Preparação para o Enem 2010- Parte 1

2

Desde que foi aplicado pela primeira vez em 1998, o

Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) mostrou-se

diferente dos vestibulares e demais avaliações sele-

tivas por, através de competências e habilidades ad-

quiridas pelo aluno ao longo de sua carreira escolar,

valorizar o raciocínio ao invés da memorização exces-

siva de conteúdos, típica das escolas e cursos especia-

lizados em preparar os “pré-universitários”.

Desta forma, se antes a leitura minuciosa de uma ques-

tão era requisito básico para bem resolver uma prova

de Português ou História, por exemplo, passou-se a

usá-la também como ferramenta necessária para as

provas de disciplinas que, por serem exatas, exigiam

apenas o conhecimento de regras e fórmulas, como a

Matemática. Uma boa interpretação da questão pode

garantir ao candidato um desempenho bastante sa-

tisfatório.

Nos próximos fascículos, apresentaremos questões

resolvidas e comentadas de Matemática, de modo que

você perceba como a construção do conhecimento so-

bre o assunto abordado em cada questão parte dessa

interpretação sem deixar de lado as já citadas regras

e fórmulas.

Por falar em Matemática, um velho problema pode vir

à tona: uma boa parte dos estudantes não gosta dessa

disciplina. Talvez eles a achem difícil, chata, complica-

da... O fato é que é preciso que se tenha em mente que

ela é necessária para aprovação no ENEM, já que 45 das

180 questões do exame são específicas da disciplina.

Isso sem considerar que nas provas de Física e Quími-

ca, por exemplo, o conhecimento matemático é extre-

mamente relevante. Em outros termos, o domínio de

matemática tem um grande peso no ENEM.

Mas, calma! Se você é um desses que não gosta, não

há por que temer. Nossos fascículos foram prepara-

dos de modo que você perceba que questões aparen-

temente complicadas se tornem fáceis. Muitas vezes

a resposta da questão está contida no enunciado. Já

pra quem gosta, prepare-se, pois a prova do ENEM é

um verdadeiro “parque de diversões” pra quem cons-

tantemente desafia sua capacidade de raciocínio e in-

terpretação.

Independente de gostar ou não, treinar é fundamental.

Resolver exercícios e solucionar problemas é a única

forma que garante ao candidato a calma e segurança

necessárias para um bom desempenho. Então, vamos

começar?!

APRESENTAÇÃO

CONTEÚDOS, COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

Já se sabe que o ENEM não é só um teste de conheci-

mento e que a habilidade de interpretar e resolver pro-

blemas é bastante valorizada para um bom desempe-

nho final. Por isso, vamos conhecer os conteúdos que

serão abordados nos próximos fascículos, e lembrar

de forma resumida, suas respectivas competências e

habilidades.

Matemática e suas TecnologiasMatemática e suas Tecnologias

3

1

Conteúdos Competência(s) Habilidades

Conhecimentos numéricos:

operações em conjuntos numéricos

(naturais, inteiros, racionais e reais),

desigualdades, divisibilidade, fatora-

ção, razões e proporções, porcentagem

e juros, relações de dependência entre

grandezas, sequências e progressões,

princípios de contagem.

1 - Construir significados para os nú-

meros naturais, inteiros, racionais e

reais.

1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos núme-

ros e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.

2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.

3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos

sobre afirmações quantitativas.

5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

Conhecimentos geométricos:

características das figuras

geométricas planas e espaciais;

grandezas, unidades de medida

e escalas; comprimentos, áreas

e volumes; ângulos; posições de

retas; simetrias de figuras planas ou

espaciais; congruência e semelhança

de triângulos; teorema de Tales;

relações métricas nos triângulos;

circunferências; trigonometria do

ângulo agudo.

1 - Utilizar o conhecimento

geométrico para realizar a leitura e

a representação da realidade e agir

sobre ela.

2 - Construir noções de grandezas e

medidas, bem como suas variações,

para a compreensão da realidade e a

solução de problemas do cotidiano.

