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Platonismo com respeito a matematica

Øystein LinneboUniversidade de Bristol

Rascunho de 21 de Maio de 2009

O platonismo com respeito a matematica (ou platonismo matematicocomo eu chamarei) e a visao metafısica de que ha objetos matematicos abstra-tos cuja existencia e independente de nos e de nossa linguagem, pensamento,e praticas. Tais como eletrons e planetas existem independentemente denos, assim ocorre com numeros e conjuntos. E assim como sentencas sobreeletrons e planetas tornam-se verdadeiras ou falsas por causo dos objetos queas sentencas dizem respeito e esses objetos tem propriedades perfeitamenteobjetivas, assim sao tambem as sentencas sobre numeros e conjuntos. Asverdades matematica sao, portanto, descobertas, nao inventadas.

O mais importante argumento para a existencia de objetos matematicosabstratos deriva de Gottlob Frege e e como se segue (Frege, 1953). A lin-guagem da matematica pretende referir-se e quantificar sobre objetos ma-tematicos abstratos. E um grande numeros de teoremas matematicos saoverdadeiros. Mas uma sentenca nao pode ser verdadeira exceto se suas sub-expressoes tem sucesso em fazer o que elas pretendem fazer. Assim, existemobjetos matematicos abstratos aos quais estas expressoes se referem e sobreos quais se quantifica.

Entretanto, uma grande variedade de objecoes ao platonismo matematicotem sido desenvolvida. Objetos matematicos abstratos sao afirmados se-rem epistemologicamente inacessıveis e metafisicamente problematicos. Aquestao do platonismo matematico tem estado entre as questoes mais forte-mente debatidas na filosofia da matematica nas ultimas decadas.

1 O que e o platonismo matematico?

Eu comeco explicando a caracterizacao contemporanea padrao do platonismomatematico e distinguindo a visao de algumas outras relacionadas.

1

Platonismo com respeito a matematica 2

1.1 Definindo a visao

O platonismo matematico pode ser definido como a conjuncao das seguintestres teses:

[Existencia ] Existem objetos matematicos.

[Abstracao ] Objetos matematicos sao abstratos.

[Independencia ] Objetos matematicos sao independentes dos agentes in-teligentes e de sua linguagem, pensamento e praticas.

Algumas definicoes representativas do “platonismo matematico” sao lista-das em um apendice e documentam que a definicao acima esta bem ajustada.

O platonismo em geral (oposto ao platonismo especificamente com res-peito a matematica) e qualquer visao que vem destas tres afirmacoes acimatrocando o adjetivo “matematico” por qualquer outro adjetivo.

As primeiras duas afirmacao sao toleravelmente claras para os propositospresentes. [Existencia] pode ser formalizada como “∃xMx”, no qual “Mx”abrevia o predicado “x e um objeto matematico” que e verdadeira de todos esomente aqueles objetos estudados pela matematica pura, tais como numeros,conjuntos, e funcoes. [Abstracao] diz que todo objeto matematico e abstrato,no qual um objeto e dito abstrato apenas quando e nao espaco-temporal e(portanto) causalmente ineficaz. (Para discussao posterior, ver Rosen emSEP).

[Independencia] e menos clara que as duas afirmacoes previas. O quesignifica atribuir a um objeto este tipo de independencia? A mais obviainterpretacao e provavelmente o condicional contrafactual que, nao houves-sem agentes inteligentes, ou tivessem sua linguagem, pensamento ou praticassido suficientemente diferentes, ainda haveria objetos matematicos. Mas eduvidoso que esta interpretacao faca o papel que [Independencia] supoe fa-zer (ver Secao 5.3). Por enquanto, [Independencia] sera deixada de algumaforma esquematica.

1.2 Algumas observacoes historicas

O platonismo deve ser distinguido da visao do Platao historico. Poucos gru-pos do debate contemporaneo acerca do platonismo fazem qualquer afirmacaoexegetica sobre a visao de Platao e da possibilidade de sua defesa. Embora avisao que estamos chamando “platonismo” seja inspirada pela famosa teoriadas Formas abstratas e eternas de Platao (ver SEP, Plato’s metaphysics andepistemology), a visao e agora definida e debatida independentemente de suainspiracao historica original.


Depois, o platonismo tal como caracterizado acima e uma visao pura-mente metafısica que deve ser distinguida das visoes que acrescentam sen-tencas epistemologicas substantivas. Muitas caracterizacoes antigas do pla-tonismo adicionam afirmacoes epistemologicas fortes com o objetivo de quese tenha alguma apreensao imediata, ou insight, em alcancar o reino dos obje-tos abstratos. (Ver, e. g. (Rees, 1967)). Mas e util (e atualmente um modopadrao) reservar o termo “platonismo” para a visao puramente metafısicadescrita acima. Muitos filosofos que defendem o platonismo neste sentidopuramente metafısico poderiam rejeitar afirmacoes epistemologicas adicio-nais. Exemplos incluem W. V. Quine e outros filosofos atraıdos pelo assimchamado argumento da indispensabilidade, que procuram dar uma defesaamplamente empırica do platonismo matematico. (Ver Colyvan em SEP).

Finalmente, escolhi nao incluir na definicao de “platonismo matematico”a afirmacao de que todas as verdades da matematica sao necessarias, em-bora esta afirmacao tem sido tradicionalmente feita por muitos platonistas.Novamente, minha razao e que alguns filosofos geralmente olhados como pla-tonistas rejeitam esta afirmacao modal adicional, por exemplo Quine e algunsque aderem ao argumento da indispensabilidade.

1.3 O significado filosofico do platonismo matematico

A verdade do platonismo matematica seria de grande significancia filosofica.Seria colocar grande pressao a ideia fisicalista de que a realidade e exauridapelo fısico. Pois o platonismo implica que a realidade esta para alem domundo fısico e inclui objetos que nao sao parte da ordem causal e espaco-temporal estudada pelas ciencias fısicas1. O platonismo matematico poderiatambem colocar grande pressao em muitas teorias naturalistas do conheci-mento. Pois existe pouca duvida que possuımos conhecimento matematico.O platonismo matematico poderia, portanto, estabelecer que temos conheci-mento de objetos abstratos (e assim causalmente ineficazes). Isto seria uma

1 O platonismo contradiz diretamente o fisicalismo? A resposta dependera de como ofisicalismo e definido. Se o fisicalismo e definido como a visao de que tudo e superveni-ente do fısico, e se todas as verdades matematicas sao necessarias, entao as duas visoesserao formalmente consistentes. Assumindo S5, qualquer dois mundos sao iguais comrespeito a verdades necessarias. Assim, a fortiori, quaisquer dois mundo que sao iguaiscom respeito a verdades fısicas sao tambem iguais com respeito a verdades matematicas.Mas esta e uma definicao padrao da afirmacao de que as verdades matematicas sao su-pervenientes do fısico. Se, de outro lado, o fisicalismo e definido como a visao de quetodas as entidades sao compostas, ou constituıdas, por entidades fısicas fundamentais,entao as duas visoes contradirao uma com a outra. (Ver em SEP a entrada sobre ofisicalismo)


descoberta importante, que muitas teorias naturalistas de conhecimento es-forcar-se-iam para acomodar.

