Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM 2004/artigo5-JAS.pdf · Qualidade e Metrologia A avaliação da incerteza de medição pode, no entanto, ser avaliada através

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM

João Alves e Sousa Laboratório Regional de Engenharia Civil - LREC Rua Agostinho Pereira de Oliveira, 9000-264 Funchal, Portugal. E-mail: [email protected]

Resumo

Em anos recentes, à medida que as tolerâncias aplicadas a processos

industriais têm vindo a ser apertadas, requerendo por isso maior exactidão, o papel da incerteza de medição tem-se tornado mais

importante na avaliação da conformidade dessas tolerâncias. De facto, a avaliação da incerteza de medição é crescentemente vista como a âncora

da garantia da qualidade. Isto leva, inevitavelmente, à necessidade de trabalhar com expressões adequadas para a incerteza das medições, de

modo a assegurar o controlo da qualidade.

O objectivo da avaliação da incerteza de medição é modelar estatisticamente o sistema ou processo de medição, tomando em linha de

conta as grandezas de entrada e as suas características para determinar

um resultado final do modelo, explicitando a extensão e a natureza da sua exactidão. É regra na apresentação de resultados em metrologia associar

ao valor da mensuranda um intervalo de confiança de 95 % que contenha o resultado da medição, indicativo da distribuição dos valores que podem

razoavelmente ser atribuídos à mensuranda.

Na avaliação das incertezas de medição, que é o principal objectivo deste

estudo, o método convencional empregue envolve o uso de uma metodologia apresentada no Guide for the Expression of Uncertainty in Measurements (GUM) e em outros documentos similares nele baseados.

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM Esse método é baseado na propagação das incertezas através da aproximação de uma série de Taylor ao modelo de medição. Contudo,

algumas questões têm sido levantadas recentemente, no que concerne à adequação desta abordagem para avaliar e expressar incertezas de

medição, em particular em casos onde estejam presentes distribuições assimétricas, curvas de calibração não lineares e outros, cuja influência nos resultados não pode ser ignorada, sendo importante enquadrar a

validade da utilização do GUM.

Nos casos em que a utilização do método convencional do GUM seja

inapropriada, por violar os princípios teóricos em que o seu desenvolvimento assenta, tem sido sugerido como um processo alternativo

para a determinação das incertezas de medição a utilização do método de

Monte Carlo (MCS – Monte Carlo Simulation). Este método é considerado mais fiável para lidar com os efeitos acima referidos (desde que garantidos

alguns princípios básicos), e possui uma outra vantagem importante que é a possibilidade de ser usado como ferramenta de validação dos resultados

obtidos com o GUM.

O objectivo deste artigo é, desta forma, discutir a garantia dos princípios relacionados com a utilização do GUM na avaliação de incertezas de

medição através de exemplos concretos e, simultaneamente, dar a conhecer, ainda que de forma superficial, um processo alternativo de

calcular essas incertezas nos casos onde a utilização do GUM seja discutível.

1. Introdução

A incerteza associada com o valor de uma quantidade física fornece uma medida quantitativa da fiabilidade e confiança desse valor. Em ciências

Qualidade e Metrologia

puras e aplicadas é reconhecido que a incerteza pode ser usada para avaliar a consistência entre experimentação e teoria, medições diferentes e

teorias diferentes. Em anos recentes, à medida que as tolerâncias aplicadas a processos industriais têm vindo a ser restringidas, requerendo

por isso maior exactidão, o papel da incerteza de medição tem-se tornado mais importante na avaliação da conformidade dessas tolerâncias. De facto, a avaliação da incerteza de medição é crescentemente vista como

nuclear na garantia da qualidade. Isto leva, inevitavelmente, à necessidade de trabalhar com expressões para a incerteza das medições

adequadas para assegurar o controlo da qualidade.

O objectivo da avaliação da incerteza de medição é modelar estatisticamente o sistema ou processo de medição, incluindo a

quantificação das grandezas de entrada (input quantities) e a natureza das

suas inexactidões, e determinar o resultado do modelo (output quantity),

quantificando a extensão e natureza da sua exactidão. Um requisito essencial é associar ao valor da mensuranda um intervalo de confiança que contenha o resultado da medição, que é a melhor estimativa do resultado

numérico obtido, e que possa ser expectável que inclua uma determinada proporção, 95 % na maioria dos casos, da distribuição dos valores que

podem razoavelmente ser atribuídos à mensuranda.