1 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço

tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

2 - Identificar características de figuras planas ou espaciais.

3 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço

e forma.

4 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

5 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.

6 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.

7 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

8 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento

consistente.

9 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.

Conhecimentos de estatística e

probabilidade: representação e

análise de dados; medidas de

tendência central (médias, moda e

mediana); desvios e variância; noções

de probabilidade.

1 - Interpretar informações de

natureza científica e social obtidas

da leitura de gráficos e tabelas,

realizando previsão de tendência,

extrapolação, interpolação e

interpretação.

2 - Compreender o caráter aleatório

e não-determinístico dos fenômenos

naturais e sociais e utilizar

instrumentos adequados para

medidas, determinação de amostras

e cálculos de probabilidade para

interpretar informações de variáveis

apresentadas em uma distribuição

estatística.

1 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

2 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.

3 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a

construção de argumentos.

4 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de

dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em

classes) ou em gráficos.

5 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e

probabilidade.

6 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a

construção de argumentação.

7 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de

estatística e probabilidade.

Conhecimentos algébricos:

gráficos e funções; funções algébricas

do 1.º e do 2.º graus, polinomiais,

racionais, exponenciais e logarítmicas;

equações e inequações; relações

no ciclo trigonométrico e funções

trigonométricas.

1 - Modelar e resolver problemas que

envolvem variáveis socioeconômicas

ou técnico-científicas, usando

representações algébricas.

1 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.

2 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

3 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

algébricos.

Conhecimentos algébricos/

geométricos: plano cartesiano;

retas; circunferências; paralelismo

e perpendicularidade, sistemas de

equações.

1 - Modelar e resolver problemas que

envolvem variáveis socioeconômicas

ou técnico-científicas, usando

representações algébricas e

geométricas.

1 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

2 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção

de argumentação.

4

01) (ENEM 2009 – QUESTÃO 141)Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1º- de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petró-leo.

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br.

Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimati-va, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel con-sumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?

A) 27,75 milhões de litros.B) 37,00 milhões de litros.C) 231,25 milhões de litros.D) 693,75 milhões de litros.E) 888,00 milhões de litros.

Comentário inicial: O texto introdutório surge apenas como ins-

trumento de informação. Ele não apresenta nenhuma informa-

ção que não seja repetida e relevante na pergunta da questão.

Já a pergunta principal pode ser resumida da seguinte forma:

se com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumidos

925 milhões de litros de biodiesel, quantos milhões de litros se-

riam consumidos com a adição de 3%?

Dica: Procure resolver esta situação problema envolvendo a va-

riação de grandezas, diretamente ou inversamente proporcio-

nais.

As grandezas são diretamente proporcionais quando a variação

de uma provoca a variação de outra na mesma razão. Por exem-

plo, se dois padeiros fazem 50 pães em um determinado tempo,

quatro padeiros fariam 100 pães nesse mesmo tempo. Dobrou

o número de padeiros, dobrou o número de pães. Porém, se uti-

lizarmos operações inversas nas grandezas, estamos diante de

grandezas inversamente proporcionais. Por exemplo, supondo

que 5 homens constroem uma casa em dois meses, caso con-

trate 10 homens esta casa será construída em 1 mês. Observe

que eu aumentei o número de homens e diminui o tempo da

construção.

Tanto para grandezas diretamente como inversamente propor-

cionais, utilizamos a “regra de três”. Para resolvê-la, faça o se-

guinte:

i) Organize uma espécie de tabela, colocando na mesma coluna

as grandezas de mesma natureza.

ii) Verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais. Se as grandezas forem diretamente proporcio-

nais faça uma multiplicação dos dados em forma de “x”. Caso

sejam inversas, faça uma multiplicação em linha reta.

