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PLANO DA AULA
1. Análise de Escala das Eq. Transporte. e seus
grupos Adimensionais
2. Classificação das Equações Diferenciais
Parciais de 2a ordem
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Parte I
Análise de Escala das Eq. Transporte. e
seus grupos Adimensionais
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Preliminares
• Em engenharia não se diz se uma grandeza é ‘grande’
ou ‘pequena’ sem estabelecer uma comparação com
uma grandeza de referência.
• É a comparação com um padrão que estabelece a
grandeza de uma propriedade.
• Este conceito também pode ser levado ao estudo da
relevância de cada termo da Eq Transporte.
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Preliminares
• A importância de um termo da EDP em detrimento de
outro é estabelecida pela análise de escala do
fenômeno.
• É por meio da análise de escala que são estabelecidos
os grupos adimensionais.
• Ela é a ferramenta de análise que permite obter a
maior quantidade de informação pela menor ‘unidade’
de esforço intelectual e de cálculo!
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Análise de Escala
• A análise de escala não resolve a EDP, sua finalidade é
estimar a ordem de magnitude de cada termo e se for o
caso, simplificá-la ou não.
• Ela será introduzida por meio de um simples exemplo na
área de condução térmica.
• Uma placa de espessura D está
inicialmente a temperatura T0.
• Em t > 0 a temp de sua superfície
passa a ser T = T0+T.
• Estime o tempo necessário p/ que
a frente térmica atinja o centro da
placa, i.e., quando o x = 0 ‘sente’ o
fluxo de calor.
• Considera-se resistência externa
<< resistência interna ou Bi << 1
onde Bi = h(D/2)/k (no. Biot)
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• Dada a simetria vamos focar o problema na metade da
espessura, D/2, e utilizar a eq Energia para condução
pura 1D:
• O lado esquerdo e direito expressam um balanço entre
o fluxo de calor e a energia acumulada. Vamos estimar
a ordem de magnitude de cada termo:
• Como a EDP só possui 2 termos, ambos devem
possuir a mesma ordem de magnitude, logo o tempo é
estimado igualando os dois termos
2
2
Px
Tk
t
TC
2P
P2D
Tk
x
T
xk e
t
TC
t
TC
p
2
C
k onde
2Dt
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Algumas Regras Análise Escala
1. Sempre defina a extensão espacial da região onde
será realizada a análise, defina uma dimensão
característica! As vezes a extensão não é
conhecida, p. ex.: espessura da camada limite.
Neste caso ela será a variável a ser determinada,
denomine-a por d.
2. Se a EDP tiver somente dois termos, eles deverão
ter a mesma ordem de magnitude.
3. Se a EDP tiver mais de 2 termos nem sempre todos
eles são dominantes ou representativos, neste caso
retenha na EDP somente os significativos.
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Algumas Regras Análise Escala: notação
Símbolos:
~ é da mesma ordem de magnitude de...
O(a) ordem de magnitude da grandeza ‘a’.
Simples Regras:
c = a + b se O(a) > O(b) então O(c)~O(a)
c = a + b se O(a) ~ O(b) então O(c)~O(a) ou O(b)
c = a . b então O(c)~O(a).O(b)
c = a / b então O(c)~O(a)/O(b)
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Equação da Massa
• O emprego da análise de escala na Eq Massa
revela quando podemos considerá-la como
incompressível, mesmo trabalhando com gases.
• A equação da massa pode ser expressa na forma
do divergente de velocidades:
Dt
D1V
• O lado esquerdo deve ser igual ao lado direito,
portanto ambos os termos possuem a mesma ordem
de magnitude!
• Note que para fluidos incompressíveis (líquidos) ela
reduz para .V =0, mas para gases e vapores, .V
pode ser diferente de zero, isto é .V 0.
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Equação da Massa (fluido compressível)
• A variação da pressão com a
densidade define a velocidade de
propagação do som:
L
VMa
L
V
c
V
Dt
DP
c
11
Dt
D1V 020
20
2~
• .V é da ordem de grandeza de Ma2. Para Ma → 0 então
.V→ 0. Tipicamente escoamentos com Ma < 0.3 são
tratados como incompressíveis
2
ScP
1. a escala da velocidade, →
2. do comprimento →
3. da pressão (inercial) →
4. do tempo (inercial) →
0VV ~
LX ~
VP-P 200 ~
0VLt ~
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Eq Navier Stokes
• A Eq. NS é uma expressão da 2a Lei de Newton: a variação Q.
Mov é igual a soma das forças externas.
• O balanço das forças é estabelecido por quatro parcelas:
Inércia, Pressão, Tensão e Força de Campo.
CAMPOFORÇA
i
VISCOSA TENSÃO
i
j
j
i
j
PRESSÃO
FONTE
i
CONVEC. & TRANS. INÉRCIA
j
ij
i gV3
2
x
V
x
V
xx
P
x
VV
t
V
• Esta forma geral aplica-se para um escoamento 3D
compressível de um fluido Newtoniano com propriedades
variáveis (não está incluso o tensor turbulento).
