Principio Do Trabalho Virtual

2Principio do Trabalho Virtual (PTV)

2.1.Continuo com microestrutura

Na teoria que leva em considerao a microestrutura do material, cada

partcula ainda representada por um ponto P, conforme Figura 1. Porm suas

propriedades cinemticas so definidas sob um ponto de vista microscpico. Neste

ponto de observao, o ponto P passa a ser definido como um contnuo de

pequena extenso C(P) ao redor do ponto P.

Um contnuo micromrfico de primeira ordem obtido atravs do

deslocamento ui no ponto P em C(P) e expresso atravs da expanso de Taylor

at o primeiro grau, de coordenadas xi em P, conforme equao 1.

jijii xuu '' 1

O significado desta considerao claro, consegue-se descrever o

movimento relativo de vrios pontos da partcula ao assumir que a deformao

homognea dentro do volume da partcula C(P).

O tensor de segunda ordem ij composto de parte simtrica e anti-

simtrica, conforme equao 2 e proposto segundo [35]. A primeira corresponde

ao tensor de microdeformao, equao 3, e a segunda parcela ao tensor de

microrrotao, equao 4.

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32

x1

x2

P

C(P)

Contnuo Macroscpico

Microcontnuo

x1

x2Eixos Locais

Eixos Cartesianos Globais

x1

x2

P

C(P)

Contnuo Macroscpico

Microcontnuo

x1

x2Eixos Locais

Eixos Cartesianos Globais

Figura 1 Representao esquemtica do contnuo clssico e microcontnuo.

][)( ijijij 2

)''''(21

)( jiijij uu 3

ijjiijij uu )''''(21

][ 4

No contnuo clssico, que pode ser caracterizado como um contnuo

generalizado onde o comprimento caracterstico da partcula nulo, apenas possue

tensor deformao e rotao macroscpica, correspondendo respectivamente

parcela simtrica e anti-simtrica, conforme equaes 5, 6 e 7.

][)( ijijij 5

)(21

)( jiijij uu 6

ijjiijij uu )(21

][ 7


33

Os tensores de macro e micro deformaes no so grandezas objetivas,

significando que suas grandezas variam em relao ao movimento de corpo

rgido. Como h necessidade de que estas grandezas sejam objetivas para a

formulao das leis constitutivas, ento definido um tensor relativo:

ijijij 8

Este tensor relativo corresponde diferena entre o tensor de macro

deformao e rotao e o tensor de micro deformao e rotao, conforme alguns

exemplos na Figura 2 [12].

Tambm definido um tensor relativo de terceira ordem, pelos mesmos

motivos explanados acima. Este define a variao do tensor de segunda ordem ij ,

tanto da sua parcela simtrica quanto da anti-simtrica, ou seja, o gradiente

referente rotao e deformao microscpica, conforme equao 9 e Figura 3.

ijkijkx 9

O contnuo generalizado de Mindlin [35] assume que a partcula C(P) sofre

microdeformaes homogneas. As condies cinemticas deste contnuo so

representadas em associao com a energia gerada e os seguintes tensores, para o

trabalho virtual das foras internas: o tensor convencional, denominado de Cauchy

( ij ), o tensor microscpico ( ijS ) e o tensor duplo ( ijk ). Ser agora definido um

tensor, denominando de tensor total ( ij ), para representar o continuo

generalizado, seja do ponto de vista macroscpico ou macroscpico e

microscpico, conforme equao 10. Para o trabalho virtual das foras externas de

massa e superfcie, existem foras: a fora de massa ( if ) e a fora de superfcie

( iT ), ambos referentes ao tensor total, a fora dupla da massa ( ij ) e a fora dupla

de superfcie ( ijM ), ambas referentes ao tensor duplo.

ijijij S 10


34

22

x2

x122

2d

x1

x2

222 udx

222 d

22

x2

x122

2d

x1

x2

222 udx

222 d

x2

x1

x1

x2

21u

21

12

2d

2121

x2

x1

x1

x2

21u

21

12

2d

2121

x2

x1

x1

x2

12u

12

12u

12

2d

1212

x2

x1

x1

x2

12u

12

12u

12

2d

1212

Figura 2 Representao fsica do tensor relativo de segunda ordem ij

[12].


35

111

211

121

221

)(21

121211

111111 x

211211 x

121121 x

221221 x

)(21

121221 xx

111

211

121

221

)(21

121211

111111 x

211211 x

121121 x

221221 x

)(21

121221 xx

)(21

121211 )(21

121221 xx )(21

121211 )(21

121221 xx

Figura 3 Representao dos gradientes relativo de rotao e/ou deformao

micromrfica e das tenses duplas conjugadas ao gradiente [12].