SE AS GRANDEZAS FOREM DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Padeiros Pães

2 50

4 x

2 . x = 4 . 50

SE AS GRANDEZAS FOREM INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Pedreiros Mês(es)

5 2

10 x

5 . 2 = 10 . x

Resolução: A questão nos remete ao conhecimento de Regra de

Três Simples e para tal, é preciso que saibamos as variáveis envol-

vidas. Neste caso, as variáveis são percentual de adição de biodiesel

ao diesel e quantidade produzida de litros de biodiesel. Desta for-

ma, poderíamos algebricamente representar da seguinte forma:

Percentual de adição Quantidade produzida

4 925

3 x

O princípio da regra de três simples nos diz que se de quatro

valores conhecemos três, podemos então determinar o que está

faltando. Neste caso, temos como saber o valor de “x”. Conside-

rando que se diminuirmos o percentual de adição, a quantidade

produzida também diminuirá. Concluímos que estamos diante

de grandezas diretamente proporcionais. Portanto, devemos

formar uma equação multiplicando os valores em forma de x.

QUESTÕES


5

1

Percentual de adição Quantidade produzida

4 925

3 x

4 . x = 3 . 925

4x = 2775

x = 2775

4

x = 693,75

Portanto, o item correto é o “D”.

02) (ENEM 2009 – QUESTÃO 144)A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

Um compasso é uma unidade musical composta por determi-nada quantidade de notas musicais em que a soma das dura-ções coincide com a fração indicada como fórmula do compas-so. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com:

A) 24 fusas.B) 3 semínimas.C) 8 semínimas.D) 24 colcheias e 12 semínimas.E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

Comentário: Observemos o exemplo dado pela questão:

Sendo a fórmula do compasso 1/2, temos que

i) um compasso = duas semínimas porque

1 . 1 = 2 . 1 → 1 = 2

2 4 2 4

ii) um compasso = quatro colcheias porque

1 . 1 = 4 . 1 → 1 = 4

2 8 2 8

Dica: você deve reconhecer a representação e equivalência en-

tre números racionais (frações) e números inteiros, bem como

aplicar cálculos envolvendo estes conjuntos numéricos. Deve

ainda reconhecer, num contexto, diferentes significados e re-

presentações de números.

A equivalência entre um número racional representado na for-

ma de fração e um número inteiro é possível se o numerador for

múltiplo do denominador, já que a fração é uma das formas de

divisão. Portanto, um exemplo disso é que 8/4 = 2.

Duas frações também podem ser equivalentes, se a simplificar-

mos irredutivelmente e chegarmos aos mesmos resultados.

Convém ainda lembrar os procedimentos para operações com

frações:

i) Adição e subtração de frações de mesmo denominador: some

ou diminua os numeradores e repita o denominador. Caso seja

necessário, simplifique o resultado.

ii) Adição e subtração de frações de denominadores diferentes:

encontre o mmc (mínimo múltiplo comum) dos denominado-

res. Encontrado esse mmc, faça o seguinte procedimento para

unificar os denominadores, conservando o sinal da operação

em questão: dividida o mmc encontrado pelo denominador e o

resultado multiplique pelo numerador. Caso seja necessário,

simplifique o resultado.

iii) Multiplicação de fração por fração: multiplique o numerador

com numerador e denominador com denominador. Caso seja

necessário, simplifique o resultado.

iv) Multiplicação de fração por número inteiro: multiplique o nú-

mero inteiro pelo numerador e repita o denominador. Caso seja

necessário, simplifique o produto.

Semibreve

Mínima

Semínima

Colcheia

Semicolcheia

Fusa

Semifusa

1

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

6

v) Divisão de frações: multiplique a primeira fração pelo inverso

da segunda. Caso seja necessário, simplifique o produto.

Resolução: Com base em dois dos três exemplos citados pode-

mos resolver da seguinte maneira:

Oito compassos, cuja fórmula é 3/4, correspondem a

8 . 3 = 8 . 3 = 24 = 6

4 4 4

Analisando item a item iremos descobrir qual terá também

como resultado 6.

A) 24 fusas correspondem a 24 . 1 = 24

32 32

Essa divisão não é possível, porém se simplificarmos, dividindo

o numerador e o denominador por 8 teremos como resultado

3/4. O item não corresponde.