Na avaliação das incertezas de medição, que é o principal objectivo deste

estudo, o método convencional empregue envolve o uso de uma metodologia apresentada no Guide for the Expression of Uncertainty in Measurements (GUM) [1] e em outros documentos similares nele

baseados. Essa metodologia é baseada na representação das quantidades de entrada do modelo em termos de valores estimados e incertezas padrão

associadas que medem a dispersão desses valores. Esses valores e

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM respectivas incertezas são “propagadas” através de uma versão linearizada do modelo (aproximação de uma série de Taylor ao modelo de medição)

para fornecer uma estimativa da quantidade de saída e a sua incerteza. Uma forma de obter um intervalo de confiança é igualmente fornecida. O

procedimento tem também em consideração eventuais efeitos de correlação que existam se as quantidades de entrada forem estatisticamente interdependentes.

Contudo, algumas questões têm sido levantadas recentemente, no que

concerne à adequação desta abordagem para avaliar e expressar incertezas

de medição [2], em particular em casos onde estejam presentes distribuições assimétricas, curvas de calibração não lineares e outros, cuja

influência nos resultados não pode ser ignorada. E não se pense que os

problemas associados ao uso menos adequado do GUM se referem apenas a “grandes e complexos” problemas. Para problemas “pequenos, não-

lineares” envolvendo modelos de medição com apenas 2 ou 3 grandezas de entrada, as incertezas e intervalos de confiança resultantes podem ser

incorrectos. Uma das razões para isso tem a ver com o facto de que a lei de

propagação de incertezas (ou variâncias) promovida no GUM é apenas aplicável a modelos lineares. Outra razão é a aplicabilidade do Teorema do

Limite Central, que é assumido para deduzir os intervalos de confiança com base na distribuição normal ou t-student, e que geralmente requer

(entre outras coisas) um número de grandezas de entrada suficientemente grande. E embora o GUM no seu todo seja um documento muito completo,

a sua aplicação é restrita à versão mais simples e tem sido adoptada pela maioria dos envolvidos em metrologia, daí que urge avaliar a adequação

deste procedimento em geral e em aplicações particulares.


A avaliação da incerteza de medição pode, no entanto, ser avaliada através de outros métodos menos comuns mas cuja aplicação pode ser de enorme

utilidade, até como ferramenta de validação do método GUM convencional cuja aplicação nem sempre é tão criteriosa como deveria. Aqueles métodos,

dos quais se destaca o método de Monte Carlo, têm estado restringidos aos Laboratórios de Medição Primários (NMIs – National Measurement Institutes) devido à sua natureza computacional intensiva.

Porém, para validar o uso de MCS é necessário efectuar alguns estudos

prévios, designadamente aqueles relacionados com a selecção e a

qualidade dos geradores de números pseudo-aleatórios (base dos algoritmos numéricos) e com as funções usadas para converter os números pseudo-aleatórios gerados em valores de funções de distribuições

específicas. Estes valores são utilizados para, através de uma relação

funcional, estimar o valor da mensuranda e o respectivo intervalo de

incerteza com uma exactidão definida.

2. A Incerteza de medição segundo o método GUM

A declaração de um resultado de uma medição só está completo se incluir o valor atribuído à mensuranda e a incerteza da medição associada a esse

valor. A incerteza de medição é um parâmetro, associado ao resultado da medição, que caracteriza a dispersão de valores que podem razoavelmente

ser atribuídos à mensuranda. A avaliação da incerteza é convencionalmente feita pelo uso do chamado método GUM, que é baseado na definição de uma relação funcional (1) entre uma grandeza aleatória

(mensuranda) e várias grandezas de entrada.

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM ( )NXXXfY ,,, 21 L= (1)

A função f do modelo estatístico representa o procedimento de medição e o método de avaliação, descrevendo a forma como o valor da mensuranda Y é

obtido a partir das N grandezas de entrada Xi. Em muitos casos pode constituir uma simples expressão analítica explícita, mas pode ser também uma relação implícita mais complexa, ou ser apenas determinada

experimentalmente ou ainda um mero algoritmo computacional.

Cada input quantity (grandeza de entrada) tem associada uma função de

distribuição de probabilidade (pdf) que caracteriza razoavelmente o seu comportamento, tendo por isso uma natureza aleatória que condiciona o

valor real da mensuranda, não permitindo o seu conhecimento exacto. Daí

a necessidade de associar ao resultado da medição uma estimativa da dispersão dos valores em torno do valor obtido, dada pela incerteza de

medição. Uma estimativa da mensuranda Y, a estimativa resultante denominada por y, é obtida da equação (1) usando estimativas das

grandezas de entrada xi para os valores das dessas grandezas Xi

( )Nxxxfy ,,, 21 L= (2)

A incerteza de medição associada com as estimativas das grandezas de

entrada é avaliada de acordo com uma de duas formas distintas: avaliação

tipo A ou avaliação tipo B. A avaliação da incerteza padrão do tipo A é o método de avaliar a incerteza por análise estatística de uma série de

observações independentes para a mesma grandeza de entrada nas mesmas condições de medição. Neste caso a incerteza padrão é o desvio

padrão experimental da média que resulta da determinação do seu valor

médio. A avaliação da incerteza padrão do tipo B é o método de avaliar a


incerteza por outros meios que não a análise estatística de uma série de observações, e são baseadas nalgum outro conhecimento científico.