2.2.Principio DAlembert

O princpio afirma que a soma das diferenas entre as foras agindo em um

sistema S e as derivadas no tempo dos momentos do sistema ao longo de um

deslocamento virtual consistente com os vnculos do sistema, zero, conforme

equao 11.

0)( iiii

i umF 11

Onde:

iF so as foras aplicadas;


36

iu o deslocamento virtual do sistema, consistente com os vnculos;

mi so as massas das partculas do sistema;

i so as aceleraes das partculas do sistema;

iim representa a derivada temporal do momentum linear da i-sima

partcula.

Considere a lei de Newton para um sistema de partculas. A fora total sobre

cada partcula :

iiiT mF 12

Onde:

iTF so as foras totais agindo no sistema de partculas;

iim so as foras inerciais resultantes das foras totais.

Movendo as foras inerciais para o lado esquerdo da equao e

considerando o trabalho virtual, W, realizado pelas foras totais e inerciais juntas

atravs de um deslocamento virtual do sistema, temos:

0)( iiii

iT umFW 13

que zera pelo fato de as foras totais sobre cada partcula serem nulas.

Separando as foras totais em foras aplicadas, iF , e foras de vnculo, iC ,

temos:

0)( iiiii

i umCFW 14

Se deslocamentos virtuais arbitrrios so assumidos em direes ortogonais

s foras de vnculo, ento as foras de vnculo no realizam trabalho. Tais

deslocamentos so ditos serem consistentes com os vnculos. Isto leva

formulao do princpio de d'Alembert, que afirma que a diferena entre as foras

aplicadas e as foras inerciais para um sistema dinmico no realiza trabalho

virtual:

0)( iiii

i umFW 15


37

2.3.PTV do Contnuo Generalizado

Aqui introduzirar-se- o conceito bsico de trabalho e deslocamento virtual

ao se considerar uma pequena partcula rgida onde foras atuam. A partcula se

encontra em equilbrio, ento a resultante das foras atuantes so nulas. Caso se

deseja movimentar esta partcula para uma nova posio, uma fora adicional

requerida, ento o sistema de foras originais ser modificado. Agora considerar-

se- um deslocamento virtual definido como um deslocamento arbitrrio que no

afeta o sistema de foras atuante na partcula. Em outras palavras, o deslocamento

virtual um deslocamento ficticio e durante a aplicao de cada fora na partcula

permanece constante em magnitude e direo. Para um deslocamento infinitesimal

as foras devido ao deslocamento so pequenas e podem ser negligenciadas

quando comparadas com as foras atuantes, ento as vezes o deslocamento virtual

pode ser considerado como um deslocamento infinetisimal. Apesar de que por

definio no necessariamente o deslocamento virtual seja infinitesimal [8].

Foras e tenses no so aplicadas diretamente, mas sim o trabalho virtual

que estas geram para determinado tipo de deslocamento virtual. Mais

precisamente, para um sistema S num dado tempo, um deslocamento virtual

definido por um vetor , que corresponde a um campo de velocidade virtual. O

deslocamento virtual u representado por um espao vetorial U cujos elementos

so u . O sistema de foras que se quer considerar definido pela aplicao

continua de U R ou

W L (u ) 16

W um nmero real e corresponde ao trabalho virtual produzido por um

sistema de foras num campo vetorial U precisa ser um espao vetorial topolgico

para garantir a continuidade de L (u ).

Assim como a velocidade real, a virtual definida em funo de um

sistema. O campo de velocidades do mesmo movimento virtual em dois diferentes

sistemas difere somente do campo de velocidade referente ao movimento de corpo


38

rgido, o qual define um espao vetorial C. Assumi-se que C ser sempre

subespao de U.

As diversas foras que atuam no sistema mecnico sero subdivididas de

maneira clssica, de duas formas: foras externas, que representam o efeito

dinmico em S devido interao com outros sistemas que no fazem parte de S,

e foras internas, que representam o efeito que um subsistema (Si) de S realiza em

outro subsistema (Sj) e vice-versa.

Quando um volume est sob a ao de um sistema de cargas, foras internas

so geradas neste. O comportamento do volume, tal como deformaes, ou falha,

est relacionado com a distribuio de foras internas, que por sua vez est

relacionado s foras externas. As foras externas so divididas em dois grupos:

foras de massa e foras de superfcie. Caso um plano imaginrio passe atravs do

volume como apresentado na Figura 4, e na parte I tem as foras F1 e F2 (foras

externas) e na parte II atuam as foras F3 e F4 (foras externas), o corpo est em

equilbrio pois as foras que atuam na parte I se anulam com as que atuam na

parte II. Porm esta fora est distribuda ao longo do plano que passa pelo

volume, que corresponde fora mdia definida como [2]:

AFFmedia

17

Dai tem-se o conceito de que a tenso (fora interna) no ponto A

corresponde a variao de fora por unidade de rea quando a rea tende a zero,

conforme equao 18.

dAdF

AF

A

0

lim 18


39

I

IIF1

F2

F3

F4

F

A

I

IIF1

F2

F3

F4

F

A

Figura 4 Foras de Superfcie Externas e Foras Internas [2]

importante notar que a definio de trabalho virtual das foras internas

tem que respeitar ao axioma apresentado.