Embora estas consequencias filosoficas nao sejam unicas do platonismomatematico, esta forma particular de platonismo nao e usualmente bem ade-quada para apoiar tais consequencias. Pois a matematica e uma disciplinanotavelmente bem sucedida, seja em seu proprio direito, seja como uma fer-ramenta para outras ciencias2. Poucos filosofos analıticos contemporaneossao desejosos de contradizer qualquer das afirmacoes centrais de uma dis-ciplina cujas credenciais cientıficas sao tao fortes quanto aquelas da ma-tematica((Lewis, 1991), p. 57-9). Assim se a analise filosofica revela que amatematica tem algumas consequencias estranhas e surpreendentes, nao se-ria atrativo simplesmente rejeitar a matematica3. Uma forma de platonismobaseada em uma disciplina cujas credenciais cientıficas sao menos impressi-vas que aquelas da matematica pode nao estar nesta situacao privilegiada.Por exemplo, se a teologia viesse a ter algumas consequencias estranhas esurpreendentes, muitos filosofos poderiam nao hesitar em rejeitar as partesrelevantes da teologia.

1.4 Anti-nominalismo

Na filosofia contemporanea o nominalismo e tipicamente definido com a visaode nao existem objetos abstratos. (No uso filosofico mais tradicional a pa-lavra “nominalismo” refere-se a visao de que nao existem universais. Ver(Burgess e Rosen, 1997), p. 13-25 e Rosen SEP.). Seja anti-nominalismo anegacao do nominalismo, isto e, a afirmacao de que existem objetos abstra-tos. O anti-nominalismo acerca da matematica e entao apenas a conjuncaode [Existencia] e [Abstracao]. Uma vez que o anti-nominalismo deixa de fora[Independencia], e uma visao mais fraca que o platonismo matematico.

As consequencias filosoficas do anti-nominalismo nao sao tao fortes comoaquelas do platonismo. Muitos fisicalistas poderiam aceitar objetos nao-fısicos contanto que estes fossem dependentes ou redutıveis a objetos fısicos.Eles podem aceitar, por exemplo, objetos tais como corporacoes, leis e po-emas, contanto que estes sejam adequadamente dependentes ou redutıveis.Alem disso, parece nao haver misterio sobre o acesso epistemico a objetos

2 Por exemplo, existe uma concordancia muito ampla entre os matematicos sobre osproblemas guias de seu campo e sobre os tipos de metodos que sao permitidos quandose tenta resolver estes problemas. Alem do mais, usando estes metodos, os matematicostem feito, e continuam a fazer, grandes progressos para resolver estes problemas guias.

3 Entretanto, a propria analise filosofica poderia ser criticada. Pois esta analise vai alemda propria matematica e, portanto, nao e automaticamente inerente em suas fortescredenciais cientıficas.


nao-fısicos que fazemos ou “constituımos”. Se corporacoes, leis e poemas saofeitos ou “constituıdos” por nos, presumivelmente nos ganhamos seu conhe-cimento nos processos de faze-los ou “constituı-los”.

Algumas visoes em filosofia da matematica sao anti-nominalistas sem se-rem platonistas. Um exemplo e a visao intuicionista, que afirma a existenciade objetos matematicos mas sustenta que estes objetos dependem de ou saoconstituıdos pelos matematicos e por suas atividades4. Alguns outros exem-plos dessas visoes que sao anti-nominalistas sem serem platonicas serao dis-cutidas na Secao 5.2.

1.5 Realismo dos valores de verdade

O realismo dos valores de verdade e a visao de toda sentenca bem formada damatematica tem um valor de verdade unico e objetivo que e independente dese pode ser conhecido por nos e de se se segue logicamente de nossas teoriasmatematicas atuais. A visao tambem afirma que a maioria das sentencasmatematicas que sao consideradas verdadeiras sao, de fato, verdadeiras 5.Assim, o realismo de valores de verdade e claramente uma visao metafısica.Mas diferentemente do platonismo, nao e uma visao ontologica. Pois em-bora o realismo do valores de verdade afirme que sentencas matematicas temvalores de verdade unicos e objetivos, nao esta comprometido com a ideiadistintivamente platonica de ques estes valores de verdade resultam de umaontologia dos objetos matematicos.

O platonismo matematico claramente motiva o realismo dos valores deverdade dando uma abordagem de como as sentencas matematicas tomaseus valores de verdade. Mas premissas posteriores poderiam ser necessariaspara a primeira visao implicar a ultima. Mas mesmo se existem objetosmatematicos, a indeterminacao referencial e quantificacional pode privaras sentencas matematicas de um valor de verdade unico e objetivo. Reci-procamente, o realismo dos valores de verdade nao implica por si mesmo

4 Entretanto, nao e facil compreender o que esta dependencia ou constituicao acarreta.Muitas formas recentes de intuicionismo sao as vezes dadas como um desenvolvimentoalternativo na forma de uma semantica nao-classica para a linguagem da matematica.Teorias semanticas deste tipo procuram substituir a nocao classica de verdade com anocao, mais tratavel epistemologicamente, de prova. Onde o platonismo classico dizque uma sentenca S e verdadeira apenas no caso em que os objetos de que S falatem as propriedades que S lhes atribui, a presente forma de intuicionismo diz que S everdadeira (em algum sentido adequadamente nao importante) apenas no caso em queS e demonstravel. Veja (Wright, 1992) e (Dummett, 1991b).

5 Para sublinhar o contraste com o realismo dos valores de verdade, o platonismo e oanti-nominalismo sao por vezes referidos como formas de realismo de objetos. Isto naoe um termo que usarei aqui.


[Existencia] e assim, a fortior i, nem o anti-nominalismo nem o platonismo.Pois existem varias abordagens de como as sentencas matematicas podem vira possuir valores de verdade unicos e objetivos que nao postulam um reinode objetos matematicos6.