• Dependendo do fenômeno a ser modelado a importância
relativa de cada termo no balanço pode mudar...
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Tensão Viscosa
• A tensão viscosa é composta por dois termos: um devido ao
tensor deformação e outro devido dilatação volumétrica.
• Se deseja saber em quais condições cada parcela é relevante:
20
i
j
j
i
200
i
j
j
i
Ma1OL
VV
3
2
x
V
x
V
ou MaL
VO
L
VOV
3
2
x
V
x
V
~
~
• Para escoamentos subsônicos com Ma → 0, o termo de
compressibilidade fica muito pequeno em relação a unidade e o
tensor de tensão pode ser aproximado por :
i
j
j
i
x
V
x
V
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Termo Inercial:
Fenômenos Periódicos & n. Strouhal, Sr
• O termo inercial possui 2 parcelas: transiente e
convectiva.
• Fenômenos transientes: periódicos ou de partida até
atingir regime permanente. Consideremos fenômenos
periódicos com velocidade angular característica w2f.
• Uma comparação da ordem de magnitude entre os
termos transiente e convectivo pode ser estabelecida:
2
i i 0j 0
j
2 2
0 0
0
V V V V ~ O V O ou
t x L
V L V ~ O 1 O Sr 1
L V L
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Número de Strouhal (Sr = wL/V0)
• St expressa a razão entre as escalas de tempo
periódica e convectiva (se preferir a razão entre as
acelerações periódica e convectiva)
0
200
u t VAcel. Periódica LSr
Acel. Convectiva u u x VV L
i i ij j
j j
i i ij
j
V V VV V se Sr 0
t x x
V V VV e Sr 1
t x t
• O adimensional Strouhal (Sr) expressa a importância
relativa do termo periódico no termo Inercial:
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Eq Navier Stokes, Ma→0 & Sr<<1
• Traduzindo: Eq NS para um fluido incompressível sem
efeitos periódicos
ii
j
j
i
jij
ij g
x
V
x
V
xx
P
x
VV
• Por meio das escalas, V0, L, V02 chega-se às
variáveis adimensionais V*, X*, P* e t*
1. velocidade, →
2. comprimento →
3. pressão (inercial) →
4. tempo (inercial) →
0VVV *
LXX ii*
VPPP 200 *
0VLtt *
• Note que as variáveis V*, X*, P* e t* possuem ordem de
magnitude unitária O(1) uma vez que a variável
dimensional e a sua escala são apropriadas.
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Eq NS Adimensional, Ma→0 & Sr→0
• Substituindo as variáveis dimensionais pelas
adimensionais e suas respectivas escalas
*2 2* **j* *0 0 0i i
j i* * 2 *
j i j j i
VV V VV VPV gg
L x L x L x x x
Comparando o termo convectivo com os demais:
onde ReL e Fr são, respectivamente, Reynolds e Froude:
* ** *i ij i* * * 2
j i L j j
V VP 1 1V g
x x Re x x Fr
2
20 0
L
V L VRe e Fr
gL
Esta representação vale para e constantes, do contrário teríamos que
definir *0 e *0 . permanece dentro do operador. Quando cte,
a ordem das derivadas pode ser trocada e utilizando a .V=0 podemos
simplificar os termos viscosos para V2.
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Os Grupos Re e Fr
• ReL expressa a razão entre as forças inerciais e forças
viscosas:
• Froude expressa a razão entre as forças de campo e
forças inerciais:
ReLV
LV
LV
V
dt/VD
Viscosa Força
Inércia Força 0
20
20
2
2 20 20
V L VForça Inércia DV / dtFr
Força Campo g gLg
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Re >> 1
Re ~ 1
Região onde predominam
efeitos viscosos
com presença de gradientes
de velocidade
oscosVis Termos
Inerciais TermosVLRe
Uext Uext
L
N. Reynolds e seu Efeito no Escoamento
filme Re alto e baixo
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Eq N-S na Forma Adimensional
=
Termo
Inercial
Força
Pressão
Termo
Viscoso
Força
Campo
Dt
*VD *p *2
L
VRe
1
*
2
L
1g
Fr
• A semelhança dinâmica entre as equações de transporte
é visualizada por meio da sua forma adimensional.
Escoamentos dinamicamente semelhantes são
governados por equações de Q.M. e condições de
contorno semelhantes!
• A importância ou dominância do termo viscoso ou
convectivo depende da ordem de magnitude de Re do
escoamento.
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Classificação do Escoamento
• O Parâmetro Re é a medida da importância relativa
entre os termos convectivos e viscosos.
• O primeiro introduz toda não linearidade nas Eq. NS
enquanto que o 2o é um termo difusivo e linear que
tende a suavizar gradientes.
