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Programa de

Recuperação Paralela

PRP - 01

Nome: ______________________________________

1ª Etapa – 2013

Disciplina: Matemática

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2ª Série – Ensino Médio

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PROGRAMA DE RECUPERAÇÃO PARALELA – PRP 02 – MATEMÁTICA

01- Sejam dois cubos A e B, com arestas a e b, respectivamente. Sabendo que a área total de A é de 1800 m

2 e o

volume de B é 21 m3, determine

b

aab .

02- Determine o volume de um prisma hexagonal, de altura 5 cm, cuja base está inscrita em um círculo de

diâmetro cm3 .

03- Um ortoedro tem dimensões: 4, 5 e x. Se a diagonal mede cm3 2 , determine x.

04- Em uma pirâmide regular de base quadrangular, a medida do perímetro da base é 40 cm. Sabendo que a altura da pirâmide é 12 cm, calcule a área lateral dessa pirâmide.

05- Uma pirâmide triangular tem 3cm9 de volume e 34 de altura. Qual a medida da aresta da base?

06- Calcule o volume de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede e 1 dm a diagonal de uma face. 07- A altura de um cilindro reto é igual a um terço do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume

é 32 cm23 .

08- Sendo ,21

01Ce

12

13B,

01

10A

determine a matriz CBA2 .

09- Resolvendo a equação

8yx

4x213

1y

2x

yx

4x232 , quais os valores encontrados para x e y?

10- Dada a matriz

jiseji

tga

jiseji

sena

onde)a(A

ij

ij

2x2ij , determine:

a) o valor da soma de todos os elementos que compõem a matriz A; b) o valor do determinante da matriz A.

11- Dado o sistema ,

2z2y4x3

7zy2x

5zyx2

calcule x + y + z.

12- Dê um exemplo de um sistema de equações (pode ser com duas variáveis) que seja possível e indeterminado. 13- Reduza ao 1º quadrante:

a) 1080º b) - 1000º

c) 15

3

d)

12

16

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14- Sejam dois cubos A e B, com arestas a e b, respectivamente. Sabendo que a área total de A é de 1800 m2 e o volume

de B é 2000 2 m3, determine

b

aab2 .

15- Calcule a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal .cm25

16- Considere uma pirâmide regular de base quadrada inscrita em um círculo de raio .cm210 e a altura mede 8,

determine a área total.

17- Uma pipa de suco, cuja forma é de um cilindro circular reto, tem o raio da base igual a

4 e altura 3 m. Se apenas

30% do seu volume está ocupado por suco, qual a capacidade total da pipa?

18- Uma pirâmide triangular tem 3cm9 de volume e 34 de altura. Qual a medida da aresta da base?

19- Calcule a área total de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede em 2 dm a diagonal de uma face. 20- A altura de um cilindro reto é igual a um meio do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é

33 cm3 .

21- Seja M = ,y10

8x

N =

4x12

6y e P =

1323

167, três matrizes que satisfazem a igualdade .PN

3

2M

2

3

Determine y – x.

22- Determine o valor de x que verifica a igualdade:

10

01

x1

23,

31

2x.

23- Se x + y = 3

então qual o valor de

0ycosysen

0xsenxcos

100

?

24- Resolvendo o sistema

11zyx

z3y2

y2x

determine o valor de x + 2y + 3z.

25- Sabendo que a + b = 1200, b + c = 1100 e a + c = 1500, determine a + b + c.

26- Calcule a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal mede .cm2

27- A altura de um cilindro reto é igual a um meio do raio da base. Calcule a área total, sabendo-se que seu volume é

3cm1570 . Considere .14,3

28- Determine a menor determinação positiva de:

a) rad8

5 . b) 13 .

c) 2700º. d) – 900º

29- A área lateral de um cilindro de revolução é igual a soma das áreas de suas bases. Sendo o raio do cilindro igual a 4 m, determine seu volume.

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30- Dadas as matrizes

1b

b1Be

a0

0aA , determine a e b de modo que A . B = I, onde I é a matriz identidade.

31- Se uma matriz quadrada A é tal que A

t = – A ela é chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e,

8c2cb

...2ba

......a4

M . Determine o valor dos termos a12 , a13 e a23 da matriz M.

