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Perdas de Tensão
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Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 1
1. PERDAS DE TENSO EM ARMADURAS DE PR-
ESFORO
Uma das razes que tornaram num fracasso as primeiras
tentativas de utelizao do princpio do pr-esforo, foi o
desconhecimento e/ou inadequado tratamento do fenmeno de
perdas de tenso nas armaduras pr-esforadas.
A percepo dos mecanismos de perda de tenso e,
consequentemente, a sua quantificao razovel obriga,
necessariamente, ao conhecimento adequado dos efeitos de
pr-esforo.
O actual estgio de conhecimento dos efeitos de pr-esforo,
permite separar as perdas de tenso em dois grupos distintos:
a) Perdas Instantneas/Iniciais
So as que ocorrem pouco tempo aps os processos de
construo e aplicao do pr-esforo e que se devem
essencialmente a:
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 2
a1) Atrito entre as armaduras e as bainhas que as envolvem
(ps-tenso);
a2) Re-entrada dos dispositivos de amarao (ps-tenso);
a3) Deformao instantnea do beto.
b) Perdas Diferidas
So as que ocorrem lentamente durante a vida til da estrutura
e que se fundamentam nos fenmenos dependentes do tempo:
b1) Retrao do beto;
b2) Fluncia do beto;
b3) Relaxao das armaduras de pr-esforo.
Assim, pode notar-se que as tenses instaladas nas armaduras
de pr-esforo variam ao longo do eixo longitudinal da
estrutura e ao longo do tempo, ou seja, o valr do pr-esforo
uma funo da distncia x entre a extremidade de aplicao
do pr-esforo e a seco em estudo e do tempo: ( )txfP ,= .
Na anlise de estruturas pr-esforadas, destacam-se trs
valres de pr-esforo distintos:
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 3
a) Pr-esforo na origem ( )xP '0 a maxima fora exercida no cabo pelo dispositivo de aplicao
de pr-esforo e que corresponde a uma tenso mxima nas
armaduras ( )xP '0 que limitada aos seguintes valores (Art. 36
REBAP): ( )
kp
pukP f
fx
1,085,075,0
'0
b) Pr-esforo inicial ( )xP0 a fora actaunte no cabo de pr-esforo depois de
decorrerem as perdas iniciais totais e que corresponde a uma
tenso nas armaduras ( )xP0
c) Pr-esforo final ( )xP ou Simplesmente ( )xP a fora actuante no cabo de pr-esforo depois de
decorrerem a totalidade das perdas iniciais e diferidas e que
corresponde a uma tenso nas armaduras ( )xP ou ( )xP .
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 4
2. QUANTIFICAO DAS PERDAS DE TENSO
2.1 PERDAS DE TENSO INSTANNEAS / INICIAIS
a) ATRITO ENTRE A ARMADURA E A BAINHA
Ao puxarmos o cabo de pr-esforo mobilizam-se
deslocamentos relativos entre o cabo e a bainha (ou o beto
que envolve o cabo).
Destes deslocamentos e do contacto sob presso entre o cabo
e a bainha resultam tenses tangenciais que se designam
foras de atrito.
( )xq.
( )xq
Figura - 1: Foras de Atrito nos Sistemas de Pr-esforo
'oP ( ) ( )xfoo ePxP *'=
A aco da fora de atrito sobre o cabo de pr-esforo gera a
variao do valor de pr-esforo. Neste caso a variao do valor
de pr-esforo designa-se perda de pr-esforo devido ao atrito
ao longo das armaduras.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 5
As perdas devido ao atrito ao longo das armaduras, geralmente
ocorrem apenas em elementos de beto ps-tensionados. O
equilibrio entre o sistema de foras apresentado resulta da
relao ( ) ( )xfePxP = .'00 . A perda de pr-esforo devido ao atrito ser ento:
( ) ( ) ( )( )xfxffr ePePPxP == 1. ''' 000,0 , Portanto, as perdas de tenso totais devido ao atrito ao longo
das armaduras so definidas pela relao seguinte:
( ) ( )[ ]{ }kxxfr ePxP += 1'0,0 Nos casos em que ( )[ ] 2,0
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 6
- Cabos em feixe, em bainhas metlicas 30,0= ;
- Cordes isolados, em bainhas metlicas 25,0= .
LEONHARDT
- Sistemas Freyssinet e VSL 30,025,0 a= ;
- Sistemas Leonhardt 15,0= .
ACI
- Cabos ou cordes em bainhas flexveis 25,015,0 a= .
CEB-FIP
- Cabos ou cordes em bainhas metlicas
30,020,0 a= depedendo do esticamento do cabo.