• A porcentagem com que de cada um desses
mecanismos participa do balanço na Eq. NS muda
completamente o tipo de escoamento por isto
costuma-se classificar as Eq. NS em função da
ordem de magnitude de Re.
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Classificação do Escoamento
=
Termo
Inercial
Força
Pressão
Termo
Viscoso
Força
Campo
Dt
*VD *p *2
L
VRe
1
*
2
L
1g
Fr
Re << 1 escoamentos dominados pelas forças viscosas:
balanço entre Pressão e Termo Viscoso.
Re ~ 1 todos os termos são igualmente importantes
na Eq. NS.
Re >> 1 escoamentos dominados pelas forças
inerciais: balanço entre Inércia e Pressão no núcleo
do escoamento, perto das paredes existência de
Camada Limite.
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Influência de Re no Escoamento
• A medida que Re varia de zero a um número grande
o escoamento que era governado pelas termos
Viscosos, passa a ser dominado pelas termos
Inerciais.
• O efeito desta mudança pode ser percebida no
escoamento ao redor de um cilindro.
• A medida que o Re varia de 10-1 a 106 nota-se:
– variação no coeficiente de arrasto (quantitativo)
– Variação no campo do escoamento (qualitativo)
• Veja as imagens no próximo slide do efeito do Re no
escoamento ao redor do cilindro.
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Re=104
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Jatos com diferentes Re
veja filme
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Escoamentos com ReL << 1
‘Creeping Flows’ ou ‘Stokes Flow’
=
Termo
Inercial
Força
Pressão
Termo
Viscoso
Força
Campo
Dt
VDReL
* *p *V2*
2
L
1g
Fr
• São escoamentos ‘lentos’, Re << 1, o balanço de forças
se dá entre o termo de pressão e o viscoso.
• A escala característica para pressão não é a escala
inercial, V02 mas uma escala viscosa definida por:
p*=(p-p0)/(V0/L).
0
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Escoamentos com ReL << 1
‘Creeping Flows’ ou ‘Stokes Flow’
• A Eq N-S para ReL << 1 reduz para:
• Esta é uma Eq Elíptica, semelhante a Eq. Poisson, com comportamento LINEAR, sua principal característica!
• A pressão é a força motriz externa, sem ela não há escoamento.
• Note também que ela se aplica para escoamentos desenvolvidos em dutos de seção constante.
• Na figura arrasto cilindro corresponde a faixa de Re variando em 0.1 < ReL < 1.
Vp 2
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Escoamento com ReL ~ 1
• Se ReL tiver ordem unitária, todos os termos da Eq.
N-S são da mesma ordem de grandeza.
• Isto significa que nenhum deles pode ser desprezado
e o balanço de forças se dá entre os termos
convectivos, pressão e viscoso, i.e. , não há
simplificações ou exclusão de termos
• Na figura arrasto cilindro corresponde a faixa de Re
variando em 1 < ReL < 1000.
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Escoamentos com ReL >> 1
‘Euler & Camada Limite
=
Termo
Inercial
Força
Pressão
Termo
Viscoso
Força
Campo
Dt
*VD *p *2
L
VRe
1
*
2
L
1g
Fr
• Para ReL >> 1 a contribuição dos termos viscosos é
muito pequena. O balanço de forças se dá entre os
termos convectivos e pressão. Resulta na equação de
Euler:
0
ij
iji
x
P
x
VV
t
V
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Escoamentos com ReL >> 1
‘Euler & Camada Limite
• A Eq Euler é uma boa aproximação de escoamentos
que externos à camada limite ou também em ‘shear
layers’ (jatos e esteiras).
• No séc XVIII surgiu um paradoxo de D’Alenbert
relativo à eq. Euler : não se sabia pq Euler não previa
o arrasto numa esfera se ele descrevia corretamente
suas linhas de corrente!
• Prandtl, no começo do séc XX comoçou a responder
este paradoxo. Ele iniciou estudos de escoamento
próximo à parede e observou a existência de uma
‘Camada Limite’.
• Uma ‘pequena região’ onde os efeitos viscosos,
originalmente negligenciados, são importantes e
resultam na esperada força de arrasto!
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Escoamentos com ReL >> 1
‘Camada Limite & Euler’ Região onde os
efeitos viscosos são
desprezíveis, a Eq.
Euler é válida, fora
da Camada Limite
Região onde os efeitos
viscosos não são
desprezíveis, a Eq.
Euler não é válida,
dentro da Camada
Limite
L
d
Filme C.L. placa plana
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Características da Camada Limite
• Região Externa: os efeitos viscosos são desprezíveis,
escoamento pode ser modelado por Euler ou Potencial.
• Região Interna: os efeitos viscosos e os de inércia são
igualmente importantes. Há atrito na parede. Bernoulli
não pode se usado.
• y = d(x) há um ‘casamento’ entre a região externa e a
interna. Ambas soluções devem coincidir para y = d(x)
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Camada Limite
• A camada limite hidrodinâmica é uma pequena região
próxima a parede ou ‘shear layer’ onde existe um forte
gradiente de velocidades.
