Probabilidade e Esperança Condicional

• Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)?

• Duas situações:– Y discreto– Y contínuo

Caso Discreto

)contínua()|(

)discreta()|()|(

XdxyYxxf

XyYxXxPyYXE

X

x

)(),()|()|(

yYPyYxXPyYxXPyYxFX

Propriedades

• P(XB) = yP(XB | Y=y) P(Y=y)

• FX(x) = P(X ≤ x) =yP(X≤ x| Y=y) P(Y=y)

• FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) = t P(X≤ x| Y=t) P(Y=t)

• E(X) = y E(X|Y=y) P(Y=y)

(ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

Exemplo

• O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro . Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que n homens visitem a academia?

Exemplo

• O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro . O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média . Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

Caso Contínuo

• FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

Propriedades (caso contínuo)

• P(XB) = P(XB | Y=y) fY(y)dy

• FX(x) = P(X ≤ x) =P(X≤ x| Y=y) fY(y)dy

• FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) = t

P(X≤ x| Y=t) fY(t)dt

• E(X) = E(X|Y=y) fY(y)dy

(ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

Caso contínuo

]),[|(lim)|(0

yyyYxXPyYxFyX

• Caso geral:

• Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:

)(),(

)|( ,

yfyxf

yYxfY

YXX

Exemplo

• Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X?

1

1

Exemplo

• Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite.

a) Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite?b) Qual é a probabilidade de que seja desligado depois

das 22 horas?c) Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da

novela e desligado depois?

Exemplo

• Se X e Y são independentes e têm densidades fX e fY, qual é a densidade de X+Y?

Exemplo

• Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?

Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X1, X2, …, Xn , obter a distribuição de:

nn XXXS ...21

nXXX

nSX nn

...21

Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sn e X

• Fácil calcular médias e variâncias

nnXXnXnS

EXXEnnEXES

n

n

212

1

11

)(Var)(Var,)(Var)(Var

,

Somas e médias de v.a. i.i.d.

• Quando n, Var(X) 0• Isto sugere que X tenda a se concentrar em

torno de sua média .• É possível tornar esta afirmativa precisa?

Desigualdade de Markov

• Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:

am

aEXaXP )(

Desigualdade de Chebyshev

• Seja X uma variável aleatória tal que EX = e Var(X) = 2. Então, para todo > 0:

2

2

2Var)|(|

XXP

Lei Fraca dos Grandes Números(Chebyshev, 1867)

• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = e Var X1 = 2. Então, para todo > 0,

0)|(|lim

logo;)|(| 2

2

XPn

XP

n

Lei Forte dos Grandes Números(Kolmogorov, 1925)

• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = Então:

• Em consequência, para todo > 0:

1)lim(

XPn

0)|(|lim

XPn

Observações

• Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1.

• Exemplos– Jogo de São Petersburgo– X~Cauchy (fX(x) = 1/(1+x2))

Teorema Central do Limite

• Estimativa para P(|X–|) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa.

• É possível refiná-la?• Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a

variância, de modo a ter média 0 e variância 1.• Resultado: a distribuição da versão padronizada

converge para uma distribuição fixa (a normal).

Teorema Central do Limite

• Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = e Var X1 = 2. A distribuição de

converge para a normal padrão:

dxzXnPxz2

2

e21)(

)(Xn

Noções de Simulação

• Teorema FundamentalSeja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F-1(U) é F.

Exemplos

• Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial ?

• Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)?

• Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?

Exemplo

• Simular um fila