MATEMÁTICA A12.º ANO

EXAMES NACIONAIS – 2010-20151.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais

Edição

2016

Com resoluçõescompletas e justificadas

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16

VOLUME ÚNICO416 PÁGINAS

NOTA EXPLICATIVA

Este livro contém os enunciados integrais das provas de exame nacionais (1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais) de Matemática A do 12.º Ano, elaboradas pelo IAVE – Instituto de Avaliação Educativa e aplicadas entre 2010 e 2015.

Para cada item de construção é apresentada uma proposta de resolução completa e justifi cada.

Para cada item de seleção são igualmente apresentados um raciocínio e uma explicação completa que conduzem, em cada caso, à escolha da opção correta.

Ao lado de cada item, tanto nos enunciados como nas resoluções, existe uma coluna com indicações relativas à matéria abordada, permitindo ao alunoorientar e direcionar o seu estudo para áreas específi cas do programa.

Propostas de resolução elaboradas por uma equipa de professores perten-centes à ASSOCIAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA (APM).

MATEMÁTICA A12.º ANO

EXAMES NACIONAIS – 2010-20151.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais

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preço: € 15,90catálogo n.º 5500416 páginas

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1.as Fases, 2.as Fases e Épocas Especiais

Com resoluçõescompletas e explicadase orientações para o itemde resposta extensa

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ENUNCIADOS

N.os complexos

Operações

Probabilidades

Probabilidadecondicionada

Combinatória

GRUPO II

Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Em C, conjunto dos números complexos, considerecis

� �22 2 19

i� � �

Determine os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2r 6@ , para os quais z é um número imaginário puro.

Na resolução deste item, não utilize a calculadora.

2. De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:

�� 60% dos funcionários residem fora de Coimbra;

�� os restantes funcionários residem em Coimbra.

2.1. Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que:

�� o número de homens é igual ao número de mulheres;

�� 30% dos homens residem fora de Coimbra.

Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa.

Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2.2. Considere agora que a empresa tem oitenta funcionários.

Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa.

A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a

CC C80

3

803

323�

Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada.

Na sua resposta:

�� enuncie a regra de Laplace;

�� explique o número de casos possíveis;

�� explique o número de casos favoráveis.

ENUNCIADOSPara cada item (incluindo os itens de escolha múltipla) existe uma resolução completa e justifi cada

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RESOLUÇÕES

Combinatória

Funções

Funçãoexponencial

2.2.

Seja � o acontecimento ÒO funcion‡rio escolhido reside em CoimbraÓ. Sabe-se que: � �� � � ��� .

Como a empresa tem 80 funcion‡rios, ent‹o 32 residem em Coimbra, pois ��� � �� � �� .

Pretende-se determinar a probabilidade de, num grupo de 3 funcion‡rios, escolhidos ao acaso,

haver no m‡ximo 2 a residir em Coimbra, ou seja, haver 2, ou 1, ou nenhum a residirem em

Coimbra.

O nœmero de casos poss’veis Ž dado por ���� , que corresponde ao nœmero de grupos que Ž

poss’vel formar com 3 funcion‡rios escolhidos de entre os 80 funcion‡rios da empresa.

O nœmero de casos favor‡veis Ž dado por ���� � ���� em que:

� ���� representa o nœmero total de grupos (nœmero de casos poss’veis)

� ���� representa o nœmero de grupos de 3 funcion‡rios escolhidos de entre os 32 que residem

em Coimbra.

Assim, a diferença ���� � ���� corresponde ao nœmero de grupos de 3 funcion‡rios, sendo que,

em cada grupo, existem no m‡ximo 2 funcion‡rios a residir em Coimbra.

De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento Ž dada pelo quociente

entre o nœmero de casos favor‡veis ˆ realizaç‹o desse acontecimento e o nœmero de casos

poss’veis, quando estes s‹o todos equiprov‡veis e o espaço de resultados Ž finito.

Portanto, a probabilidade pedida Ž dada por: ���� � ����

����.

3.3.1.

Determinemos o raio da esfera, � .

Sabe-se que a dist‰ncia do ponto � ˆ base do recipiente Ž 16 cm.

Por outro lado a dist‰ncia, em cent’metros, do centro da esfera ao ponto � Ž dada em funç‹o de � ,

por � �� � � �� � � � �� �������� . No instante inicial a esfera encontra-se na base do recipiente,

pelo que a dist‰ncia do centro da base ao ponto � Ž dada por:

� �� � � �� � � � �� ������� � � � �� � � � ��

Assim, o raio da esfera Ž dado por: � � �� � ��� � � � cm.

O volume da esfera Ž dado por: � � ��� � �� .

O valor do volume arredondado ˆs centŽsimas Ž dado por: � � ���� cm � .

ENUNCIADOSPara cada item (incluindo os itens de escolha múltipla) existe uma resolução completa e justifi cada

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