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5/13/2018 probabilidades - slidepdf.com

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ProbabilidadesProbabilidades

• Conjuntos

Notações de conjuntos para representar

relações entre acontecimentos

Relação entre

conjuntos

Notação de

conjuntos

Acontecimento certo Ω, S , E Acontecimento

impossível ØO acontecimento Anão ocorre

A

Ocorre o

acontecimento A eocorre o

acontecimento B

B A∩

Ocorre o

acontecimento A ouocorre o

acontecimento B ouocorrem ambos

B A∪

Se C ocorre, então Dtambém ocorre (C implica a realizaçãode D)

DC ⊆

Os acontecimentos E e

F são incompatíveis ∅=∩ F E

Cardinal de um conjunto

Ao número de elementos de um conjuntochama-se cardinal do conjunto e representa-se

pelo símbolo # (“cardinal”).

A={1, 2, 7}; #A=3

Igualdade entre os conjuntos )()( B x A x B A ∈⇔∈⇔=

Subconjunto de um conjunto )()( B x A x B A ∈⇔∈⇔⊆

S

B A

Se B é subconjunto próprio de A, escreve-se: A B ⊂ ( B implica A).

Reunião e intersecção de conjuntos

S

A B

A U B

}:{ B x A x x B A ∈∨∈=∪

Nota: )(###)(# B A B A B A ∩−+=∪

S

A B

A∩B

}:{ B x A x x B A ∈∧∈=∩

Conjuntos disjuntos (incompatíveis)

A e B são conjuntos disjuntos se A∩ B=Ø.

S

A B

Diagrama de Venn Propriedades das operações com conjuntos



Propriedade

comutativaA B B A ∪=∪ A B B A ∩=∩

Propriedade

associativa()( B AC B A ∪=∪∪ ()( B AC B A ∩=∩∩

Elemento

neutro A A =∅∪ AS A =∩Elementoabsorvente

S S A =∪ ∅=∅∩ A

Idempotência A A A =∪ A A A =∩Propriedadedistributiva

)()( B AC B A ∪=∩∪ )()( B AC B A ∩=∪∩

Complementar de um conjunto

O complementar de um conjunto A representa-se A .

S

A A

1.º - { } A x x A ∉= :

2.º - S A A =∪

3.º - ∅=∩ A A

4.º - A A =

Complementar de um conjunto relativamente a outro

Seja A e B dois conjuntos.O complementar de B relativamente a A

representa-se por A\B e tem-se:

}:{\ B x A x x B A ∉∧∈=

S

A B

Só se realiza se e só se A se realiza sem que B

se realize.

Leis de De Morgan

Seja A e B dois subconjuntos quaisquer: B A B A ∪=∩ e B A B A ∩=∪

• Termos e conceitos probabilísticos

Experiência determinista

As experiências deterministas ou causais caracterizam-se por produzirem o mesmo resultado, desde quesejam repetidas sob as mesmas condições (i.e.:lançar uma pedra ao mar e verificar que vai ao fundo; furar um balão cheio de ar e verificar que rebenta).

Experiência aleatória

As experiências aleatórias ou casuais caracterizam-se pela impossibilidade de prever o resultado que seobterá, ainda que as experiências sejam realizadas sobas mesmas condições (i.e.: lança um dado e observar aface que fica voltada para cima; tirar um carta de um

baralho e verificar se sai vermelha).

Conjunto de resultados

Ao conjunto formado por todos os resultados possíveis

de uma experiência aleatória chama-se conjunto deresultados ou espaço amostral e representa-se por S,

U ou Ω (i.e.: no lançamento de um dado, S={1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}).

Acontecimento

A qualquer subconjunto de S chamamosacontecimento.Acontecimento de uma experiência aleatória é cadaum dos subconjuntos do conjunto de resultados.

Acontecimento elementar – Se o resultado de umaexperiência consta de um só elemento do conjunto deresultados (i.e.: A={8}).

Acontecimento composto - Se o resultado de umaexperiência consta de dois ou mais elementos doconjunto de resultados (i.e.: B={1, 3, 5, 7}). Lançar dois dados, um dado e uma moeda, retirar de um sacomais de uma bola são experiências compostas porque

envolvem mais do que uma experiência simples. Astabelas de dupla entrada são úteis para identificar todas



as probabilidades de saídas quando se trata deduas experiências simples. O diagrama deárvore usa-se para o mesmo efeito mas podeser utilizado para duas ou mais experiências.

Acontecimento certo – Se o resultado de umaexperiência consta de todos os elementos doconjunto de resultados (i.e.: C ={1, 2, 3, 4, 5,6}=S ).

Acontecimento impossível – Se o resultado deuma experiência não tem qualquer elemento doconjunto de resultados (i.e.: D=Ø).