De fato, muitos nominalistas endossam o realismo dos valores de verdade,pelo menos em ramos mais basicos da matematica, tais como a aritmetica.Nominalistas deste tipo estao comprometidos a uma visao levemente singularde que, embora a sentenca matematica corriqueira

(1) Existem numeros primos entre 10 e 20

seja verdadeira, nao existem, de fato, objetos matematicos e assim, em par-ticular, nao existem numeros. Mas nao ha contradicoes aqui. Devemos dis-tinguir entre a linguagem ℒM na qual os matematicos fazem suas afirmacoese a linguagem ℒP na qual os nominalistas e outros filosofos fazem as suas.A sentenca (1) e feita em ℒM . Mas a assercao do nominalista de que (1) everdadeira, mas que nao existem objetos abstratos, e feita em ℒP . A assercaodo nominalista e, assim, perfeitamente coerente contanto que (1) seja tradu-zida nao homofonicamente de ℒM para ℒP . E, de fato, quando as afirmacoesnominalistas de que os valores de verdade de sentenca de ℒM sao fixada deum modo que nao apela aos objetos matematicos, e precisamente este tipode traducao nao homofonica que eles tem em mente. A visao mencionada nasecao previa proporciona um exemplo.

Isto mostra que para a afirmacao [Existencia] ter seus efeitos pretendidos,deve ser expressa em uma linguagem ℒP usadas por nos filosofos. Se aafirmacao fosse expressa na linguagem ℒM usada pelos matematicos, entaoos nominalistas poderiam aceitar a afirmacao enquanto ainda negassem queexistem objetos matematicos, contrario ao proposito da afirmacao.

Uma pequena, mas importante, tradicao de filosofos argumentam que odebate sobre platonismo deveria ser substituıdo por, ou pelo menos transfor-mado em, um debate sobre o realismo dos valores de verdade. Uma razao quee oferecida em apoio a tal visao e que o primeiro debate e desesperadamenteobscuro, enquanto o ultimo e mais claro ((Dummett, 1978a), p. 228-232 e(Dummett, 1991b), p. 10-15). Outra razao oferecida e que o debate sobre orealismo dos valores de verdade e de maior importancia seja para a filosofia,seja para a matematica, que o debate sobre platonismo7.

6 Um exemplo e o “estruturalismo modal” de (Hellman, 1989), no qual uma sentencaaritmetica A e analisada como □∀X∀f∀x[PA2(X/ℕ, f/s, x/0) → A(X/ℕ, f/s, x/0)],no qual PA2 e a conjuncao dos axiomas de segunda ordem da Aritmetica de Peano

7 Esta e a questao do dictum de Kreisel, que faz muitas aparicoes nos escritos de MichaelDummett, por exemplo:


1.6 O significado matematico do platonismo

O realismo de trabalho e a visao metodologica de que a matematica deveria serpraticada como se o platonismo fosse verdadeiro ((Bernays, 1935), (Shapiro,1997), p. 21-27 e 38-44). Isto requer alguma explicacao. Em debates sobreos fundamentos do platonismo matematico tem sido por vezes usado paradefender determinados metodos matematicos, algo como o seguinte:

1. Uso da linguagem de primeira ordem (ou mais forte) cujos termos singu-lares e quantificadores parecem estar se referindo e percorrendo objetosmatematicos. (Isto contrasta com as linguagens que dominavam ante-riormente na historia da matematica, que repousavam mais fortementeem vocabulario construtivo e modal).

2. Uso da logica classica mais que da logica intuicionista.

3. Uso de metodos nao construtivos (tais como provas de existencia naoconstrutivas) e axiomas nao construtivos (tais como o Axioma da Es-colha).

4. Uso de definicoes impredicativas (isto e, definicoes que quantificam so-bre uma totalidade para a qual o objeto sendo definido pertence).

5. “Otimismo hilbertiano”, isto e, a crenca de que todo problema ma-tematico e em princıpio soluvel8.

De acordo com o realismo de trabalho, estes e outros metodos classicossao aceitaveis e disponıveis em todo raciocınio matematico. Mas o realismode trabalho nao leva em consideracao se estes metodos requerem algumadefesa filosofica, e se assim for, se esta defesa deve ser baseada no plato-nismo. Em resumo, onde o platonismo e explicitamente uma visao filosofica,o realismo de trabalho e, primeiramente e mais importante, uma visao no

como Kreisel observou em um review de Wittgenstein, “o problema naoe a existencia de objetos matematicos mas a objetividade das sentencasmatematicas” ((Dummett, 1978b), p. xxxviii)

Ver tambem (Dummett, 1981), p. 508. A observacao de Kreisel que Dummett estaaludindo parece ser (Kreisel, 1958), p. 138, n. 1 (que, se for essa, e muito menosmemoravel que a parafrase de Dummett). Para outro exemplo da visao de que o realismodos valores de verdade e mais importante que o platonismo, ver (Isaacson, 1994).

8 Ver (Hilbert, 1996), p. 1102. Famosamente, um dos problemas que Hilbert estabelecee a Hipotese do Contınuo. Para este problema ser “soluvel”, a Hipotese do Contınuodeve ter um valor de verdade objetivo apesar de ser independente da teoria de conjuntospadrao ZFC.


interior da propria matematica sobre a metodologia correta desta disciplina.O platonismo e o realismo de trabalho sao, portanto, visoes distintas.

Existem quaisquer relacoes logicas entre as duas visoes? Dada a origemdo realismo de trabalho, nao e surpreendente que a visao receba forte apoiodo platonismo matematico. Assuma que o platonismo matematico e verda-deiro. Entao claramente a linguagem da matematica deve ser descrita comoem (i). Em segundo lugar, dado que e legıtimo raciocinar classicamente so-bre qualquer parte da realidade que existe independentemente, (ii) deveriase seguir. Terceiro, uma vez que o platonismo assegura que a matematicae descoberta mais que inventada, nao deveria ser necessario para os ma-tematicos restringirem a si mesmos a metodos e axiomas construtivos, o queestabelece (iii). Quarto, exite um argumento poderoso e influente devido a(Godel, 1944) que definicoes impredicativas sao legıtimas sempre que os ob-jetos sendo definidos existam independentemente de nossas definicoes. (Porexemplo, o rapaz mais alto da classe nao parece ser problematico emboraseja impredicativo). Se isto e correto, entao (iv) se segue. Finalmente, se amatematica e sobre alguma realidade que existe independentemente, entaotodo problema matematico tem uma resposta unica e determinada, o que daalguma motivacao, pelo menos, para o otimismo hilbertiano.

A verdade do platonismo matematico poderia, portanto, ter consequen-cias importantes no interior da propria matematica. Justificaria os metodosclassicos associados com o realismo de trabalho e encorajaria a pesquisa pornovos axiomas para estabelecer questoes (tais como a Hipotese do Contınuo)que sao deixadas abertas pelas nossas teorias matematicas atuais.

