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Probabilidade III
Ulisses U. dos Anjos
Departamento de EstatísticaUniversidade Federal da Paraíba
Período 2014.1
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 1 / 42
Sumário
1 Apresentação do Curso
2 Vetores AleatóriosFunção de Distribuição conjuntaFunção de Probabilidade ConjuntaFunção Densidade de probabilidade Conjunta
3 Distribuição Condicional
4 Independência entre variáveis aleatórias
5 Modelos Probabilísticos MultivariadosDistribuição MultinomialDistribuição Uniforme multivariada
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 2 / 42
Apresentação do Curso
Conteúdo Programático
1. Vetores aleatórios n-dimensionais.2. Função de distribuição conjunta. Vetor aleatório discreto:
função de probabilidade conjunta. Vetor aleatório contínuo:densidade conjunta. Distribuições marginais. Densidadescondicionais a n variáveis. Critérios de independência paravetores aleatórios independentes
3. Funções de variáveis aleatórias: método da integral deconvolução, Distribuição da soma de variáveis aleatórias, casodiscreto e contínuo
4. Funções de variáveis aleatórias: método do jacobiano,Distribuição do produto e do quociente de variáveis aleatórias.
5. Estatísticas de ordem. Definições. Distribuição dasestatísticas de ordem, Distribuição conjunta das estatísticasde ordem. Algumas funções das estatísticas de ordem(amplitude amostral e mediana). Função de distribuiçãoempírica.
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Apresentação do Curso
Conteúdo Programático
6. Esperança de funções de vetores aleatórios. Propriedades.Momentos mistos e covariância. Propriedades básicas dacovariância. Coeficiente de correlação: Propriedades.Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Função geradora demomentos conjunta.
7. Esperança condicional. Variância condicional. Propriedadesmais importantes da esperança e variância condicionais.
8. Função de regressão.9. Esperanças de vetores aleatórios e matrizes de covariância.
Propriedades mais importantes.10. Distribuição normal multivariada. Distribuição condicional
normal multivariada. Distribuição marginal.
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Vetores Aleatórios
Vetores Aleatórios
Definição 2.1 (Vetor Aleatório)
Seja (Ω,F ,P) um espaço de probabilidade. Então uma funçãoX : Ω→ <m é denominado um vetor um vetor aleatório se a imageminversa de todo Boreliano, B = (B1, . . . ,Bm), do <m for um elemento deF , isto é,
X−1(B) =ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B
∈ F
A Definição 2.1 significa que a função
X(ω) =(X1(ω), . . . ,Xm(ω)
)é tal que, para todo i = 1, . . . ,m e todo Bi ⊂ <, tem-se X−1
i (Bi ) ∈ F .
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Vetores Aleatórios
Vetor Aleatório
Observação 2.1
Da Definição de 2.1 segue que,ω ∈ Ω : X1(ω) ≤ x1, . . . ,Xm(ω) ≤ xm
=
m⋂i=1
ω ∈ Ω : Xi (ω ≤ xi
)
também é um evento. De fato, poisω ∈ Ω : Xi (ω ≤ xi
) é um evento
para todo i = 1, . . . ,m, pois X−1i (Bi ) ∈ F , e a interseção de eventos é
também um evento, visto que qualquer σ−álgebra é fechada para uniões einteresecções.
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Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta
Função de Distribuição Conjunta
Definição 2.2
A função distribuição conjunta de um vetor aleatório X, representada porFX ou simplesmente F , é definida por
F (x) = F (x1, . . . , xm) = P(X1 ≤ x1, . . . ,Xm ≤ xm
)para qualquer x ∈ <m.
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Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta
Função de Distribuição Conjunta: Propriedades
Seja X um vetor aleatório em (Ω,F ,P) então, para qualquer x ∈ <m, F (x)satisfaz as seguintes propriedades:
(P1) F (x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas;De fato, considere um j qualquer fixo, e aj ≤ bj então⋂
i 6=j
ω ∈ Ω : Xi (ω) ≤ xi
∩ω ∈ Ω : Xj(ω) ≤ aj
está contido em,⋂
i 6=j
ω ∈ Ω : Xi (ω) ≤ xi
∩ω ∈ Ω : Xj(ω) ≤ bj
Logo, F (x1, . . . , aj , . . . , xm) ≤ F (x1, . . . , bj , . . . , xm).