B) 3 semínimas correspondem a 3 . 1 = 3

4 4

O item não corresponde.

C) 8 semínimas correspondem a 8 . 1 = 8

4 4

Neste caso, o resultado é 2; logo, o item não corresponde.

D) 24 colcheias e 12 semínimas correspondem a

(24 . 1 ) + (12 . 1 ) = 24 + 12 = 3 + 3 = 6.

8 4 8 4

Este item corresponde.

E) 16 semínimas e 8 semicolcheias correspondem a

(16 . 1 ) + (8 . 1 ) = 16 + 8 = 4 + 1 = 9 .

4 16 4 16 2 2

O item não corresponde.


03) (ENEM 2009 – QUESTÃO 150)Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.Investimentos Bilaterais(em milhões de dólares)

Ano Brasil na França França no Brasil

2003 367 825

2004 357 485

2005 354 1.458

2006 539 744

2007 280 1.214

Disponível em: www.cartacapital.com.br.

Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um va-lor

a) inferior a 300 milhões de dólares.b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 mi-lhões de dólares.c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 mi-lhões de dólares.d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 mi-lhões de dólares.e) superior a 600 milhões de dólares.

Comentário: Apesar de tratar de uma análise de tabela e de mé-

dia aritmética, a solução da questão só será determinada com a

diferença (subtração) entre dois valores.

Dica: Você deverá calcular medidas de tendência central ou de

dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabe-

la, aplicando operação matemática (subtração) para resolver o

problema.

A medida de tendência central em questão é a “média aritmé-

tica”. Para calcular uma média aritmética devemos somar os

valores dados e o resultado dividir pelo número de valores que

foram somados. Se for calcular a média de dados de uma coluna

de uma certa tabela, some os valores informados nesta coluna e

divida pelo número de dados dessa mesma coluna.

Resolução: Inicialmente vamos calcular as médias aritméticas

(já que a questão cita valores médios) de investimentos de am-

bos países no período de 5 anos (2003 até 2007):


7

1

i) Cálculo da média dos investimentos do Brasil na França:

367 + 357 + 354 + 539 + 280 = 1897 = 379,4

5 5

ii) Cálculo da média dos investimentos da França no Brasil:

825 + 485 + 1458 + 744 + 1214 = 4726 = 945,2

5 5

Subtraindo temos: 945,2 – 379,4 = 565,8, valor este compreendi-

do entre 500 milhões de dólares e 600 milhões de dólares.


04) (ENEM 2009 – QUESTÃO 162)Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arreca-darem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os re-sultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.

Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constan-te, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de

A) 920kg.B) 800kg.C) 720kg.D) 600kg.E) 570kg.

Comentário: Perceba que estamos tratando de mais de duas

grandezas (variáveis): quantidade de alunos, dias trabalhados,

horas trabalhadas e quantidade de alimentos arrecadados. Por-

tanto, o assunto em questão é Regra de Três Composta.

Dica: Procure resolver esta situação problema envolvendo a varia-

ção de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

A regra de três composta é utilizada quando se quer descobrir

um único valor a partir de três, cinco ou mais valores já conhe-

cidos. Assim como na regra de três simples, é importante saber

o conceito de grandezas diretamente proporcionais e inversa-

mente proporcionais, o que já vimos na primeira questão resol-

vida neste fascículo.

i) Organize uma espécie de tabela, colocando na mesma coluna

as grandezas de mesma natureza.

ii) Verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente

proporcionais.

iii) Se em alguma coluna existir valores inversamente propor-

cionais, faça a inversão.

iv) Forme razões entre os dados da mesma natureza, colocan-

do antes da igualdade a razão que tiver o valor desconhecido e

depois da igualdade uma multiplicação entre as demais razões,

obtendo apenas duas razões que serão separadas por uma igual-

dade. Multiplique-as em forma de “x” e obtenha o resultado.

Resolução: Inicialmente sabemos que se por dia eram arreca-

dados 12 kg de alimentos, em 10 dias foram arrecadados 120

kg.