Para o primeiro tipo de avaliação referido, se houver resolução suficiente no processo de medição haverá uma dispersão mensurável dos valores

obtidos. Assumindo que a quantidade Xi repetidamente medida é a quantidade Q e que foram feitas k observações estatisticamente

independentes, a estimativa da quantidade Q é q , o valor médio dos

valores individuais qj observados, da qual se pode obter uma variância

associada representada por )(2 qs . A forma de as determinar é através

das fórmulas conhecidas da estatística elementar [3].

∑=

=k

jjq

kq

1

1 (3)

∑=

−−

=k

jj qq

kqs

1

22 )(1

1)( (4)

k

qsqs )()(2

2 = (5)

A raiz quadrada da equação (4) dá-nos o desvio-padrão experimental da amostra de valores medidos. Em relação ao valor médio, a melhor forma de

caracterizar a dispersão de valores em torno do seu valor, é através do

desvio-padrão da média (5). Este estimador determina a contribuição para

a incerteza proveniente da avaliação do tipo A, )()( qsqu = .

É provável que os componentes sistemáticos da incerteza, isto é aqueles que são devidos a erros que se mantêm constantes ao longo da medição, sejam obtidos através de avaliações do tipo B: destes componentes

sistemáticos destacam-se, no caso de um instrumento, as incertezas

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM associadas com as correcções a valores indicados em certificados de calibração. Outros exemplos incluem a incerteza declarada para o padrão

de referência e respectiva degradação, ou instabilidade no seu valor ou leitura, a resolução e estabilidade do equipamento sob calibração, o

procedimento ou método de medição (e.g. erros de alinhamento) e os efeitos das condições ambientais nos anteriores. Depois de identificados todos os possíveis componentes sistemáticos da incerteza, baseados tanto quanto

possível em dados experimentais ou considerações teóricas, eles deverão

ser caracterizados em termos de desvios padrão com base nas distribuições

de probabilidades assumidas. A distribuição de probabilidade de uma incerteza obtida de uma avaliação do tipo B pode tomar uma variedade de

formas, mas é em geral aceitável assumir formas geométricas bem

definidas para as quais o desvio padrão pode ser obtido facilmente. A incerteza padrão é definida como um desvio padrão e é derivada da

incerteza da grandeza de entrada dividindo-a por um número associado à distribuição probabilística assumida. Os divisores para as distribuições

mais comuns em aplicações em metrologia são [4]:

Normal 1 Normal (k=2) 2 Rectangular 3

Triangular 6 U-shaped 2

A distribuição probabilística mais utilizada para representar o

comportamento de grandezas de entrada do tipo B é a distribuição rectangular. Não só quando a informação disponível é escassa, visto que

assim se assume uma atitude pessimista majorando a incerteza padrão


devido a essa fonte de incerteza (excepto num caso), mas principalmente quando se conhecem apenas os limites inferior e superior de um

determinado erro, esta distribuição deve ser assumida para a incerteza associada a esse erro. Se ai for a semi-amplitude da variação, o desvio

padrão, referido aqui como incerteza padrão )( ixu é dado por

3

)( ii

axu = (6)

No caso de ser uma distribuição rectangular descentrada, em relação à

qual se conhecem os limites a e b ( ab > ) então a incerteza padrão

associada virá

12)()( abxu i

−= (7)

Partindo da equação (1), é possível estabelecer um desenvolvimento em

série de Taylor de 1ª ordem em torno de um ponto que representa a

mensuranda:

( ) ( ) ( )∑=

+−⋅

∂∂

+=N

iiii

iN xrx

xffy

1221 ,...,, µµµµ (8)

onde ix e iµ representam, respectivamente, a estimativa e o valor

esperado para cada grandeza de entrada, 2r representa o resto de ordem 2

do desenvolvimento em série de Taylor e o primeiro termo do segundo

membro da equação (8) representa o valor esperado yµ da mensuranda y.

Para se obter a variância de y é necessário determinar a diferença entre a

estimativa da mensuranda (8) e o valor esperado tal como se indica na

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM equação (9), resultando dessa forma a expressão simplificada apresentada na equação (10).

( ) ( )∑=

+−⋅

∂∂

=−N

iiii

iy xrx

xfy

12µµ (9)

( )∑=

−⋅

∂∂

=N

iii

i

xxfy

1

2

2 )( µσ (10)

O segundo membro da equação pode ser modificado de modo a evidenciar

as componentes diagonais e as componentes cruzadas da matriz da variância [5]:

∑ ∑ ∑=

−

= +=

⋅

∂∂

⋅

∂∂

+⋅

∂∂

=N

i

N

i

N

ijij

jii

i xf

xf

xfy

1

1

1 1

22

2 2)( σσσ (11)

onde 2

iσ é a variância associada à grandeza de entrada i e ijσ é a

covariância entre cada par de grandezas de entrada, sendo equivalente a

jiijr σσ .. (r é o coeficiente de correlação para as variáveis em causa).