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Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta
Demonstração
(P2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas;Isto significa que,
limyj↓xj
F (x1, . . . , yj , . . . , xm) = F (x1, . . . , xj , . . . , xm)
(P3) Se para algum j, xj → −∞, então
limxj→−∞
F (x1, . . . , xj , . . . , xm) = 0
e se para todo i, xi →∞, então
limxi→∞
F (x1, . . . , xm) = 1
(P4) F (x) é tal que, para todo ai , bi ∈ <, tal que ai ≤ bi , temosque,
P(a1 < X1 ≤ b1, . . . , am < Xm ≤ bm,
)≥ 0
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Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta
Exemplo
Exemplo 2.3
Considere uma central de reservas de uma companhia aérea e, para umachamada ao acaso estamos interessados em duas quantidades aleatórias:X1 é o tempo de espera e X2 é o tempo de atendimento, ambas emminutos. Suponha que o comportamento conjunto dessas variáveis sejarepresentada pela função de distribuição abaixo:
F (x1, x2) =
0 se x1 < 0 ou x2 < 0;1 − exp
(− x1
)− exp
(− 2x2
)+ exp
(− (x1 + 2x2)
)se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
(1)
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Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta
Função de Distribuição Marginal
Definição 2.4
Seja F (x) a função de distribuição de (X1, . . . ,Xm). Para cada k,k = 1, . . . ,m, definimos a Função de Distribuição Marginal de Xk por;
F (xk) = limxi→∞,∀i 6=k
F (x)
Exemplo 2.5
Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3:
F (x1, x2) =
0 se x1 < 0 ou x2 < 0;1 − exp
(− x1
)− exp
(− 2x2
)+ exp
(− (x1 + 2x2)
)se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 11 / 42
Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta
Continuação Exemplo 2.5
Assim,F (x1) = lim
x2→∞F (x1, x2) = 1− exp
(− x1
)e
F (x2) = limx2→∞
F (x1, x2) = 1− exp(− 2x2
)
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Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta
Função de Probabilidade Conjunta
Definição 2.6
Seja X for um vetor aleatório discreto, então a Função de ProbabilidadeConjunta é definida por,
PX(x) = P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm)
e deve satisfazer as seguintes propriedades:(i) P(X1 = x1, . . . , xm) ≥ 0, ∀ x ∈ <m;(ii)
∑x∈<m P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) = 1
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Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta
Exemplo
Exemplo 2.7
Duas moedas honestas são lançadas de forma independente e considere asseguintes variáveis aleatórias:
X : número de caras;Y : função indicadora de faces iguais
Assim a função de probabilidade conjunta é dada por:
P(X = x,Y = y) =
0 se x = 0, y = 014 se x = 0, y = 112 se x = 1, y = 00 se x = 1, y = 10 se x = 2, y = 014 se x = 2, y = 1
(2)
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Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta
Continuação Exemplo 2.7
Considere as seguintes regiões para a Função de distribição Conjunta de Xe Y
Quadro 2.1
X < 0 0 ≤ X < 1 1 ≤ X < 2 X ≥ 2y < 0 0 0 0 0
0 ≤ Y < 1 0 0 12 0
Y ≥ 1 0 14 0 1
4
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Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta
Continuação Exemplo 2.7
Assim, analisando o a função de distribuição conjunta é dada por:
F (x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =
0 se x < 0 ou y < 00 se 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 114 se 0 ≤ x < 1, 0y ≥ 112 se 1 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 134 se 1 ≤ x < 2, y ≥ 112 se x ≥ 2, 0 ≤ y < 11 se x ≥ 2, y ≥ 1
(3)
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Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Definição 2.8
Seja X um vetor aleatório contínuo, então dada a função de distribuiçãoconjunta F (x) associada a X, existe um função f : <m → <+ denominadafunção densidade de probabilidade conjunta (fdpc), tal que,
F (x) =
∫ x1
−∞· · ·∫ xm
−∞f (x)dy1 · · · dym.