32- Se A é uma matriz quadrada, defini-se traço de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas condições, determine o traço da matriz A = (aij)3x3, onde aij = 2i - 3j.

33- Se det A = 5 e A--1

=

5

2

5

1

a5

4

, então determine o valor de a.

34- Sejam as matrizes [

] e [

], calcule o valor de det (A.B).

35- Calcule o valor da expressão oo

oo

650cos.240tg

210gcot.920sen.

36- Se cossecx = 4

5 e x pertence ao 1º quadrante, calcule o valor de 25 . sen

2x – 9tg

2 x.

37- Uma pirâmide regular de base quadrada é tal que o apótema da base mede 7cm. Sabendo que o apótema da pirâmide mede 25 cm, calcule a medida de sua altura, o valor da sua área da base, o valor do seu volume, e o valor da sua área lateral.

38- Deseja-se projetar uma lata cilíndrica para leite condensado que tenha volume de 400cm

3. Sabendo que a altura da lata

cilíndrica será 8cm, determine a medida do raio da base, o valor da área da base, o valor da área lateral e também, o valor da sua área total.

39- Um cone inscrito em um cilindro equilátero tem seu vértice no centro de uma das bases do cilindro. Se a altura do

cilindro é h e o raio da base R, calcule, em função de R, o valor da geratriz do cone e determine, também em função de R, o volume do cone, a sua área da base e a sua área lateral.

40- Em uma pirâmide de base quadrada, a medida da aresta da base é a terça parte da medida da altura. Se o volume

dessa pirâmide é 64cm3, determine a medida da aresta de sua base.

41- Um copinho tem a forma de um cilindro circular de reto com 2cm de raio da base e altura 5cm. Determine qual o maior

número de copinhos iguais a esse que podemos encher com 1 litro de café. (Use: = 3,1)

42- Determine o valor dos números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir.

52

03

10

11.

zyxz

2y1x

43- Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado à água na razão de 25 g por 500

litros de água. Se a piscina tem 1,6 m de profundidade e está totalmente cheia, determine a quantidade do produto que deve ser misturada à água.

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44- Sejam as matrizes:

66

66Pe

3n

q3M . Se M. M

t = P, sendo M a matriz transposta de M, calcule o valor

de n2 + n.q .

45- Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cilindro circular reto. O combustível deve ser transportado por um

único caminhão distribuidor. O tanque transportador tem igualmente a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro de base mede 1/5 do diâmetro da base do depósito e cuja altura mede 3/5 da altura do depósito.

● Determine o número mínimo de viagens do caminhão para o esvaziamento completo do depósito. 46- Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 18 cm. Calcule a altura e o volume desse cone.

47- Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9 cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base a face oposta. Se V cm

3 é o volume da pirâmide, determine (1/3)V.

48- Dadas as matrizes abaixo, calcule o valor de det(A.B).

01

10Be

xsen1

1xsenA ,

49- Calcule o determinante da matriz a seguir.

º780seccosº315secº225tg

º135tgº300cosº765cos

2sensen2

3sen

50- Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 13

12. Calcule o valor de

senx + cosx + tgx + secx + cossecx 51- A figura abaixo mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura 2x. Retirando-se o cone do cilindro, determine em função de x, o volume do sólido resultante.

52- Numa pirâmide quadrangular regular, uma aresta da base mede 22 cm e uma aresta lateral mede 22 cm.

Calcule o volume dessa pirâmide, em cm3.

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53- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado aB = 6 cm e arestas laterais das faces aL = 4 cm. Calcule a altura da pirâmide e, em seguida, determine o seu volume.

54- No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 cm. Determine o

volume desse sólido. Use (π = 3)

55- Se x é um número real positivo tal que

0x

11A ,

11

1xB e det (A.B) = 2, então determine o valor de x

-x.

56- Determine o valor de x + y, para que o produto das matrizes seja a matriz nula.

22

22Be

1y

x1A

57- Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são

compostas por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela (fig. 1).

De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades de vitamina B.

Considere nesta dieta:

x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.

y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.

Determine a matriz M, tal que

13500

13000

y

xM .

