1.3 Posicionamento na Terra Elipsóidica · Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia –Aula 05 Posicionamento na Terra Elipsóidica O SISTEMA

Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 05

Posicionamento na Terra Elipsóidica

1.3 Posicionamento na Terra

Elipsóidica

Na cartografia utiliza-se como

modelo matemático para a forma da

Terra o elipsóide de revolução



O SISTEMA GPS EFETUA MEDIÇÕES GEODÉSICAS



Qual é a forma da

Terra?

A superfície topográfica da Terra apresenta uma forma

muito irregular, com elevações e depressões.

Qual é a representação

matemática da

superfície de referência

para a cartografia?



esfera

elipsóide

geóide

Terra

Modelos utilizados para a Terra



O GEÓIDE

Geóide: superfície cuja normal coincide

com a vertical do lugar

O geóide é uma superfície equipotencial

coincidente com o nível médio dos mares

considerados em repouso.

g

V

V´

Superfície

equipotencial



Geóide tem uma superfície irregular,

determinável ponto a ponto. Causas: crosta

terrestre heterogenea.

|f| = k m1 m2

d122

Isostasia



REPRESENTAÇÃO GEODÉSICA DA TERRA

Elipsóide de revolução: elipse girando em torno do seu

eixo menor (2b)

Prof .M A Zanetti

Círculo máximo

a= raio maior ou semi-eixo maior

b= raio menor ou semi-eixo menor



Visão 3D do elipsóide de revolução



Eixo de rotação

O

b

P

a

r1 r2

F1F2

f = (a-b)/a

e = [(a2-b2)1/2]/a = 2f - f2

r1 + r2 = 2aa = semi-eixo maior

b = semi-eixo menor

Geometria da Elipse

r3

r4

r3+r4= 2aQ



Geometria do elipsóide

• O achatamento f é definido por:

• A primeira excentricidade e2 ao quadrado é dada por:

• A segunda excentricidade ao quadrado e´2 é obtida por:

a

baf

22 2 ffe 2

22

2

a

bae

2

222'

b

bae



Normal a um ponto do elipsóide

tangenteNormal = perpendicular a tangente

ao elipsoide no ponto p

p´

p

Fonte: R.E. DEAKIN and M.N.

HUNTER,2010



SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS

pn

ps

qq’

Meridiano de

Greenwich

normal

p’

t

Superfície

física

p

= latitude geódésica

= longitude geodésica

h=pp’ = altitude elipsoidal



Latitude geodésica () é o ângulo formado entre a

normal e sua projeção no plano do equador terrestre.

Longitude geodésica () é o ângulo diedro fomado

entre o meridiano elipsóidico de Greenwich e o

meridiano elipsóidico do ponto considerado.

Altitude elipsoidal ou geométrica (h) é a distância

medida sobre a normal, desde o ponto no terreno até o

elipsoide.

normal

equador



LONGITUDE GEODÉSICA

pn

ps

qq’

Meridiano de

Greenwich

normal

p’

t

Superfície

física

p

Meridiano do

ponto p’



RAIO DE

CURVATURA

SECÇÃO

MERIDIANA E

PRIMEIRO

VERTICAL


HUNTER,2010



RAIOS DE CURVATURAS PRINCIPAISRaio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal é dado por:

é a latitude geodésica do ponto P

• O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por:

E o raio médio de curvatura RM é dado por:

Raio de curvatura de uma secção de azimute A

2/122 sen1 e

aN

2/322

2

)sen1(

)1(

e

eaM

NMRM

N

A

M

A

R

2sen2cos1



SISTEMAS GEODÉSICOS USADOS NO BRASIL

a- b = diferença entre o semi-eixo maior e o menor

f = achatamento do elipsóide

e2 = excentrecidade ao quadrado

Sistema

Geodésico

Córrego Alegre SAD-69 SIRGAS

elipsóide Hayford Referencia 1967 GRS-80

a 6378388,000m 6378160,000m 6378137,000m

b 6356911.946m 6356774,719m 6356752,3141m

f 1/297 1/298,25 1/298,257222101

e2 0,006722670 0,0066946053 0,00669438002290

a-b 21476,054m 21385,281m 21384,6859m



Definição de distância no elipsóide: geodésica

Geodésica é uma curva reversa no espaço

Menor distância entre dois pontos no elipsóide


HUNTER,2010



Definição de distância no elipsóide: geodésica

pn

ps

qq’

geodésica

normal

p’

t

Superfície

física

p

T

’