Da Definição 2.8 segue que
f (x) =∂m
∂x1 · · · xmF (x) (4)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 17 / 42
Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Proposição 2.1 (Propriedades da Função Densidade de probabilidadeConjunta)
Seja f uma função que satisfaz as condições da Definição 2.8, então(P1) f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ <m;(P2)
∫∞−∞ · · ·
∫∞−∞ f (x)dx1 · · · dxm
A função densidade de probabilidade marginal é dada por
f (xk) =
∫ ∞−∞· · ·∫ ∞−∞
f (x)dxi1 · · · dxim−1 , ∀ij 6= k (5)
ou da Definição de Função de distribuição Marginal, segue que
f (xk) =∂
∂xkF (xk) (6)
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Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta
Exemplo
Exemplo 2.9
Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3
F (x1, x2) =
0 se x1 < 0 ou x2 < 0;1 − exp
(− x1
)− exp
(− 2x2
)+ exp
(− (x1 + 2x2)
)se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
A função densidade de probabilidade conjunta é dada por
∂
∂x1F (x1, x2) = exp
(− x1
)− exp
(− (x1 + 2x2)
)logo
f (x1, x2) =∂2
∂x1x2F (x1, x2) = 2 exp
(− (x1 + 2x2)
)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 19 / 42
Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta
Continuação Exemplo 2.9
As funções de distribuição marginais de X1 e X2 foram calculadas noExemplo 2.5, logo as densidades marginais são dadas por
f (x1) =∂
∂x1
(1− exp
(− x1
))= exp
(− x1
)e
f (x2) =∂
∂x2
(1− exp
(− 2x2
))= 2 exp
(− 2x2
)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 20 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional
Definição 3.1
Sejam X e Y duas variáveis em (Ω,F ,P) e B1 e B2 ∈ < comP(Y ∈ B2) > 0. Então, a probabilidade condicional de X dado Y ∈ B2 édado por
P(X ∈ B1 | Y ∈ B2
)=
P (X ∈ B1 ∩ Y ∈ B2)P(Y ∈ B2
) (7)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 21 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional: Y v.a. discreta
Se Y for uma variável discreta e y ∈ < tal que P(Y = y) > 0, então paraX uma variável aleatória qualquer, tem-se que
P(X ∈ B1 | Y = y) =P (X ∈ B1 ∩ Y = y)
P(Y = y
) (8)
Logo, pelo teorema da Probabilidade total segue que a distribuiçãomarginal de X é dada por
P(X ∈ B1) =∑y∈<
P(X ∈ B1 | Y = y)P(Y = y) (9)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 22 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional: Y v.a. discreta
Tomando B1 = (− inf, x ] na Relação (8), obtemos a função dedistribuição condicional de X dado = y
FX |Y
(x | Y = y
)=
P (X ≤ x ∩ Y = y)P(Y = y
) (10)
Consequentemente, a Relação (9) nos fornecerá a função de distribuiçãomarginal de X
FX (x) =∑y∈<
F(x | Y = y
)P(Y = y) (11)
Da Relação (10) segue que a função de distribuição conjunta é dada por,
FX ,Y (x , y) =∑
k:k≤y
P(Y = y
)F(x | Y = k
)(12)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 23 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional
Se ambas as variáveis forem discretas então a função de probabilidadecondicional é dada por
P(X = x | Y = y) =P(X = x ,Y = y)
P(Y = y)(13)
Se ambas as variáveis forem contínuas então a função densidade deprobabilidade condicional é dada por
fX |Y (x | y) =fX ,Y (x , y)
fY (y)(14)
Da Relação (14) segue que
FX |Y (x | y) =
∫ x
−∞fX |Y (z | y)dz (15)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 24 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional
Da Relação (15) segue que
FX ,Y (x , y) =
∫ y
−∞fY (t)FX |Y (x | t)dt (16)
eFX (x) =
∫ ∞−∞
fY (y)FX |Y (x | y)dy . (17)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 25 / 42
Distribuição Condicional
Exemplo
Exemplo 3.2
Considere duas variáveis aleatórias: X discreta e Y contínua, com funçãomista de probabilidade conjunta dada por
f (x , y) =
xyx−1
3 se x ∈ 1, 2, 3, 0 ≤ y ≤ 10 caso contrário.
(18)
1 Verifique que é de fato uma função de probabilidade;2 Determine suas marginais;3 Determine suas condicionais;4 Determine sua função distribuição conjunta.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 26 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Independência entre variáveis aleatórias
Definição 4.1
Seja X = (X1, . . . ,Xm) um vetor aleatório m-dimensional definido em(Ω,F ,P). Então as variáveis X1, . . . ,Xm serão independentes se a suadistribuição conjunta é dada por
PX(X1 ∈ B1, . . . ,Xm ∈ Bm) =m∏
i=1
P(Xi ∈ Bi ).
para qualquer B = (B1, . . . ,Bm) ∈ <m.