Entretanto, o realismo de trabalho nao implica, em qualquer modo obvio,o platonismo. Embora o realismo de trabalho diga que estamos justificadosem usar a linguagem platonica da matematica contemporanea, isto implicapouco de platonismo em pelo menos duas maneiras. Como a discussao acimado realismo dos valores de verdade mostrou, a linguagem platonica da ma-tematica admite analises que evitam referencia e quantificacao de objetosmatematicos. Alem disso, mesmo se uma analise inicial da linguagem da ma-tematica pudesse ser justificada, o que poderia seguir-se e o anti-nominalismomas nao de fato o platonismo. Um argumento adicional seria necessario parao terceiro componente do platonismo, a saber Independencia]. As perspecti-vas para tal argumento sao discutidas na Secao 3.2.

2 O argumento fregeano para [Existencia]

Agora apresento um modelo geral de um argumento para a existencia deobjetos matematicos. Dado que o primeiro filosofo que desenvolveu um ar-


gumento nesta forma geral foi Frege, eu me referirei a ele como o argumentofregeano. Mas o modelo que apresento e muito geral e abstrai dos aspectosmais especıficos da propria defesa de Frege da existencia de objetos ma-tematicos, tal como sua visao de que a aritmetica e redutıvel a logica. Ologicismo fregeano e apenas uma maneira na qual este modelo pode ser de-senvolvido; algumas outras maneiras sao mencionadas abaixo.

2.1 A estrutura do argumento

O Argumento Fregeano e baseado em duas premissas, a primeira das quaisdiz respeito a semantica da linguagem da matematica:

Semantica classica Os termos singulares da linguagem da matematica pre-tendem referir-se a objetos matematicos, e seus quantificadores de pri-meira ordem pretendem percorrer tais objetos.

A palavra “pretendem” precisa ser explicada. Quando uma sentenca S pre-tende referir-se ou quantificar em um sentido determinado, isso significa quepara S ser verdadeira, S deve ter sucesso em referir-se ou quantificar dessemodo.

A segunda premissa nao requer muita explicacao:

Verdade A maioria das sentencas aceitas como teoremas matematicos saoverdadeiras (sem olhar sua estrutura sintatica e semantica).

Considere sentencas que sao aceitas como teoremas matematicos e que con-tem um ou mais termos singulares. Por [Verdade], muitas destas sentencassao verdadeiras9. Seja S uma sentenca deste tipo. Por [Semantica Classica],a verdade de S exige que seus termos singulares tenha sucesso em referir-se a objetos matematicos. Portanto, deve haver objetos matematicos, comoafirmado por [Existencia]10.

9 Note que este passo usa uma precisao qualificada em [Verdade]. Sem esta precisao,seria possıvel que a maioria das sentencas aceitas como teoremas matematicas fosseverdadeira e todas as sentencas da forma mencionada no texto fossem falsas.

10 Existe um argumento relacionado que esta para atos intencionais dirigidos a objetosdo mesmo modo que argumento fregeano esta para sentencas ou proposicoes ((Godel,1964) e (Parsons, 1980)):

(2) Pessoas tem intuicoes dos objetos matematicos.

(3) Estas intuicoes sao verıdicas.


2.2 Defendendo a [Semantica classica]

A [Semantica classica] afirma que a linguagem da matematica funciona se-manticamente da forma em que a linguagem em geral funciona (ou pelomenos como se assume que tradicionalmente funcione): a funcao semanticade termos singulares e quantificadores e, respectivamente, referir-se a obje-tos e percorrer objetos. Esta e uma afirmacao largamente empırica sobre ofuncionamento de uma linguagem semi-formal usada pela comunidade dosmatematicos profissionais. (Em uma terminologia amplamente adotada de(Burgess e Rosen, 1997), p. 6-7, a [Semantica classica] e uma afirmacaohermeneutica: isto e, e uma afirmacao descritiva de como uma determinadalinguagem e realmente usada, nao uma afirmacao normativa sobre como a lin-guagem deve ser usada). Note tambem que [Semantica classica] e compatıvelcom muitas visoes tradicionais sobre semantica; em particular, e compatıvelcom todas as visoes padroes do significado de sentencas, a saber que existemvalores de verdade, proposicoes, ou conjuntos de mundo possıveis.

A [Semantica classica] desfruta de uma plausibilidade prima facie. Poisa linguagem da matematica parece ter a mesma estrutura semantica quea linguagem ordinaria nao-matematica. Como (Burgess, 1999) observa, asduas sentencas seguintes parecer ter a mesma estrutura semantica de umpredicado sendo atribuıdo a um sujeito (p. 228):

(4) Evelyn e minha prima.

(5) Evelyn e numero primo.

Esta aparencia e tambem sustentada pela analises semanticas padroes porlinguistas e semanticistas.

Apesar disso, a [Semantica classica] tem sido criticada, por exemplo pornominalistas tais como (Hellman, 1989) e por (Hofweber, 2005). Aqui nao e olugar para uma discussao extensa de tais crıticas. Deixe-me apenas notar queuma grande quantidade de trabalho precisa ser feita para substanciar estetipo de crıtica. O crıtico argumentara que as similaridades aparentes entrea linguagem matematica e a linguagem nao matematica sao ilusorias. Eestes argumentos terao que ser do tipo que os linguistas e semanticistas, semnenhum interesse fundado na filosofia da matematica, poderiam reconhecercomo significativos11.

Estas premissas implicam [Existencia] tambem: pois uma intuicao somente pode serverıdica quando seu objeto intencional existe. Eu concentrarei no argumento originalfregeano pois parece mais tratavel. Pois e mais facil avaliar se uma sentenca matematicae verdadeira do que se uma intuicao matematica e verıdica.

11 Um holista epistemico afirmaria que a evidencia a favor ou contra uma analise linguısticapoderia em princıpio vir de algum lugar. Eu nao preciso negar esta afirmacao. Meu


2.3 Defendendo [Verdade]

[Verdade] pode ser defendida em uma variedade de maneiras diferentes. Co-mum a todas as defesas e aquela em que, primeiro, se identificam algunspadroes pelos quais os valores de verdade das sentencas matematicas podemser avaliados e, entao, argumenta-se que os teoremas matematicos satisfazemeste padrao.

Uma opcao e apelar para um padrao que e mais fundamental que aqueleda propria matematica. O logicismo e um exemplo. Frege e outros logicistasprimeiramente afirmam que qualquer teorema da logica pura e verdadeiro.Entao eles tentam mostrar que os teoremas de determinados ramos da ma-tematica podem ser provados usando somente definicoes e logica pura.

Outra opcao e apelar para os padroes das ciencias empıricas. O argu-mento da indispensabilidade de Quine-Putnam e um exemplo. Primeira-mente e argumentado que qualquer parte indispensavel da ciencia empıricae aproximadamente verdadeira e portanto estamos justificados em acreditarem alguma coisa. Entao e arguido que grandes partes da matematica saoindispensaveis para a ciencia empırica. Se ambas as afirmacoes sao corretas,segue-se que [Verdade] e aproximadamente verdadeira e que acreditar em[Verdade] esta, portanto, justificado.