Como consequência, quando não existe correlação ou quando se admite que

esta é desprezável ( 0≅ijr ), a equação anterior simplifica-se, tomando a

forma:

∑=

⋅

∂∂

=N

ii

ixfy

1

22

2 )( σσ (12)


Substituindo em (11) as variâncias pelas estimativas das incertezas e as

derivadas parciais pela representação equivalente 2

∂∂

=i

i xfc , obtém-se

a Lei de Propagação de Incertezas (LPI) na sua forma geral:

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑=

−

= +=

+=N

i

N

i

N

ijjijijiii xxrxuxuccxucyu

1

1

1 1

222 ,....2.)( (13)

a qual, para o caso de grandezas de entrada não correlacionadas, tem a

representação simplificada mais usual indicada abaixo,

( )∑ ∑= =

==N

i

N

ixii yuxucyu

i1 1

2222 )(.)( (14)

que está associada a uma dispersão dos valores em torno do valor médio com um nível de confiança igual a um desvio-padrão. Em Metrologia, porém, é habitual a utilização de níveis de confiança mais elevados,

normalmente de 95 % (ou 99 %), aos quais corresponde a adopção de um

factor de expansão igual a 2 (ou 3), considerando que a distribuição

associada a y é normal, de acordo com o Teorema do Limite Central. Assim, a adopção de níveis de confiança diferentes de um desvio-padrão na expressão da incerteza de medição designada por expandida, são

genericamente representados na forma abaixo, onde k representa o factor

de expansão.

)(. yukU = (15)

Em muitos casos, porém, pode não ser prático avaliar as incertezas do tipo

A com base num número alargado de medições ( ≥ 30), o que pode resultar numa diminuição do nível de confiança para valores abaixo dos 95 % se o

factor de expansão usado se mantiver k = 2, que só se aplica a situações de

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM convergência para a distribuição normal com amostras de maiores dimensões. Nestes casos, o cálculo de k deverá ao invés ser baseado na

distribuição t-Student, a qual permite determinar a incerteza expandida a partir de amostras mais pequenas, e obter um valor para k que garanta

uma incerteza expandida U mantendo o mesmo nível de confiança de requerido. Para se obter este novo k é necessário determinar uma

estimativa do número efectivo de graus de liberdade efν da incerteza de

medição padrão ( )yu . O GUM recomenda que a equação de Welch-

Satterthwaite seja utilizada para calcular o valor de efν , baseada nos

graus de liberdade iν das componentes de incerteza individuais.

( )( )∑

=

=N

i i

ief yu

yu

1

4

4

ν

ν (16)

O valor dos graus de liberdade iν para contribuições obtidas de avaliações

do tipo A resulta da dimensão da amostra, sendo igual a (N – 1) se a

amostra tiver uma dimensão N. No caso das contribuições do tipo B é

normalmente possível tomar um número de graus de liberdade iν como

sendo infinito, isto é, o seu valor é conhecido com um grau de confiança

muito elevado. Contudo, embora tal seja possível de justificar em certas circunstâncias, a prática comum é utilizar o valor de 50 para quantificar

essa variável. Ver o GUM [1] para ter acesso à fórmula que permite

determinar, para estes casos, o número de graus de liberdade. Em casos

onde a contribuição do tipo B é ela mesma uma incerteza expandida baseada numa distribuição t-Student, então não terá já um número


infinito de graus de liberdade, e deverá ser usado o valor declarado no certificado de calibração ou ser obtido da tabela abaixo indicada.

Tendo obtido um valor para efν a tabela da distribuição t-Student é usada

para determinar o valor de k. A tabela abaixo fornece alguns valores para

k95, isto é para um nível de confiança de 95 %; valores para outros níveis

de confiança podem ser vistos em [1].

efν 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16

k95 13,9 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,28 2,23 2,20 2,17

efν 18 20 25 30 35 40 45 50 60 80 100 ∞

k95 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,00

Deve referir-se que efν não é em normalmente um inteiro pelo que será

necessário interpolar entre valores dados na tabela. Interpolação linear é

suficiente para efν > 3; interpolação de ordem superior deve ser usada nos

outros casos. Alternativamente, usar o valor inferior mais próximo. O valor de k95 obtido da tabela é o valor requerido para calcular a incerteza de medição expandida U95 tal como indicado na equação seguinte,

( )yukU .9595 = (17)

As circunstâncias ideais para aplicação do GUM são aquelas onde existe um modelo aditivo relacionando as variáveis de entrada Xi com a

mensuranda Y, isto é,

nn XaXaY +⋅⋅⋅+= 11 (18)