• É nesta região que faz a ‘ponte’ entre a parede e o
escoamento externo, Euler. Dentro da C.L. os efeitos
viscosos são igualmente importantes.
LRe
1
L~
d
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Eq Transporte Temperatura, T • O balanço de energia se dá pela interação de quatro termos: transporte, difusão, trabalho pressão e dissipação. Além disto há um quinto termo que representa outras fontes de energia e não será considerado na análise.
qDt
DPT
x
Tk
xx
TVC
t
TC
iiiiPP
• Por meio das escalas, V0, L, V02 , T0 chega-se às variáveis
adimensionais V*, X*, P* , T* e t*
1. velocidade, →
2. comprimento →
3. pressão (inercial) →
4. temperatura →
5. tempo (inercial) →
0VVV *
LXX ii*
VPPP 200 *
0VLtt *
0TTT *
T0 é a temp referência, por exemplo a temperatrua de estagnação: T0 = T +V02/2Cp
= (1/v).v/T|P é o coef. expansão isobárico, gás ideal = 1/T
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Eq Temp: Forma Adimensional
• Ec e Pr são os nos Eckert
e Prandtl:
• Substituindo as variáveis dimensionais pelas
adimensionais e suas respectivas escalas
23* * *
* *P 0 0 0 0 0i 0* * 2 * * *
i i i
C V T kT V VT T T DPV T
L t x L x x L Dt L
• Comparando o termo convectivo com os demais:
* * *
* *
i 0* * * * *
i L i i
T T 1 T DP EcV Ec T
t x Re Pr x x Dt Re
2
0 P 0Ec V C T Pr =
• O produto RePr é conhecido como número de
Peclet, Pe.
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No Eckert
• Note que Eckert também denota compressibilidade!
• O n. Eckert constitui uma das escalas importantes para
o trabalho de compressão e para função dissipação.
• Se considerarmos as relações para gás ideal:
• e substituindo-as na definição de Eckert:
2
200 0
P 0
VEc 1 Ma onde Ma V RT
C T
p 2
P 0
v
CRC e c RT
1 C
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Eq Adimensional Temperatura
• Considerando gás ideal, (T ≡ 1) o transporte da
temperatura fica sendo governado pelos adimensionais
Re, Pr e Ma
• O trabalho de compressão pode deixar de ser um termo
relevante desde que Ma → 0. Para fluidos
incompressíveis ele não existe.
• A função dissipação é da ordem de Ma2/ReL, para
fluidos compressíveis ela deixa de existir para Ma → 0.
Para líquidos com alta viscosidade (óleos p. ex.) o Re
pode ser baixo o suficiente para que faça o termo que
multiplica grande o suficiente para não ser
desprezado!
*
*
**
*
*
L
222
L Re
Ma1
Dt
DPMa1T
PrRe
1
Dt
DT
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S
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M/D
E U
NIC
AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
Eq Adimensional Concentração
• O transporte de um escalar, por exemplo a
concentração mássica, wm, de um componente, possui
escalas similares àquelas empregadas na eq.
Temperatura.
• A diferença reside no coeficiente de difusão, D. A
equação de transporte para wm fica:
• onde Sc = n/D é o n. Schimdt. Note que a Eq
concentração é similar a Eq Temp para Ma→0
*
2 * *m
m m*
L
Dw 1w
Re ScDt
**
*
*
qTPrRe
1
Dt
DT 2
L
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AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
Notas Finais da Parte I
As principais ideias vistas nesta seção foram:
1. Por meio de escalas convenientes para cada variável é
possível escrever as Eq Transporte na forma
adimensional;
2. Cada variável adimensional possui magnitude unitária
~ O(1);
3. Cada variável vem multiplicada por um coeficiente
(grupo adimensional: Re, Pr, Ma, Ec, Fr, Scm etc)
4. Esta forma adimensional das Eq Transporte permite
estabelecer ‘similaridade’ entre equações e fenômenos;
5. Decidir quais termos das Eqs. são relevantes para
modelar um fenômeno específico dependendo do valor
que Re, Pr, Ma, Ec, Scm e Fr assumem;
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Parte II
Classificação das Equações
Diferenciais
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Condições Iniciais e de Contorno
• A definição da Eq. Geral de Transporte
não é completa a menos que sejam definidas as C.I.
e C.C. do fenômeno que ela representa.
• As C.I. e C.C. variam dependendo do tipo de
equação diferencial que o modelo emprega.
• A distinção é feita baseando-se no modo como a
informação do contorno é transportada para o
domínio.
SVt
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Nota Introdutória
• A forma geral da Eq. de Transporte é complexa.
• Vamos começar estudando três ‘simples’ EDP
lineares e sua dependência com relação a
informação do contorno.