Uma terceira opcao e apelar para os proprios padroes da matematica.Porque se apelaria para padroes nao matematicos, tais como aqueles dalogica ou da ciencia empırica, a fim de defender a verdade dos teoremasmatematicos? Quando defendemos a verdade de tais afirmacoes da logica eda fısica, nao precisamos apelar para padroes externos, respectivamente, dalogica e da fısica. Melhor, assumimos que a logica e a fısica fornecem seusproprios padroes sui generis de justificacao. Porque deveria a matematicaser diferente? Esta terceira estrategia tem recebido muita atencao nos anosrecentes, muitas vezes sob o tıtulo de “naturalismo” ou “naturalismo ma-tematico” (Ver (Burgess and Rosen, 1997), (Maddy, 1997), e, para umadiscussao crıtica, Paseau SEP).

Aqui esta um exemplo de como a estrategia naturalista pode ser desen-volvida. Chame-se a atitude que os matematicos tem para com os teore-mas da matematica de “aceitacao”. Entao as seguintes afirmacoes parecemplausıveis.

(6) Os matematicos estao justificados em aceitar os teoremas da matema-tica.

(7) Aceitar uma sentenca matematica S envolve tomar S como sendo ver-

ponto e simplesmente que a hipotese em questao pertence a linguıstica empırica e temque ser avaliada como tal.


dadeira.

(8) Quando um matematico aceita uma sentenca matematica S, o conteudodesta atitude e, em geral, o significado literal de S.

Destas tres afirmacoes segue-se que os peritos matematicos estao justi-ficados em tomar os teoremas da matematica como verdades literais. Porextensao, todos nos estamos tambem justificados em acreditar em [Verdade].Note que os proprios peritos para quem (6) diz respeito nao precisam acredi-tar em (7) e (9), ficando sozinho estar justificado em acreditar em tal crenca.A tarefa de estabelecer a verdade de (7) e (8) pode ser deixada aos linguis-tas, aos psicologos, sociologos, ou filosofos, mas certamente nao aos propriosmatematicos.

2.4 A nocao de compromisso ontologico

Versoes do argumento fregeano sao muitas vezes estabelecidas em termosda nocao de compromisso ontologico. Assuma que operemos com o criteriopadrao quineano de compromisso ontologico:

Criterio de Quine Uma sentenca de primeira ordem (ou colecao de taissentencas) esta ontologicamente comprometida com os objetos que de-vem ser assumidos e que estao no conjunto das variaveis para a sentenca(ou colecao de sentencas) ser verdadeira.

Entao segue-se da [Semantica classica] que muitas sentencas da matema-tica estao ontologicamente comprometidas com objetos matematicos. Paraver isto, considere um teorema matematico tıpico S, que envolva algumaocorrencia extensional normal ou de termos singulares ou de quantificadoresde primeira ordem. Pela [Semantica classica], estas expressoes pretendemreferir-se a objetos matematicos ou percorrer objetos matematicos. Para queS seja verdadeira, estas expressoes devem ter sucesso em fazer o que pre-tendem fazer. Consequentemente, para S ser verdadeira, deve haver objetosmatematicos no domınio das variaveis. Pelo [Criterio de Quine] isto significaque S esta ontologicamente comprometida com objetos matematicos.

Quine e muitos outros tomam o [Criterio de Quine] como muito me-nos que uma definicao do termo “compromisso ontologico” ((Quine, 1969) e(Burgess, 2004)). Mas o criterio nunca foi posto em questao. Alguns filosofosnegam que termos singulares e quantificadores de primeira ordem dao origema compromissos ontologicos. Talvez o que seja “requerido do mundo” paraque uma sentenca seja verdadeira envolva a existencia de alguns, mas naotodos, os objetos no domınio dos quantificadores ((Rayo, 2008)). Ou talvez


pudessemos separar a ligacao entre quantificadores existenciais de primeiraordem e a nocao de compromisso ontologico (Azzouni, 2004) e (Hofweber,2000)).

Uma resposta a estas crıticas e observar que o argumento fregeano foidesenvolvido acima sem qualquer uso do termo “compromisso ontologico”.Qualquer crıtica a definicao de “compromisso ontologico” dada pelo [Criteriode Quine] parece, portanto, irrelevante para a versao do argumento fregeanodesenvolvida acima. Entretanto, esta resposta e improvavel para satisfa-zer os crıticos, que responderao que a conclusao do argumento desenvolvidaacima e muito fraca para ter seus efeitos pretendidos. Recorde que a con-clusao, [Existencia], e formalizada em nossa linguagem meta-filosofica ℒP

como “∃xMx”. Assim, esta formalizacao falhara em ter seu efeito preten-dido a menos que esta sentenca da meta-linguagem seja do tipo que incorraem compromisso ontologico. Mas isto e precisamente o que os os crıticos dis-putam. A controversia nao pode ser continuada adicionalmente aqui. Apenasdeixe-me observar que os crıticos devem a nos uma abordagem de porque suanocao nao padrao de compromisso ontologico e melhor e teoricamente maisinteressante que a versao padrao de Quine.

3 Da [Existencia] para o platonismo matema-

tico

Recorde que o platonismo matematico e o resultado de acrescentar a [Exis-tencia] as duas afirmacoes [Abstracao] e [Independencia].

3.1 Abstracao

Pelos padroes da filosofia, [Abstracao] tem permanecido relativamente naocontroversa. Entre alguns filosofos que a tem criticado estao (Maddy, 1990)(acerca dos conjuntos impuros) e (Bigelow, 1988) (acerca de conjuntos evarios tipos de numeros). Esta falta relativa de controversia significa que pou-cas defesas explıcitas de [Abstracao] tem sido desenvolvidas. Mas nao e difıcilver como uma defesa deve seguir-se. Aqui esta uma ideia. E plausıvel, primafacie, restringir qualquer interpretacao filosofica da pratica matematica queseria evitada prescrevendo a matematica quaisquer caracterısticas que pode-riam interpretar a pratica matematica real como mal dirigida ou inadequada.Esta restricao faz ser difıcil negar que os objetos da pratica matematica saoabstratos. Pois se estes objetos tem localizacoes espaco-temporais, entao apratica matematica real seria mal dirigida ou inadequada, uma vez que amatematica pura deveria se interessar pela localizacao de seus objetos, tal


como os fısicos se interessam na localizacao dos seus objetos. O fato de queos matematicos puros nao tenham tal interesse nesta questao indica que seusobjetos sao abstratos.