Segue da Definição 4.1 que para qualquer sub-família de X as variáveistambém serão independentes, pois se tomarmos algums Bi = <, aDefinição 4.1 continuará sendo válida.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 27 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Independência entre variáveis aleatórias
Observação 4.1Se X = (X1, . . . ,Xm) um vetor aleatório discreto então
PX(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) =m∏
i=1
P(Xi = xi )
Se X = (X1, . . . ,Xm) um vetor aleatório contínuo então,
fX(x1, . . . , xm) =m∏
i=1
f (xi )
Em ambos os casos a função de distribuição será dada por
FX(x1, . . . , xm) =m∏
i=1
F (xi )
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 28 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Exemplo
Exemplo 4.2
Sejam X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. suponhaque a função densidade conjunta seja dada por
fX ,Y (x , y) = e−(x+y)I[0,∞)(x)I[0,∞)(y)
Verifique se X e Y são independentes.
As marginais são dadas por
fX (x) =
∫ ∞0
e−(x+y)I[0,∞)(x)dy = −e−xe−y∣∣∣∞0
= −e−x(0− 1) = e−x
do mesmo modo, fY (y) = e−y I[0,∞)(y), portanto,
fX (x)fY (y) = e−x I[0,∞)(x)e−y I[0,∞)(y) = e−(x+y)I[0,∞)(x)I[0,∞)(y) = f (x , y)
Logo, X e Y são independentes.Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 29 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Exemplo
Exemplo 4.3
Suponha que a densidade conjunta de X e Y é dada por
fX ,Y (x , y) = 8xy I[0,1](x)I[x ,1](y)
Verifique se X e Y são independentes.
As marginais são dadas por
fX (x) =
∫ 1
x8xy I[0,1](x)dy = 8x I[0,1](x)
∫ 1
xydy = 4x(1− x2)I[0,1](x)
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 30 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Exemplo
Para determinar a marginal para Y, primeiro note que,
I[0,1](x)I[x ,1](y) = I[0,1]×[x ,1](x , y) = I[0,y ]×[0,1](x , y) = I[0,y ](x)I[0,1](y)
Assim,
f (Y ) =
∫ y
08xy I[0,1](y)dx = 8y I[0,1](y)
∫ y
0xdx = 4y3I[0,1](y)
Portanto,
f (x)f (y) = 4x(1− x2)I[0,1](x)4y3I[0,1](y) = 16(x − x3)y3I[0,1](x)I[0,1](y)
que é diferente de fX ,Y (x , y) = 8xy I[0,1](x)I[0,1](y), logo X e Y não sãoindependentes.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 31 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial
Distribuição Multinomial
Definição 5.1
Considere um experimento que é repetido n vezes de modo independente,com m possíveis resultados ou eventos de interesse Ai , cada um comprobabilidade pi = P(Ai ) ≥ 0, i = 1, . . . ,m e
∑mi=1 pi = 1. Seja
X1, . . . ,Xm variáveis aleatórias que correspondem ao número de ocorrênciasde cada um dos m possíveis resultados nas n repetições do experimento.Desta forma, o vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xm) segue o modelomultinomial com função de probabilidade conjunta dada por,
P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) =n!
x1! · xm!px11 . . . pxm
m (19)
se 0 ≤ xi ≤ m,∑m
i=1 xi = n. e
P(X1 = x1, . . . ,Xm = xm) = o (20)
caso contrário.Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 32 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial
Distribuição Multinomial: marginais
Se X = (X1, . . . ,Xm) segue o modelo multinomial, com parâmetrosn, p1, . . . , pm, então Xi ∼ Bin(n, pi ), logo E (Xi ) = npi eVar(Xi ) = npi (1− pi ).
Demonstração.De fato, como o experimento é repetido n vezes de modo independente ecada evento de interesse Ai pode ocorrer com probabilidade pi , segue dadefinição da distribuição de binomial que cada Xi possui distribuiçãobinomial com parâmetros n e p.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 33 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial
Exemplo
Exemplo 5.2
Uma barra de comprimento especificado é fabricada. Admita-se que ocomprimento real X (polegadas) seja uma variável aleatória uniformementedistribueid sobre [10, 12]. Suponha-se que somente interesse saber se umdos três eventos seguintes terá ocorrido:
A1 = X < 10, 5 A2 = 10, 5 ≤ X ≤ 11, 8 A3 = X > 11, 8
Dado que 10 barras foram fabricadas, qual a probabilidade de cinco seremmenor que 10,5 e duas serem maior que 11,8?