Acontecimentos incompatíveis eacontecimentos contrários – dois

acontecimentos, X e Y , dizem-se incompatíveisse a sua verificação simultânea for oacontecimento impossível, ou seja, ∅=∩Y X (a realização de um acontecimento não implicaa realização do outro).

SX Y

No caso dos acontecimentos A e B, além deserem incompatíveis ( ∅=∩ B A ), verifica-seque B A∪ é o acontecimento certo (

S B A =∪ ). Por esta razão também se chama a A e B acontecimentos contrários (aintersecção é um acontecimento impossível e areunião é um acontecimento certo).

S

A B

B é o acontecimento contrário de A e

representa-se por A .

• Definição frequencista de

probabilidade

Lei dos grandes números

Ao número à volta do qual estabiliza a frequênciarelativa de um acontecimento quando o número derepetições da experiência cresce consideravelmentechama-se probabilidade do acontecimento.

Designemos por p( A) a probabilidade doacontecimento A.

A relação entre frequência relativa e a probabilidadede um acontecimento permite desde já estabelecer as

seguintes conclusões:

1.º - 0 ≤ p( A) ≤ 12.º - p(acontecimento certo) = p(S ) = 13.º - p(acontecimento impossível) = p(Ø) = 04.º - Se A e B são dois acontecimentos quaisquer domesmo espaço amostral S ,

)()()()( B A p B p A p B A p ∩−+=∪

5.º - Se A e B são incompatíveis,)()()( B p A p B A p +=∪

6.º - )(1)( A p A p −=

• Lei de Laplace

Se os acontecimentos elementares são equiprováveis,a probabilidade de um acontecimento A é igual aoquociente entre o número de casos favoráveis aoacontecimento e o número de casos possíveis. Ou seja:

favoráveiscasosdenúmero

ntoacontecimeaofavoráveiscasosdenúmero)(

A A p =

• Definição axiomática de probabilidade

Axiomas são proposições, sugeridas pela nossaintuição ou experiência, que não se demonstra e seaceitam como verdadeiras.

Provar ou demonstrar uma proposição é mostrar,usando raciocínios lógicos, que ela resulta de outras

consideradas verdadeiras.



Teoremas são proposições que se demonstrama partir dos axiomas ou de outras proposições

já demonstradas.

Axiomas das probabilidades (Axiomática

de Kolmogorov)

Axioma 1 – A probabilidade de qualquer acontecimento A do conjunto de resultados S éum número não negativo.

S A A p ⊆≥ ,0)(

Axioma 2 – A probabilidade do acontecimentocerto é 1.

P(S ) = 1, S é o acontecimento certo

Axioma 3 – A probabilidade da reunião de doisacontecimentos incompatíveis (disjuntos) éigual à soma das probabilidades dessesacontecimentos.

=∩+=∪ )(se),()()( B A B p A p B A p

Teorema 1 – a probabilidade de umacontecimento impossível é zero.

p(Ø) = 0

Teorema 2 – a probabilidade de qualquer acontecimento A é um número do intervalo [0,1].

S A A p ⊆≤≤ ,1)(0

Teorema 3 – a probabilidade do acontecimentocontrário de A ( A ) é igual à diferença entre 1e a probabilidade de A.

S A A p A p −= ),(1)(

Teorema 4 – probabilidade da reunião de doisacontecimentos

)()()()( B A p B p A p B A p ∩−+=∪

Teorema 5 - )()()( B A p B A p A p∩+∩=

Teorema 6 - )()()\( B p A p B A p A B −=⇒⊂

Teorema 7 -)()( A p B p A B ≤⇒⊂

Teorema 8 - )(1)()()( B A p B A p B p A p +=∩++

• Probabilidade condicionada

(acontecimentos dependentes)

Representa-se por p( A| B) a probabilidade deocorrência de A, na hipótese de B se ter realizado, etem-se (probabilidade de A sabendo que B ocorre):

0)(,)(

)()|( ≠

∩= B p

B p

B A p B A p

1.º - )|()()( B A p B p B A p ×=∩

2.º - )|()()( A B p A p B A p ×=∩

• Probabilidade condicionada e

axiomática

Sendo S o conjunto de resultados, S A ⊆ , S B ⊆ e p( B)>0, p( A| B) satisfaz os 3 axiomas da teoria das probabilidades se:

1.º - p( A| B) ≥ 0

2.º - p(S | B) = 1

3.º - Se 21e A A são acontecimentos incompatíveis,

isto é, se ∅=∩ 21 A A , então:

)|()|(]|)[( 2121 B A p B A p B A A p +=∪

• Acontecimentos independentes

Dois acontecimentos são independentes quando a probabilidade de realização de um deles não interferena probabilidade da realização do outro.(Exemplos: lançamentos consecutivos de 2dados/moedas; tirar consecutivamente bolas/cartas,

com reposição.)Dois acontecimentos são independentes se e só se:



)()|( A p B A p =

)()()( B p A p B A p ×=∩

• Teorema das probabilidades

totais

)()|()()|()( B p B A p B p B A p A p ×+×=

ou

...)()|()()|()( 2211 B p B A p B p B A p A p +×+×=

• Teorema de Bayes

)()|()()|(

)()|(

2211 B p B A p B p B A p

B A p A B p

×+×∩

=

• Variável aleatória e distribuição

de probabilidades

Uma variável aleatória é uma variável cujovalor é um resultado numérico associado ao

resultado de uma experiência aleatória. Podeser discreta ou contínua:

Variável aleatória discreta – pode assumir um número finito ou infinito numerável devalores. Dados obtidos por contagem (i.e.: nºde pessoas atendidas num hospital).

Variável aleatória contínua – pode assumir um número infinito não numerável de valores.Dados obtidos através de aparelhos de medida

(i.e.: temperatura).

Notação

Notação Descrição

X Variável aleatória

N Nº de elementos da populaçãoi x Valores que pode tomar a variável

X

i fr Frequência relativa de i x , em %

i f Frequência absoluta de i x

i p Probabilidade de i x

μ, x Médiaσ Desvio-padrão

2σ Variância

Chama-se distribuição de probabilidades de umavariável aleatória X à aplicação que a cada valor i x davariável X faz corresponder a respectiva probabilidade

i p .

Dada uma variável aleatória X , discreta, que assumeum número finito de valores distintos

ni x x x x ,...,,...,, 21 , então as probabilidades)( ii x X P p == , i = 1, …, n, devem satisfazer as

seguintes condições:

1.º - 0 ≤ i p ≤ n, i = 1, …, n

2.º - 11

=∑=

n

i

i p

Amostra PopulaçãoVariável estatística X que toma

valores ni x x x x ,...,,...,, 21

Variável aleatória X que toma valores

i x x x ,...,,...,, 21

Média aritmética

∑∑

=

= ×=

×

=n

i

ii

n

i

ii

fr x N

n x

x1

1

Valor médio ou

esperança

∑=

×=n

i

ii p x1

µ

Variância amostral

∑∑

∑∑

==

=

−=×−

=−

×

=

n

i

i

n

i

ii

i

n

i

ii

x N

n x x

x x N

n x

11

2

221

2

2

()(

σ

Variância

populacional

1

22σ −×=∑

=

n

i

ii p x

Ou

∑=

−=n

i

i x1

22)( µ σ

Desvio-padrão amostral

2σ σ =

Desvio-padrão

populacional

2σ σ =

• Modelo binomial (variáveis discretas)



Distribuição binomial

Designa-se por modelo de distribuição binomial uma experiência aleatória com as

seguintes características:

1.º - É constituída por n provas idênticas.2.º - Em cada prova apenas são possíveis doisresultados: sucesso ou insucesso.3.º - Os resultados das provas sãoindependentes uns dos outros.4.º - A probabilidade de sucesso p não varia de

prova para prova.

À variável aleatória X , que representa o númerode sucessos nas n provas, chama-se variávelaleatória com distribuição binomial de

parâmetros n e p.

Representa-se por B (n, p).

A variável X pode tomar os valores 1, 2, …, n.

Se X tem distribuição binomial de parâmetros n

e p, a probabilidade para qualquer valor X = r

da variável aleatória X é dada por:

r nr

r

n p pC r X P

−

−×== )1()(

Provas de Bernoulli

Sucessão de experiências aleatóriasindependentes, em cada uma das quais seobserva ou não, a realização de umdeterminado acontecimento A, com

probabilidade P(A)=p, constante deexperiência para experiência

A distribuição binomial é um modelo probabilístico aplicável em problemas onde seconsideram repetidas provas de Bernoulli.

Provas repetidas

O problema das provas repetidas consiste nadeterminação da probabilidade de que em n

realizações de uma dada experiência determinadoacontecimento se verifique k vezes.

k nk

k

n q pC k x p −

== .)(

x = k – acontecimenton – nº de vezes que a experiência se repetek – nº de vezes de sucesso

p – probabilidade de sucessoq – probabilidade de insucesso

• Modelo normal (variável contínua)

Uma distribuição normal é caracterizada pela média μe pelo desvio-padrão σ. Representa-se por N (μ,σ). A

curva normal é em forma de sino e denomina-se por Curva de Gauss.

Características da curva normal

1.º - É simétrica relativamente ao valor médio μ davariável.

ℜ∈∀+=− 000 ),()( x x f x f µ µ

2.º - Tem um máximo para x = μ.

3.º - Quanto maior for o desvio-padrão σ , maisachatada é a curva.

4.º - A área compreendida entre a curva e o eixo Ox éigual a 1.

