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Problemas de Mecânica Computacional – 2018/2019
Compilados por:
Profs. Leonel Fernandes e Miguel Neves
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1 Enunciados das aulas Práticas
1.1 Problema 1-A
Mostre que a formulação fraca do problema clássico de valores de fronteira,
0)1()0(
10,´´
uu
xparaxuu
É a seguinte: determinar a função contínua u(x), com u(0)=u(1)=0, tal que
".",´´1
0
1
0admissívelvparaxvdxdxuvvu
Solução exacta: u(x) = x-sinh x/sinh 1
Aspetos a destacar:
-A equação diferencial pode traduzir diferentes princípios de balanço. A incógnita u pode
ter significados físicos diferentes conforme o problema em análise;
-Os “coeficientes” da equação diferencial podem ser funções de x;
-As condições de fronteira podem ser essenciais e naturais no caso geral;
-Esta Formulação fraca é simétrica;
-Há as funções tentativa (u) e as funções de teste (v). Contudo elas possuem propriedades
semelhantes;
-A admissibilidade das funções u,v neste caso obriga a que elas sejam ambas funções
contínuas.
-A solução do problema clássico é também solução da formulação fraca e vice-versa.
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1.2 Problema 2
Obtenha a formulação fraca para o problema de uma barra fixa numa das extremidades,
sujeita a uma força axial distribuída ao longo da barra e a uma força concentrada na
extremidade livre como mostra a figura. Admita as propriedades do material e a secção
constantes ao longo da barra (EA = constante).
Note que o problema de valores de fronteira correspondente é o seguinte:
( ) 0
(0) 0
( )
d duEA q x x L
dx dx
u
duEA L P
dx
Aspectos a destacar:
-Dedução da equação diferencial;
-As condições de fronteira podem ser mistas;
-Lei de Hooke – relação constitutiva;
-Esta Formulação fraca é simétrica;
-A força aplicada na extremidade é uma condição de fronteira natural.
-O termo anulado quando se faz v(0)=0 é a reacção no apoio.
P q(x)
L
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1.3 Problema 3
Obtenha a formulação fraca para o problema seguinte:
1 0 2
(0) 2
(2) 2 3
u x u x x x
u
u u
Aspectos a destacar:
-A distribuição delta de Dirac representa uma força/fonte concentrada que depois de
integrada tem uma intensidade unitária;
-As condições de fronteira podem ser ambas naturais;
-Esta Formulação fraca é simétrica;
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1.4 Problema 6
Pretende-se interpolar a função sinf x x nos pontos ( 1) 4jx j com j = 1,...,5.
Para esse efeito construa uma função interpoladora vh(x) da função sinf x x , ou seja
tome sinh j jv x x sendo h h j j
j
v x v x x e j x as funções de base
utilizadas no método dos elementos finitos. Represente graficamente as funções f, vh, f ’
e vh’ para os dois casos seguintes,
a) Funções de base lineares
b) Funções de base quadráticas
Aspectos a destacar:
-As funções de base estão associadas aos nós da malha e são construídas à custa da reunião
das funções de interpolação polinomial (funções de forma) dos elementos adjacentes a
esses nós;
-As funções de forma de um elemento têm uma numeração local, enquanto que as funções
de base possuem uma numeração global (explicar bem a diferença);
-As funções de interpolação num elemento e as funções de base no domínio, verificam a
propriedade interpolatória: tomam o valor 1 no nó a que estão associadas e o valor zero
nos restantes nós;
-Quando as funções de base verificam a propriedade interpolatória, os graus de liberdade
coincidem com o valor nodal correspondente – isto é vantajoso;
-As aproximações globais construídas desta maneira são funções contínuas porque são
uma combinação linear de funções de base contínuas;
-As funções de base possuem suporte local – este aspecto é importante porque gera
equações baseadas no balanço/equilíbrio local;
-Na interpolação de funções, o erro maior verifica-se na zona central, entre os nós;
-Na interpolação das derivadas da função, o erro é menor na zona central, entre os nós;
-Quando for conveniente, podemos trabalhar localmente, ou seja, ao nível do elemento.
Isto significa que podemos definir as aproximações e os integrais ao nível do elemento e
posteriormente somar as contribuições de todos os elementos para obter o resultado
global.
