilizar a operao de multiplicao surgiu com a necessidade de somar agrupamentos iguais. Esta operao ajuda a resolver questes de contagem com grandes valores de forma bem mais rpida. Assim, ganhamos velocidade e tempo para a realizao


de clculos mais sofisticados. Chamamos de mltiplos de um nmero os resultados da multipli-

cao deste nmero pela sequncia dos nmeros naturais. Por exemplo, para determinar os mltiplos de 6, devemos multipli-

car o nmero 6 pela sucesso dos nmeros naturais:

6 x 0 = 0 6 x 1 = 6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = 24 6 x 5 = 30 6 x 6 = 36 ... E assim por diante. Assim, os mltiplos de 6 so: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36

Um nmero divisor de outro quando o resto da diviso entre os dois nmeros for igual a 0, ou seja, quando a diviso for exata.

Por exemplo: 36 divisvel por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, ou seja, 361 = 36 (sem deixar restos), 362 = 18 (sem deixar restos), 363 = 12 (sem deixar restos), 364 = 9 (sem deixar restos), 366 = 6 (sem deixar restos), 36 9 = 4 (sem deixar restos), 3618= 2 (sem deixar restos) e 363 6 = 1 (sem deixar restos).

Dizemos, ento, que 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 so divisores de 36.Para facilitar aos estudantes fixar esta ideia, relacione mltiplos e

divisores entre si:Por exemplo: se 20 divisvel por 5, ento, 5 divisor de 20; e 20

mltiplo de 5.

Jogo

Jogos das trovas

J na Grcia Antiga, oradores e poetas estudavam a mtrica em ver-sos para facilitar a organizao do pensamento. Desde ento, a fala rtmica tem sido uma das formas, matematicamente pensadas, para facilitar a compreenso de ideias e mensagens. Popularmente, a in-cluso de sentenas matemticas nesta forma de organizar a fala uma das maneiras utilizadas para apresentar, aproximar e facilitar a compreenso de enunciados ou propriedades que envolvam nmeros e suas operaes.


Descrio Apresente aos estudantes a trova popular abaixo:

Sete e sete so quatorze, Com mais sete, vinte e um.Tenho sete namoradosNo me caso com nenhum.

Divida a turma em grupos e pea que cada grupo crie trovas usan-do uma sequncia de mltiplos de um nmero entre 2 e 9. Veja outro exemplo:

Seis mais seis so dozeCom mais seis, dezoitoVou em sua casaPra comer biscoito

Do jogo matemtica

Usar trovas uma das muitas maneiras utilizadas na cultura popular para que, falando ritmicamente, se passe um contedo adiante. Vocs se lembram de quando falamos de atividades ldicas para apresentar contedos matemticos aos mais novos? Criar trovas uma brincadei-ra que pode servir perfeitamente a este propsito. A partir deste jogo, organizamos mentalmente o nosso pensamento para apresentar sen-tenas matemticas a respeito de nmeros mltiplos.

Voc lembra?

Recorde as regras de divisibilidade.a. Todo nmero divisvel po1 e por ele mesmo.b. Todo nmero par divisvel por 2.c. Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos

um mltiplo de 3.d. Um nmero divisvel por 5 quando seu ltimo algarismo for um

0 ou um 5.

Estes assuntos so apresentados na aula 21: Mltiplos e diviso-res, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Aproveite as informaes para complementar ou elaborar o seu planejamento de aula. Estes so contedos para resolver problemas significativos, usando MMC e MDC entre nmeros.


Desafio

Veja um interessante desafio abordando este contedo, apresentado na 4 OBMEP 2008 1 fase, nvel 2.

1) Daniel escreveu a lista, em ordem crescente, de todos os nmeros inteiros de 1 a 100 que so mltiplos de 7 ou tm o algarismo 7. Os trs primeiros nmeros da lista so 7, 14 e 17. Quantos nmeros essa lista possui?

ComentrioInicialmente, devemos observar que, com estas caractersticas, deve-mos procurar os nmeros mltiplos de 7 entre 7 e 100 e os nmeros que possuem o algarismo 7 na coluna das unidades ou na coluna das dezenas. Faremos ento uma listagem das trs possibilidades.

Primeira lista, os mltiplos de 7 = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 = 14 nmeros.

Segunda lista, os nmeros com 7 na coluna das unidades: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97 = 10 nmeros.

Terceira lista, os nmeros com 7 na coluna das dezenas: 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 = 10 nmeros.

SoluoFazendo a soma, temos total de 14 + 10 + 10 = 34 nmeros. Porm, antes de dar o resultado final, podemos observar que o nmero 7 aparece na primeira e na segunda fila. Verificando se existem outros nmeros repetidos, encontramos o 70, que aparece na primeira e na terceira listas e o 77, que aparece nas trs listas. Temos, ento, que descontar (diminuir) estes quatro nmeros repetidos. A resposta final ser 34 4 = 30.

Veja outro exemplo tirado da 8 OBMEP 2012, 1 fase, nvel 1.

1 2 3


2) Renata montou uma sequncia de tringulos com palitos de fsfo-ro, seguindo o padro indicado na figura. Quantos palitos ela vai usar para construir o quinto tringulo da sequncia?

a. 36b. 39c. 42d. 45e. 48

SoluoA soluo deste desafio parte da observao de um dado bastante interessante: a cada passo, aumentamos uma fila com um tringulo a mais do que a anterior. Como o primeiro tringulo formado por trs palitos, o segundo ser formado por: 3 + (23) = 9 palitos. O terceiro, por: 3 + 6 + (33) = 18 palitos, o quatro ser formado por: 3 + 6 + 9 + (43) = 30 palitos; e o quinto ser formado por: 3 + 6 + 9 + 12 + (53) = 45 palitos. E 45 a nossa resposta.

Mas observe bem que interessante:

1 tringulo = 3 palitos (3x1)2 = anterior + 6 (3x2)3 = anterior + 9 (3x3)4 = anterior + 12 (3x4)5 = anterior + 15 (3x5)

Isso quer dizer que as fileiras sero sempre compostas por mlti-plos de 3.

Fatorao, MMC e MDC

Apresentao do assuntoFatorar um nmero significa escrever este nmero de tal forma que mostre o produto de todos os seus divisores. Isso importante para que possamos realizar, com segurana, as simplificaes em senten-as e frmulas matemticas. Simplificar uma forma de reduzir e fa-cilitar a obteno de um resultado em vrias questes matematica-mente desenvolvidas, porm, para que isso acontea, temos que ter plena certeza de que no devemos descartar nenhuma contagem ou quantidade em questo.


2) Renata montou uma sequncia de tringulos com palitos de fsfo-ro, seguindo o padro indicado na figura. Quantos palitos ela vai usar para construir o quinto tringulo da sequncia?

a. 36b. 39c. 42d. 45e. 48

SoluoA soluo deste desafio parte da observao de um dado bastante interessante: a cada passo, aumentamos uma fila com um tringulo a mais do que a anterior. Como o primeiro tringulo formado por trs palitos, o segundo ser formado por: 3 + (23) = 9 palitos. O terceiro, por: 3 + 6 + (33) = 18 palitos, o quatro ser formado por: 3 + 6 + 9 + (43) = 30 palitos; e o quinto ser formado por: 3 + 6 + 9 + 12 + (53) = 45 palitos. E 45 a nossa resposta.