Axioma do trabalho das foras internas: O trabalho virtual das foras

internas que atuam no sistema S para o determinado deslocamento virtual uma

grandeza objetiva, entende-se que o trabalho ser o mesmo em qualquer que seja o

sistema onde se observa o movimento virtual. Isto quer dizer que para qualquer

campo de velocidade referente ao movimento de corpo rgido o trabalho das

foras internas ser nulo.

Como j dito o trabalho virtual nulo, j que as foras se anulam, ento por

isto a partcula esta em equilbrio, conforme equao 19.

0 IE WWW 19

O trabalho virtual interno correspondente a energia de deformao

absorvida pela partcula devido ao trabalho virtual externo realizado pelas foras

externas. As foras internas atuantes num meio analisado sob o ponto de vista

macroscpico e microscpico so as seguintes: tenses de Cauchy ( ij ), ou

tenses macroscpicas, tenses microscpicas ( ijS ), ou tenses relativas e

segunda tenso microscpica ( ijk ), ou tenso dupla, que um tensor de terceira

ordem. O tensor macroscpico convencional simtrico, ou seja, jiij

. Ento


40

o trabalho virtual interno, de um meio que ocupa um volume V e uma fronteira

pode ser expresso da seguinte maneira:

dVxSW ijijkijijijV

ijI )( 20

Substituindo na equao 20 a equao 5 at equao 9 tem:

dVSuSW ijkijkijijiV

jijijI }){( 21 Aplicando a integrao por partes:

dnnuSdVSuSW kijijkiiijijijijkkijiV

jijijI }){(})(){(

22

Onde in uma normal unitria apontado na perpendicular da fronteira .

O trabalho virtual das foras internas pode ser dividido em trabalho virtual

devido as foras internas de massa e devido as foras internas de superficie,

conforme equao 23 at equao 25.

IIV

I WWW 23

dVSuSW ijijkkijiV

jijijIV })(){( 24

dnnuSW kijijkiiijijI }){( 25

O passo seguinte introduzir o trabalho virtual das foras externas, que

pode ser dividido em trabalho virtual devido as foras externas de massa e devido

as foras externas de superficie, conforme j definidas anteriormente. Suas

equaes se encontram apresentadas abaixo.

EEV

E WWW 26

dVufW ijijiV

iEV )( 27

dMuTW ijijiiE )( 28


41

O ltimo passo aplicar o principio do trabalho virtual equao 19.

Assume-se que iu e ij escolhidos de modo que estes sejam nulos fora do

volume. Dai, na soma dos trabalhos virtuais, somente a integral de massa

permanece, a qual nula para qualquer valor de iu e ij . Como consequncia

bvia, podemos igualar diretamente os coeficientes do trabalho virtual devido as

foras externas e internas de massa. Separando a parcela do tensor total e do

tensor duplo teremos as duas equaes de equilbrio conforme equao 29 e

equao 30.

0)( ijijji Sf 29

0 ijkkijij S 30

Novamente o mesmo vlido para o trabalho virtual devido s foras

externas e internas de superficie, j que iu e ij so valores arbitrrios.

Separando a parcela do tensor total e do tensor duplo teremos as duas condies

de contorno naturais conforme equaes 31e 32.

iijiji nST )( 31

kijkij nM 32

Na teoria de Mindlin [35], tanto iu quanto ij so independentes e por

isto suas condies de contorno essenciais podem ser aplicadas de maneira

independente, j que o problema totalmente desacoplado. O mesmo vlido

para as condies de contorno naturais, podem ser aplicadas de maneira

independente. Difcil conhecer as condies de contorno ditas como no

clssicas ij e ijM , fato que no impede a utilizao da teoria de Mindlin [35], j

que se pode simplesmente apenas prescrever as condies de contorno ditas como

clssicas, no reconhecendo que isto seja o ideal, ou que represente o problema de

fato. Como ser visto mais adiante, algumas das teorias que tomam em

considerao a partcula no tem suas condies de contorno desacopladas, ou

seja, iu e ij dependem um do outro, como o caso, por exemplo, da teoria do

2 gradiente [36], [37] e [38] e da teoria das tenses-momento [39]. Fato este que


42

por muitas vezes impede que tais teorias sejam utilizadas na engenharia, j que

estas condies de contorno nem sempre so conhecidas. Esta uma vantagem da

Teoria de Cosserat, pois apesar das condies de contorno no serem

desacopladas, estas so de mais fcil interpretao e compreenso fsica.


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