DYWIDAG Bonded Multistrand Tendons
- Sistemas DYWIDAG 20,018,0 a= ;
O valor do coeficiente de atrito tambm influenciado pela
oxidao do cabo ou bainha, ondulao pronunciada da bainha
e penetrao da calda de cimento para o interior da bainha.
REDUO DAS PERDAS POR ATRITO
As perdas por atrito podem ser reduzidas a partir de:
Revestimento das bainhas com chumbo;
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 7
Pintura das bainhas com tinta anti-corrosiva;
Passagem de cabos de pr-esforo por leo;
Aplicao de pr-esforo pelas duas extremidades;
Manuteno das bainhas com as extremidades tapadas, em
local seco e arejado, e ao abrigo do sol e da chuva.
a2) ( )x o ngulo de desvio da seco em estudo em relao seco de aplicao de pr-esforo (soma das
variaes de ngulo de ponto de inflexo a ponto de inflexo).
x
1 23
L
x
( ) 2== Lx
( ) 321 ++== Lx
L L
Figura - 2: ngulo de Desvio da Tangncia
a3) ( )k o Desvio Angular Parasita As ondulaes parasitas (devido as imperfeies no
posicionamento dos cabos) acrescem o atrito entre o cabo e a
bainha.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 8
Os efeitos de perda de tenso devido s ondulaes parasitas
so representados por um ngulo equivalente designado desvio
angular parasita ( )k . O desvio angular parasita depende de diversos factores
construtivos:
Rigidez das bainhas;
Distncia entre os pontos de suspenso da bainha;
Cuidados observados durante a betonagem.
x
Traado desejado
Traado real
Figura - 3: Desvio Angular Parasita
Os factores que influenciam o parmetro k , tambm influenciam o parmetro .
O valor de k tambm deve ser definido experimentalmente. Porm, existem alguns valores aferidos pela esperincia prtica.
REBAP: 01,0=k
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 9
CEB-FIP: 003,0002,0 ak = .
Dimetro da bainha [mm] 30 40 50 60
k 0,015 0,01 0,008 0,006
b) DEFORMAO ELSTICA E INSTANNEA DO BETO -
CONTRAO DA ESTRUTURA
A aplicao do pr-esforo num elemento estrutural pressupe
a transferncia de uma forca de compresso para o elemento
em causa. A fora de compresso (que origina tenses de
compresso) induzida ao elemento origina uma deformao de
compresso.
Figura - 4: Deformao do Beto
L L
L
Pelo facto do cabo de pr-esforo (esticado) estar apoiado no
mesmo elemento, no cabo tambm verifica-se a mesma
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 10
deformao de compresso ( )L2 , o que origina a reduo do grau de esticamento do cabo, ou seja, a reduo da tenso no
cabo de pr-esforo.
Esta reduo de tenso designa-se perda de tenso devido a
deformao do beto.
Elementos pr-tensionados
( ) ( )xEE
x cjc
PePo
,
,= ,
Onde:
PE o modulo de elasticidade da armadura de pr-esforo;
jcE , o modulo de elasticidade do beto no dia j ; j o dia de aplicao do pr-esforo;
( )xc a tenso de compresso no beto ( ) , na seco x , calculada ao nvel do centro de gravidade da armadura de pr-
esforo, resultante do pr-esforo e das outras aces
permanentes.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 11
Elementos ps-tensionados
Nos elementos ps-tensionados com dois ou mais cabos, o pr-
esforo aplicado sucessivamente em cada um dos cabos,
fazendo com que na aplicao do pr-esforo no cabo 3, a
respectiva deformao origine perda de tenso nos cabos 2 e 1.
( ) ( )xEE
n
nx c
jc
PePo
,
,
121
= , onde:
n o nmero de cabos de pr-esforo.
c) ESCORREGAMENTO DOS CORDES NOS DISPOSITIVOS
DE AMARRAO
A reduo do esticamento do cabo de pr-esforo tambm
acontece devido ao escorregamento dos cordes ou fios nos
dispositivos de amarrao (cunhas) ou das cunhas nas placas
de ancoragem quando a fora instalada no macaco
transmitida para o orgo de ancoragem (atrvs das cunhas).
Neste caso a variao de tenso no cabo de pr-esforo
designada perda de pr-esforo nos dispositivos de amarrao.
A amplitude de escorregamento varia depedendo,
fundamentalmente, do tipo de sistema de pr-esforo aplicado.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 12
Os documentos tcnicos de cada sistema de pr-esforo
definem a amplitude de escorregamento dos cabos previsveis.