Mas observe bem que interessante:

1 tringulo = 3 palitos (3x1)2 = anterior + 6 (3x2)3 = anterior + 9 (3x3)4 = anterior + 12 (3x4)5 = anterior + 15 (3x5)

Isso quer dizer que as fileiras sero sempre compostas por mlti-plos de 3.

Fatorao, MMC e MDC

Apresentao do assuntoFatorar um nmero significa escrever este nmero de tal forma que mostre o produto de todos os seus divisores. Isso importante para que possamos realizar, com segurana, as simplificaes em senten-as e frmulas matemticas. Simplificar uma forma de reduzir e fa-cilitar a obteno de um resultado em vrias questes matematica-mente desenvolvidas, porm, para que isso acontea, temos que ter plena certeza de que no devemos descartar nenhuma contagem ou quantidade em questo.


Jogo

Observando flores e frutas

ObjetivoEste um jogo de observao. Ludicamente, esta forma de jogar realizada intuitivamente em parte da nossa infncia, quando a nossa curiosidade nos impele a desmontar quase tudo ao nosso redor para, observando parte por parte, saber como feito ou como funciona. Quando sistematizado, esse jogo de desmontar parte por parte um procedimento cientfico de grande importncia.

DescrioRena a turma em pequenos grupos, d para cada grupo formado um objeto simples, de fcil desmontagem, e pea que cada um dos grupos desmonte este objeto na maior quantidade de partes possveis. Pea que relacionem cada uma destas partes e apresentem-nas para as ou-tras equipes. Importante: determinar antes de iniciar um limite para a desmontagem, ou seja, determinar quando uma parte do objeto se torna indivisvel.

ExemploDesmontando o motor de um brinquedo quebrado, podemos encon-trar ms, fios, hastes de metal, parafusos, porcas, correias etc. Neste caso, podemos fixar como limite de indivisibilidade "deixar o parfuso inteiro" (que poderia, no entanto, ser dividido em ponta, cabea, fen-da, haste etc).

Desmontando uma tangerina, por exemplo, podemos fixar os go-minhos como o limite para desmontagem, pois, se destes for tirada a pele que os cobre, o lquido interior escorre e deixam de ser gominhos.

Do jogo matemtica

Este tipo de jogo tem como funo pedaggica apresentar um dos ca-minhos mais interessantes da observao cientfica em vrias reas: en-genharia, botnica, biologia, geologia, psicologia, medicina etc. Mostre aos estudantes que, na parte da matemtica abordada neste encon-tro, comeamos a fazer exatamente esta observao minuciosa com os nmeros. Como so formados estes nmeros, o que formam quando se juntam, como se comportam. Mostre que, quando numa fatorao, chegamos a um nmero primo, chegamos a um limite de divisibilidade, assim como os limites de desmontagem estabelecidos no jogo.


Voc lembra?

Relembrando as regras de divisibilidade apresentadas anteriormente, sabemos que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 so divisores de 12. Ento, podemos fatorar o 12 escrevendo como 3x4,ou como 12x1, ou como 6x2, ou como 2x2x3...

Vejamos, agora, como se comporta o nmero 17. Ser que existem dois nmeros que multiplicados um pelo outro resultam em 17?

No! E, quando isso acontece, significa que este nmero no tem divisores, ou seja, ele s divisvel por ele mesmo ou por 1. Estes n-meros no podem ser fatorados e recebem o nome de nmeros pri-mos. Como mostramos no exemplo com o nmero 12, existem vrias maneiras de fatorar um nmero. Para garantir que uma fatorao seja feita sempre da mesma maneira, fazemos sempre a fatorao usando nmeros primos, os nossos limites. Veja.

Vamos fatorar o nmero 12 usando nmeros primos.1 passo: Escrevemos o 12 e colocamos um trao do seu lado direito

12

2 passo: Veja qual o menor nmero primo que divisor de 12. No caso, o 2. Resolvemos a operao 12 2 = 6 e registramos assim:

12 2 6

3 passo: Observe o resultado da diviso (no caso, o 6) e veja qual o menor nmero primo divisor de 6. No caso, o 2. Resolvemos a ope-rao 6 2 = 3 e registramos assim:

12 2 6 2 3

4 passo: Observe o resultado da nova diviso (no caso, o 3) e veja qual o menor nmero primo divisor de 3. No caso, o prprio 3. Resolvemos a operao 3 3 = 1 e registramos assim:

12 2 6 2 3 3 1

5 passo: Chegando ao resultado 1, finalizamos. Isso quer dizer que fatorar 12 em nmeros primos escrever 12 = 2 x 2 x 3.


Voc lembra?

Relembrando as regras de divisibilidade apresentadas anteriormente, sabemos que 1, 2, 3, 4, 6 e 12 so divisores de 12. Ento, podemos fatorar o 12 escrevendo como 3x4,ou como 12x1, ou como 6x2, ou como 2x2x3...

Vejamos, agora, como se comporta o nmero 17. Ser que existem dois nmeros que multiplicados um pelo outro resultam em 17?

No! E, quando isso acontece, significa que este nmero no tem divisores, ou seja, ele s divisvel por ele mesmo ou por 1. Estes n-meros no podem ser fatorados e recebem o nome de nmeros pri-mos. Como mostramos no exemplo com o nmero 12, existem vrias maneiras de fatorar um nmero. Para garantir que uma fatorao seja feita sempre da mesma maneira, fazemos sempre a fatorao usando nmeros primos, os nossos limites. Veja.

Vamos fatorar o nmero 12 usando nmeros primos.1 passo: Escrevemos o 12 e colocamos um trao do seu lado direito

12

2 passo: Veja qual o menor nmero primo que divisor de 12. No caso, o 2. Resolvemos a operao 12 2 = 6 e registramos assim:

12 2 6

3 passo: Observe o resultado da diviso (no caso, o 6) e veja qual o menor nmero primo divisor de 6. No caso, o 2. Resolvemos a ope-rao 6 2 = 3 e registramos assim:

12 2 6 2 3

4 passo: Observe o resultado da nova diviso (no caso, o 3) e veja qual o menor nmero primo divisor de 3. No caso, o prprio 3. Resolvemos a operao 3 3 = 1 e registramos assim:

12 2 6 2 3 3 1

5 passo: Chegando ao resultado 1, finalizamos. Isso quer dizer que fatorar 12 em nmeros primos escrever 12 = 2 x 2 x 3.


Estes conceitos tambm foram apresentados na aula 22: Trabalhan-do com mltiplos, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental) e so conhecimentos bsicos para resolver problemas significativos, usando MMC e MDC entre nmeros.

Importante que voc, professor, faa um link entre as maneiras uti-lizadas para apresentar os contedos aqui e no livro do aluno do Te-lecurso (Ensino Fundamental). Ambas so sugestes que podem con-tribuir e ajudar no seu planejamento para que, mais facilmente, voc tenha recursos e possa criar atividades para os estudantes.