• Elas são:
– Equação da condução em
regime permanente
– Equação da difusão em
regime transiente
– Equação da onda
0yx 2
2
2
2
2
2
yt
2
22
2
2
yc
t
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Eq de Laplace:
• Este tipo de equação possui derivadas de 2a ordem
para cada direção, portanto ela necessita de duas c.c.
para direção x e outras duas para direção y!
• Pode-se generalizar que é determinado pela
informação de TODO o contorno.
0yx 2
2
2
2
x
y
0 a
b (x,b)
(x,0)
/x|x=a (0,y)
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Eq de Laplace: modelo ELIPTICO,
• Qualquer ‘perturbação’
introduzida no contorno
influencia o valor de
TODOS os pontos do
domínio, entretanto tanto
menor será a influência
num ponto P quanto maior
for sua distância da
perturbação.
x
y
0 a
b (x,b)
(x,0)
/ x
|x =
a
(0,y) P(x,y)
• A informação do contorno se propaga em TODAS as
direções instantaneamente, i.e. velocidade ‘infinita.
• Por sua vez, uma perturbação em P irá influenciar o
domínio à montante e a jusante de P.
• Esta equação é classificada como ELIPTICA
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AM
P
Pro
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ug
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Creeping flow in a wedge
The motion is driven by steady clockwise
rotation of a circular cylinder whose bottom
is seen just below the free surface at the top
of the photograph. Visualization is by
aluminum dust in water. The Reynolds
number is 0.17 based on peripheral speed
and wedge height. A 90-minute exposure
shows the first two of what are in theory an
infinite sequence of successively smaller
eddies extending down into the corner. For
this wedge, of total angle 28.5 , each eddy is
100 times weaker than its neighbor above.
The third eddy is al ways so weak that it is
not certain that anyone has ever observed it.
Taneda 1979, J. Phys. Soc. Jpn., 46,1935-
1942.
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Pro
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Circle in slow linear shear near a plate
The cylinder is 0.1 diameter from the plate,or 0.2 diameter from its
hydrodynamic image, which is actual ly visible as an optical image.
The Reynolds number is 0.011 based on the shear rate. Large
recirculating eddies form because the glycerine must stick to the
plate, in contrast to the photograph above, where it flows along the
symmetry plane. Taneda 1979, J. Phys. Soc. Jpn., 46, 1935-1942.
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Creeping flow past two spheres in tandem
With the same spacing and approximately the same Reynolds
number as the circles opposite, spheres show no sign of separation.
T his is consistent with the fact that separation on an isolated sphere
appears only above a Reynolds number of 20, compared with 5 for a
circle. Aluminum dust is illuminated in glycerine. Taneda 1979, J.
Phys. Soc. Jpn., 46, 1935-1942.
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ESCOAMENTO ELÍPTICO: recirculação presente,
mais de uma direção predominante
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Separação do Escoamento e Camada Limite
• No ponto de separação d/L ~O(1), portanto as
aproximações da C.L. não são válidas, o
escoamento é Elípitico!
separação
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ESCOAMENTO ELÍPTICO:
recirculação presente,
mais de uma direção predominante
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Eq Condução Transiente:
• Esta EDP é de 1a ordem no tempo e 2a ordem no espaço, portanto ela poderá satisfazer uma única C.I. e duas C.C. na direção Y
2
2
yt
t
y
0 a
b (t,b)
(t,0)
(0,y)
• Como a EDP só satisfaz uma CI, o domínio é aberto no eixo do tempo! Não se especifica C.C. na outra fronteira.
• A informação no eixo ‘t’ caminha numa única direção enquanto que no eixo Y caminha nas duas direções
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Eq. Condução Transiente: modelo PARABÓLICO
• A solução desta EDP marcha para frente no tempo mas
é ‘difusiva’ no espaço.
• Introduzindo uma perturbação em P, ela só influenciará
parte do domínio computacional onde t > tP
• A pertubação em P NÃO influencia valores de p/ t < tp
• As EDP com este comportamento são classificadas como PARABÓLICAS.
t
y
0 a
b (t,b)
(t,0)
(0,y)
P(tp,yp)
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ESCOAMENTO PARABÓLICO
uma direção predominante
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Eqs. da Camada Limite
yp0 y momento
y
u
x
p
y
uv
x
uu
t
u x momento
dyd
2
2
• X e Y representam as direções paralela e normal à superfície do
corpo.
• Como sua espessura é muito pequena, d/L << 1, pode-se mostrar que du/dy >> du/dx.
• Isto faz que a Eq. Direção X seja parabólica e que a Eq.
Direção Y informe apenas que não há grad p normal `a C.L.
(Prandtl 1905)
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ESCOAMENTO PARABÓLICO
uma direção predominante
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Separação do Escoamento
PARABÓLICO x ELÍPTICO
descolamento
descolamento recolamento
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• Escoamento de água
com Re 15000 em esfera.
• Figura superior: ocorre
uma C.L. laminar até no
ponto de separação ~ 82
graus.