SISTEMA FREYSSINET
Tipo de cabo Valor de pr-esforo
[toneladas]
Penetrao das
cunhas s [mm]
mm512 27 4
mm712 52 7
mm812 68 8
"216 75 12
"2112 150 12
QUANTIFICAO DE PERDAS NOS DISPOSITIVOS DE
AMARRAO
O movimento de reentrada dos cabos origina tenses e foras
de atrito da mesma natureza, porm de sinal contrario que as
tenses de foras de atrito associadas as perdas por atrito.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 13
Figura - 5: Perdas por Reentrada das Cunhas
2
a
0P3
( )LxP =0
x
L
'0P
a: o comprimento ao longo do qual a perda se faz sentir.
A rea 23..'0 P equivale a PEs. .
( ) ( )xapx PPo = ...2'0
; ( )
+= k
x
xp ; pEs
aP
P
.
.
'0
=
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 14
2.2 PERDAS DE TENSO DIFERIDAS
RETRACO E FLUNCIA DO BETO E RELAXAO DAS
ARMADURAS DE PR-ESFORO
Com o decorrer do tempo, devido quer aos efeitos naturais da
envolvente estrutural (humidade, isolao, ventilao, ...), a
qualidade do beto (tipo de cimento, granulometria dos inertes,
quantidade de gua, ...), como aos estados permanentes de
tenso no beto e nas armaduras de pr-esforo, verifica-se o
encurtamento do beto (por retraco), acrscimo da
deformabilidade do beto (por fluncia) e o decrscimo da
tenso nas armaduras de pr-esforo sob alongamento
constante (por relaxao).
Estes comportamentos tambm originam a reduo do
esticamento do cabo de pr-esforo e, consequentimente, a
ocorrncia de perdas de tenso de pr-esforo.
As perdas dai resultantes denominam-se perdas deferidas
resultantes da retraco e fluncia do beto, e da relaxao das
armaduras.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 15
A) RETRACO DO BETO
a contraco do beto ao longo do tempo devido a variao
de humidade (encurtamento do beto)
O encurtamento do beto depende de:
Envolvente estrutural (clima);
Tipo de cimento que constitui a pea estrutural;
Dosagem de cimento no beto;
Dosagem e granulometria dos outros materiais (arreia e
agregado grosso);
Quantidade e distribuio de armaduras ordinrias;
Interaco entre os diferentes constituentes.
Devido, fundamentalmente, complexidade das leis de
variao da humidade e dos mecanismos de interao entre os
materiais constituintes do beto, a quantificao da amplitude
das deformaes por retraco do beto so efectuadas com
base em leis empricas experimentadas e aferidas ao longo do
tempo.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 16
QUANTIFICAO DAS PERDAS DE TENSO DEVIDO A
RECTRACO
( ) ( )0, ,. ttEx cspSpt = , onde: pE o mdulo de elasticidade das armaduras de pr-esforo;
cs o encurtamento do beto devido a retraco, ao nvel do
centro de gravidade das armaduras de pr-esforo.
Para a quantificao do encurtamento do beto devido
retraco, so usados preceitos estabelecidos no REBAP (Anexo
- I).
Considera-se u
Ah ce2
= ; onde:
eh a espessura equivalente da seco transversal;
cA a rea da seco transversal;
u a parte do permetro da seco em contacto com o
ambiente;
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 17
Figura - 6: Quantificao da Retrao do Beto
1cs...=HR
1t
...=eh
cs
idade, t (dias)
b) FLUNCIA DO BETO
Depedendo das condies tcnicas e higromtricas na
envolvente estrutural (parmetros da temperatura e da
humidade) ocorrem diferentes modificaes na estrutura
interna do beto, determinados por processos fsicos e qumicos
complexos.
Um dos efeitos mais preponderantes destas modificaes
internas a deformao crescente do beto sob tenso
constante (fluncia) associada diminuio da elasticidade do
beto.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 18
As leis que definem a evoluo da fluncia tambm se revelam
muito complexas, sendo, por isso, analisadas a partir de leis
empricas aferidas pela experincia ao longo do tempo.
QUANTIFICAO DAS PERDAS DE TENSO DEVIDO A
FLUNCIA
( ) ( ) ( ) pocc
toccpt EtttE
xx .,
,
, = , onde:
( )xtoc, a tenso no beto ao nvel da armadura de pr-esforo, devido ao pr-esforo e s aces com carcter de
permanncia;
cE o mdulo de elasticidade do beto;
( )oc tt, o coefeciente de fluncia para a idade t ; pE o mdulo de elasticidade da armadura de pr-esforo;
Para a quantificao do encurtamento do beto devido
fluncia, so usados preceitos estabelecidos no REBAP (Anexo -
I).