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM para quaisquer constantes a1,…,an, e qualquer valor de n, grande ou pequeno, desde que as quantidades de entrada Xi tenham distribuições

Gaussianas independentes. Noutras circunstâncias o método GUM convencional fornece em geral uma solução aproximada. A qualidade dessa

aproximação irá depender do número das grandezas de entrada, do grau de não-linearidade do modelo, do desvio em relação à distribuição normal de cada grandeza de entrada e da ordem de magnitude das incertezas

envolvidas, sabendo que a distribuição Y resultante converge para uma

distribuição normal à medida que o número de grandezas de entrada

aumenta e se aproximam os valores das incertezas entre si. Essa aproximação pode ser em muitas circunstâncias perfeitamente aceitável

para aplicações práticas. Noutras pode não ser esse o caso. É conveniente

ler a declaração da secção G.6.6 do GUM.

3. Exemplos de cálculos de incertezas de medição segundo o GUM

3.1 Calibração de uma balança com capacidade de 205 g e resolução de

0,1 mg

A calibração é realizada usando pesos da Classe (OIML) E2. Os testes abrangem um ensaio de linearidade (exactidão) de resposta ao longo da

escala de funcionamento da balança, um ensaio de excentricidade em

resposta ao posicionamento dos pesos em vários pontos do prato da

balança e um ensaio de reversibilidade para determinar a resposta da balança a ciclos ascendentes e descendentes alternados. O ensaio de

repetibilidade está incluído no ensaio de linearidade.

Admite-se que o instrumento de pesagem está nivelado, limpo e em boas condições, e que lhe foi efectuada uma auto-calibração (de acordo com as


instruções do fabricante) antes do início do ensaio de calibração propriamente dito. O cálculo de incerteza abaixo é referente a um valor de

200 g perto do alcance máximo. As indicações da balança são obtidas da seguinte forma:

Indicação pretendida, IARdPPX CIRDPI ++++= δ

onde PP = Peso certificado do padrão de referência,

PD = Degradação do padrão desde a última calibração,

dRδ = Arredondamento do valor de um dígito da indicação,

IAC = Correção devida à impulsão do ar;

RI = Repetibilidade da indicação.

Vamos admitir as seguintes condições de ensaio:

- O certificado de calibração para a massa padrão de referência

de 200 g dá-nos uma incerteza de ± 0,1 mg para um nível de

confiança de 95 % (k = 2);

- O valor máximo admitido para os limites da degradação da

massa padrão foi fixado em ± 0,1 mg, por análise ao histórico

das calibrações. A distribuição de probabilidade é assumida

como sendo triangular;

- O último dígito significativo nos valores a calibrar

corresponde a 0,1 mg, logo existe um possível erro de

arredondamento de ± 0,05 mg. A distribuição de

probabilidade é assumida como sendo rectangular;

- Não se considera qualquer correcção para a impulsão do ar;


- A repetibilidade da balança foi determinada através de uma série de 5 leituras efectuadas (Avaliação do tipo A) com a

massa padrão de 200 g. Entre cada pesagem é importante verificar o zero (tara) da máquina. O desvio-padrão

experimental obtido foi de 0,05 mg, para um valor médio das 5 leituras de 199,9999 g. O número de graus de liberdade para esta avaliação é de 4 (N - 1). O desvio padrão da média

vem,

0224,0505,0)(

)()( ====NPs

PsIu CCR mg

Balanço da incerteza para o patamar de 200 g

Símb Fonte de incerteza Valor ± mg

Distribuição de probabilidade Divisor ic )( Xlu

± mg efν

PP Calibração do peso padrão 0,1 normal 2,0 1,0 0,05 50

PD Degradação do padrão desde última calibração

0,1 triangular 6 1,0 0,058 50

dRδ

Erro de arredondamento digital

0,05 rectangular 3 1,0 0,029 ∞

RI Repetibilidade da indicação 0,022 normal 1,0 1,0 0,022 4

IAC Impulsão do ar 0 rectangular 3 1,0 0,0 50

)( Xlu Incerteza de medição padrão normal 0,085 >125

%95U

Incerteza de medição expandida normal

(k = 2) 0,17 >125


Para um peso aplicado de 200 g a indicação da balança seria então de

199,9999 g ± 0,17 mg. Esta incerteza expandida é baseada numa incerteza

padrão que, quando multiplicada por um factor de expansão k = 2, corresponde a um nível de confiança de 95%.