T

Geodésica é uma curva reversa no espaço

Menor distância entre dois pontos no elipsóide



Definição de azimute geodésico entre dois pontos

pn

ps

qq’

ATP

normal

p’

t

Superfície

física

p

T’

’

T

APT

APT = ATP ±180+



SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

GEODÉSICO (CG)

Origem: centro de massa da Terra

Greenwich

=90⁰E

Pn

Ps



DETALHES DO SISTEMA DE COORDENADAS

CARTESIANAS GEODÉSICO



TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

GEODÉSICAS EM CARTESIANAS

TRIDIMENSIONAIS

XP = (N + h) cos cos

YP = (N + h) cos sen

ZP = [N (1 – e 2 ) + h) sen

= latitude geodésica =longitude geodésica

N = grande normal

h = altitude elipsoidal ou geométrica

e = excentricidade do elipsóide

2/122 sen1 e

aN

a

baf

22 2 ffe



TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS EM

GEODÉSICASZP + e´ 2 b sen3

tg =

p - e 2a cos3

YP

tg =

XP

p

h = - N

cos

ZP a

p = XP+YP = arctg

p b

2

222'

b

bae

22 2 ffe



DESVIO DA VERTICAL (i)

pgeóide

elipsóide

vertical normal

i

Superfície

física

Vertical=fio de prumo



N

H=h-N

H= altitude ortométrica

h= altitude elipsoidal

N= ondulação geoidal



Superfície

terrestre

geóide

elipsóide

Fonte: Move3 Manual

No ponto A

HA= altitude ortométrica

hA= altitude geométrica

NA= ondulação geoidal

Sistema

GNSS

Nivelamento

geométrico



Astronomia- Observação ao

Sol - Atol das Rocas

MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DO

GEÓIDE

Gravimetria – Almirante Tamandaré-

Paraná



GRAVÍMETRO LACOSTE&ROMBERG





Estação: UFPR - RBMC



http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/modelo_geoidal.shtm

MAPGEO2010 – MODELO GEOIDAL DO BRASIL

Para o ponto UFPR-RBMC

NA=3,67m

hA =925,81

HA=925,81-3,67

HA= 922,14m

Executar

Escolha do

referencial







Definição de um datum vertical: o nível médio das águas

do mar, aproximação do geóide, é usado como referência

para as altitudes ortométricas (altitude zero)

bóia

orifício

roda dentada

Porta -ADR aquisição

de dados a cada 6 min

caixa protetora

do instrumento

régua demaré

pier

Mira topográfica

Observador (leituras diárias)

Nível topográficoRéguas ou miras

RN

linimetro



Datum vertical do Brasil: Imbituba-SC

nível médio das águas do mar observadas no

marégrafo de Imbituba-SC.

Altitudes ortométricas: determinadas em

relação ao nível médio das águas do mar medido

em Imbituba-SC, e transportadas pelo Brasil por

meio de nivelamento geométrico de alta

precisão.

DATUM VERTICAL BRASILEIRO



LOCALIZAÇÃO DO MARÉGRAFO NO PORTO

DE IMBITUBA-SC

RN – 01

Porta de acesso ao

marégrafo

Primeira referência de nível



MARÉGRAFO DE IMBITUBA-SC

Linimetro

registros



DESCRITIVO DE ESTAÇÃO MAREGRÁFICA



REDE MAREGRÁFICA PERMANENTE

PARA GEODÉSIA - RMPG

http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/r

mpg/rmpg_est.shtm

rede

altimética

Marégrafo



DESCRITIVO DE UMA RN DO IBGE



SIRGAS- SISTEMA DE REFERÊNCIA

GEOCÊNTRICO PARA AS AMÉRICAS

- R.PR – 1/2005 – Resolução do IBGE

2015 – implantação como sistema de referencia

único para o SCN- Sistema Cartográfico Nacional

- realização do ano de 2000,4 (SIRGAS2000)

Caracterização do SIRGAS2000 (SYSTEM)

• Sistema Geodésico de Referência:

Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS

(International Terrestrial Reference System)

compatível com o ITRF00 (2000)



CARACTERIZAÇÃO DO SIRGAS2000

• Figura geométrica para a Terra:

Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de

1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80)

Semi-eixo maior a = 6.378.137 m

Achatamento f = 1/298,257222101

• Origem: Centro de massa da Terra

• Orientação:Pólos e meridiano de referência

consistentes em ±0,005” com as direções definidas

pelo BIH (Bureau

International de l´Heure), em 1984,0.