Vamos organizar os dados para sabermos quanto foi arrecadado

nos demais dias:

Alunos Dias Horas Qtde. de alimentos

20 10 3 120

50 (20 + 30) 20 4 x

As grandezas são diretamente proporcionais, já que se aumen-

tarmos as horas, dias trabalhados e quantidade de pessoas, a

quantidade de alimentos também aumentará. Portanto, tere-

mos:

120 = 20 . 10 . 3

x 50 20 4

120 = 600

x 4000

600 x = 480000

x = 480000 = 800

600

Logo, se nesses 20 dias foram arrecadados 800Kg e nos dez

primeiros dias foram arrecadados 120Kg, teremos ao final dos

trinta dias 920Kg.

Portanto, o item correto é o “A”.

8

05) (ENEM 2009 – QUESTÃO 167)O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.

biomascontinentaisbrasileiros

áreaaproximada

(km2)

área / totalBrasil

Amazônia 4.196.943 49,29%

Cerrado 2.036.448 23,92%

Mata Atlântica 1.110.182 13,04%

Caatinga 844.453 9,92%

Pampa 176.496 2,07%

Pantanal 150.355 1,76%

Área Total Brasil 8.514.877

Disponível em: www.ibge.gov.br

Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de cam-pos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal?

A) 1.400B) 14.000C) 140.000D) 1.400.000E) 14.000.000

Comentário: Em questões que envolvam unidades de medida

de tamanhos e distâncias, por exemplo, é importante que se ve-

rifique logo se existe ou não concordância nas mesmas. Neste

exercício, por exemplo, a área dos biomas é dada em Km2 e a

área do campo de futebol será dada em m2. Portanto, isso fará

muita diferença na resposta final.

Dica: Se você perceber bem, esta situação-problema envolve

conhecimentos geométricos de espaço e forma, portanto pro-

cure resolvê-la envolvendo medidas de grandeza. Ainda será

preciso que você tenha uma breve noção de escalas na leitura

de representação de situação do cotidiano.

É importante sempre associar um objeto ou espaço com alguma

forma geométrica. Feito isso, devemos apenas aplicar a fórmula

correspondente a esta forma. Neste caso, o campo de futebol

corresponde a um retângulo. A área de um retângulo é dada

por:

Área = base x altura

A = b x h

Para saber o quanto uma área corresponde a outra, devemos

apenas fazer uma divisão, obedecendo a razão que é pedida no

enunciado da questão e tomando o cuidado de unificar, quando

necessário, as unidades de medida.

Resolução: A área do Pantanal é de 150.355 Km2. Calculemos

agora a área do campo de futebol em questão:

Por se tratar de uma forma retangular, teremos:

A = b x h

A = 120 x 90 = 10.800 m2

Logo, para sabermos a quantos campos de futebol correspon-

dem a área do Pantanal, devemos efetuar a seguinte divisão:

150.355 Km2

10.800 m2

porém lembrando que devemos unificar as unidades de medida:

Assim como 1 km = 1000 m, sabemos que 1 Km2 = 1000000 m

Desta forma a divisão correta é

150.355 x 1.000.000 = 13.922.000

10.800

O item que mais se aproxima é o “E”.

Portanto, o item correto é o “E”.

~


9

1

06) (ENEM 2009 – QUESTÃO 178)João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque es-pecial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitas-se esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse ne-cessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opção que dá a João o menor gasto seria

A) renegociar suas dívidas com o banco.B) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.C) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.D) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.E) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

Comentário: Uma questão como esta dispõe já no enunciado

de diversas opções de cálculo. Convém, porém, que façamos a

análise de item por item. Um detalhe: na proposta de emprés-

timo de José, o valor dos juros é de 25% independente do perío-

do. Portanto os 18 meses citados serão irrelevantes para estes

cálculos.

Dica: Procure avaliar a razoabilidade de um resultado numérico

na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.

Faça isso, resolvendo situação-problema que envolve conheci-

mentos sobre expressões numéricas e porcentagem.