3.2 [Independencia]

[Independencia] diz que os objetos matematicos, se existem, sao independen-tes dos agentes inteligentes e de sua linguagem, pensamento, e praticas. Estaafirmacao tem recebido relativamente pouca atencao explıcita nas decadasrecentes. (Entre as excecoes estao os filosofos de inclinacao intuicionista econstrutivistas, tal como Dummett). A afirmacao parece ter sido tacitamenteaceita pela maioria dos filosofos analıticos, nem sempre porque eles estao mo-vidos por quaisquer argumentos em seu favor, mas muitas vezes porque naocompreenderam o que seria dizer que esta afirmacao e falsa. Os objetos dafısica ordinaria proporcionam um bom modelo de como e um objeto inde-pendente de nossas atividades. Entretanto uma falha para ver quaisqueralternativas claras de uma visao nao e de imediato uma defesa desta visao.

Pode-se fazer melhor? Uma estrategia e pesquisar um caminho do rea-lismo de trabalho para [Independencia]. Assuma que a metodologia da ma-tematica classica esta justificada. Poderia ser a melhor explicacao deste fatoe que [Independencia] e verdadeira? Tal argumento e sugerido por Godel, queafirma que a legitimidade de definicoes impredicativas e melhor explicada pelaverdade de alguma forma de platonismo, incluindo algo como nossa afirmacao[Independencia] ((Godel, 1944), p. 455-457); ver tambem (Bernays, 1935)para uma afirmacao relacionada, embora mais fraca). Entretanto, emboraseja amplamente aceito que [Independencia] poderia apoiar a legitimacao dedefinicoes impredicativas, fica aberta a questao se a implicacao recıproca edefensavel.

Outra opcao e buscar um caminho da metodologia da teoria de conjuntoscontemporanea para [Independencia] (Godel, 1964). Muito da pesquisa pornovos axiomas em teoria de conjuntos esta hoje baseada na assim chamada“justificacoes extrınsecas”, na qual os axiomas sao propostos nao apenas porsua intrınseca plausibilidade, mas tambem por sua capacidade em explicar esistematizar fatos matematicos mais basicos. Talvez esta metodologia possaser usada de algum modo, se sua sugestao puder ser desenvolvida em umargumento convincente. (Ver (Maddy, 1988) para a discussao de justificacoesextrınsecas em teoria de conjuntos. (Parsons, 1995) para a discussao doplatonismo de Godel).


4 Objecoes ao platonismo matematico

Uma variedade de objecoes ao platonismo matematico tem sido apresentados.Eu agora esboco os mais importantes.

4.1 Acesso epistemologico

A objecao mais influente e, provavelmente, aquela inspirada por (Benacerraf,1973). Eu apresentarei uma versao mais robusta devida a (Field, 1989)12.Esta versao repousa nas tres premissas seguintes.

Premissa 1. Os matematicos sao confiaveis, no sentido de que paraa maioria das sentencas S, se os matematicos aceitam S, entao S everdadeira.

Premissa 2. Para a crenca na matematica ser justificada, deve, pelomenos em princıpio, ser possıvel explicar a confiabilidade descrita naPremissa 1.

Premissa 3. Se o platonismo matematico e verdadeiro, entao estaconfiabilidade nao pode ser explicada, mesmo em princıpio.

Se estas tres premissas sao corretas, seguir-se-a que o platonismo ma-tematico destroi nossa justificacao para acreditar na matematica.

Mas as premissas sao corretas? As primeiras duas premissas sao relati-vamente nao controversas. A maioria dos platonistas ja esta comprometidocom a Premissa 1. E a Premissa 2 parece justamente segura. Se a confia-bilidade de algum processo de formacao de crenca nao pudesse, mesmo emprincıpio, ser explicada, entao o procedimento pareceria funcionar puramentepor acaso, assim destruindo qualquer justificacao que podemos ter para ascrencas produzidas desta maneira.

A Premissa 3 e muito mais controversa. Field defende esta premissaobservando que “os valores de verdade de nossas assercoes matematicas de-pendem de fatos que envolvem entidades platonicas que residem em um reinofora do espaco e do tempo” ((Field, 1989), p. 68) e assim estao causalmente

12 Duas diferencas entre os argumentos de Benacerraf e Field merecem mencao. Primei-ramente, diferentemente de Field, Benacerraf nao ve seu argumento como um objecaoao platonismo matematico mas sim como um dilema. Um desideratum na filosofia damatematica e uma semantica unificada para a linguagem da matematica e para a lingua-gem nao matematica. Outro desideratum e uma epistemologia plausıvel da matematica.Se aceitamos o platonismo matematico, satisfazemos o primeiro desideratum, mas nao oultimo. Se, por outro lado, rejeitamos o platonismo matematico, satisfazemos o segundodesideratum mas nao o primeiro.


isoladas de nos mesmos em princıpio. Entretanto, esta defesa assume quequalquer explicacao adequada da confiabilidade em questao deve envolver al-guma correlacao causal. Isto tem sido criticado por varios filosofos que temproposto uma explicacao menor que a afirmacao de confiabilidade ((Burgesse Rosen, 1997), p. 41-49 e (Lewis, 1991), p. 111-112. Ver, para uma crıtica,(Linnebo, 2006).)13

4.2 Uma objecao metafısica

Outro artigo famoso de Benacerraf desenvolve uma objecao metafısica aoplatonismo matematico (Benacerraf, 1965); ver tambem (Kitcher, 1978).Embora Benacerraf focalize o caso da aritmetica, a objecao naturalmentegeneraliza-se para a maioria dos objetos matematicos. Benacerraf inicial de-fendendo o que e agora conhecido como a visao estruturalista dos numerosnaturais, de acordo com a qual os numeros naturais nao tem outras proprie-dades exceto aquelas que partilham em virtude de serem posicoes em omega-sequencias. Por exemplo, nao ha nada mais a ser dito do numero 3 que terdeterminadas propriedades relacionais definidas intra-estruturalmente, taiscomo suceder ao numero 2, ser a metade de 6, e ser primo. Nao importaquao estudemos aritmetica e teoria dos conjuntos, nunca saberemos se 3 eidentico ao quarto ordinal de von Newmann ou com o ordinal correspondentede Zermelo, ou talvez, como Frege sugeriu, com a classe de todas as classestriplas (em algum sistema que permita que tais classes existam).

Benacerraf entao prossegue para extrair a seguinte conclusao:

Portanto, numeros nao sao objetos afinal, porque ao dar as pro-priedades... de numeros voce meramente caracteriza uma estru-tura abstrata – e a distincao reside no fato de que os “elementos”da estrutura nao tem outras propriedades que aquelas que os re-laciona a outros “elementos” da mesma estrutura ((Benacerraf,1965), p. 291).

Em outras palavras, Benacerraf afirma que nao pode haver objetos quenao tenham alguma coisa alem das propriedades estruturais. Todos os obje-tos devem ter alguma propriedade nao estrutural tambem. (Ver (Benacerraf,1996) para algumas reflexoes posteriores para este argumento.)