REALIZAÇÃO DO SIRGAS2000 (FRAME)

• Estações de Referência:

As 21 estações da rede continental SIRGAS2000,

estabelecidas no Brasil constituem a estrutura de

referência a partir da qual o sistema SIRGAS2000

é materializado em território nacional.

• Época de Referência das coordenadas: 2000,4

• Materialização: Estabelecida por intermédio de

todas as estações que compõem a Rede

Geodésica Brasileira, implantadas a partir das

estações de referência.



Estações de Referência SIRGAS2000



REDE BRASILEIRA DE MONITORAMENTO

CONTINUO (RBMC)

http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/rbmc/rbmc_est.php



CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMA CÓRREGO

ALEGRE

• Figura Geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional

de Hayford, 1924

Semi eixo maior a = 6.378.388 m

Achatamento f = 1/297

• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do

elipsóide:

Orientação Topocêntrica

Ponto Datum = Vértice de triangulação Córrego Alegre

G = A = 19o 50’ 15,14” S

G = A = 48o 57’ 42,75” W

N = 0 m

Onde:

G = Latitude Geodésica A = Latitude Astronômica

G = Longitude Geodésica A = Longitude Astronômica

N = Ondulação Geoidal



CARACTERIZAÇÃO DOS SISTEMA DATUM SUL-

AMERICANO DE 1969 (SOUTH AMERICAN DATUM OF

1969 – SAD 69)

• Figura geométrica: Elipsóide Internacional de 1967 Semi

eixo maior a = 6.378.160 m

Achatamento f = 1/298,25

• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do

elipsóide:

Orientação geocêntrica

Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra;

plano meridiano origem paralelo ao plano meridiano de

Greenwhich, como definido pelo BIH.

Orientação topocêntrica

Ponto Datum = Vértice de triângulação Chuá

G = 19º 45' 41,6527" S G = 48º 06' 04,0639" W

A = 19º 45’ 41,34” S A = 48º 06’07,80” W

AG = 271° 30' 04,05" SWNE para VT-Uberaba

N = 0,0 m AG = Azimute Geodésico



Datum horizontal do Sistema Geodésico Brasileiro, definido

no Vértice de Triangulação Chuá (MG). (Fonte: IBGE)

Marco Zero do Brasil possui altura elipsoidal (SAD69) e altura

geoidal zero, está sobre o geóide e o elipsóide SAD69.



REFERENCIAL ALTIMÉTRICO

Nos sistemas Córrego Alegre, SAD 69 e SIRGAS2000, o

referencial altimétrico a ser utilizado coincide com a

superfície equipotencial do campo de gravidade da Terra

que contém o nível médio do mar definido pelas

observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba,

no litoral do Estado de Santa Catarina, de 1949 a 1957.

marés

de 01/05 a

19/05/2015

Nível

médio



É um Sistema de Referência Terrestre Convencional (CTRS).

A origem do sistema de coordenadas WGS 84 também é usada

como o centro geométrico do elipsóide e o eixo dos Z serve como

eixo de rotação desse elipsóide de revolução.

ORIGEM Centro de massa da terra (geocêntrico)

EIXO DOS Z Na direção do IERS reference Pole (IRP)

EIXO DOS X

Intersecção do Meridiano de Referência

IRES (IRM) com o plano que passa pela

origem e é normal ao eixo dos Z.

EIXO DOS YÉ tal que define um sistema ortogonal

com os outros dois (X e Z).