O cálculo de uma porcentagem é dado da seguinte maneira:

X% de Y = X . Y = X . Y

100 100

Resolução: Vamos analisar caso a caso as situações para che-

garmos à conclusão de qual opção representa menor gasto:

i) Valor da dívida: (12 parcelas x R$ 150,00) + (5 parcelas x R$

80,00) = 1800 + 400 = 2200

ii) Item A - Renegociação da dívida com o banco: 18 parcelas

mensais de R$ 125,00

18 x 125 = 2250. Este valor já ultrapassa em R$ 50,00 o valor real.

O gasto não se tornaria menor.

iii) Item B - Pegar emprestado de José o dinheiro referente à

quitação das duas dívidas não significaria menor gasto, pois o

fato de estar sendo cobrado juro já implica em um valor em cima

dos R$ 2200. No caso, 2200 mais 25% dos 2200, que equivale a

2200 mais (25 x 2200).

100

Valor final de 2200 mais 550, totalizando um gasto de R$

2750,00.

iv) Item C - Recusar o empréstimo de José e pagar todas as par-

celas pendentes nos devidos prazos: o gasto final seria de R$

2200.

v) Item D - Pegar emprestado de José o dinheiro referente à

quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de

crédito.

Ele pegaria com José 1500, já que ele ao invés de 12 pa-

garia 10 parcelas de 150,00 de acordo com a propos-

ta do gerente de lhe descontar duas parcelas, mais

25% dos 1500 pegos emprestado, o que equivale a

25 x 1500 = 375

100

odnazilatot ,oãtrac od soditnam maires euq 00,004 $R so siam e

R$ 2275,00 e não faz deste um gasto menor:

1500 + 375 + 400 = 2275

vi) Item E - pegar emprestado de José o dinheiro referente à

quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque es-

pecial.

Para isso, ele pegaria com José R$ 300,00 (já que ele teria des-

conto de 25% do banco, o que corresponde a R$ 100,00), somava

mais 1800 do cheque especial (12 parcelas de 150,00), mais os

juros dos R$ 300,00 pegos emprestados que equivale a

300 x 25 = 75

100

totalizando 2175 e sendo este um gasto menor que os anterio-

res:

300 + 1800 + 75 = 2175

Portanto, o item correto é o “E”.

10

07) (ENEM 2009 – QUESTÃO 137)O mapa abaixo representa um bairro de determinada cida-de, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra re-presentada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?

A) 25 min B) 15 min C) 2,5 min D) 1,5 min E) 0,15 min

Comentário: Antes de resolver a questão, procure atentar e obede-

cer o sentido das setas e qual o caminho mais rápido para partir de

X e chegar a Y. Além disso, perceba que o autor da questão pergunta

o tempo, em minutos e a velocidade está em quilômetro por hora.

Dica: Você deverá interpretar a localização e a movimentação

de objetos no espaço e, ainda, as relações entre grandezas e

unidades de medida.

Se numa divisão, o dividendo (numerador) estiver em Km e o di-

visor (denominador) em Km/h, devemos multiplicar o resultado

por 60 (quantidade de minutos em uma hora). Isso se a resposta

for pedida em minutos. Caso fosse pedida em horas, multiplica-

ríamos por 1 e o resultado não seria alterado.

(Lembra da regra da divisão de número inteiro por fração ou

fração por fração? Repete a primeira e multiplica pelo inverso

da segunda!)

Resolução: O caminho mais rápido é alcançado se forem segui-

das 5 setas (cinco quadras). Observe na figura:

Como cada quadra tem 200m de largura, teremos 1000m per-

corridos. Considerando que 1000m corresponde a 1 km, para

calcular o tempo, teríamos que dividir a distância pela velocida-

de e o resultado multiplicar por 60 (minutos), já que o tempo é

pedido em minutos.

T = 1 . 60 = 60 = 1,5 min

40 40


08) (ENEM 2009 – QUESTÃO 165)Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o pri-meiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.D) duas combinações.E) dois arranjos.