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 34 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição Uniforme multivariada
Definição 5.3
Dizemos que um vetor é uniformemente distribuído sobre uma região A,A ⊂ <m, se
f (x1, . . . , xm) = c IA(x1, . . . , xm)
em que,
c =1∫
·· ·∫
Adx1 · · · dxm
.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 35 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada
Exemplo
Exemplo 5.4
Suponhamos que o vetor aleatório X = (X1,X2) seja uniformementedistribuido sobre a região delimitada pelas curvas x2 = x1 e x2 = x2
1 para0 ≤ x1 ≤ 1 e 0 ≤ x2 ≤ 1, conforme figura abaixo:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x2
x 1
x2 = x1
x2 = x12
Figura : Uniforme MultivariadaUlisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 36 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada
Exemplo
1 Para x1 < 0 ou x2 < 0 tem-se F (x1, x2) = 0;2 Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2
1 ≤ x2 ≤ x1 tem-se
F (x1, x2) = 6(x1x2 −
x222− x3
13
)= 6x1x2 − 3x2
2 − 2x31 = p(x1, x2)
3 Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2 < x21 ou x1 > 1 e 0 ≤ x2 ≤ 1, portanto para
x1 > 0 e 0 ≤ x2 ≤ min(x21 , 1) tem-se
F (x1, x2) = p(√x2, x2) = 6
√x2x2 − 3x2
2 − 2√x2
3 = 4x322 − 3x2
2
4 Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2 > x1 tem-se
F (x1, x2) = p(x1, x1) = 6x1x1 − 3x21 − 2x3
1 = 3x21 − 2x3
1
5 Para x1 > 1 e x2 > 1 tem-se F (x1, x2) = 1.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 37 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição Normal multivariada
Dizemos que um vetor aleatório X segue o modelo normal multivariado sesua densidade de probabilidade conjunta é dada por
f (x) =(2π)− p
2∣∣Σ∣∣− 1
2 exp[−12(x− µ
)tΣ−1(x− µ
)]para −∞ < xi <∞, i = 1, . . . , p. Notação: X ∼ Np
(µ,Σ
). Em que
µ =
µ1µ2...µp
e Σ =
σ11 σ12 . . . σ1pσ21 σ22 . . . σ2p. . . . . . . . . . . . . . . .σp1 σp2 . . . σpp
é o vetor de médias e a matriz de covariâncias, respectivamente.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 38 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição normal multivariada
Utilizando o teorema da decomposição espectral, a função densidade danormal multivariada pode ser expressa como,
f (x) =(2π)− p
2∣∣Σ∣∣− 1
2 exp
[−12(x − µ
)t ( p∑i=1
1λi
e ieti
)(x − µ
)]
=(2π)− p
2∣∣Σ∣∣− 1
2 exp
[−12
p∑i=1
1λi
(x − µ
)te ieti(x − µ
)]
=(2π)− p
2∣∣Σ∣∣− 1
2 exp
[−12
p∑i=1
1λi
[(x − µ
)te i
]2]Se com exceção da diagonal principal, todos os elementos de Σ forem zero,isto é, todas as covariâncias forem zero, as p componentes de X serãoindependentes, pois nesse caso teremos(verificar!),
f (x) = f1(x1)f2(x2) · · · fp(xp).
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 39 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição normal multivariada
O contorno de uma densidade de probabilidade constante é a superfície deum elipsóide centrado em µ e é igual ao conjunto de pontos,
x ∈ Rp :(x − µ
)tΣ−1(x − µ
)= c2
.
Esses elipsóides têm eixos ±c√λie i , onde (λi , e i ) é um par de
autovalor-autovetor da matriz Σ. De fato, para x − µ = c√λie i tem-se
que, para i = 1,
(x − µ
)tΣ−1(x − µ
)=
p∑i=1
1λi
[(x − µ
)te i
]2=
p∑i=1
1λi
[c√λiet
1e i
]2
=1λ1
c2λ1
et1e1︸︷︷︸=1
2
+1λ2
c2λ2
et1e2︸︷︷︸=0
2
= c2
Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 40 / 42