3.2 Calibração de um paquímetro digital de alcance 200 mm e resolução

0,01 mm

A calibração foi efectuada usando um calibrador de paquímetros e blocos

padrão de referência. Para cada patamar de ensaio obtemos um desvio de

calibração Lδ que é dado pela diferença entre o comprimento indicado

pelo instrumento a calibrar e o valor convencionalmente verdadeiro do padrão de referência,

SX LLL −=δ (19)

Um factor determinante em muitos casos nos ensaios de comprimento é a temperatura, não só devido à sua variação durante o ensaio mas

igualmente por razões do desvio relativamente à temperatura de

referência em laboratórios 0t que é de 20 ºC. Estas variações têm origem

no controlo das condições ambientais, na presença de operadores no espaço físico do ensaio e, por vezes, no próprio aquecimento produzido pelos

equipamentos em funcionamento, que são impossíveis de eliminar, daí o

desvio e a amplitude de variação referidos. Em termos do ensaio experimental estes factores vão produzir uma diferença entre as

temperaturas médias (a que se associa sempre um intervalo de variação) a

que se encontram os equipamentos de referência e a calibrar, St e


Xt respectivamente, com influência na incerteza de medição como se

indica a seguir. Contabilizando na equação anterior o efeito provocado pela variação da temperatura na variação do comprimento, o modelo de

medição transforma-se em,

( )[ ] ( )[ ]00 11 ttLttLL SSSXXX −+−−+= ααδ (20)

Considerando os vários factores que afectam a medição de um

comprimento, nomeadamente degradação, repetibilidade e efeitos

mecânicos, entre outros, a equação do modelo matemático que descreve o comprimento desconhecido de um bloco padrão a calibrar vem então:

( )[ ] EMOPMXSDSX LRRITtLLILLL δδαδδαδ +++−+−+++= (21)

onde SL = Comprimento certificado do comprimento de referência a 20 ºC,

DL = Degradação do comprimento de referência (calibrador ou bloco padrão),

SI = Correcção devida à correcção dos valores lidos no equipamento de referência,

Lδ = Diferença de comprimento determinada no ensaio, L = Comprimento nominal do patamar ensaiado, α = Valor médio dos coeficientes de expansão térmica do

padrão e do paquímetro, tδ = Diferença entre as temperaturas médias do padrão e

do paquímetro, αδ = Diferença entre os coeficientes de expansão térmica do

padrão e do paquímetro, Tδ = Diferença entre a temperatura média do padrão e

paquímetro, e a temperatura de referência de 20 ºC, XI = Correcção devida à resolução finita do paquímetro, MR = Repetibilidade da medição,


OPR = Reprodutibilidade dos operadores, EMLδ = Correcção devido a efeitos mecânicos, como força

aplicada e o paralelismo das faces de medição. Vamos admitir as seguintes condições de ensaio:

- O certificado de calibração para o calibrador de paquímetros (padrão de referência) por patamares, que no caso dos 200 mm igual a ± 1,7x10-3 mm para um nível de confiança de 95 % (k = 2);

- O valor anual médio da degradação dos últimos três anos foi calculado, analisando o histórico dessas calibrações, dando 0,8x10-3 mm. A distribuição de probabilidade é assumida como sendo triangular;

- Não há desvios residuais a considerar;

- A diferença resultante do ensaio de exactidão (3 leituras) foi de 0,01 (arredondado de 0,008), para um valor nominal de L = 200 mm;

- Valor médio do coeficiente de expansão térmica tomado como 11,5x10-6 ºC-1;

- Diferença entre as temperaturas médias do padrão e do paquímetro, estimada em 0,2 ºC;

- Diferença entre os coeficientes de expansão térmica do padrão e do paquímetro, estimada em 2,0x10-6 ºC-1com distribuição triangular;

- O desvio em relação à temperatura de referência é tomado como a maior diferença para 20 ºC ocorrida durante o ensaio, cujas temperaturas são registadas, mais a incerteza do instrumento que mede esses valores; estimada em ± 0,5 ºC;

- Sendo a resolução 0,01 mm esta incerteza é tomada como ± 0,005 mm e é assumida uma distribuição rectangular centrada;

- Foram efectuados 10 ensaios para determinar esta fonte de incerteza, tendo-se chegado a um desvio padrão experimental de ± 7,4x10-3 mm. O correspondente desvio padrão da média é de ± 2,3x10-3 mm;


- A reprodutibilidade dos operadores é baseada em 10 leituras para diferentes situações de ensaio, sendo de ± 8,8x10-3 mm. O correspondente desvio padrão da média é de ± 2,8x10-3 mm.

- O desvio de paralelismo foi determinado como a máxima diferença entre leituras com os blocos-padrão em pontos distintos nas hastes de medição. Esse valor é de 0,01 mm sendo considerada uma distribuição rectangular descentrada.