5.º - A probabilidade de que a variável tome valores nointervalo [ ji x x , ] é igual à área compreendida entre oeixo Ox, o gráfico da função densidade e as rectas

i x x=

e j x x=

.

6.º - A concavidade da curva muda de sentido paraσ µ σ µ +=−= 21 e x x ( 21 e x x são abcissas dos

pontos de inflexão).

7.º - O eixo das abcissas é assimptota da curva.

8.º - A área abaixo da curva distribui-se em intervalosda seguinte forma:



* %26,68[;] =+− σ σ x x

* %44,95[2;2] =+− σ σ x x

* %74,99[3;3] =+− σ σ x x

σ 2− x σ − x x σ + x σ 2+ x

•Cálculo combinatório

Princípio geral da multiplicação (“A e B”)

Por cada alternativa, existem n alternativasdiferentes.

Consideremos um processo constituído por k

etapas. Se existirem 1n maneiras de realizar a primeira etapa e se, para cada uma destas,

existirem 2n maneiras de realizar a segundaetapa, e assim sucessivamente, até à k -ésimaetapa, então todo o processo pode ser realizadode k nnnn ×××× ...321 maneiras diferentes.

Princípio geral da adição (“A ou B”)

As várias formas de realizar algo.

Se para realizar um processo existirem k

alternativas que se excluem duas a duas, e seexistirem 1n maneiras de realizar a primeiraalternativa, 2n maneiras de realizar a segunda,…, k n maneiras de realizar a k -ésima, então o

processo pode ser realizado dek nnnn ++++ ...321 maneiras diferentes.

Factorial de um número natural n

Chama-se factorial de um número natural n e

representa-se por n! ao produto: 123...)2)(1(! ××××−−= nnnn

NOTA: 0!=1

Permutações

Chama-se permutação de n elementos a todas assequências diferentes que é possível obter com os n

elementos. O número dessas sequências representa-se por n P (permutação de n). !n P n =

Arranjos sem repetição (arranjos simples)

Dadosn

elementos quaisquer, chama-se arranjos semrepetição de n elementos escolhidos arbitrariamenteentre os n dados. O número de todas estas sequênciasdesigna-se por )1(...)2)(1( +−××−−= pnnnn A p

n n, p∈ N e n≥p

1.º - )!(

!

pn

n A p

n

−

=

2.º - nn

n P A =

Arranjos com repetição (arranjos completos)

Dados n elementos diferentes, naaa ,...,, 21 , chama-se arranjos com repetição dos n elementos p a p atodas as sequências de p elementos, sendo estesdiferentes ou não, que se podem formar escolhendo os

p elementos entre os n dados. O número total desequências representa-se por p

p

nn A ='

Combinações sem repetição (tiragens simultâneas)

p

nC ou

n

p

é o número de subconjuntos com p

elementos que se podem definir num conjunto com n

elementos.

! p

AC

p

n

p

n = )!(!

!

pn p

nC p

n

−

= , n, p 0 N ∈ e n≥ p

1.º - pn

n

p

n C C −

=



2.º - 1

1

1 +

+

+=+ p

n

p

n

p

n C C C

3.º - 10 == n

nn C C

Síntese

Aordeminflui?

Pode haver repetição?

Entram todosos elementos

dasequência?

Combinatória

Arranjos com

repetição - p

p

nn A ='

Arranjos sem

repetição )(

!

pn

n A p

n

−

=

Permutações !n P n =

Combinações

- (!

!

n p

nC pn =

• Triângulo de Pascal

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……………………………………

Corresponde aos valores de:

0

0C

0

1C 1

1C

0

2C 1

2C 2

2C

0

3

C 1

3

C 2

3

C 3

3

C

0

4C 1

4C 2

4C 3

4C 4

4C

0

5C 1

5C 2

5C 3

5C 4

5C 5

5C

0

6C 1

6C 2

6C 3

6C 4

6C 5

6C

6

6C

……………………………………………

Propriedades

1.º - Em cada linha são iguais os termosequidistantes dos extremos:

pn

n

p

n C C −

=

2.º - A soma de dois números consecutivos de umalinha é igual ao número que na linha seguinte figuraentre eles: p

n

p

n

p

nC C C

1

1

+

−=+ Regra de Stiefel

3.º - A soma de todos os elementos da n-ésia linha éigual a n2 : n

n

nnnC C C 2...10 =+++

• Binómio de Newton

n

nnnnnnnn C baC baC aC ba ++++=+−

−−

1

22

2

1

10 ...)(

Ou

∑=

−=+

n

p

p pn

p

nn baC ba0

)(

Observações

1.º - O desenvolvimento de nba )( + tem n+1 termos.2.º - O termo de ordem p é p

T , sendo:

11

1

−+−

−=

p pn

p

n

pbaC T ou p pn

p

n

p baC T −

+=1

O binómio de Newton é uma forma rápida desimplificar expressões do tipo nba )( + .

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