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 19
Figura - 7: Quantificao da Fluncia do Beto
2,2 %75=HR
28
mhe 23,0=
c
idade de carregamentoto (dias)
c) RELAXAO DAS ARMADURAS DE PR-ESFORO
a diminuio da tenso na armadura de pr-esforo no
tempo, sob deformao constante.
O ao de pr-esforo, como outros materiais elsticos, quando
sujeito a uma deformao constante ao longo do tempo,
experimenta rearranjos na estrutura cristalina (mutaes na
estrutura molecular) que origina o decrscimo do estado de
tenso respectivo.
Porm, sabe-se que o rearranjo cristalino depende da
amplitude da tenso sujeita ao ao, sendo tanto menor quanto
menor for a tenso instalada.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 20
QUANTIFICAO DE PERDAS DE TENSO POR RELAXAO DA
ARMADURA
Para a quantificao simplificada da perda por relaxao parte-
se do princnpio que uma tenso inicial de pukf5,0 no origina perdas por relaxao.
Para um nivel de tenso pukpo f7,0= adoptam-se os seguintes valores experimentais:
Ao de relaxao normal: porp .15,0, = ;
Ao de baixa relaxao: porp .06,0, = ;
Ao de muito baixa relaxao: porp .03,0, = .
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 21
Figura - 8: Ao de Relaxao Normal
po15,0
pukf7,0
pr
pukf5,0
po06,0
pukf7,0
pr
pukf5,0
Figura - 9: Ao de Baixa Relaxao
po03,0
pukf7,0
pr
pukf5,0
Figura - 10: Ao de Muito baixa Relaxao
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 22
Estes valores so obtidos experimentalmente para um tempo
horast 1000= .
Depedendo do nvel de tenso permanente instalado no cabo
de pr-esforo e do tipo de ao pode-se interpolar nos grficos
das figuras 8, 9 e 10.
INTERAO ENTRE AS PERDAS DIFERIDAS POR RETRAO E
FLUNCIA DO BETO E A RELAXAO DAS ARMADURAS
Pelo facto de as perdas por retraco, fluncia e relaxao
ocorrem ao longo do tempo, cada uma delas afecta a outra,
obrigando a que a sua considerao e anlise seja efectuada
conjuntamente.
Ao ocorrer o encurtamento por retraco (perda de tenso
devido retrao) verifica-se a reduo da amplitude do pr-
esforo e, consequentimente, como as perdas devido a fluncia
dependem da amplitude das tenses de compresso
mobilizadas, elas ficam afectadas pela ocorrncia daquela
perda.
O mesmo se pode dizer para as perdas por relaxao: as
perdas devido a retrao e fluncia do beto originam a
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 23
reduo do esticamento da cabo e, consequentimente, a
reduo do alongamento que se pressuponha constante para a
ocorrncia da relaxao. Portanto, estas perdas tambm
estaro afectadas.
INTERACO ENTRE AS PERDAS
A analogia apresentada pode ser efectuada sob diferentes
pontos de vista. Contudo, sempre levando concluso da
legitimidade da sua considerao, anlise e quantificao
conjunta, como por exemplo se refere no artigo 42 do REBAP.
Este pensamento aconselha que, para ter em conta as perdas
por retraco, fluncia e relaxao no clculo das perdas por
relaxao se considere uma tenso inicial dada por:
( ) ( ) ( )xxx rcsptgpo +++ = ,.3,0 , Onde:
( )xgpo+ a tenso na armadura de pr-esforo devido ao pr-esforo inicial e s aces permanentes;
( )xrcspt ++ , o valor total das perdas diferidas, adoptado por aproximao como sendo igual a (10 15)% da tenso inicial.
Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 24
EXPRESSO DO REBAP PARA A QUANTIFICAO CONJUNTA
DAS PERDAS DIFERIDAS
( ) = ++ xrcspt , ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( )( )
( )
+
++=
2,11
,,
,
,,,,
oc
po
poc
rttppocgcocpocs
tt
x
x
xxxttEtto
onde:
( ) ( )xx pocgc ,, ; so as tenses no beto na seco x, calculadas ao nvel do centro de gravidade das armaduras de
pr-esforo, devidas s aces permanentes (com a excluso
do pr-esforo) e ao pr-esforo inicial (sinal negativo para a
compresso);
( )xpo a tenso nas armaduras de pr-esforo, na seco x, devida ao pr-esforo inicial;
( )xrttp o ,, a perda de tenso nas armaduras de pr-esforo na seco x, devida relaxao entre ot e t , calculada para
uma tenso inicial dada por:
( ) ( ) ( )xxx rcsptgpop +++ = ,, .3,0 .