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1.5 Problema 7
Considere o problema,
( ) ( ) 1 0 1
(0) (1) 0
u x u x x
u u
o qual se pretende resolver pelo método dos elementos finitos.
a) Obtenha a formulação fraca do problema.
b) Escreva as expressões para a matriz de rigidez e o vetor de forças e explique como
são obtidas.
c) Estabeleça o sistema de equações a resolver para uma malha de 4 elementos
lineares.
d) Resolva-o e compare com a solução exata. ( 0.269 0.735 1x x
exactou e e )
e) Resolva o mesmo problema utilizando dois elementos quadráticos. Compare a
solução obtida com as anteriores
Aspetos a destacar:
-A equação diferencial é de segunda ordem. A correspondente formulação fraca, que é
simétrica, obriga a usar funções tentativa e funções de teste contínuas;
-As condições de fronteira são ambas essenciais e homogéneas;
-Os termos anulados quando se faz v(0)=v(1)=0 multiplicariam as condições de
fronteira naturais (reacções nos apoios ou fluxos nos extremos) se aquelas existissem;
-Podemos definir e calcular as matrizes de rigidez e os vetores de forças dos elementos
da malha;
-Somando as contribuições de todos os elementos (assemblagem) podemos formar o
sistema final de equações;
-Para se poder efetuar a assemblagem é conveniente definir a tabela de conectividades
(ou topologia da malha) que é a correspondência entre a numeração local de um
elemento e a numeração global dos nós;
-A matriz de rigidez global é simétrica e tridiagonal;
-A imposição das condições de fronteira essenciais faz-se anulando o primeiro e o
último valores nodais, o que reduz em 2 o número de incógnitas e a dimensão do
sistema a resolver.
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1.6 Problema 8
Considere os problemas de valores de fronteira definidos pela equação diferencial,
0( ) ( ) 10 1 0 2u x b u x x x
Onde b0 é uma constante, e pelos seguintes conjuntos de condições de fronteira,
(i) (0) 1 ; (2) 3u u
(ii) 0(0) 2 ; (2)u u g (g0 é uma constante)
(iii) (0) (0) 1 ; (2) 1u u u
a) Utilizando 4 elementos lineares de igual comprimento, calcule a matriz de rigidez
global e os vetores de carga para os casos em que b0=1 e b0=0. Apresente valores
numéricos para todas as entradas.
b) Obtenha o sistema de equações para os problemas (i) e (iii).
c) Considere as condições (ii) e b0=0. Qual o valor a atribuir à constante g0.
d) Obtenha o sistema de equações para o problema (ii) com b0=0 e g0 a constante
determinada em c.
Aspetos a destacar:
-A equação diferencial é de segunda ordem. Há uma força/fonte concentrada de
intensidade =10 aplicada em x=1. A correspondente formulação fraca obriga a usar
funções tentativa e funções de teste contínuas;
-As condições de fronteira são (i) ambas essenciais, (ii) ambas naturais ou (iii) mistas;
-Esta Formulação fraca é simétrica;
-Podemos definir e calcular as matrizes de rigidez e os vetores de forças dos elementos
da malha;
-Somando as contribuições de todos os elementos (assemblagem) podemos formar o
sistema final de equações;
-A matriz de rigidez global é simétrica e tridiagonal;
-A imposição das condições de fronteira essenciais não homogéneas é algebricamente
mais complicada do que no problema anterior;
-Na alínea c) pode obter-se a constante g0 à custa de um balanço global. Este balanço
também se pode obter como subproduto da formulação fraca tomando v(x)=1.
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1.7 Problema 9
Determine as reacções nos apoios para o seguinte problema:
a) Pelos métodos clássicos.
b) Pelo método dos elementos finitos.
Aspetos a destacar:
-A equação diferencial é de segunda ordem. Há uma força concentrada de intensidade P
aplicada em x=L1. Há dois materiais de propriedades distintas. Em cada um dos materiais,
a solução exata é linear;
-As condições de fronteira são ambas essenciais e homogéneas;
-Pode obter-se a solução exata integrando a equação diferencial separadamente nos dois
materiais e impor, para além das duas condições de fronteira, as duas condições de
compatibilidade na interface, x=L1: continuidade do deslocamento e equilíbrio estático.
O equilíbrio de forças global dá o mesmo resultado que o local;
-No MEF podemos calcular as matrizes de rigidez nas duas barras e assemblar;
-O MEF dá a solução exata neste caso;
-O modelo matemático poderia corresponder a outros problemas físicos como por
exemplo a condução de calor numa parede composta sujeita a uma fonte concentrada de
intensidade P aplicada em x=L1.
P
L1 L2
E2 A2 E1 A1
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1.8 Problema 15
Considere a malha de elementos finitos triangulares apresentada na figura. Todos os
triângulos são isósceles com dois lados iguais de comprimento h. A malha é utilizada para
resolver o seguinte problema:
41
12 25 67 74
56
, ( , )
0,
0, , ,
,
u x y f x y em
u em
uem e
n
upu em
n
a) Obtenha a matriz de rigidez Ke e o vector de cargas Fe para o elemento apresentado
quando , 1f x y .
b) Suponha que as coordenadas dos nós são: 1 1, 0,1x y ; 2 2, 1,2x y ;
3 3, 1,1x y ; 4 4, 0,0x y ; 5 5, 2,2x y ; 6 6, 2,1x y ; 7 7, 1,0x y .