• Figura inferior: com o
auxílio de um fio (trip
wire) a C.L. laminar
transiciona para
turbulenta e o ponto de
separação se desloca para
~ 120 graus.
Se
para
ção
na
C.L
. n
um
a E
sfe
ra
PA
RA
BÓ
LIC
O / E
LÍP
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Eq Onda:
• Esta EDP é de 2a ordem no tempo e no espaço, portanto ela requer duas C.I. e duas C.C. no espaço.
• Uma corda vibrando presa em duas extremidades.
– CI: (x,0)=sen(x), /t(x,0)=0; & CC: (0,t)= (1,t)=0,
– Solução exata: (x,t)=0.5[sen(x+t)+ sen(x-t)]
• A solução geral deste tipo de equação é:
• As funções f e g sempre satisfazem a eq. da onda!
• Note que o argumento de f e de g possuem o espaço e o tempo relacionados de forma que se caminharmos numa linha característica dx/dt = ± c seus valores serão constantes. .
2
22
2
2
xc
t
ctxgctxftx ,
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Eq Onda: modelo HIPERBÓLICO
• A CI é definida quando t = 0:
0t e xgxf0x0t
,
• O valor de (x0,t0) depende somente da região vermelha;
• Por outro lado, (x0,t0) influencia o valor de na região azul.
x + ct = x+1 x - ct = x-1
x0 x+1 x-1
t0
(x0,t0) = f(x-1)+g(x+1)
x
t
x0 x+1 x-1
t0
x
t
(x0,t0) 1
1/c
t = 0
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Regiões do Domínio
• Como um contorno do domínio influencia somente uma região do domínio costuma-se dividí-lo em regiões:
1. Zona de Silêncio
2. Zona de Dependência
3. Zona de Influência
x0 x+1 x-1 x
t
1
2
3
1
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Curva Característica & Contorno
• A informação se propaga do contorno para o domínio
ao longo de linhas características com velocidade c
(variável ou constante).
• A informação do contorno (CI ou CC) não pode
coincidir com uma curva característica.
x
t
especificado
e
sp
ec
ific
ad
o
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Sumário
• A forma como a variação em um ponto influi nos
eventos dos pontos vizinhos depende se a EDP é
elíptica, parabólica ou hiperbólica.
• Diversos fenômenos físicos se enquadram nestas
categorias e eles dependem se o regime é permanente
ou transitório, se a propagação das perturbações é
finita ou infinita!
P(x,t)
P(x,t)
P(x,t)
Zona
Dependência Zona
Dependência Zona
Dependência
HIPERBÓLICO PARABÓLICO ELÍPTICO
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Sumário
• A informação do contorno ‘sempre’ propaga-se a jusante
(downstream) nas EDP parabólicas e hiperbólicas.
• Esta característica faz com que as EDP parabólicas e
hiperbólicas sejam resolvidas por métodos que ‘marcham’
a jusante. As EDP elípticas, que recebem a influência de
todo o contorno, são resolvidas por métodos de
‘equilíbrio’.
P(x,t)
P(x,t)
P(x,t)
Zona
Dependência Zona
Dependência Zona
Dependência
HIPERBÓLICO PARABÓLICO ELÍPTICO
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Casos Reais: há escoamento elíptico e parabólico
em diferentes regiões do campo
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Casos Reais: há escoamento elíptico e hiperbólico
em diferentes regiões do campo
Hiperbólico
Elíptico
Hip
erb
óli
co
Ma<1
Ma>1 Ma<1
Ma>1 Ma<1
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Método de Classificação para Simples EDP
• A classificação de uma EDP 2a ordem é baseada no
comportamento dos seus termos de ordem 2:
• A classe da EDP 2a ordem é identificada procurando-se
curvas características de eq. hiperbólicas. Se elas
existirem ela é hiperbólica, do contrário ela pode ser
elíptica ou parabólica.
• Isto é realizado forçando uma busca para equação
homogênea por meio de uma combinação linear dos
termos.
0GFy
Ex
Dy
Cyx
Bx
A
H
2
22
2
2
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Método de Classificação para Simples EDP
• Soluções simples do ‘tipo eq. da onda’ existem se a
equação característica tiver duas raízes reais:
B2-4AC Tipo Características
>0 Hiperbólica 2 características reais
=0 Parabólica 1 característica real
<0 Elíptica Sem caract. reais (2 Imaginárias)
0GFy
Ex
Dy
Cyx
Bx
A
H
2
22
2
2
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Eq Protótipos
• Equação de Laplace:
– A =1, B =0 e C = 1; B2 - 4AC = -4 < 0
portanto Elíptica, dy/dx = ± i,
• Equação de calor transiente;
– A = 1, B = C = 0; B2 - 4AC = 0 portanto
Parabólica, dy/dt = 0
• Equação da onda:
– A = 1, B = 0 e C = -c2; B2 - 4AC = 4c2
portanto Hiperbólica, dy/dt = ± c
0yx 2
2
2
2
2
2
yt
2
22
2
2
yc
t
0GFy
Ex
Dy
Cyx
Bx
A
H
2
22
2
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Eq. Burgers Completa
• É uma EDP não-linear do tipo convecção-difusão
utilizada para modelar eq. Q. Movimento x para
modelos numéricos;
2
2
x
u
x
uu
t
u
n
2
2
x
u
t
u
n
2
2
x
T
x
Tu
t
T
n
• A omissão do termo udu/dx a
reduz para a equação da
difusão ou 1o prob. Stokes;
• Também pode representar a
equação linear da energia em
termos da temperatura;
• Os coef. da Eq. Burgers são A = 1, B = C = 0; B2 -
4AC = 0 portanto Parabólica,.
