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1 - INTRODUÇÃO
Os problemas de interação fluido estrutura são importantes em vários sistemas físicos,
Exemplos destes sistemas são: os componentes de um transbordador espacial,
navios, tanques de combustível, reatores nucleares e químicos, estruturas offshore,
barragens, reservatórios de agua, sistemas de tubulações.
Observa-se uma vasta aplicação nas áreas da engenharia civil, aeroespacial, nuclear,
naval e petroquímica, A Figura 1-1 mostra alguns exemplos de problemas de interação
fluido-estrutura. Nestes casos o fluido tem um papel muito importante na resposta
dinâmica das estruturas. Estes estudos estão também sendo atualmente muito aplicados
em áreas médicas. Analise de fluxo sanguíneo em veias e artérias.
Na engenharia, torna-se necessário o estudo dos efeitos da interação entre estruturas e
fluidos, a fim de se conhecer o real comportamento desses sistemas.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 1-1- Exemplos de interação fluido em estruturas cilíndricas
(a) Estrutura transbordador aeroespacial, (b) Estruturas offshore, (c) Reservatório de
água, (d) Núcleo reator.
Uso sofisticado de cascas também estão empregados em mísseis, veículos espaciais,
submarinos, reatores nucleares, equipes de refinaria, entre outros.
Na Figura 1-2 apresenta um modelo numérico de interação fluido estrutura em casca
cilíndrica, caso e estudo
Estrutura desacoplada
Cavidade Acústica desacoplada
Cavidade - Estrutura acoplada
Figura 1-2: Modelo numerico IFE (ANSYS V.11)
A grande vantagem da casca cilíndrica, além da facilidade de fabricação, é sua
capacidade de resistir carregamentos através de esforços de membrana, o que permite a
construção de estruturas bastante leves e esbeltas. Esforços de flexão, quando presentes,
estão em geral restritos a pequenas regiões, como, por exemplo, os apoios. Apesar de ter
uma forma geométrica simples, a casca cilíndrica pode apresentar um complexo
comportamento quando submetida a solicitações externas, em virtude da sua não
linearidade geométrica e sensibilidade às imperfeições.
Cilindros de paredes finas aparecem como elementos de transporte de cargas
praticamente em todos os equipamentos industriais modernos, sendo usualmente
empregados para suportar cargas axiais e de pressão lateral.
Estrutura Casca cilíndrica (desacoplada)
Cavidade acústica (Desacoplada)
Estrutura casca-cavidade (sistema acoplado)
Além disso, este campo de conhecimento fornece uma grande contribuição para a
análise de estruturas hidráulicas ou hidrotécnica.
2 - JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA
Componentes de centrais nucleares, reservatórios de líquidos, containers de
armazenamento, vasos sob pressão, circuitos tubulares, são caracterizadas por ser cascas
cilíndricas submetidas a solicitações de natureza dinâmica.
Muitas solicitações dinâmicas podem provocar esforços ou deformações que excedem
os limites toleráveis de resistência, e do bom funcionamento destas estruturas, levando-
as à deterioração ou mesmo ao colapso. Por tanto, o estudo do seu comportamento
dinâmico é de capital interesse e importância, para o cumprimento das normas de
funcionamento e a integridade destes componentes estruturais, e condição essencial para
uma avaliação correta das consequências de um acidente.
Essas solicitações dinâmicas sobre o elemento tipo casca são consequência da interação
fluido-estrutura. Além disso a casca cilíndrica circular é uma das mais aplicadas nas
várias áreas da engenharia, sendo frequente a utilização em depósitos (silos e
reservatórios), túneis de vento, indústria naval, aeroespacial, submarina, bem como a
aplicação em estruturas hidráulicas, hidrotécnica, etc.
Sendo importante a análise da interação fluido-estrutura para cascas cilíndricas
circulares retas, este trabalho espera aportar com soluções numéricas a possíveis
problemas estruturais nesta área.
3 - CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA
Neste pré-projeto, o problema de interação fluido-estrutura (IFE) está diretamente
ligado ao comportamento mecânico de estruturas tipo cascas cilíndricas.
Quando estas cascas estão submetidas às solicitações dinâmicas geradas pela ação de
fluidos acontecem deformações, chegando a passar os limites de resistência do
material, induzindo a um possível colapso da estrutura.
4 - OBJETIVOS
4.1 - Objetivos Gerais
Este trabalho pretende desenvolver um estudo teórico-analítico-numérico do
acoplamento clássico acústico-mecânico, através da formulação potencial (U--P0),
apresentada por Oslon & Bathe (1985) para estruturas tipo cascas cilíndricas (elemento
Shell).
Serão também repertoriados trabalhos realizados nesta área por outros autores. Estes
servirão de suporte no desenvolvimento da tese. Serão apresentados, também, os
aspectos teóricos relacionados com problema e desenvolvimento de algoritmos para
a análise dos casos utilizando o método de elementos finitos na discretização do
fluido e da estrutura.