Estes passos que compoem o argumento sao controversos. O primeiropasso – que argumenta que os numeros naturais tem somente propriedades

13 Mesmo se a Premissa 3 venha a ser defensavel, pode nao mais vir a ser assim quandoo “anti-nominalismo” for substituıdo por “platonismo matematico”. A discussao naSecao 5.2 fornece alguma razao para duvidar desta versao modificada da Premissa 3.Ver tambem (Linnebo, 2006), Secao 5.16.


estruturais – tem sido recentemente defendidos por uma variedade de estru-turalistas matematicos ((Parsons, 1990), (Resnik, 1997), e (Shapiro, 1997)).Mas este passo e negado por logicistas e neo-logicistas, que afirmam que osnumeros naturais sao ligados intrinsecamente a cardinalidades das colecoesdos quais sao membros. E o segundo passo – que afirma que nao pode haverobjetos unicamente com propriedades estruturais – e explicitamente rejeitadopor todos aqueles estruturalistas que defendem o primeiro passo. (Para algu-mas vozes simpaticas para o segundo passo, ver (Hellman, 2001) e (MacBride,2005). Ver tambem (Linnebo, 2008) para uma discussao).

4.3 Outras objecoes metafısicas

Uma variedade de outras objecoes metafısicas ao platonismo matematico temsido desenvolvidas tambem. Um dos mais famosos exemplos e um argumentode Nelson Goodman contra a teoria de conjuntos. (Goodman, 1956) defendeo Princıpio do Nominalismo, que estabelece que sempre que duas entidadestem os mesmos constituintes basicos, sao identicas. Este princıpio pode serolhado como um fortalecimento do axioma de extensionalidade familiar deteoria dos conjuntos. O axioma da extensionalidade estabelece que se doisconjuntos x e y tem os mesmos elementos – isto e, se ∀u(u ∈ x ↔ u ∈ y)– entao eles sao identicos. O Princıpio do Nominalismo e obtido por substi-tuicao da relacao de pertinencia ∈ com seu fecho transitivo ∈∗14. O princıpioestabelece assim que se x e y sao produzidas por ∈∗ pelos mesmos indivıduos,isto e, se ∀w(u ∈∗ x ↔ u ∈∗ y), entao x e y sao identicas. Endossando esteprincıpio, Goodman proıbe a formacao de conjuntos e classes, permitindoapenas a formacao de somas mereologicas e a aplicacao das operacoes me-reologicas (tais como descritas por seu “calculo de indivıduos”).

Entretanto, a defesa de Goodman do Princıpio do Nominalismo e ampla-mente aceita como sendo nao convincente, como testemunhado pela grandeaceitacao dos filosofos e matematicos da teoria dos conjuntos como um ramolegıtimos e valioso da matematica.

5 Formas leves de platonismo

Recorde que o anti-platonismo diz que existem objetos matematicos abstra-tos, enquanto o platonismo acrescenta a afirmacao da [Independencia], quediz que os objetos matematicos sao independentes dos agentes inteligentes e

14 O fecho transitivo de uma relacao R e a menor relacao transitiva S que contem R. Ofecho transitivo de uma relacao e algumas vezes conhecido como o ancestral de umarelacao.


de sua linguagem, pensamento e praticas (Secao 1.1). Nesta secao final euesbocarei algumas formas leves de platonismo que pertencem ao territorioentre o nominalismo e o platonismo desenvolvido.

5.1 Platonismo abundante

Uma forma leve de platonismo e o “platonismo de raca pura” de (Balanguer,1998). Esta forma de platonismo e caracterizada por um princıpio de ple-nitude com o efeito de que quaisquer objeto matematico que poderia existirrealmente existe. Por exemplo, uma vez que a Hipotese do Contınuo e inde-pendente da axiomatizacao padrao da teoria de conjuntos, existe um universode conjuntos no qual a hipotese e verdadeira e outro no qual ela e falsa. Enenhum universo esta privilegiado em qualquer maneira. Por contraste, oplatonismo tradicional assevera que existe um unico universo de conjuntosno qual a Hipotese do Contınuo esta determinada seja como verdadeira, sejacomo falsa.

Um benefıcio alegado desta visao abundante esta na epistemologia damatematica. Se toda teoria matematica consistente e verdadeira de algumuniverso de objetos matematicos, entao o conhecimento matematico serafacil de ser obtido. Contanto que nossas teorias matematicas sejam consis-tentes, elas entao garantirao ser verdadeiras de algum universo de objetosmatematicos. Entretanto, o “platonismo de raca pura” tem recebido muitascrıticas. (Colyvan e Zalta, 1999) critica-o por deixar indeterminado a possi-bilidade da referencia dos objetos matematicos, e (Restall, 2003), por perderuma formulacao precisa e coerente do princıpio de plenitude sobre o qual avisao e baseada. (Martin, 2001) propoe que diferentes universos de conjun-tos sejam amalgamados para produzir um universo maximal unico, que seraprivilegiado por ajustar nossa concepcao de melhor conjunto que qualqueroutro universo de conjuntos.

Uma versao diferente do platonismo abundante e desenvolvida em (Linskye Zalta, 1995) e uma serie de artigos posteriores (ver, por exemplo, (Linskye Zalta, 2006) e outros artigos ali citados). O platonismo original esta er-rado por “conceber os objetos abstratos em um modelo de objetos fısicos”((Linsky e Zalta, 1995), p. 553), incluindo, em particular, a ideia de que taisobjetos sao “escassos” ao inves de abundantes. Uma abordagem alterna-tiva e desenvolvida com base na “teoria de objetos” do segundo autor. Umprincıpio de compreensao muito geral assevera a existencia de abundantesobjetos abstratos: para qualquer colecao de propriedades, existe um objetoque “codifica” precisamente tais propriedades. E dois objetos abstratos saoidenticos apenas no caso em que eles codificam precisamente as mesmas pro-priedades. Este princıpio de compreensao e o criterio de identidade sao ditos


“fornecerem a ligacao entre nossa faculdade cognitiva de compreensao e osobjetos abstratos” (ibid., p. 547). (Ver (Ebert e Rossberg, 2007) para umadiscussao crıtica.)

5.2 Valores de verdade leves

Assuma que o anti-nominalismo e verdadeiro. Por conveniencia, assumatambem [Semantica Classica]. Estes pressupostos asseguram que a lingua-gem da matematica contem termos singulares e quantificadores que, respec-tivamente, referem e percorrem objetos abstratos. Dadas estes pressupos-tos, deveria tambem um matematico ser platonico? Isto e, os objetos queas sentencas matematicas referem e os quantificadores percorrem satisfazem[Independencia] ou alguma condicao similar? Sera util restabelecer nossospressupostos em termos mais neutros. Podemos fazer isto invocando a nocaode valor semantico, que joga um papel importante na semantica e na filosofiada linguagem. Nestes campos e amplamente assumido que cada expressao fazalguma contribuicao definida para o valor de verdade das sentencas nas quaisa expressao ocorre. Esta contribuicao e conhecida como o valor semanticoda expressao. Eu escreverei ∥E∥ para o valor semantico de uma expressao E.E amplamente assumido (pelo menos em contextos extensionais) que o valorsemantico de um termo singular e apenas seu referente.