58- Calcule o determinante da matriz. Lembre-se que: sen

4x + 2sen

2xcos

2x + cos

4x = (sen

2x + cos

2x)

2

xcosxsenxsen

xsen0xcos

xcosxcosxsen

A2

2

59- Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras a seguir.

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Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, determine a quantidade preparada, em litros. Use π = 3,14.

60- Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia,

então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria.

Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? 61- Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico,

inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após o gelo derreter completamente, qual será, aproximadamente, a altura do nível da água no copo?

62- Considere as matrizes de elementos reais representadas abaixo. Sabendo-se que A . B = C, calcule o produto dos

elementos de A.

.149

53Ce

21

11B,

zy

x1A

63- Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em

mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

Determine a quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês? 64- Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco semanas consecutivas, de tal forma que, a partir da segunda semana, o

valor apostado era o dobro do valor da semana anterior. Se o total apostado, nas cinco semanas, foi R$ 2.325,00, qual o valor pago por Cecília, no jogo da primeira semana?

65- Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.

a) Calcule a matriz C = AB. b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.

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66- O imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria utilizada como seu túmulo. As características da pirâmide são: sua base é um quadrado com 100m de lado e sua altura é de 100m. Para construir cada parte da pirâmide, equivalente a 1000m

3, os escravos, utilizados como mão de obra, gastavam, em média, 54

dias. Mantida essa média, qual o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias? 67- As medidas da geratriz, do raio da base e da altura de um cone circular reto são x + a, x e x - a, respectivamente. Ao calcular o volume desse cone, usou-se, por engano, a fórmula do volume do cilindro circular reto de mesmo raio e

de mesma altura do cone. O valor encontrado supera em 4πcm

3 o volume procurado.

Calcule a altura e o raio da base desse cone. 68- Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro.

69- A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com

137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.

Determine a área da base dessa pirâmide, em m2.

70- Um recipiente cúbico, sem tampa, cujas arestas medem 4 dm, contém 56 litros de água. Ao lado desse recipiente,

estão os seguintes sólidos, todos de aço maciço:

- uma esfera de raio 3

2 dm;

- um cilindro circular reto com raio da base 2 dm e altura 2 dm;

- um paralelepípedo retangular de dimensões 3 dm, 3 dm e 7 dm; e

- uma pirâmide reta de altura 5 dm e de base quadrada com lado 12 dm.

Determine qual desses sólidos, quando colocado no recipiente, NÃO fará com que a água transborde. Justifique sua

resposta com os cálculos. 71- Uma pista de skate, com 10 m de largura, está representada na figura a seguir.

As superfícies ABCD e EFGH são cilíndricas, cada uma delas é 1/4 de um cilindro circular reto de raio 2 m, e a superfície CBEH é plana retangular. Se M é o ponto médio do segmento CH e a distância entre M e B é 20 m, determine quanto mede aproximadamente a área da superfície da pista, compreendida

entre AD e FG, em m2. Use π = 3,14 e 3 = 1,73

72- Na venda de bolas de tênis, são utilizadas embalagens em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro interno

mede

128 cm e corresponde a um terço da altura interna. Determine a área, em cm

2, da superfície lateral interna de

cada embalagem. 73- O raio da base de um cone circular reto e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida.

Sabendo que suas alturas medem 4 cm, determine a razão entre o volume do cone e o volume da pirâmide.

74- Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

Após 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e

usando a aproximação π = 3, determine o volume aproximado, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação.

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75- Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como mostra a figura a seguir.

A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é

h = 6 m, determine a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório. 76- Considere uma bola de sorvete de 36π cm

3 de volume e uma casquinha cônica de 3 cm de raio. Determine a altura da

casquinha, para que o sorvete, ao derreter, ocupe todo o seu espaço. 77- Sabendo-se que cos x = 3/5 e 0 < x < π/2, determine o valor de tg x.

78- Construa a matriz 4x3)ijb(B com

ji2ji5

jij2i2ijb .

79- As duplas Ana e Ricardo, Cláudia e José, Rita e Roberto, Celina e Jorge, respectivamente nessa ordem, disputam uma

gincana em sua escola. Cada dupla deverá percorrer uma das rotas determinadas pela organização da prova, rigorosamente na ordem estabelecida, conforme descrição abaixo:

- Dupla 1: Estação 4; Estação 2; Estação 1; Estação 3; Estação 4.