4.2 - Objetivos Específicos
Destacam-se os seguintes objetivos específicos:
Estudar o fenômeno da interação fluido estrutura em cascas cilíndricas.
Realizar um programa para a resolução de modelos utilizando o método dos elementos
finitos.
Desenvolver estudos e análises de simulações utilizando o programa realizado na
tentativa de reproduzir e compreender os mecanismos de fenômenos envolvidos no
problema;
Analisar e identificar os modos de vibração de sistemas acoplados fluido-estrutura em
casca cilíndrica.
Validar os sub-programas implementados com o apoio de formulações analíticas
desenvolvidas e também com código(s) comercial(ais) (ANSYS, MATLAB, C++ e
outros);
Utilizar outros métodos numéricos como diferenças finitas, volumes finitos, método
sem malha (NEM- Meshless Numerical Method) e elemento de contorno nos problemas
de interação fluido-estrutura, comparando com o método dos elementos finitos,
mostrando suas vantagens e desvantagens, e/ou abordando aspectos que poderiam ser
mais favoráveis num outro caso.
5 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Esses problemas acoplados têm sido resolvidos por uma variedade de técnicas
numéricas que diferem entre si, principalmente na maneira como o fluido é modelado.
O método dos elementos finitos (MEF) tem se destacado nas últimas décadas, como
sendo uma poderosa ferramenta de análise, pois se caracteriza por ser versátil e de boa
precisão, Everstine (1995).
A estrutura pode ser usualmente modelada pelo método dos elementos finitos, que
inclui desde sólidos, vigas, placas, até mesmo elementos mais complexos como cascas,
estudado por Paula (2003). O fluido também pode ser modelado pelo método dos
elementos finitos ou de contorno (MEC): Rajakumar & Ali (1996). A combinação entre
as diversas técnicas numéricas foi utilizada por Júnior (2004) que aplicou o MEF-MEC
para o problema acoplado.
As soluções analíticas inspiraram alguns trabalhos importantes como Lamb (1945),
Blevins (1979,1990), entre outros. Seus textos consistem de equações que governam o
fenômeno, bem como apresentam as deformadas modais para diversas condições de
contorno. Hong & Kim (1995,1995) propuseram o estudo de uma formulação analítica
para análise de vibrações livres para o problema acústico–estrutural acoplado em uma
dimensão, duas e três dimensões.
Existem duas formulações clássicas que abordam o problema fluido-estrutura, as
Lagrangeanas e Eulerianas. A formulação U-P pode ser classificada dentro de um grupo
de formulações acústicas chamadas Eulerianas. Zienkiewicz & Newton (1969) foi um
dos primeiros trabalhos a aplicar essa abordagem e utilizava a pressão p como variável
nodal para o fluido e os deslocamentos u para a estrutura, então sendo chamada de U-P.
Outros pesquisadores Daniel (1980,1980) e Müller (1981) usaram uma formulação
similar. Porém, pela dificuldade numérica devido aos sistemas serem não simétricos
Everstine (1981) optou pelo potencial de velocidade como uma variável escalar para o
problema acústico (formulação U-).
Vale ressaltar que o programa ANSYS, baseia-se em outra formulação acústica (U-P),
todavia fornece bons resultados, quanto comparados com a solução analítica e também
com outra formulação acústica, o que pode ser comprovado no trabalho de Souza
(2007).
Porém, esse método impossibilitava a solução de problemas estáticos. Logo, Olson &
Bathe (1985) ampliou essa formulação, acrescentado termos relacionados à pressão
estática P0, assim chegando à formulação potencial simétrica (U--P0). Outros
pesquisadores utilizaram dela em seus trabalhos como: Galli & Pavanelo (1993,1994),
Casas & Pavanello (1996), Pedroso (1996), Barbosa & Pedroso (1997), Wang (1998),
Barbosa (1998), Barbosa, Souza & Pedroso (2006) e Souza (2007).
6 - METODOLOGIA
O estudo seguirá as seguintes etapas:
Cursar disciplinas que irão servir de base para o desenvolvimento da
tese.
Revisão da Literatura: Busca, estudo e sistematização de material
bibliográfico disperso na literatura
Realizar estudos teóricos diretamente aplicados na resolução dos
problemas que serão abordados;
Estudo de Formulações e Modelos: analíticos e numéricos.
Elaboração de Algoritmos e Programação de modelos.
Utilização de programas comerciais específicos de engenharia como
ANSYS na validação de Rotinas (subprogramas) e Simulações Computacionais.
Estudos de caso, visando à aplicação dos conhecimentos gerados no
entendimento e solução de casos reais na prática em engenharia.
7 - FORMULAÇÃO VARIACIONAL DO PROBLEMA ACOPLADO
As formulações de interação fluido-estrutura se caracterizam pelo acoplamento entre as
variáveis da estrutura e do fluido. Para a formulação baseada na velocidade potencial, a
estrutura é representada pelo campo de deslocamento (u), enquanto que a incógnita do
fluido está associada ao potencial de velocidades . Olson & Bathe (1985) introduziu a
variável relacionada com a pressão estática P0, chegando-se à formulação (U--P0),
caracteriza-se que o fluido apresenta como incógnitas o potencial de velocidades e
pressão estática P0.