WGS-84 WORLD GEODETIC SYSTEM – GPS

Utilizado nas efemérides transmitidas



a = 6378137m - semi-eixo maior

f = 1/298,257223563 - achatamento

we=7292115 x 10-8 rad/s - velocidade angular da Terra

GM = 3986004,418 x 108 m3/s2 - Constante gravitacional

Pólo de Referência IERS (IRP)

IERS

Meridiano

de Referência

(IRM)

Centro de Massada Terra

Geocêntrico



SGR Semi-eixo maior achatamento

WGS-84 6378137 1/298,257223563

SIRGAS 6378137 1/298,257222101

SGR Semi-eixo menor (m)

WGS-84 6356752,31425

SIRGAS 6356752,31414

DIFERENÇAS ENTRE O WGS84 e SIRGAS2000



GLONASS - GLOBALNAYA NAVIGATSIONNAYA

SPUTNIKOVAYA SISTEMA OR GLOBAL

NAVIGATION SATELLITE SYSTEM

PZ90 (Parametry Zemli 1990): Sistema Geodésico

Soviético 1990 (Soviet Geodetic System 1990). Tem

definição similar à do ITRF, com a origem no centro de

massa da terra. O eixo Z é direcionado para o Pólo Norte

Médio da época 1900-1905, o eixo X está no plano do

equador também da época 1900-1905 com o plano XZ

sendo paralelo ao Meridiano Médio de Greenwich,

formando um sistema dextrógiro.

PZ90.02 - aproximou do ITRF2000, contendo translações

em X, Y e Z de 36 cm, 8 cm e 18 cm, respectivamente.



ITRF (IERS - INTERNATIONAL EARTH ROTATION

SERVICE - TERRESTRIAL REFERENCE FRAME)

é a realização do ITRS, um sistema de referência

convencional terrestre (CTRS) definido por uma série

de modelos e definições (McCarthy, 1992; 1996).

Mantido pelo IERS (International Earth Rotation

Service).

Obtenção do ITRF:combinação de uma lista de

coordenadas (com variância e covariância) e de

velocidades de estações (SSCs - Set of Station

Coordinates),

VLBI (Very Long Baseline Interferometry), LLR (Lunar

Laser Ranging), SLR (Satellite Laser Ranging) e o GPS

(desde o ITRF91) (Monico & Segantine, 1996).



No site: http://www.iers.org/IERS/EN/DataProducts/ITRS/itrs.html

Tem-se desde a primeira versãoITRF88, até a mais

atual, denominada ITRF2008. Quando as coordenadas

forem expressas em latitude (j), longitude (l) e altitude

(h) o elipsóide a adotar é o GRS80, recomendado pela

IUGG (International Union of Geodesy and

Geophysics).

O ITRF é utilizado pelos centros de análises do IGS

para referenciar as efemérides precisas do GPS, assim

como as efemérides precisas dos satélites GLONASS,



TRANSFORMAÇÃO GERAL ENTRE SISTEMAS

DE REFERENCIA

Utilizando-se a equação dos sete parâmetros:

Com:

