.Mecanica Classica(Series de Problemas)

Paulo Vargas MonizUniversidade da Beira Interior

Departamento de Fisica

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1a Serie

1. Considera um blocoB de massam deslizando sobre um plano inclinadoPI o qual tem massaM. Nao ha atrito. O PI esta sobre uma superficie plana,sobre a qual se pode mover. Escolhe variaveis dinamicas (generalizadas) edetermina a energia cinetica de B.

2. Mostra que no caso de constragimentos holonomicos se pode obterr

d= ~r

d, onde d e uma variavel generalizada qualquer.

3. Usando o principio de DAlembert, encontra as equacoes do movimentopara o sistema descrito na pergunta 1.

4. Para os exemplos seguintes indica o numero de graus de liberdade dosrespectivos sistemas

a) Uma massa pontual livreb) Duas massas pontuais livresc) Duas massas pontuais ligadas por um fio recto (negligivel)d) Tres massas pontuais, onde duas estao ligadas por um fio recto (neg-

ligivel)e) Tres massas pontuais, onde cada uma esta ligada por um fio recto

(negligivel) a outras duas.

5. Para o caso de forcas conservativas, obtem as equacoes de Euler-Lagrange baseando-te no principio de DAlembert

6. Obtem as equacoes de Euler-Lagrange atraves do principio variacional(principio de Hamilton)

7. Obtem a equacao que relaciona as forcas de constragimento gener-alizadas com multiplicadores de Lagrange no caso de um sistema mecanicocom constragimentos holonomicos.

8. Mostra que se o Lagrangeano nao depende explicitamente do tempoentao a funcao Hamiltoneano e conservada e pode (em certos casos) corre-sponder a` energia.

9. Considera o movimento de uma bola (massa pontual) lancada paracima a partir de um elevador (subindo ou descendo). Obtem o Lagrangeanoque e associado ao ponto de vista de um observador no elevador.

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10. Considera uma massa pontual (e.g., uma pequena esfera) deslizandosem atrito sobre uma esfera muito maior (e.g., uma bola de futebol). De-termina as equacoes do movimento e apartir destas quando e que a massapontual atinge o solo (plano horizontal) onde esta a esfera grande assente.

11. Usando o calculo variacional determina num plano a curva que min-imiza a distancia entre dois pontos. Se for numa superficie curva que novoingrediente teras que incluir?

12. Considera o movimento de um pendulo simples com um corpo demassa m, suspenso por um fio rigido e negligivel de comprimento ` , oscilandoem torno da posicao de equilibrio. Determina

a) As equacoes do movimento para o caso de variaveis x e y usandomultiplicadores de Lagrange

b) As equacoes do movimento com auxilio de uma coordenada general-izada, encontrando a forma analitica das solucoes para pequenas variacoes

13. Considera um sistema descrito por um Lagrangeano que possui in-variancia sob accao de transformacoes de translacao. Mostra que existe edetermina qual e a quantidade conservada associada.

14. Considera o caso do pendulo duplo. Determina o Lagrangeano dosistema para pequenas deslocacoes

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2a Serie

1. Determina as equacoes de Hamilton do movimento para um projectilde massa m.

2. Determina o Hamiltoneano no caso de um sistema de duas particulasde massas m1 e m2 interactuando atraves de uma forca mutua central.

3. Considera o caso do pendulo duplo da pergunta 14 da 1a serie. De-termina o Hamiltoneano e equacoes do movimento quando as massas e fiosdos pendulos sao iguais.

4. Determina o Hamiltoneano e respectivas equacoes do movimento nocaso de um oscilador harmonico simples

5. Considera uma particula com carga electrica e e massa m movendo-se numa zona do espaco sob accao de um campo electrico e tambem deum campo magnetico. Determina o Hamiltoneano correspondente. Se ocampo magentico for uniforme, determina o Hamiltoneano num referencialcom rotacao uniforme tal que nao haja termos lineares no campo magnetico.

6. Considera um fisico numa nave espacial sem janelas que se move noespaco inter-estelar. Como pode ele determinar se a nave esta a ser aceleradapor uma forca misteriosa, usando principio de Hamilton?

7. Obtem as equacoes de Hamilton do movimento e mostra que a accaoe invariante para variacoes infinitesimais associadas de q e p.

8. Considera um pendulo com um corpo de massa m, que tem umaextremidade fixa no centro de uma esfera e com comprimento do fio R. Opendulo pode oscilar em qualquer direccao. Determina o Hamiltoneano e asequacoes do movimento.

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3a Serie

1. Considera a transformacao canonica F = qQ. Determina o Hamil-toneano nestas coordenadas assim como as equacoes de Hamilton.

2. Considera o Hamiltoneano de um oscilador harmonico e emprega atransformacao canonica F (q,Q) = 1

2q2 cot 2piQ. Determina o Hamiltoneano

resultante e as equacoes do movimento, tal como as suas solucoes.

3. Considera a funcao geradora F1(q,Q) =12q2 cot 2piQ empregue para

o caso do oscilador harmonico. Constroi F3(p,Q) = F1 qp. Determina F3explicitamente assim como a relacao entre q, p e Q,P.

4. Considera a funcao geradora F1(q,Q) =12q2 cot 2piQ empregue para

o caso do oscilador harmonico. Determina o parentisis de Poisson de [q, p]Q,P .

5. Considera o Lagrangeano L = et(12mq2 1

2kq2

)onde ,m, k sao

constantes. Qual e a equacao do movimento? Ha constantes do movimento?Como se descreve este movimento? Supoe que se faz uma transformacaodo tipo S = et/2q. Qual e a forma do novo Lagrangeano? E a equacao domovimento? Ha constantes do movimento? Como se relacionam as duassolucoes?

6. Considera as transformacoesQ = ln(1 + q1/2 cosP

)e P = 2

(1 + q1/2 cosP

)q1/2 sin p.

Mostrta que Q,P sao coordenadas canonicas se q, p o forem. Mostra tambem

que a funcao geradora de trasformacao entre elas e F3 = (eQ1

)2tan p.

7. Resolve a equacao de Hamilton-Jacobi, determina a funcao geradoraS, no caso de uma particula que tem um Hamiltoneano H = 1

2p2. Determina

a transformacao canonica q = q(, ) e p = p(, ), onde , sao a coorde-nada e momento transformados, respectivamente. Se tomarmos tambem umaperturbacao para o Hamiltonenao H = 1

2q2, determina o novo Hamiltoneano

e determina as equacoes do movimento assim como as suas solucoes.

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4a Serie

1. Considera a velocidade angular de um corpo expressa em termos deangulos de Euler: , , . Analisa se ~ e uma funcao integravel ou nao, i.e.,

se ~ = d~(,,)

dt. Qual e a interpretacao fisica da tua analise?

2. Considera a suspensao de um objecto de uma altura de 50m e analisaa sua dinamica do ponto de vista do referencial em rotacao que e a Terra.

3. Considera agora a queda de um objecto de uma altura de 50m nascondicoes do probelama anterior. Analisa a sua dinamica do ponto de vistado referencial em rotacao que e a Terra.

4. Porque e que nos furacoes a direccao do vento roda?

5. Analisa o ponto de vista do referencial em rotacao que e a Terra omovimento de um pendulo e extrai as conclusoes decorrentes da experienciade Foucault.

6. Calcula o momento de inercia do objecto formado por duas esferashomogeneas de massas M1 e M2, com raios a e b e ligadas entre si por umalinha rigida sem massa nos seus centros.

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