Desafio

1) Um dia de festa no colgio. Os estudantes organizaram um desfile de fantasias para encerrar o evento. Mas como o desfile seria noite, no ptio pouco iluminado, os estudantes teriam que colocar lmpa-das. Por segurana, elas s poderiam ser colocadas no alto das pare-des laterais e, para isso, algumas questes teriam que ser observadas:

a. A distncia entre as lmpadas dever ser igual, para garantir boa iluminao em todos os locais do desfile.

b. Por questes de economia, as lmpadas sero colocadas da for-ma mais espaada possvel.

Veja, a seguir, um desenho das duas paredes do ptio e, para as condies acima descritas, calcule de quantos em quantos metros de-vero ser colocadas as lmpadas.

84 metros

72 metros

ComentrioPara realizar a atividade proposta, usaremos o conceito de fatorao em nmeros primos. Para encontrar o maior divisor comum (MDC) entre eles (j que as lmpadas devero ficar o mais espaadas possvel entre si), faremos uma multiplicao dos fatores comuns das duas medidas.


Soluo:Fatorando 84, temos 84 = 2 x 2 x 3 x 7Fatorando 72, temos 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

84 = 2 x 2 x 3 x 7

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

MDC = 2 x 2 x 3 = 12

Ou seja, as lmpadas devero ser colocadas de 12 em 12 metros. Como temos 156 metros de parede (84 metros + 72 metros), temos ento 156 12 = 13 lmpadas. 7 lmpadas na parede de 84 metros e 6 lmpa-das na parede de 72 metros.

Veja como exemplo uma das questes do banco de questes da OBMEP 2013 , nvel 1, que aborda o contedo a respeito de mltiplos e divisores, contedo este necessrio para trabalhar esta seo.

2) O nmero natural preferido por Vladas possui uma quantidade m-par de divisores. Mostre que esse nmero um quadrado perfeito.

SugestoNote que, se o nmero "d" um divisor do nmero "n", ento, ele tambm um divisor de "n". Por exemplo, 6 divisor de 24, logo, 24 6 = 4 tambm divisor de 24.

ComentrioComo j dito no enunciado do problema, a primeira observao impor-tante a ser feita que se um nmero qualquer divisor d de qualquer nmero n, o resultado n d tambm ser um nmero divisor de n.

A partir deste dado, vamos observar dois casos.1 - um nmero qualquer, no caso, o nmero 24 utilizado no enun-

ciado da questo.Se 6 divisor de 24, implica que 24 6 = 4, ser tambm divisor de

24 (e realmente 4 divisor de 24). Note que aqui temos dois divisores diferentes: o 6 e o 4.

2 - um nmero que seja um quadrado perfeito, por exemplo, 16. Pelo mesmo raciocnio, deduzimos:

Escolhendo o 4 como um dos divisores de 16, temos: Se 4 divisor de 16, implica que 16 4 = 4, ser tambm divisor de 16. Mas claro, pois 4 = 4.


Soluo:Fatorando 84, temos 84 = 2 x 2 x 3 x 7Fatorando 72, temos 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

84 = 2 x 2 x 3 x 7

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

MDC = 2 x 2 x 3 = 12

Ou seja, as lmpadas devero ser colocadas de 12 em 12 metros. Como temos 156 metros de parede (84 metros + 72 metros), temos ento 156 12 = 13 lmpadas. 7 lmpadas na parede de 84 metros e 6 lmpa-das na parede de 72 metros.

Veja como exemplo uma das questes do banco de questes da OBMEP 2013 , nvel 1, que aborda o contedo a respeito de mltiplos e divisores, contedo este necessrio para trabalhar esta seo.

2) O nmero natural preferido por Vladas possui uma quantidade m-par de divisores. Mostre que esse nmero um quadrado perfeito.

SugestoNote que, se o nmero "d" um divisor do nmero "n", ento, ele tambm um divisor de "n". Por exemplo, 6 divisor de 24, logo, 24 6 = 4 tambm divisor de 24.

ComentrioComo j dito no enunciado do problema, a primeira observao impor-tante a ser feita que se um nmero qualquer divisor d de qualquer nmero n, o resultado n d tambm ser um nmero divisor de n.

A partir deste dado, vamos observar dois casos.1 - um nmero qualquer, no caso, o nmero 24 utilizado no enun-

ciado da questo.Se 6 divisor de 24, implica que 24 6 = 4, ser tambm divisor de

24 (e realmente 4 divisor de 24). Note que aqui temos dois divisores diferentes: o 6 e o 4.

2 - um nmero que seja um quadrado perfeito, por exemplo, 16. Pelo mesmo raciocnio, deduzimos:

Escolhendo o 4 como um dos divisores de 16, temos: Se 4 divisor de 16, implica que 16 4 = 4, ser tambm divisor de 16. Mas claro, pois 4 = 4.


SoluoA partir da observao anterior, podemos constatar que, quando d d:n (como no primeiro caso), teremos sempre dois divisores, ou seja, um nmero par de divisores. No caso de d = n

d (como no segundo caso),

temos o mesmo divisor, ou seja, um s, no caso, um nmero mpar. Assim, se d = n:d, podemos concluir que n = d. E essa exatamen-

te a definio de um quadrado perfeito.

RespostaTodos os nmeros quadrados perfeitos tm nmeros mpares de divi-sores, inclusive o nmero preferido do Vladas.

28 PERCURSO LIVRE Matemtica Ensino Fundamental 29PERCURSO LIVRE Matemtica Ensino Fundamental

Razo e proporo

2 Encontro

Primeiras palavras

Professor(a), nas primeiras sries da nossa vida escolar, quando traba-lhamos com os conceitos de nmeros maiores ou menores, iniciamos os procedimentos para comparar grandezas. Logo aps estes primei-ros contatos, no decorrer dos anos, trabalhamos com fraes e opera-es cujos resultados nos mostram, aps a diviso do inteiro, a parte que coube a cada um. Neste encontro, ampliamos as possibilidades de comparar grandezas estudando vrias maneiras de estabelecer propores entre elas. Apresentamos aqui os seguintes assuntos: si-tuaes que envolvam proporcionalidade; o conceito de razo em di-versos contextos: proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc.; relaes de proporcionalidade direta, inversa e regra de trs; por-centagem; taxas, juros, aumentos e descontos.

Razo e proporo

Apresentao do assuntoNesta sequncia, apresentamos diferentes formas de comparao en-tre grandezas. Estamos nos preparando para realizar clculos que nos ajudaro a tomar diferentes decises no nosso dia a dia.

Jogo

Variando movimentos proporcionalmente

A proposta apresentar o conceito matemtico de proporo aos es-tudantes, de forma ldica e concreta. Para isso vamos jogar um popu-lar jogo de imitao.


DescrioTendo como critrio a altura dos estudantes da turma, pea a ajuda de trs participantes: um estudante alto; um, de mdia estatura; e um outro escolhido entre os menores. Pea que eles se coloquem em evi-dncia, um ao lado do outro, de forma que possam ser observados por todos. Escolha um dos trs estudantes como mediador e, como no tradicional jogo de imitaes, pea que os outros repitam todos os movimentos feitos pelo comandante.