Comentário: Esta questão exige muito cuidado em sua interpre-

tação. É necessário também que você saiba organizar a respos-

ta, organizando o que a questão está pedindo. Nesta, ela pede a

quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quan-

tidade total de escolhas dos times do jogo de abertura. Portanto,

é preciso analisar o que se pede separadamente.

Dica: Procure identificar padrões numéricos ou princípios de

contagem.


11

1

Vamos entender o que diferencia combinação, arranjo e permu-

tação. Usamos combinação quando quisermos agrupar coisas

que a ordem não importa. Caso a ordem importe, estaremos

tratando de arranjo. A permutação é usada quando objetos dis-

tintos podem ser arranjados em inúmeras ordens diferentes.

Resolução: Para saber a quantidade total de escolhas possíveis

para o Grupo A, a ordem não importa, portanto podemos usar

combinação. Já para saber a quantidade total de escolhas dos

times do jogo de abertura devemos considerar que o primeiro

escolhido jogaria em seu próprio campo, enquanto o segundo

jogaria como visitante, ou seja, a ordem é importante. Usaría-

mos então um arranjo.

Portanto, o item correto é o “A”.

Estas são questões para você tentar resolver. As respostas virão

comentadas nos próximos fascículos.

01) (ENEM 2005 – QUESTÃO 26)Podemos estimar o consumo de energia elétrica de uma casa considerando as principais fontes desse consumo. Pense na situação em que apenas os aparelhos que constam da tabela abaixo fossem utilizados diariamente da mesma forma. A ta-bela fornece a potência e o tempo efetivo de uso diário de cada aparelho doméstico.

Aparelho Potência (KW)Tempo de usodiário (horas)

Ar condicionado 1,5 8

Chuveiro elétrico 3,3 1/3

Freezer 0,2 10

Geladeira 0,35 10

Lâmpadas 0,10 6

Supondo que o mês tenha 30 dias e que o custo de 1 KWh é de R$ 0,40, o consumo de energia elétrica mensal dessa casa, é de aproximadamente:

A) R$ 135B) R$ 165C) R$ 190D) R$ 210E) R$ 230

02) (ENEM 2005 – QUESTÃO 42)Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado abaixo, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio.

As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadra-do e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de

A) R$ 8,20 B) R$ 8,40 C) R$ 8,60 D) R$ 8,80 E) R$ 9,00

Cinco dicas para bem resolver a prova de Matemática e suas Tecnologias

1. Matemática se aprende exercitando, e como a prova do ENEM é bem

diferenciada, procure montar um banco de questões composto por

provas deste exame dos anos anteriores e as resolva pelo menos duas

vezes cada.

2. Sabendo que a prova de matemática é composta por 45 questões e exige

mais raciocínio, procure defi nir um tempo médio para cada questão a

fi m de evitar que não dê tempo de resolver as demais provas.

3. Procure defi nir que assuntos você domina bem e quais não domina.

Feito isso, procure se aprofundar naqueles que podem lhe apresentar

difi culdades.

4. Leia e releia as questões quantas vezes forem necessárias. De

cara, as questões parecem difíceis, mas calma e perseverança são

fundamentais.

5. Se você realmente estiver estudado, estiver se preparado, resta confi ar

na sua capacidade. Não desanime jamais e saiba que a prova do ENEM

é justa para quem exercitou a boa leitura, interpretação e uso do

raciocínio.

DESAFIOS

PROJETO DESAFIO ENEM 2010 I Jornal Diário do Nordeste I COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA: Prof.Francisco Sidney Nogueira

Brito e Prof. Jackson José Nogueira de Brito I PROFESSORES AUTORES: Gustavo Maximino Lima, Luiza Alice Lopes Menezes,

Ítalo Felipe Gomes e Patrícia Moreira Sampaio I EDITORA VERDES MARES LTDA (Praça da Impresa s/n - Fortaleza/CE - CEP:

60.135-690) I Diretoria Comercial: Antônio Vidal I Gerência Comercial: Alana Aguiar I Planejamento de Vendas: Camila Coutinho.

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Preparação para o Enem 2010- Parte 1