Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e ... · Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia –Aula 06 Ponto Latitude (S) SAD69

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS

Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 06

Transformações geométricas nos

espaços bidimensional e

tridimensionalProf. Dr. Carlos A. Nadal



CALIBRAÇÃO DA MESA DIGITALIZADORA

pontos

homólogos

Mesa digitalizadora mapa

coordenadas x,y coordenadas N,E

afinidade



Primitivas básicas na transformação geométrica no plano



o x

y

x’x’

o’

y

x

Representação geral da afinidade no plano



Novo sistema - oxy é ortogonal

Antigo sistema - o’x’y’ não é ortogonal

Fórmula para transfomação:

x = kx . x’ . cos + ky . y’ . sen + x

y = - kx . x’ . sen ( + ) + ky . y’ . cos ( + ) + x

2 parâmetros de escala: kx , ky .

1 parâmetro de rotação:

1 parâmetro de não ortogonalidade:

2 parâmetros de translação: x, y

Não mantém a forma nem a escala (tamanho) na

Transformação

usada na calibração de mesas digitalizadoras

Forma Geral (afinidade)



Transformação ortogonal (de corpo rígido)–

ambos os sistemas são ortogonais

x = kx . x’ . cos + ky . y’ . sen + x

y = - kx . x’ . sen + ky . y’ . cos + y

As escalas variam de eixo para eixo tem-se 5 parâmetros.

Não mantém o tamanho, nem a escala, mantém os ângulos

usada na verificação de escala em direções perpendiculares



Transformação Isogonal (similaridade)

eixos ortogonais e coeficientes de escalas iguais

x = k . x’ . cos + k . y’ . sen + x

y = - k . x’ . sen + k . y’ . cos + y

Tem-se quatro parâmetros.

Preserva a forma e não preserva o tamanho

usada na qualidade geométrica de dados vetoriais ou

matriciais



Transformação de corpo rígido (ortogonal)

x = x’ . cos + y’ . sen + x

y = - x’ . sen + y’ . cos + y

Três parâmetros

Preserva a forma e os tamanhos

usada na qualidade geométrica de dados vetoriais



TRANSFORMAÇÃO DE HELMERT

Aplicação: mais de dois pontos cujas coordenadas são

conhecidas em dois sistemas

Caso ideal: pontos fazem parte das margens da área na

Qual deseja-se transformar coordenadas

Sejam os pontos: P1, P2, Pn com coordenadas nos

sistemas p,q (sistema antigo)

e x, y (novo sistema)



x s = x/n y s = y/n

De acordo com Wolf (1975) tem-se que:

ps = p/n qs = q/n

dy = y - ys , dx = x - xs

dp = p - ps , dq = q - qs

Cálculo do centro de gravidade dos pontos

como checagem:

dy = dx = dp = dq = 0



Com:

a = f cos = ( dq.dy + dp.dx ) / ( dp2 + dq2)

b = f sen = ( dq.dx - dp.dy ) / ( dp2 + dq2)

f é o fator de escala:

f = (a2 + b2 )1/2

ângulo de rotação de um sistema em relação a outro:

= arctg b/a = arc cos a/f = arcsen b/f



xo = xs - a ps - b qs

yo = ys + b ps - a qs

xj = xo + a pj - b qj

yj = yo - bpj + a qj

Para um ponto j do qual se conhece as coordenadas no

sistema p,q tem-se:

As coordenadas do centro de rotação serão dadas por:



Dadas as coordenadas de três pontos situados no

Estado do Paraná, referidas ao sistema geodésico que se

utiliza do elipsóide de Hayford e tem origem no vértice

Córrego Alegre (sistema anteriormente utilizado no

Brasil):

1 = 25 00 00 S 1 = 49 00 00 W

2 = 23 00 00 S 2 = 50 00 00 W

3 = 24 00 00 S 3 = 53 00 00 W

Calcular as coordenadas UTM destes pontos

neste sistema geodésico:

E1 = 701854.408m N1 = 7233525.719m

E2 = 602489.421m N2 = 7456097.476m

E3 = 296541.529m N3 = 7344293.513m



Transformar as coordenadas geodésicas dadas acima para

o sistema geodésico brasileiro SAD69:

1 = 24 59 59.686 S 1 = 48 59 59.887 W

2 = 22 59 59.585 S 2 = 50 00 00.020 W

3 = 24 59 59.630 S 3 = 53 00 00.419 W

Calcular as coordenadas UTM destes pontos no

respectivo sistema geodésico:

E1 = 701849.996m N1 = 7233563.065m

E2 = 602485.055m N2 = 7456134.737m

E3 = 296537.271m N3 = 7344330.830m



Aplicar a transformação de Helmert

as coordenadas UTM nos dois sistemas geodésicos,

calculando os parâmetros de transformação:

Solução:

xj = xo + a pj - b qj

yj = yo - bpj + a qj

com a = 0.999999625

b = 3.55334E-08

xo = -4.405969878

yo = 40.08440661



Transformações por Similaridade

Dados: x,y,z (antigo sistema)

X,Y,Z (novo sistema)

Transformação geral linear afim no espaço (Leick and van

Gelder,1975):

X = Ax + Ao

três parâmetros de translação

três parâmetros de rotação

três parâmetros de escalas para os três eixos

três parâmetros descrevendo orientação dos eixos



Modelo de transformação BURSA-WOLF

X = S RZ( Z)RY( Y)RX( X)x +T



Modelo

)(R)(R)(RR z3y2x1

R x x x

x x

1

1 0 0

0

0

( ) cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

R y

y y

y y

2

0

0 1 0

0

( )

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

R z

z z

z z3

0

0

0 0 1

( )

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

R

y z y z y

x y z x z x y z x z x y

x y z x z x y z x z x y

cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos

cos sen cos sen sen cos sen sen sen cos cos cos



Modelo

R

z y

z x

y x

1

1

1

1

i ir R r0 1( ). .