Oriente o mediador para que faa movimentos lentos, que no se locomova e que tente usar todas as partes do corpo. Limite estes mo-vimentos em: encolher, esticar, abaixar, se espichar, observe, durante um minuto, a relao etc.. Ao restante da turma, pea que observem durante 60 segundos, a relao entre os movimentos dos trs colegas. Havendo possibilidade, repita a proposta com outros trs estudantes em destaque.

Do jogo matemtica

Aps o jogo, converse com a turma e pontue: ao se encolher ou se es-ticar, todos diminuram e aumentaram de tamanho. Mas a diferena no aumento e na reduo da altura pode ser melhor percebida nos colegas que j eram mais altos e mais baixos do que a mdia. Este entendimento o passo inicial e imprescindvel para aquisio da habilidade de reconhecer situaes que envolvam proporcionalidade.

A partir destas observaes, mostre que este o conceito de gran-dezas diretamente proporcionais. Aumentando uma, independente-mente de seu tamanho anterior as outras tambm aumentam propor-cionalmente da mesma forma.

Voc lembra?

Razo e proporo foi o assunto abordado na aula 46 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Faa uma reviso com os estudan-tes, montando links entre o desafio resolvido a seguir e as fundamen-taes apresentadas no livro. Compare as informaes abordadas em cada um. A compreenso de situaes que envolvam proporcionali-dade so fundamentais para a compreenso dos prximos assuntos abordados neste encontro do Percurso Livre.


DescrioTendo como critrio a altura dos estudantes da turma, pea a ajuda de trs participantes: um estudante alto; um, de mdia estatura; e um outro escolhido entre os menores. Pea que eles se coloquem em evi-dncia, um ao lado do outro, de forma que possam ser observados por todos. Escolha um dos trs estudantes como mediador e, como no tradicional jogo de imitaes, pea que os outros repitam todos os movimentos feitos pelo comandante.

Oriente o mediador para que faa movimentos lentos, que no se locomova e que tente usar todas as partes do corpo. Limite estes mo-vimentos em: encolher, esticar, abaixar, se espichar, observe, durante um minuto, a relao etc.. Ao restante da turma, pea que observem durante 60 segundos, a relao entre os movimentos dos trs colegas. Havendo possibilidade, repita a proposta com outros trs estudantes em destaque.

Do jogo matemtica

Aps o jogo, converse com a turma e pontue: ao se encolher ou se es-ticar, todos diminuram e aumentaram de tamanho. Mas a diferena no aumento e na reduo da altura pode ser melhor percebida nos colegas que j eram mais altos e mais baixos do que a mdia. Este entendimento o passo inicial e imprescindvel para aquisio da habilidade de reconhecer situaes que envolvam proporcionalidade.

A partir destas observaes, mostre que este o conceito de gran-dezas diretamente proporcionais. Aumentando uma, independente-mente de seu tamanho anterior as outras tambm aumentam propor-cionalmente da mesma forma.

Voc lembra?

Razo e proporo foi o assunto abordado na aula 46 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Faa uma reviso com os estudan-tes, montando links entre o desafio resolvido a seguir e as fundamen-taes apresentadas no livro. Compare as informaes abordadas em cada um. A compreenso de situaes que envolvam proporcionali-dade so fundamentais para a compreenso dos prximos assuntos abordados neste encontro do Percurso Livre.


Desafio

1) Em uma determinada firma de construo, observa-se que, a cada cinco funcionrios contratados, a proporo de quatro homens para uma mulher. Numa empreitada conjunta com outras empresas, para dar um toque especial e distinguir de longe os seus funcionrios entre outros, o gerente geral mandou que fossem criados uniformes espe-ciais para todos eles. Se nesta firma existem 60 funcionrios, quantos uniformes femininos foram confeccionados?

ComentrioPelo enunciado, observamos que, para resolver este desafio, devemos comparar as grandezas mencionadas e, descobrindo a relao proporcio-nal entre elas, descobrir a quantidade desejada de uniformes femininos.

Soluo

Primeiro passoVamos fazer uma tabela com o nmero total de funcionrios, o nme-ro de homens e o nmero de mulheres. Conforme j foi mencionado, a razo entre funcionrios homens e mulheres de quatro para um, ou seja, a cada cinco funcionrios, h apenas uma mulher.

Registrando esta informao de forma matemtica, numa tabela, teremos:

Nmero de mulheres Nmero de homensNmero de total de funcionrios

1 4 5

Segundo passoAgora, vamos dobrar o nmero de mulheres. Portanto, para manter a proporo, temos que multiplicar por dois o nmero de homens e o total de funcionrios.

Aps registrar esta nova informao na tabela, teremos:

Ao realizadaNmero de mulheres

Nmero de homens

Nmero de total de

funcionrios

1 4 5

Duplicar 1 x 2 = 2 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10


Desta forma, conclumos que, se h duas mulheres trabalhando na firma, temos, ento, oito homens em um total de 10 funcionrios.

Terceiro passoVamos, agora, triplicar o nmero de mulheres. Portanto, teremos tam-bm que multiplicar, por 3, o nmero de homens e o total de funcio-nrios.

Registrando esta nova informao na tabela, teremos:


Nmero de homens

Nmero de total de

funcionrios

1 4 5

Duplicar 1 x 2 = 2 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10

Triplicar 1 x 3 = 3 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15

Desta, conclumos que, se h trs mulheres trabalhando na firma, temos, ento, 12 homens em um total de 15 funcionrios.

Quarto passoSeguindo este mesmo procedimento, vamos quadruplicando, quin-tuplicando etc... at aparecer na tabela o nmero total de 60 funcio-nrios, que foi pedido na formulao da questo. Veja quando este nmero aparecer na tabela:


Nmero de homens

Nmero de total de funcionrios

1 4 5

Duplicar 1 x 2 = 2 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10

Triplicar 1 x 3 = 3 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15

Quadruplicar 1 x 4 = 4 4 x 4 = 16 5 x 4 = 20

Multiplicar por 5 1 x 5 = 5 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25









Desta forma, conclumos que, se h duas mulheres trabalhando na firma, temos, ento, oito homens em um total de 10 funcionrios.

Terceiro passoVamos, agora, triplicar o nmero de mulheres. Portanto, teremos tam-bm que multiplicar, por 3, o nmero de homens e o total de funcio-nrios.

Registrando esta nova informao na tabela, teremos:


Nmero de homens

Nmero de total de

funcionrios

1 4 5

Duplicar 1 x 2 = 2 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10

Triplicar 1 x 3 = 3 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15

Desta, conclumos que, se h trs mulheres trabalhando na firma, temos, ento, 12 homens em um total de 15 funcionrios.

Quarto passoSeguindo este mesmo procedimento, vamos quadruplicando, quin-tuplicando etc... at aparecer na tabela o nmero total de 60 funcio-nrios, que foi pedido na formulao da questo. Veja quando este nmero aparecer na tabela:


Nmero de homens

Nmero de total de funcionrios

1 4 5

Duplicar 1 x 2 = 2 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10

Triplicar 1 x 3 = 3 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15

Quadruplicar 1 x 4 = 4 4 x 4 = 16 5 x 4 = 20










RespostaEnto, encontramos aqui a soluo. Quando temos o total de 60 fun-cionrios, teremos 48 homens e 12 mulheres. Isso significa que sero confeccionados 12 uniformes femininos.