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Os Coeficientes A, B e C da EDP
0
y1M
1
x2
2
22
2
• Os coef. A, B e C não necessariamente são constantes, mas podem ser
dependentes das propriedades do fluido ou mesmo da própria variável
que se está resolvendo.
• Por exemplo, o escoamento potencial de um fluido compressível
mostrado no semi-corpo da figura é representado pela equação:
• Ele contêm regiões super-sônicas M>1 e também regiões sub-sônicas
M<1. Note que nas regiões onde M>1 a equação é hiperbólica enquanto
que onde M < 1 ela é elíptica.
• Consequentemente será necessário mudar o método de aproximar,
numericamente, as equações para adequar a natureza local do
escoamento!
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Sistemas de Equações
• Os critérios para identificar o comportamento da EDP podem ser
aplicado em sistemas de equações diferenciais, tais como, a Equação da
N-S junto com a equação da massa e, se necessário, a equação da
energia.
• O apêndice I mostra em linhas gerais este método, mas este tópico
estará fora do escopo deste curso.
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Notas Finais Parte II
• A diferença no comportamento da equações deve refletir nos métodos empregados para sua solução de forma que eles possam descrever comportamento físico das equações que eles estão resolvendo.
• Evidentemente o conjunto completo das Eq. NS é complexo e pode requerer muito esforço computacional.
• Entretanto, não são raras as oportunidades de se realizar simplificações nas Eq. NS de forma que elas ainda representem um problema físico porém permitem uma simplificação no método numérico.
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Referências
• Fletcher, C.A.J., “Computational Techniques for Fluid Dynamics – Vol 1”,
Springer Verlag, 2nd ed. (1991)
• Versteeg, H.K. and Malalasekera, W., “Na Introduction to Computational
Fluid Dynamics. The Finite Volume Method”, Longman Scientific &
Technical, 1995
• Ferziger, J.H. and Peric, M., “Computational Methods for Fluid
Dynamics”, Springer Verlag, 2nd, 1999
• Maliska, C.R., “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos
Computacional”, LTC 2a ed., 2004
• Schlichting, H.,”Boundary Layer Theory”, McGraw Hill, 7th ed, (1979)
• Eckert E.R.G and Drake, R.M., “Analysis of Heat and Mass Transfer”,
McGraw Hill (1972)
• Whithan, G.B. , “Linear and Nonlinear Waves” John Wiley (1974)
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FIM
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Apêndice I
Classificação de Sistemas de Equações
Diferenciais Parciais
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Sistema de Equações
• As equações de transporte freqüentemente são
empregadas na forma de um sistema ao invés de
isoladamente.
• A seguir será apresentado uma classificação para um
sistema de EDP de 1a ordem com DUAS variáveis
independentes: (x,y) ou (t,x).
• Na forma matricial:
222212221
112111211
Ey
vB
y
uB
x
vA
x
uA
Ey
vB
y
uB
x
vA
x
uA
11 12 11 12 1
21 22 21 22 2
A B
A A B B Eu u
A A B B Ev vx y
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Auto Valores, l • Os auto valores l que tornam o sistema
homogêneo, definem as características:
• onde l = dy/dx ou l = dx/dt se as variáveis independentes forem (x,y) ou (t,x);
• e A e B são as matrizes que compõem o sistema com ‘n’ EDPs de 1a ordem
0dxdydet BA
Auto Valores Tipo
n reais e distintos Hiperbólica
n reais , 1 h n-1 e não há
valores complexos
Parabólica
Se nenhum valor real for obtido Elíptica
Reais e Complexos Misto H/E
IM 2
50 M
EC
ÂN
ICA
DO
S F
LU
IDO
S
FE
M/D
E U
NIC
AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
Eq. Onda não-Linear de 1a Ordem
Eq. Burgers sem viscosidade
• Somente uma equação. As matrizes contém somente um elemento: A = 1 e B = u.
• A EDP é hiperbólica. A onda se propaga com
velocidade u, que também é uma variável da
equação.