Utilizando os resultados da alínea a) calcule as matrizes de rigidez e os vetores
de carga para os seis elementos da malha.
c) Some as matrizes dos elementos obtidas de modo a obter Kglobal e Fglobal antes de
considerar as condições de fronteira.
d) Considere 561 emp , determine as matrizes Hij e Pi (ver página 460 do
livro) a adicionar à matriz global e vetor de forças obtidos na alínea anterior.
e) Calcule o sistema final a resolver para este problema.
f) Descreva as modificações necessárias para testar as condições de fronteira não
homogéneas em 41 , em particular
(1) descreva a formulação para 1 42 e 3u u
(2) 41emu y
g) Descreva as modificações necessárias na análise deste problema para o caso em
que as condições de fronteira são:
0 41
12 25
1 56
67 74
0em com
0
em
em eus s
emn
em e
Aspectos a destacar:
-Trata-se de uma equação de Poisson sujeita a condições de fronteira mistas. Pode
corresponder a uma membrana, um problema de condução de calor, etc.
-A formulação fraca é simétrica.
-É conveniente definir a conectividade da malha de maneira a que os 6 triângulos
possam ter a mesma matriz de rigidez;
-A assemblagem de elementos finitos triangulares é feita com auxílio da tabela de
conectividade;
-As condições de fronteira naturais são substituídas diretamente no termo de integração
no contorno que resulta da integração por partes;
x
y
h
h
x
y
1
2
3
4
5
6
7
h = 1
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-A imposição da condição de fronteira de Robin em 56 requer a manipulação algébrica
para o primeiro membro de um termo que envolve a incógnita u. É este termo que produz
a matriz H referida na alínea d);
-A imposição de condições de fronteira essenciais não homogéneas requer alguma
manipulação algébrica para manter a simetria da matriz e ao mesmo tempo reduzir a
dimensão do sistema;
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1.9 Problema 16 Considere o elemento de referência de 4 nós e o conjunto de coordenadas seguinte:
(i) 0, 1 ; 0, 2 ; 1,2 ; 1, 1
(ii) 0,0 ; 1, 1 ; 1,1 ; 0,0
(iii) 0,0 ; 1,0 ; 2,0 ; 2,1
a) Esboce os elementos indicando a numeração nodal e os eixos , .
b) Esboce a linha diagonal, , de cada elemento.
c) Calcule as funções de transformação e os Jacobianos. Verifique se as
transformações são invertíveis.
Aspectos a destacar:
-Rectas paralelas aos eixos no plano (,) transformam-se em rectas no plano (x,y). Por
isso, podemos facilmente traçar as imagens dos eixos e no plano (x,y). O eixo
obtém-se unindo por uma recta o ponto médio do lado 1-4 ao ponto médio do lado 2-3. O
eixo obtém-se ligando por uma recta o ponto médio do lado 1-2 ao ponto médio do
lado 3-4.
-Rectas inclinadas, como é o caso de =, transformam-se em quadráticas no plano
(x,y). Isto acontece porque o termo , existente nas funções de forma do elemento, é
quadrático.
-Para que a transformação seja invertível, o jacobiano tem de ser diferente de zero em
todos os pontos do elemento, ou seja, nos lados, vértices e pontos interiores.
1 2
3 4 (1,1)
(-1,-1)
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1.10 Problema 17
Considere o elemento da figura e calcule x
e
y
nos pontos 0.5,0.5 e 0.5,0 do
elemento de referência.
Aspectos a destacar:
-Este problema ilustra o cálculo das derivadas parciais nas variáveis (x,y) que surgem na
expressão da matriz de rigidez de um elemento, obtidas à custa das derivadas parciais
nas variáveis do plano (,). Se tivermos em conta que há vários pontos de integração
numérica por elemento, e milhares de elementos finitos numa malha típica, então
podemos concluir que este cálculo é recorrente no MEF.
-Recorde-se que as funções de forma são polinómios nas variáveis (,) e as derivadas
parciais nestas variáveis são fáceis de se obter. Contudo, as derivadas parciais
pretendidas são as outras, nas variáveis (x,y);
-A relação entre as derivadas parciais é baseada na regra de diferenciação em cadeia do
cálculo diferencial. Nesta relação surgem as derivadas da transformação inversa;
-As derivadas da transformação inversa, por sua vez, podem ser obtidas à custa das
derivadas parciais da transformação de coordenadas (directa) e do jacobiano da
transformação, o qual aparece em denominador;
-Por isso, o jacobiano não pode ser nulo em nenhum ponto (do domínio) do elemento,
ou seja, a transformação de coordenadas tem de ser invertível;
x
y
1 (1,0)
(0,1) 3
4 (0,0)
2 (2,2)
1 2
3 4 (1,1)
(-1,-1)
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1.11 Problema 18
Para o caso de uma equação diferencial de coeficientes constantes e elementos
retangulares, as integrandas da matriz de rigidez são polinómios em x e y. Determine o
número de pontos de Gauss necessários para a integração exata dos seguintes termos nos
elementos de 4, 8 e 9 nós.
e
e ee ej ji i
ijK dxdyx x y y
.e
dxdyM e
j
e
iij