Veja agora o exerccio proposto na 4 OBMEP 2008 -1 fase, nvel 1.

2) Cada uma das figuras est dividida em 16 partes iguais. Em qual delas a parte colorida corresponde a

5 8 da rea total?

ComentrioA primeira observao a ser feita a de que este enunciado nos apre-senta uma relao de proporo =

5 8 . Isso quer dizer que procura-

mos uma figura onde, para cada oito partes do total, cinco so colori-das, ou seja, uma proporo de "cinco para oito". Ainda de acordo com o enunciado, todas as figuras apresentadas possuem 16 partes.

SoluoMontamos uma tabela para realizar a proporo entre 8 (proporo dada) e 16 (procurada).

Observe a tabela de propores:

Nmero total de partes Nmero de partes coloridas

8 5

16 ?

Pela tabela, conclumos que se o oito (nmero total de partes da primeira linha) se transformou em 16, na segunda linha, porque ele foi duplicado. Ento, o cinco, proporcionalmente, tambm deve ser duplicado e, assim, teremos 5 x 2 = 10.

A B C D E


RespostaDevemos, ento, procurar uma figura em que, entre as 16 partes, 10 sejam coloridas. No caso, a resposta certa a letra D, um retngulo.

Proporo inversa

Apresentao do assuntoEste um conceito interessante em matemtica. Principalmente porque, no nosso dia a dia, temos uma infinidade de exemplos que se utilizam deste mesmo conceito. Mostre aos estudantes que a expresso os opos-tos se atraem , na verdade, uma aluso popular ao conceito matemti-co de "inversamente proporcional". Para abordar o assunto, professor(a), apresente, turma, um jogo de adivinhao popular: o que , o que , quanto mais se tira, maior fica? Possivelmente, alguns sabero a resposta. Se ningum adivinhou, d a resposta (o buraco) e explique o motivo. Mos-tre que este o conceito de proporo inversa, em matemtica: a com-parao entre duas grandezas que se comportam de maneiras opostas.

Jogo

Trabalho reduzidoCom esta atividade, pretendemos mobilizar os estudantes para o as-sunto, apresentando a eles, de forma bastante visvel, o comporta-mento de uma relao inversamente proporcional.

DescrioApresente aos estudantes um copo comum cheio de gros de milho. Pea a um deles que conte quantos gros de milho existem dentro do copo e pea a outro estudante para medir o tempo gasto pelo colega para realizar a contagem. Registre as informaes em um lugar visvel a todos: um colega gastou tanto tempo para contar os gros de milho.

Em seguida, divida o mesmo contedo do copo em duas partes e pea que a contagem seja feita por dois colegas que iniciam ao mesmo tempo, cada qual, a contagem da sua parte de gros. Pea a um ter-ceiro colega para medir o tempo gasto para realizar a contagem total. Registre: dois colegas gastaram tanto tempo para contar a mesma quantidade de gros de milho.

Mais uma vez, divida o mesmo contedo do copo em quatro e pea que a contagem seja feita por quatro colegas que iniciam ao mesmo tempo, cada qual, a contagem da sua parte de gros. Pea a outro co-lega para medir o tempo gasto para realizar a contagem total. Registre: quatro colegas gastaram tanto tempo para contar os gros de milho.


RespostaDevemos, ento, procurar uma figura em que, entre as 16 partes, 10 sejam coloridas. No caso, a resposta certa a letra D, um retngulo.

Proporo inversa

Apresentao do assuntoEste um conceito interessante em matemtica. Principalmente porque, no nosso dia a dia, temos uma infinidade de exemplos que se utilizam deste mesmo conceito. Mostre aos estudantes que a expresso os opos-tos se atraem , na verdade, uma aluso popular ao conceito matemti-co de "inversamente proporcional". Para abordar o assunto, professor(a), apresente, turma, um jogo de adivinhao popular: o que , o que , quanto mais se tira, maior fica? Possivelmente, alguns sabero a resposta. Se ningum adivinhou, d a resposta (o buraco) e explique o motivo. Mos-tre que este o conceito de proporo inversa, em matemtica: a com-parao entre duas grandezas que se comportam de maneiras opostas.

Jogo

Trabalho reduzidoCom esta atividade, pretendemos mobilizar os estudantes para o as-sunto, apresentando a eles, de forma bastante visvel, o comporta-mento de uma relao inversamente proporcional.

DescrioApresente aos estudantes um copo comum cheio de gros de milho. Pea a um deles que conte quantos gros de milho existem dentro do copo e pea a outro estudante para medir o tempo gasto pelo colega para realizar a contagem. Registre as informaes em um lugar visvel a todos: um colega gastou tanto tempo para contar os gros de milho.

Em seguida, divida o mesmo contedo do copo em duas partes e pea que a contagem seja feita por dois colegas que iniciam ao mesmo tempo, cada qual, a contagem da sua parte de gros. Pea a um ter-ceiro colega para medir o tempo gasto para realizar a contagem total. Registre: dois colegas gastaram tanto tempo para contar a mesma quantidade de gros de milho.

Mais uma vez, divida o mesmo contedo do copo em quatro e pea que a contagem seja feita por quatro colegas que iniciam ao mesmo tempo, cada qual, a contagem da sua parte de gros. Pea a outro co-lega para medir o tempo gasto para realizar a contagem total. Registre: quatro colegas gastaram tanto tempo para contar os gros de milho.


Do jogo matemtica

Comparando os trs registros, professor(a), pontue que, concreta-mente, quanto maior o nmero de colegas envolvidos na contagem, menor o tempo gasto para realiz-la. A partir desta observao, mos-tre que este o conceito que define, matematicamente, uma relao de proporcionalidade inversa.

Voc lembra?

Proporcionalidade inversa o tema da aula 49 do livro do aluno do Te-lecurso (Ensino Fundamental). Logo no incio desta aula, prope-se uma reviso a respeito das grandezas diretamente proporcionais, mais co-muns e usadas popularmente em grande escala, principalmente na divi-so ou na duplicao de receitas culinrias. Antes de seguir, importante que a comparao entre estes dois contedos (grandezas diretamente e inversamente proporcionais) seja trabalhada de forma bem criteriosa. Se necessrio, relembre o contedo. Para isso, utilize o exemplo abaixo:

Uma tabela relacionada a quantidade de quilos de feijo e o dinhei-ro gasto na compra.

1 Kg de arroz R$2,302 Kg de arroz R$4,603 Kg de arroz R$6,904 Kg de arroz R$9,20

Mostre aos estudantes, comparando os valores de cada coluna que, medida em que compramos uma maior quantidade de arroz, o gasto de nossa compra aumenta. Deixe esta tabela vista de todos.

Esta outra tabela relaciona o tempo para o descarregamento de um navio com a quantidade de funcionrios trabalhando.