X

Y

Z

x

y

z

x

y

z

i

i

i

z y

z x

y x

i

i

i

0

0

0

1

1

1

1



Sistemas de equações com as coordenadas de três

pontos

X1 0 -Z1 Y1 1 0 0 U1 - X1

Y1 Z1 0 X1 0 1 0 k V1 - Y1

Z1 -Y1 X1 0 0 0 1 εx W1 - Z1

X2 0 -Z2 Y2 1 0 0 εY U2 – X2

Y2 Z2 0 X2 0 1 0 εz = V2 – Y2

Z2 -Y2 X2 0 0 0 1 X0 W2 – Z2

X3 0 -Z3 Y3 1 0 0 Y0 U3 – X3

Y3 Z3 0 X3 0 1 0 Z0 V3 – Y3

Z3 -Y3 X3 0 0 0 1 W3 – Z3

AX=L X=(ATPA)-1 ATPL P=I



Ponto Latitude (S)

SAD69

Longitude (W)

SAD69

Altitude

Ortométrica

(m)

Ondulação

Geoidal

(m)

Curitiba 25º 25’ 58,53740” 49º 20’ 24,61849” 953 2,54

Iretama 24º25’ 12,64874” 52º 07’ 19,12354” 577 3,03

Londrina 23º 19’ 20,05643” 51º 12’ 05,98103” 583 3,44

Ponto Latitude (S)

WGS84

Longitude (W)

WGS84

Altitude

Elipsoidal (m)

Curitiba 25º 26’ 00,307198” 49º 20’ 26,331982” 952,6312

Iretama 24º25’ 14,372154” 52º 07’ 20,901858” 578,3287

Londrina 23º 19’ 21,775229” 51º 12’ 07,719026” 582,9934

Exercício Prático



Ponto X SAD-69 (m) Y SAD-69 (m) Z SAD-69 (m)

Curitiba 3755934,03765507 -4372874,06730675 -2722881,94320635

Iretama 3568104,61755603 -4587061,24412689 -2620978,61374355

Londrina 3672162,00198784 -4567519,61846058 -2509770,52075258

Ponto X WGS84 (m) Y WGS84 (m) Z WGS84 (m)

Curitiba 3755867,16008169 -4372869,69888951 -2722920,46934841

Iretama 3568037,74291102 -4587056,87493790 -2621017,13692018

Londrina 3672095,12742608 -4567515,24943912 -2509809,04402409



3755934,038 0,000 2722881,943 -4372874,067 1,000 0,000 0,000

-4372874,067 -2722881,943 0,000 -3755934,038 0,000 1,000 0,000

-2722881,943 4372874,067 3755934,038 0,000 0,000 0,000 1,000

3568104,618 0,000 2620978,614 -4587061,244 1,000 0,000 0,000

-4587061,244 -2620978,614 0,000 -3568104,618 0,000 1,000 0,000

-2620978,614 4587061,244 3568104,618 0,000 0,000 0,000 1,000

3672162,002 0,000 2509770,521 -4567519,618 1,000 0,000 0,000

-4567519,618 -2509770,521 0,000 -3672162,002 0,000 1,000 0,000

-2509770,521 4567519,618 3672162,002 0,000 0,000 0,000 1,000

Matrix A

-66,878

4,368

-38,526

-66,875

4,369

-38,523

-66,875

4,369

-38,523

Vetor L

X= (ATA)-1ATL



Parâmetro Valor

Fator de escala ( )0,999999999

Rotação em torno do eixo X ( )0,0000000062 rad

Rotação em torno do eixo Y ( )-0,0000000093 rad

Rotação em torno do eixo Z ( )-0,0000000043 rad

Translação do eixo X ( x)-66,867m

Translação do eixo Y ( y)4,366m

Translação do eixo Z ( z)-38,520m



EXEMPLO DE GEORREFERENCIAMENTO

DE UMA IMAGEM

X

Y

1 2

3

ponto x(m) y(m) X(m) Y(m)

1 182 306 0,000 0,000

2 1947 320 0,477 0,000

3 1983 2725 0,477 0,669

X = -0,04765+0,00027x-0,000004y

Y = -0,08473-0,000002x+0,00028y



ponto x(m) y(m) X(m) Y(m)

1 182 306 0,000 0,000

2 1947 320 0,477 0,000

3 1983 2725 0,477 0,669

MONTAGEM DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

X = a + bx +cy

Y = d + ex +fy

0,000 = a + 182b + 306c

0,000 = d + 182e +306f

0,477 = a + 1947b +320c

0,000 = d + 1947e + 320f

0,477 = a + 1983b + 2725c

0,669 = d + 1983e + 2725f

0,000 = 1 182 306 0 0 0 a

0,000 = 0 0 0 1 182 306 b

0,477 = 1 1947 320 0 0 0 c

0,000 = 0 0 0 1 1947 320 d

0,477 = 1 1983 2725 0 0 0 e

0,669 = 0 0 0 1 1983 2725 f

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