Tx, Ty e Tz parâmetros de translação

D = fator de escala

Rx, Ry e Rz pequenos ângulos de rotação expressos em

radianos

XT 1 -Rz +Ry Xs Tx

YT = M * -Rz 1 +Rx * Ys + Ty

ZT -Ry +Rx 1 Zs Tz

Com M=1+D



Para transformações entre realizações ITRF

http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/index.php



Parâmetros de Transformação entre ITRF90 e WGS-84



Transformação de coordenadas de pontos nos

diferentes referenciais

, , h conhecidos

no sistema

geodésico A

Coordenadas

cartesianas XA,YA,ZA

transformação

translação parâmetros

XB= XA+ X

YB= YA+ Y

ZB= ZA+ Y

Coordenadas

cartesianas XB,YB,ZB

, , h conhecidos

no sistema

geodésico B

transformação



• SAD 69 para SIRGAS2000 • SIRGAS2000 para SAD 69

a1 = 6.378.160 m a1 = 6.378.137 m

f1 = 1/298,25 f1 = 1/298,257222101

a2 = 6.378.137 m a2 = 6.378.160 m

f2 = 1/298,257222101 f2 = 1/298,25

. X = - 67,35 m .X = + 67,35 m

. Y = + 3,88 m . Y = - 3,88 m

. Z = - 38,22 m . Z = + 38,22 m

Parâmetros de Transformação entre o SAD 69 e o

SIRGAS2000



PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO ENTRE

SAD69 E OUTROS SISTEMAS DE REFERÊNCIA

PARÂMETROS Córrego Alegre Astro Datum Chuá WGS84

DX (m) 138,0 77,0 -66,87

DY (m) -164,4 -239,0 4,37

DZ (m) -34,0 -5,0 -38,52



EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÃO DE

ALTITUDE GEOMÉTRICA EM ORTOMÉTRICA

As coordenadas de um ponto situado no Rio Chapecó,

obtidas por rastreio GPS no SAD-69 resultaram em:

= 26 4648,81504 = 5203 38,83019

h=813,75 m

Por se tratar de RN, conhece-se H=808,1965

Do programa do IBGE MAPGEO2004 obtém-se

N = +5,60 m

Como

H=h-N

H=813,75-5,60 H = 808,15 m

Diferença: d=0,0465m d=4,65cm



CALCULAR AS COORDENADAS CARTESIANAS

ORTOGONAIS TRIDIMENSIONAIS DO PONTO= 26 4648,81504 = 5203 38,83019 h=813,75 m

referenciadas ao SAD-69.

XP = (N + h) cos cos

YP = (N + h) cos sen

ZP = [N (1 – e2 ) + h) sen

a= 6.378.160 m

e2= 0.0066946053

N = 6382498,631 m

XP = 3503671,313 m

YP = -4494314,786 m

ZP = -2856873,785 m

2/122 sen1 e

aN



SOFTWARE DISPONIBILIZADO PELO IBGE

PARA TRANSFORMAÇÃO DE SISTEMAS NO

BRASIL

http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/p

aram_transf/default_param_transf.shtm

ProGriD – Transformação de Coordenadas

http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/param_transf/default_param_transf.shtm



Calcular as coordenadas geodésicas da estação Chapecó, na

data de 29 de maio de 2013, atualizadas pelo movimento de

placas tectônicas.

Obtém-se do descritivo da estação SCCH as seguintes

informações:



Do site do SIRGAS:

http://www.sirgas.org/index.php?id=54

X (t) = X (t0) + (t - t0) * Vx

Y (t) = Y (t0) + (t - t0) * Vy

Z (t) = Z (t0) + (t - t0) * Vz

Sendo t a época da observação e to a época 2000,4 (do

SIRGAS2000), Vx, Vy e Vz as componentes da velocidade

fornecidas pelo modelo VMS2009.

Para o dia 29 de maio de 2013, teremos:

t = 2013+(31+28+31+30+29)/365

t = 2013,4

t-to = 2013,4-2000,4 = 13 anos

http://www.sirgas.org/index.php?id=54



A velocidade da estação Chapecó obtida com o

software VMS2009

Vx=0.0017m/a Vy= -0.0057m/a Vz= 0.0109m/a

X= 3450305,441+ 13*0,0017 = 3450305,4631

Y=-4512731,664 - 13*0,0057= -4512731,7381

Z=-2892128,265 + 13*0,0109= -2892128,1233



Transformação de X,Y,Z em Φ,λ e h.

p = XP+YPp= 5680612,249 m

ZP a

= arctg

p b

= -0,472278261 rad = -27,05955111°

ZP + e´ 2 b sen3

tg =

p - e 2a cos3

2

222'

b

bae

22 2 ffe



= -27° 08´ 15,23154ʺS 15,2367ʺ

YP

tg =

XP

= -52° 35´ 58,22529ʺW 58,2243ʺ

p

h = - N

cos

N= 6382583,338 m h= 744,2398m 744,24m



Calcular o comprimento, o azimute e o ângulo vertical da

linha de base que une os pontos UFPR e Chapecó da

RBMC.

COORDENADA UFPR CHAPECÓ

X(m) 3763751,681 3450305,441

Y(m) -4365113,832 -4512731,664

Z(m) -2724404,715 -2892128,265



x = -313446,240 m

y= -147617,832 m

z = -167723,550 m

Resposta:

d= 384929,5506 m

A= 244,7818604 °

V= 115,8314558 °

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