1 funcionrio 48 horas2 funcionrios 24 horas3 funcionrios 12 horas

Mostre aos estudantes, comparando os valores de cada coluna desta nova tabela que, medida em que temos um maior nmero de funcionrios trabalhando, o tempo de realizao da atividade diminui. Compare as duas tabelas. Aplique, aqui, os conceitos de diretamente e inversamente proporcional, dados importantssimos para a aquisio da habilidade de resolver problemas que envolvem relaes de pro-porcionalidade e de regra de trs.


Desafio

Joo precisa de seis horas para abastecer a caixa dgua de sua casa. Exatamente no dia em que o Joo precisava sair mais cedo, a boia que fecha, automaticamente, a entrada da gua na caixa, quando esta j est cheia, parou de funcionar. E, neste dia, Joo no poderia espe-rar as seis horas necessrias para fechar manualmente o registro da gua. Sendo assim, de quantos outros canos de entrada iguais ao pri-meiro, Joo precisa para encher a caixa dgua em duas horas.

ComentrioPara resolver o desafio, partimos do mesmo procedimento j utiliza-do, montando uma tabela para realizar a proporo entre quantidade de canos e o tempo gasto para encher a caixa.

Tempo para encher a caixa Nmero de canos

6 h 1

2 h ?

SoluoPela tabela, se o nmero total de horas (6), passou a ser 2, isto significa que o tempo incial de seis horas foi dividido em trs. Se a tabela repre-sentasse uma relao diretamente proporcional, teramos o nmero de canos (1) igualmente dividido por 3 e o resultado seria 1 3 .

Porm, importante observar que quanto maior a quantidade de ca-nos usada para abastecer a caixa, menor o tempo gasto para ench-la. Isto significa que esta uma relao inversamente proporcional. Ento, neste caso, ao invs de dividir por 3, vamos ter que multiplicar o nme-ro de canos por 3.

RespostaTeremos, assim 3 x 1 = 3 canos.

Regra de trs

Apresentao do assuntoOrganizando o pensamento para montar operaes envolvendo pro-pores, utilizamos o conhecimento chamado de regra de trs. Este um processo para a realizao de um clculo matemtico onde se procura o valor de uma grandeza a partir do conhecimento de, pelo menos, outras trs grandezas proporcionais. Para resolver uma regra de trs, veja um passo a passo, utilizando, como exemplo, os dados do primeiro desafio apresentado em Razo e proporo.


Desafio

Joo precisa de seis horas para abastecer a caixa dgua de sua casa. Exatamente no dia em que o Joo precisava sair mais cedo, a boia que fecha, automaticamente, a entrada da gua na caixa, quando esta j est cheia, parou de funcionar. E, neste dia, Joo no poderia espe-rar as seis horas necessrias para fechar manualmente o registro da gua. Sendo assim, de quantos outros canos de entrada iguais ao pri-meiro, Joo precisa para encher a caixa dgua em duas horas.

ComentrioPara resolver o desafio, partimos do mesmo procedimento j utiliza-do, montando uma tabela para realizar a proporo entre quantidade de canos e o tempo gasto para encher a caixa.

Tempo para encher a caixa Nmero de canos

6 h 1

2 h ?

SoluoPela tabela, se o nmero total de horas (6), passou a ser 2, isto significa que o tempo incial de seis horas foi dividido em trs. Se a tabela repre-sentasse uma relao diretamente proporcional, teramos o nmero de canos (1) igualmente dividido por 3 e o resultado seria 1 3 .

Porm, importante observar que quanto maior a quantidade de ca-nos usada para abastecer a caixa, menor o tempo gasto para ench-la. Isto significa que esta uma relao inversamente proporcional. Ento, neste caso, ao invs de dividir por 3, vamos ter que multiplicar o nme-ro de canos por 3.

RespostaTeremos, assim 3 x 1 = 3 canos.

Regra de trs

Apresentao do assuntoOrganizando o pensamento para montar operaes envolvendo pro-pores, utilizamos o conhecimento chamado de regra de trs. Este um processo para a realizao de um clculo matemtico onde se procura o valor de uma grandeza a partir do conhecimento de, pelo menos, outras trs grandezas proporcionais. Para resolver uma regra de trs, veja um passo a passo, utilizando, como exemplo, os dados do primeiro desafio apresentado em Razo e proporo.


Primeiro passoIdentificar e agrupar as grandezas. Separar, relacionar e colocar juntas todas as medidas ou contagens semelhantes. No exemplo em que fo-ram utilizados os dados do problema anterior, falamos da quantidade de mulheres e da quantidade total de funcionrios.

Quantidade total de funcionrios Quantidade de mulheres

Inicial = 5 1

Final = 60 ?

Segundo passoArmar a operao, colocando em colunas (uma abaixo da outra) as grandezas semelhantes.

5 funcionrios = 1 mulher 60 funcionrios ?mulheres

Terceiro passoMontada esta forma para relacionar os dados, chegamos ao momento de resolver o xis da questo, ou seja, procurar o valor desconhecido (aqui apresentado pelo sinal de interrogao), a partir de outros trs valores conhecidos. Para isso, montamos uma equao que lida as-sim: 5 (funcionrios) est para 60 (nmero total de funcionrios), as-sim como 1 (uma funcionria) est para "X" (nmero de funcionrios de sexo feminino que queremos descobrir). A partir desta sentena, vamos montar a seguinte operao:

5 1 60 x

E, para resolver a equao, temos: "X" x 5 = 60 x 1. Isolando o "X" te-mos: X = (60 x 1) 5, de onde se conclui que X = 12. Como procuramos o nmero de uniformes femininos, o resultado final ser dado como: 12 uniformes femininos.

Ateno: ao apresentar como montar a regra de trs, professor(a), mostre aos estudantes que, antes de armar a frmula, necessrio que se faa outra observao em relao aos valores das grandezas. O conceito abordado anteriormente (diretamente e inversamente pro-porcionais) fundamental para este passo.


Jogo

Montando trs, ganha o quarto

Este um jogo de ateno bastante simples, pelo qual vamos exercitar nossa percepo em reconhecer o todo, a partir da apresentao de trs partes deste todo. O objetivo determinar um quadrado mos-trando a posio de trs dos quatro tringulos formados pela interce-o de suas diagonais.

DescrioPara jogar, usamos um tabuleiro comum (de xadrez). No lugar de pe-es, usamos pequenos tringulos de papel.

Construindo os tringulos de papel1. Recorte quadrados de papel do tamanho das casas do tabuleiro.2. Marque duas diagonais deste quadrado, unindo os vrtices opos-

tos. Veja a figura.

3. Recorte os quatro tringulos formados. Veja um deles.

Faa 50 tringulos para cada time.

RegrasCada jogador, alternadamente, coloca, em cada jogada, dois dos seus tringulos no tabuleiro, com o objetivo de determinar um quadrado com cores do seu time. Ganha o jogador (ou o time) que mais tiver tringulos determinados no final.


Jogo

Montando trs, ganha o quarto

Este um jogo de ateno bastante simples, pelo qual vamos exercitar nossa percepo em reconhecer o todo, a partir da apresentao de trs partes deste todo. O objetivo determinar um quadrado mos-trando a posio de trs dos quatro tringulos formados pela interce-o de suas diagonais.