Balanço da incerteza para o patamar de 200 mm (pontas exteriores)

Símb Fonte de incerteza Valor ± µm

Distribuição de probabilidade Divisor ic )( Xlu

± µm efν

SL Calibração do padrão de refª. 1,7 normal 2,0 1,0 0,85 50

DL Degradação média anual do padrão de refª. últimos 3 anos

0,4 triangular 6 1,0 0,163 50

SI Correcção dos erros do padrão de refª. 0,0 rectangular 3 1,0 0,0 50

tδ Diferença de temp. entre equipamentos 0,1 ºC rectangular 3 -2,3

µmºC-1 0,133 50

T∆×αδ

Efeitos do desvio de temp. em relação à temp. (20ºC) de refª.

0,2 triangular 6 -1,0 0,082 50

XI Erro de arredonda-mento digital 5,0 rectangular 3 -1,0 2,89 ∞

MR Repetibilidade das medições 2,3 normal 1,0 1,0 2,3 9

OPR Reprodutibilidade dos operadores 2,8 normal 1,0 1,0 2,8 9

EMLδ

Efeitos mecânicos (e.g. Paralelismo) 5,0 rectangular 3 1,0 2,89 50

)( Xlu Incerteza de medição padrão normal 5,53 >80

%95U Incerteza de medição expandida Normal

(k = 2) 11 >80


4. O método de Monte Carlo como alternativa para o cálculo de incertezas de medição

Embora o método de Monte Carlo (MCS) já tenha sido aplicado ao cálculo de incertezas em problemas metrológicos, o seu uso tem sido confinado aos

NMIs – Institutos Nacionais de Medição (Laboratórios Primários), devido à sua natureza computacional intensiva, ou a casos onde a distribuição atribuída às grandezas de entrada são as mais comuns Gaussiana (ou

normal) e rectangular (ou uniforme). Como se sabe, outras distribuições

existem como a distribuição triangular e a distribuição em U (e.g

metrologia eléctrica) e combinações destas com as anteriores. A questão principal está não só na determinação de uma incerteza de medição expandida cujo valor seja correcto, mas igualmente no intervalo de

confiança correspondente, questões que nos conduzem à adequação e

validação do GUM.

A grande vantagem do MCS reside não só no facto de os seus resultados tenderem para a solução exacta, dependendo do número de simulações (trials) efectuadas, mas também no facto de fornecer informação muito

mais completa acerca do modelo de medição analisado. Essencialmente o MCS é um método estatístico de amostragem que serve de alternativa à

propagação das incertezas por aproximação do modelo de medição através de séries de Taylor, como no GUM. De facto, o MCS propaga as funções de

densidade de probabilidade (pdf) ao invés de apenas as incertezas das grandezas de entrada, conseguindo assim obter uma estimativa da pdf da mensuranda em vez de um simples parâmetro estatístico como o desvio

padrão final. Com essa estimativa da pdf resultante é depois possível determinar qualquer parâmetro estatístico, incluindo estimativas do

resultado da medição, a incerteza associada e o intervalo de confiança

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM correspondente. Outra importante vantagem do MCS é a sua aplicabilidade independentemente da natureza do modelo de medição, por

exemplo modelos marcadamente não-lineares, e a sua capacidade para trabalhar com modelos de estágios múltiplos.

Como referido atrás em relação ao modelo de medição (puramente aditivo)

mais comum nn XaXaXaY +⋅⋅⋅++= 2211 , o GUM é

particularmente adequado para modelos lineares mas requer que as

grandezas de entrada iX tenham distribuições Gaussianas

independentes. Qualquer desvio em relação a esta condição ideal implica

que o resultado do GUM seja apenas uma aproximação, que irá depender de vários factores como o número de variáveis de entrada, grau de não-linearidade, etc., e em muitas ocasiões a aplicação do GUM não é aceitável,

sendo sugerida a aplicação de métodos numéricos, como o MCS, para avaliar adequadamente as incertezas de medição. Um exemplo comum

onde o GUM pode produzir um resulto incorrecto é na soma de duas distribuições rectangulares com igual semi-amplitude. Nesta situação pode

ser demonstrado, analiticamente ou usando o MCS, que a distribuição

resultante não é Gaussiana mas sim triangular (ou trapezoidal para semi-amplitudes arbitrárias) [Cox]. A aproximação a uma distribuição

Gaussiana é significativamente melhorada quando a soma das grandezas com distribuição uniforme passa de duas para três, o que reforça a

importância do número de grandezas de entrada nas aplicações do GUM. Outro facto ilustrativo de uma outra desvantagem do GUM: tudo o que este produz é um parâmetro estatístico, o desvio padrão, não dando

quaisquer informações sobre a forma da distribuição da mensuranda que é

sempre assumida como normal, uma hipótese nem sempre válida.