• Ela permite o surgimento de choques: ondas
com vel. propagação maior alcançam as mais
lentas.
u u
u 0 1 u u 0t x t x
udt
dx0udtdxdet
A análise da Eq. Completa de Burgers leva a matrizes singulares
(determinante nulo) veja Whitham pg. 115 para resolver esta
dificuldade
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S F
LU
IDO
S
FE
M/D
E U
NIC
AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
Eq. Laplace / Poisson
• Fazendo u = d/dy e v = d/dx
A B
0 1 u 1 0 u 0
1 0 v 0 1 v 0x y
0
y
v
x
u
0y
u
x
v
Syx 2
2
2
2
idx
dy0
dx
dydet BA
• Como os auto-valores são complexos, o sistema é
Eliptico!
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FE
M/D
E U
NIC
AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
Eq. Onda 2a Ordem
• Fazendo w = c.du/dx e v = du/dt
A B
1 0 w 0 c w 0
0 1 v c 0 v 0t x
x
wc
t
v
x
uc
x
w
t
u
t
v
x
vc
t
w
tx
uc
t
w
xt
u
x
v
2
2
2
2
22
2
22
2
2
x
uc
t
u
cdt
dx0
dt
dxdet BA
• Como os auto-valores são reais e distintos, o sistema é
Hiperbólico! A informação propaga com velocidade finita
em duas direções
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NIC
AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
Equações Euler Incompressível
0
0
0
p
v
u
y0v0
10v
010
p
v
u
x0u0
10u
001
BA
1dx
dy e
v
u
dx
dy0
dx
dydet BA
• Trata-se de um sistema misto: hiperbólico e elíptico.
0 y
p
y
vv
x
vu
0 x
p
y
uv
x
uu
0y
v
x
u
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M/D
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NIC
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P
Pro
f. E
ug
ên
io
Equações Euler Compressível, 1D
- gás perfeito & c = (kRT)1/2
0
0
0
p
ux
uc0
1u0
0u
p
ut100
010
001
2
BA
cudt
dx , u
dt
dx0
dt
dxdet BA
• Auto Valores reais e distintos: sistema hiperbólico.
0 x
uc
x
pu
t
p
0 x
p1
x
uu
t
u
0x
u
xu
t
2
IM 2
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NIC
AM
P
Pro
f. E
ug
ên
io
NS incompressível e permanente, 2D
2
2
2
2
2
2
2
2
y
v
x
v
Re
1
y
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
Re
1
x
p
y
uv
x
uu
0y
v
x
u
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Pro
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io
Formando um Sistema de EDP de 1a ordem
vSuRx
p
y
S
Re
1
x
R
Re
1
vTuSx
p
y
T
Re
1
x
S
Re
1
0 x
T
y
S
0 y
S
y
R
0 y
v
x
u
T x
u
• u, v e p são as variáveis dependentes. As eq. NS são
reduzidas a um sistema de 1a ordem introduzindo as
variáveis auxiliares: R = dv/dx; S = dv/dy e T = du/dy
As eq. das variáveis
auxiliares são
escolhidas de modo a
evitar que as matrizes A ou B sejam
singulares (tenham
determinante nulo).
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Pro
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ug
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io
NS, incompressível e permanente, 2D
• Na forma matricial:
vSuR
vTuS
0
0
0
T
p
T
S
R
v
u
y
10Re1000
0Re10000
001000
000100
000010
000001
p
T
S
R
v
u
x
000Re100
10Re1000
010000
001000
000001
000000
BA
1dx
dy 0
dx
dydet BA
• Auto Valores complexos: sistema elíptico.
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io
Comentários sobre Comportamento NS
• As Eq. NS formam um sistema não-linear de EDP 2a
ordem com 4 variáveis independentes.
• O esquema de classificação não se aplica
‘diretamente’ às Eq. NS.
• Entretanto, as Eq. NS possuem muitas das
propriedades de Eq. Elíptica, Parab. e Hiperp.
• Ao invés de classificar as eq. NS como um todo
aponta-se seu caráter em cada direção.
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Comentários sobre Comportamento NS
• Elíptica no espaço – modelo viscoso, incompressível, regime permanente com recirculação, i.e. escoamento com direção contrária a direção principal, requer que a informação a montante e a jusante. O domínio de solução é fechado mesmo que parte de sua extensão seja infinita (escoamentos externos).
• Elíptica no espaço e Parabólica no tempo – modelo viscoso incompressível e regime transiente. Problemas transientes nunca são elípticos. Neste caso o esquema do tempo é um esquema de marcha enquanto que no espaço ele é elítico.
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Comentários sobre Comportamento NS
• Parabólica no espaço – modelo viscoso,
incompressível, regime permanente porém o
escoamento é caracterizado por uma única direção
(one way flows). Neste caso as Eq. NS se reduzem
às Eq. Camada Limite. O domínio é fechado numa
direção e aberto na outra.
• Elíptica no espaço – modelo viscoso, compressível -
sub-sônico e regime permanente.
• Hiperbólica no espaço e Parabólica no tempo -
escoamento compressível supersônico em regime
transiente.