DescrioPara jogar, usamos um tabuleiro comum (de xadrez). No lugar de pe-es, usamos pequenos tringulos de papel.

Construindo os tringulos de papel1. Recorte quadrados de papel do tamanho das casas do tabuleiro.2. Marque duas diagonais deste quadrado, unindo os vrtices opos-

tos. Veja a figura.

3. Recorte os quatro tringulos formados. Veja um deles.

Faa 50 tringulos para cada time.

RegrasCada jogador, alternadamente, coloca, em cada jogada, dois dos seus tringulos no tabuleiro, com o objetivo de determinar um quadrado com cores do seu time. Ganha o jogador (ou o time) que mais tiver tringulos determinados no final.


1. O tempo de cada partida de 1 minuto.2. No pode haver sobreposio de peas.3. Determinar um quadrado significa dispor trs tringulos consecu-

tivos com as cores do seu time, de tal forma que a formao de um quadrado fique evidente. Determinado um quadrado, se ganha o ponto. As peas permanecem no tabuleiro, mas no podem servir de base para determinar outros quadrados.

Exemplo de quadrados determinados (usando apenas parte de um tabuleiro). No necessrio fechar o quadrado colocando o quar-to tringulo para determin-lo. A partir do momento em que fica clara a possibilidade de determinar o quadrado na prxima jogada, o ponto j ganho.

Neste jogo, uma dica importante colocar sempre dois tringulos por jogada no tabuleiro e usar um deles para fazer sua jogada e o ou-tro, para bloquear as jogadas do adversrio.

Estas disposies de tringulos determinam um quadrado, pois fica evidente que falta apenas uma pea para complet-lo. No ne-cessrio colocar esta pea no tabuleiro.

Do jogo matemtica

Descobrir um quarto elemento a partir do conhecimento das relaes entre outros trs uma antiga questo da matemtica de onde originou--se a regra de trs e, posteriormente, o pensamento algbrico. Este jogo tem, como principal finalidade, exercitar, no estudante, a observao, a visualizao de caminhos e a procura de solues. Neste jogo, como na regra de trs, o objetivo determinar um todo (no caso, um quadrado composto por quatro tringulos), a partir da disposio de trs partes do todo). Muitos dos desafios apresentados neste caderno se resolvem, principalmente, por observaes e pela possibilidade de o estudante conseguir interpretar e visualizar o caminho para encontrar uma soluo.


Voc lembra?

Regra de trs tambm foi abordado na aula 50 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Compare as abordagens, estabelea uma relao entre elas e retire, de cada uma, o melhor para o seu pla-nejamento. importante que os estudantes percebam que, na prtica, algumas operaes de diviso, de propores e de regra de trs so semelhantes e obedecem mesma lgica de resoluo.

Desafio

1) Um pescador, habitante de uma ilha, usava um antigo barco a remo e demorava trs horas para ir de casa at o continente. Este barco atingia atingia, no mximo, a velocidade de 15 quilmetros por hora. Com o passar do tempo e a melhoria das condies financeiras, ele comprou um barco a motor e passou a atingir a fantstica velocidade de 45 quilmetros por hora. Em quanto tempo este novo barco conse-gue realizar o mesmo percurso?

Comentrio Mostre aos estudantes que estaremos aqui realizando uma compara-o entre grandezas para encontrar a soluo. Conhecendo as respos-tas de uma situao anterior, por comparao proporcional, podemos descobrir a resposta para a nova situao apresentada. Condies perfeitas para utilizao da regra de trs.

Soluo

Primeiro passoIdentificar grandezas. No caso, falamos de tempo (2 horas) e velocida-des (15 Km/h e 45 Km/h)Segundo passoSeparar as colunas.

Velocidade Tempo15 3

45 X


Voc lembra?

Regra de trs tambm foi abordado na aula 50 do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Compare as abordagens, estabelea uma relao entre elas e retire, de cada uma, o melhor para o seu pla-nejamento. importante que os estudantes percebam que, na prtica, algumas operaes de diviso, de propores e de regra de trs so semelhantes e obedecem mesma lgica de resoluo.

Desafio

1) Um pescador, habitante de uma ilha, usava um antigo barco a remo e demorava trs horas para ir de casa at o continente. Este barco atingia atingia, no mximo, a velocidade de 15 quilmetros por hora. Com o passar do tempo e a melhoria das condies financeiras, ele comprou um barco a motor e passou a atingir a fantstica velocidade de 45 quilmetros por hora. Em quanto tempo este novo barco conse-gue realizar o mesmo percurso?

Comentrio Mostre aos estudantes que estaremos aqui realizando uma compara-o entre grandezas para encontrar a soluo. Conhecendo as respos-tas de uma situao anterior, por comparao proporcional, podemos descobrir a resposta para a nova situao apresentada. Condies perfeitas para utilizao da regra de trs.

Soluo

Primeiro passoIdentificar grandezas. No caso, falamos de tempo (2 horas) e velocida-des (15 Km/h e 45 Km/h)Segundo passoSeparar as colunas.

Velocidade Tempo15 3

45 X


Terceiro passoMontar a equao, porm: verificar antes o comportamento das gran-dezas. Sero elas diretamente ou inversamente proporcionais?

Observando: Se o barco passou a andar mais rpido (velocidade aumenta), o tempo de travessia aumenta ou diminui?

Como podemos ver claramente que o tempo diminui com o au-mento da velocidade, sabemos que as grandezas so inversamente proporcionais.

Se as grandezas so inversamente proporcionais, temos que inver-ter tambm a ordem dos elementos em uma das colunas e teremos ento:

Agora, podemos montar a equao e chegar ao resultado.

RespostaComo estamos falando de tempo e este est sendo medido em horas, 1 significa uma hora.

Veja agora, esta questo proposta na 4 OBMEP 2008 - 1 fase, nvel 2.

2) Para encher uma caixa d'gua so necessrios 2000 baldes ou 2400 latas de gua. Se j foram colocados 1500 baldes na caixa, quantas latas sero necessrias para acabar de ench-la?

ComentrioPelo enunciado, podemos observar que faltam 500 baldes para en-cher a caixa dgua. Veja.

Caixa cheia = 2000 baldes. Se j foram colocados 1500, faltam 2000 1500 = 500.

Tambm, pelo enunciado, sabemos que a caixa cheia com 2000 baldes ou 2400 latas dgua. Esta informao nos informa nos fala da relao de proporo entre quantidade de baldes e quantidade de latas.

15 3 45 x

45 3 15 x

45 3 45x = 15 x 3 x = 45 45 = 115 x

=


SoluoConhecendo a relao entre nmero de baldes e o de latas dgua (2000 baldes equivalem a 2400 latas); e sabendo quantos baldes faltam para encher a caixa, montamos uma regra de trs da seguinte forma:

2000 baldes esto para 2400 latas dgua, assim como, 500 baldes esto para x.

Resposta

Precisamos, portanto de 600 latas.

Porcentagens

Apresentao do assuntoApresente o assunto aos estudantes mostrando que porcentagem uma proporo como as outras que acabamos de abordar. Porm, neste caso especial, sempre usamos como referncia uma proporo onde a relao se estabelece com uma diviso por 100 partes. Isso muito importante, pois, desta forma, temos propores seguindo sempre o mesmo padro. Assim, poderemos mais facilmente compa-rar os resultados.