A abordagem de acoplamento permite descrever o comportamento do sistema de
maneira integrado. A Figura 7-1 ilustra bem o acoplamento fluido-estrutura discretizada
por elementos finitos, onde os domínios do sólido e fluido são dados respectivamente
pelas regiões S e F, enquanto a superfície I define a interface.
Fluido
,U
U
P
Interface
F
SólidoS
I
Figura 7-1- Domínio do problema fluido-estrutura
O problema no domínio estrutura está submetido a algumas hipóteses iniciais
comportamento elástico linear, material isotrópico e homogêneo, com módulo de
elasticidade constante e que sofre pequenos deslocamentos se comparados com as
dimensões da estrutura. Para o sólido a análise variacional do problema dinâmico
apresentada por Bathe (1982) e é dada por:
dtdIfudSuudSC IITT
s
T
2
1
2
1
(1)
Onde:
Cs = a matriz de tensão-deformação do material.
s = densidade do sólido; u = vetor de deslocamento.
f I = vetor de forças na interface.
Considerando-se a variação do funcional da equação (1) em relação ao tempo igual a
zero, chega-se à expressão correspondente ao princípio dos trabalhos virtuais para o
sólido.
dIfudSuudSC IITT
s
T
(2)
Para o caso do fluido compressível, invíscido e que sofre pequenos deslocamentos o
funcional do problema acústico é dado por:
dtdIuPdFdFP N
I
fFf
0
2
02
11
2
1 (3)
Onde:
f = densidade do fluido
= potencial de velocidade do fluido
uN = deslocamento imposto externamente e normal ao contorno do fluido e positivo na
direção do fluido.
= rigidez volumétrica (Bulk Modulus)
Nota-se que a pressão em um ponto do fluido é a soma da pressão hidrostática P0 com a
pressão dinâmica relacionada com a velocidade potencial )( f
. Aplica-se o princípio
dos trabalhos virtuais impondo o funcional estacionário em relação à e P0. Chega-se a:
dIudIuP
dFdFdFPdFPdFPP
N
I
FN
F
FFF
0
2
0000 .1
(4)
Obtidas as expressões dos dois meios e considerando-se que os domínios apresentam a
mesma interface I, desenvolve-se a equação que possibilite o acoplamento entre esses
meios. A expressão final de acoplamento para o sólido é dada por:
dInudInPudIfudSuudSC IIT
F
ITEITT
s
T
0
(5)
Como os deslocamentos do fluido devem corresponder aos deslocamentos dos
elementos sólido na interface. Obtém-se a expressão final de acoplamento para o fluido:
dIundIunP
dFdFdFPdFPdFPP
ITI
F
IT
F
FFF
0
2
0000
1
.1
(6)
Aplica-se uma a discretização clássica das expressões de trabalhos virtuais (5) e (6) por
elementos finitos padrão e chega-se à formulação de acoplamento na forma matricial:
0
0
0
00
0
00
0
00
000
00
00
000
s
PPPS
FF
T
PSSS
PF
T
PFFS
T
FS
FF
SS R
P
U
KK
K
KK
P
U
C
CC
C
P
U
M
M
(7)
Onde:
MSS e MFF = matrizes de massa da estrutura e fluido respectivamente;
KSS e KFF = matrizes de rigidez da estrutura e fluido respectivamente;
CFS =matriz de acoplamento fluido-estrutura;
CPF, KPS = matrizes adicionais de acoplamento com a pressão estática.
KPP = matriz de rigidez associada à pressão estática.
A análise modal torna possível a obtenção das freqüências fundamentais de vibração do
sistema físico e suas respectivas formas modais. Para a análise do domínio da
freqüência considera-se que as partículas do sistema acoplado executam um movimento
harmônico em torno de uma posição de equilíbrio. Aplicando essa hipótese em (7) tem-
se que:
0
0
0
000
00
00
00
0
00
0
00
0
0
2
00 P
U
M
M
P
U
C
CC
C
P
U
KK
K
KK
FF
SS
PF
T
FSFS
T
FS
PPPS
FF
T
PSSS
.
(8)
Ou ainda:
0'2'' XMXCXK (9)
Apesar do problema de autovalor e autovetor da equação (8) ser quadrático, as matrizes
do sistema (K’, C’ e M’) são simétricas, como mostra a equação (9). A resolução torna-
se menos complicada se comparada com problemas assimétricos, através de uma
operação matricial simples como sugerida por Barbosa (1998). Assim, a formulação U-
-P0 permite a utilização de algoritmos clássicos de solução de problemas autovalores e
autovetores, pois as matrizes do problema acoplado são simétricas. Uma proposta para a
solução do problema de autovalores quadráticos é apresentada em Olson & Bathe
(1985) e Barbosa (1998).
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