Como vimos também o MCS tende para a solução exacta dependendo do número de simulações efectuadas, a exactidão aumentando com este

número (M). Há formas de determinar o número M adequado de simulações para um problema específico, sabendo que o número correcto

de simulações irá depender da forma da pdf e do nível de confiança pretendido. Todavia, um valor de 60000 simulações tem sido adequado para intervalos de confiança a 95% num grande número de testes, mas

mesmo assim deve ser sempre verificado com base no comprimento do intervalo de confiança correspondente, nos percentis 2,5 e 97,5,

relativamente ao número de dígitos significativos na mensuranda. É este o critério de convergência sugerido em [Cox] para garantir um determinado nível de exactidão na incerteza calculada. Assumindo então o valor de

60000 simulações, a aplicação do MCS envolve os seguintes passos

principais [2]:

- Gerar M amostras xi de das grandezas de entrada X;

- Avaliar o modelo yi com base na relação funcional, e.g.

Mixxy iii ,....,1,2,1 =+= para obter a grandeza

desconhecida;

- Ordenar os valores de yi de forma crescente e produzir o histograma correspondente, para permitir estimar a pdf de Y;

- Tomar o intervalo ),( )2/1()2/( MM yy αα − como um intervalo de

)1( α− confiança para a mensuranda;

- Executar um teste específico para validar o procedimento a um

determinado nível de exactidão.

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM Apenas como exemplo do que atrás foi dito, e para que se possa ter uma maior sensibilidade em relação às potencialidades deste método, vejam-se

as três figuras abaixo que reflectem o tal modelo simples aditivo em que as grandezas de entrada têm todas uma distribuição em U [6]. As figuras 1, 2

e 3 abaixo referem-se, sucessivamente, à soma de duas, três e quatro grandezas de entrada com a distribuição referida. Como se pode facilmente constatar, apenas a partir do último caso se pode falar, como aproximação

razoável, de uma distribuição normal resultante. Nos outros casos

estaríamos a assumir algo totalmente irrealista e contrário ao resultado

produzido.

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Histogram

807

0

n1hist_int

fww

0.1690.17 int

Figura 1 Soma de duas distribuições em U


0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

100

200

300

400

500

Histogram

475

0

n1hist_int

fww

0.2390.241 int

Figura 2 Soma de três distribuições em U

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

100

200

300

400

500

600

Histogram

595

0

n1hist_int

fww

0.3180.321 int

Figura 3 Soma de quatro distribuições em U

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM 5. Conclusões

Não se infira do último capítulo que o GUM afinal não é o melhor método

para o cálculo das incertezas ou que não é sequer adequado para este fim,

numa reacção mais drástica aos cuidados que se devem ter na análise ao

modelo de medição que se pretende estudar. Pelo contrário, o GUM continuará a ser o método mais utilizado no cálculo das incertezas de medição, e a sua adequação ao fim para que é utilizada será correcta na

grandíssima maioria dos casos. Refira-se ainda que o documento GUM é

um documento bastante completo que preconiza diferentes abordagens

para diferentes problemas, nomeadamente o uso de termos de ordem superior da série de Taylor, mas que é utilizado quase exclusivamente na

sua versão mais simplificada, que mesmo assim tem validade para a

maioria das situações correntes da metrologia.

Este facto, no entanto, não invalida que em condições particulares devam

ser empregues outros processos de cálculo, como o método de Monte Carlo, ou que pelo menos o GUM não tenha que ser validado para essa aplicação

específica. Um exemplo corrente onde pode ocorrer tal situação é quando existem poucas grandezas de entrada e em que, ao mesmo tempo, uma delas é dominante e não é Gaussiana, para não mencionar outras situações

menos correntes de modelos de complexidade acrescida.

Referências bibliográficas

[1] ISO, BIPM, CEI, IFCC, IUPAC, IUPAP, OIML. Guide for the

Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), 1995.


[2] Cox, M., Dainton, M. and Harris, P. M., Uncertainty and Statistical Modelling. Software Support for Metrology Best

Practice Guide Nº 6, National Physical Laboratory, 2001.

[3] EA. Expression of the uncertainty of measurement in calibration.

Technical Report EA-4/02, European Co-operation ofr Accreditation, 1999.

[4] UKAS. The Expression of Uncertainty and Confidence in

Measurement. Ref. M3003, United Kingdom Accreditation

Service, 1997.

[5] LNEC. Avaliação da incerteza associada à calibração de equipamentos de medição de comprimento por comparação directa. Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Relatório

274/01 – CPCE.

[6] Ribeiro, A.S., Sousa, J.A. and Castro, M.P., Some Remarks on the

Use of U-Shaped Probability Distribution Functions in Monte Carlo Simulation. 10th IMEKO TC7 International Symposium “Advances of Measurement Science”, June 29 – July 2, Saint-

Petersburg, Russia, 2004.

Documents

Princípios do Cálculo de Incertezas – O Método GUM 2004/artigo5-JAS.pdf · Qualidade e Metrologia A avaliação da incerteza de medição pode, no entanto, ser avaliada através