Jogo - Jogo da memria

Este jogo, baseado no tradicional jogo da memria, um jogo de car-tes onde exercitamos o clculo de porcentagens.

Construindo o material

Primeiro passoUsando um papel mais grosso, tipo cartolina, corte 40 cartes de ta-manho aproximado de 10 cm por 6 cm. Separe estes cartes em gru-pos (20 + 20).Segundo passoEm 20 destes cartes, escreva com cuidado (para no aparecer do ou-tro lado do papel) as seguintes porcentagens: 1%, 5%,10%, 50%, 100%. Preenchendo os 20 cartes, no final, voc ter 4 cartes com cada uma destas porcentagens.

Nos outros 20 cartes, tambm escrevendo com cuidado para no

2000 = 2400 x = (500 x 2400) 2000 = 600 500 x


SoluoConhecendo a relao entre nmero de baldes e o de latas dgua (2000 baldes equivalem a 2400 latas); e sabendo quantos baldes faltam para encher a caixa, montamos uma regra de trs da seguinte forma:

2000 baldes esto para 2400 latas dgua, assim como, 500 baldes esto para x.

Resposta

Precisamos, portanto de 600 latas.

Porcentagens

Apresentao do assuntoApresente o assunto aos estudantes mostrando que porcentagem uma proporo como as outras que acabamos de abordar. Porm, neste caso especial, sempre usamos como referncia uma proporo onde a relao se estabelece com uma diviso por 100 partes. Isso muito importante, pois, desta forma, temos propores seguindo sempre o mesmo padro. Assim, poderemos mais facilmente compa-rar os resultados.

Jogo - Jogo da memria

Este jogo, baseado no tradicional jogo da memria, um jogo de car-tes onde exercitamos o clculo de porcentagens.

Construindo o material

Primeiro passoUsando um papel mais grosso, tipo cartolina, corte 40 cartes de ta-manho aproximado de 10 cm por 6 cm. Separe estes cartes em gru-pos (20 + 20).Segundo passoEm 20 destes cartes, escreva com cuidado (para no aparecer do ou-tro lado do papel) as seguintes porcentagens: 1%, 5%,10%, 50%, 100%. Preenchendo os 20 cartes, no final, voc ter 4 cartes com cada uma destas porcentagens.

Nos outros 20 cartes, tambm escrevendo com cuidado para no

2000 = 2400 x = (500 x 2400) 2000 = 600 500 x


aparecer do outro lado, registre cada um dos seguintes conceitos, duas vezes cada:1. Todos os estudantes foram aprovados! 2. Metade da turma estava assistindo ao jogo desta tarde. 3. Nesta salada com 10 frutas, temos 1 ma. 4. Meu time preferido ganhou, at agora, 2 das 4 partidas que jogou.5. Hoje, acordei to cansado que, dos 1000 metros de caminhada, s

consegui fazer 100 metros.6. Gosto de trabalhar naquela loja, pois, cada vez que vendo 100 cho-

colates, ganho 1.7. Gostei muito deste sapato, ainda mais que o dono da loja, em vez

de cobrar R$100,00, me cobrou R$95,00.8. Nossa! Este biscoito to bom que vou comer todos! 9. Voc tem 200 figurinhas repetidas, me d 2 para completar esta

minha pgina. 10. Estamos combinados! 200 para voc e 40 para mim.

JogandoMisture os cartes, com a face escrita para o lado de baixo e jogue, como no jogo da memria, procurando encontrar o par correspon-dente. No caso, o par se forma com um carto de porcentagem e ou-tro com o conceito correspondente quela porcentagem.

ExemploTemos 4 cartes com o smbolo 100%, dois cartes com o conceito "Todos os estudantes foram aprovados" e outros dois cartes com o conceito "Nossa! Este biscoito to bom que vou comer todos!". Pode-mos formar pares usando o 100% com qualquer um destes conceitos.

Do jogo matemtica

Esta uma maneira de mostrar aos estudantes como a questo mate-mtica ligada ao clculo de porcentagens faz parte do nosso dia a dia. Esse tipo de abordagem como mobilizao de uma turma muito im-portante para aproximar o estudante do contedo. Mostre, tambm, a eles que as porcentagens utilizadas so facilmente calculadas e, na verdade, a maior dificuldade do jogo a de realmente memorizar a posio dos cartes para estabelecer as relaes entre os conceitos e as porcentagens apresentadas.


Voc lembra?

Este assunto apresentado na aula 27: Quantos por cento?, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Lembre aos estudantes que porcentagem um tipo de proporo, onde sempre temos como refe-rncia a diviso por 100.

Desafio

1) Em um certo dia festivo da escola, houve um lanche coletivo de uma turma onde todos contriburam com uma fruta para que fosse feita uma grande salada. A receita mencionava: abacaxi, manga, laranja e melancia. Considerando uma melancia suficiente, a proporo esta-belecida entre as frutas para que cada estudante da turma trouxesse uma foi: 1 melancia, 9 laranjas, 6 mangas e 4 abacaxis. O sabor final ficou delicioso. Para que a mesma receita seja aplicada, hoje, em qual-quer turma, calcule o percentual de frutas usadas para que ela possa ser repetida levando em conta diferentes quantidades de estudantes.

SoluoPrimeiro passo: Observamos que 100% das frutas somam 20 frutas.Segundo passo: Para estabelecer uma porcentagem, fazemos este total de frutas virar 100 frutas. Para isso multiplicamos 20 x 5 = 100.Terceiro passo: Proporcionalmente, multiplicamos todas as quantida-des por 5 e teremos: total de 100 frutas, 5 x 1 = cinco melancias, 9 x 5 = 45 laranjas, 5 x 5 = 30 mangas e 2 x 5 = 10 abacaxis.

RespostaEscrevemos o resultado em forma de porcentagem. 5% de uma me-lancia, 45% de laranjas, 30% de mangas e 20% de abacaxis.

Concluso importanteEstabelecendo esta proporo por porcentagens, podemos facilmente aplic-la para qualquer nmero de pessoas e a salada sair sempre com o mesmo sabor.

Veja agora outro proposto na 4 OBMEP 2008 - 1 fase, nvel 2.


Voc lembra?

Este assunto apresentado na aula 27: Quantos por cento?, do livro do aluno do Telecurso (Ensino Fundamental). Lembre aos estudantes que porcentagem um tipo de proporo, onde sempre temos como refe-rncia a diviso por 100.

Desafio

1) Em um certo dia festivo da escola, houve um lanche coletivo de uma turma onde todos contriburam com uma fruta para que fosse feita uma grande salada. A receita mencionava: abacaxi, manga, laranja e melancia. Considerando uma melancia suficiente, a proporo esta-belecida entre as frutas para que cada estudante da turma trouxesse uma foi: 1 melancia, 9 laranjas, 6 mangas e 4 abacaxis. O sabor final ficou delicioso. Para que a mesma receita seja aplicada, hoje, em qual-quer turma, calcule o percentual de frutas usadas para

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