Nossos pressupostos podem agora ser estabelecidos neutralmente comoa afirmacao de que termos matematicos singulares tem valores semanticosabstratos e que seus quantificadores percorrem estes tipos de itens que servemcomo valores semanticos. Foquemos na afirmacao sobre termos singulares.Qual e o significado filosofico desta afirmacao? Em particular, apoia algumaversao de [Independencia]? A resposta depende do que e requerido para umatermo singular ter um valor semantico.

Alguns filosofos argumentam que nao e requerido muito ((Frege, 1953)),(Dummett, 1981), (Dummett, 1991a), (Hale e Wright, 2000), e (Wright,1983)). E suficiente que um termo t faca alguma contribuicao definida paraos valores de verdade das sentencas nas quais ocorre. O proposito todo danocao de um valor semantico era representar tais contribuicoes. E portantosuficiente que um termo singular possua um valor semantico e que faca al-guma contribuicao adequada. Isto pode mesmo abrir um caminho para umtipo de reducionismo ((Dummett, 1991a)). Embora seja perfeitamente ver-dadeiro que o termo matematico singular t tenha um objeto abstrato comoseu valor semantico, esta verdade pode ser obtida em virtude de fatos maisbasicos que nao mencionam ou envolvem o objeto abstrato relevante. Com-pare, por exemplo, a relacao de pertencimento que se obtem entre uma pes-soa e sua conta bancaria. Embora seja perfeitamente verdadeiro que a pessoa


possui a conta bancaria, esta verdade pode ser obtida em virtude de fatossociologicos ou psicologicos mais basicos que nao mencionam ou envolvem aconta bancaria.

Se alguma abordagem leve dos valores semanticos e defensavel, podemosaceitar os pressupostos do anti-nominalismo e da [Semantica classica] sem noscomprometermos com qualquer forma tradicional ou robusta de platonismo.

5.3 O que e o platonismo matematico afinal?

As formas leves de platonismo merecem ser chamadas “platonismo”? Umavez que as visoes claramente qualificam-se como anti-nominalistas, a questaoe se elas sao suficientemente verdadeiras para a afirmacao [Independencia].

Uma interpretacao natural de [Independencia] e a condicao contrafatualque, nao havendo quaisquer agentes inteligentes, ou fossem sua linguagem,pensamento e praticas adequadamente diferentes, ainda haveria objetos ma-tematicos. Se isto e tudo o que [Independencia] proporciona, entao as formasleves de platonismo igualmente satisfazem a afirmacao e assim qualificam-secomo genuinamente platonicas.

Mas e duvidoso que esta interpretacao seja aceitavel. Pois [Independencia]e significado substanciar uma analogia entre objetos matematicos e objetosfısicos ordinarios. Tais como eletrons e planetas existem independentementede nos, assim tambem existem numeros e conjuntos. E tal como sentencassobre eletrons e planetas sao verdadeiras ou falsas por causo dos objetos aosquais as sentencas dizem respeito e estes objetos tem propriedades perfeita-mente objetivas, assim sao tambem as sentencas sobre numeros e objetos.Uma vez que as formas leves de platonismo distanciam-se explicitamentedesta analogia, [Independencia] devera presumivelmente ser interpretada emum modo que a faz incompatıvel com as formas leves de platonismo.

O problema e a natureza elusiva da analogia com a qual [Independencia]e baseada. Ate que tenhamos um domınio desta analogia, restara nao claroexatamente como o platonismo e suposto ir alem do anti-nominalismo15.

15 Agradeco a Leon Horsten, James Ladyman, Hannes Leitgeb, David Liggins, AlexanderPaseau, e Philip Welch por comentarios e discussao. Agradeco tambem a uma audienciajunto a ECAP6 em Cracovia, onde partes deste material foram apresentados. Esteartigo foi escrito durante um perıodo de licenca financiada por uma AHRC ResearchLeave Grant (number AH/E003753/1). Eu, com gratidao, reconheco esse apoio.


6 Apendice: algumas definicoes de “plato-

nismo”

O platonismo, em filosofia da matematica, e fundado numa semelhanca: acomparacao entre a apreensao da verdade matematica com a percepcaode objetos fısicos, e assim da realidade matematica com o universofısico. ((Dummett, 1978b), p. 202)

O platonismo e a doutrina de que as teorias matematicas relacionam-se asistemas de objetos abstratos, que existem independentemente de nos,e que as sentencas destas teorias sao verdadeiras ou falsas de mododeterminado independentemente de nosso conhecimento.((Dummett,1991a), p. 301)

Um realista matematico, ou platonico, (no modo que usarei estes termos)e uma pessoa que (a) acredita na existencia de entidades matematica(numeros, funcoes, conjuntos e assim por diante), e (b) acredita queestes sao independentes da mente e da linguagem.((Field, 1989), p. 1)

[O platonismo e] a visao de que a matematica descreve uma realidade nao-sensorial, que existe independentemente seja das acoes, seja das dis-posicoes da mente humana e e unicamente percebida, e provavelmentepercebida de modo muito incompleto, pela mente humana. ((Godel,1995), p. 323)

[O realismo ou platonismo e a visao de que] a matematica e o estudo ci-entıfico de entidades matematicas que existem objetivamente tal como afısica e o estudo das entidades fısicas. As sentencas da matematica saoverdadeiras ou falsas dependendo das propriedades destas entidades,independente de, ou falta da, nossa habilidade em determinar quais.((Maddy, 1990), p. 21)

Como e costumeiro na discussao dos fundamentos da matematica, o pla-tonismo significa aqui nao apenas a aceitacao de entidades abstratasou universais mas realismo epistemologico ou metafısico com respeitoa elas. Assim uma interpretacao platonica de uma teoria de objetosmatematicos toma a verdade ou falsidade de sentencas da teoria, emsentencas particulares de existencia, serem objetivamente determina-das independentemente das possibilidades de nosso conhecimento desua verdade ou falsidade. ((Parsons, 1983), p. 273)


[O realismo em ontologia ou platonismo e a visao de que] objetos ma-tematicos existem, independentemente dos matematicos, de suas men-tes, linguagens, e o que seja. (Shapiro, 1997), p. 37)

Chamemos de platonico ontologico quem reconhece a existencia de numeros,conjuntos e o que seja como estando par a par com os objetos ordinariose que nao tenta reduzi-los a entidades fısicas ou entidades subjetivasmentais. ((Resnik, 1980), p. 162)

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