- Dupla 2: Estação 3; Estação 1; Estação 4; Estação 2; Estação 3.

- Dupla 3: Estação 2; Estação 3; Estação 1; Estação 4; Estação 2.

- Dupla 4: Estação 1; Estação 3; Estação 2; Estação 4; Estação 1.

A matriz abaixo representa em quilômetros as distâncias entre cada estação.

Vence a gincana quem completar primeiro a sua rota. Determine:

a) A dupla que venceu a gincana. b) Quantos quilômetros percorreu a dupla vencedora?

80- Determine os valores de x, y e z de modo que as matrizes A e B sejam iguais.

9z

3yxA

91yx3

y3x24B

81- A matriz

11c4b

5a1b

a83

é simétrica. Calcule cb22a .

E1

E2

E3

E4

E1 E2 E3 E4

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82- Sejam as matrizes:

1342

0146

2311

5132

B,

3251

4310

2710

2314

A

Sabendo-se que C = A . B, calcule a soma dos elementos a24 + a34 + a12 da matriz C.

83- A inversa de

x2

3y é

15x

4xx. Determine x e y.

84- Considere as matrizes A e B a seguir e n = det (AB). Calcule 7

n.

11

11

01

A

543

210B

Conteúdos envolvidos: Matrizes, Determinantes e Sistemas 85- Escreva a matriz:

a) triangular de ordem 4, na qual

jipara,2a

jipara,)ji(a

jipara,0a

ij

2

ij

ij

b) de ordem 3, na qual

jparaia

jipara,0a

3

ij

ij

86- Determine as incógnitas em

14

y12

z3

4x

z21

6x

87- Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Qual a quantidade de galinhas?

88- Sejam as matrizes

52

11Be

41

32A

. Verifique se 222 BAB2Ae)BA( apresentam mesmo valor.

89- Sendo (

) .

90- Aplicando a regra de Sarrus, calcule o determinante: [

]

91- Sabendo que

y2xeminerdet,

313

122

131

ye22

31x 2 -

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92- Verifique se:

a) (3,-1) é solução do sistema

3y6x3

11y5x2

b) (4,1,3) é solução do sistema

13z2y3x

6zyx2

93- Resolva e classifique os sistemas em: impossível (retas paralelas), possível e indeterminado (retas coincidentes) ou ainda possível e determinado (retas concorrentes).

a)

1yx

3yx b)

2y2x

4yx

c)

6y2x4

2yx2 d)

3y6x3

4y4x2

e)

7z4y3x2

7z5y2x3

15z3yx4

f)

24z7y2x

5z4y5x3

2z2y3x2

g)

20z14y7x

46z26y16x4

24z12y9x3

h)

6z4yx

6z4y2

0yx

94- Faça a redução ao 1º quadrante de:

a) 108º b) 300º c) 370º d) 2000º e) 1090º f) – 450º

g) – 1530º h) 8

5

i) 2

15 j)

4

3

k) 10

95- Calcule a medida da diagonal, a área total, e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede

.cm25

96- Se aumentarmos a aresta de um cubo em 52 cm, obteremos um outro cubo cuja diagonal mede 30 cm. Determine a

área total e o volume do cubo inicial. 97- Determine as dimensões e o volume de um paralelepípedo, sendo a soma de suas dimensões igual a 45 cm, a diagonal

da base igual a 25 cm e a área total igual a 1300 cm2.

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98- Calcule as dimensões de um ortoedro, sabendo que a soma de duas delas é 25 m, o volume 900 m3 e a área total 600

m2

.

99- Calcule o volume de um prisma triangular retangular de 35 cm de altura, sabendo que a área lateral excede a área

da base em .cm356

100- Um prisma de 3m de altura tem por base um quadrado inscrito em um círculo de 2 m de raio. Qual o seu volume? 101- Calcule a área da base de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros, sendo

2cm381 a soma das áreas desses triângulos.

102- A área lateral de um cilindro de 1 m de altura é 16 m

2. Calcule o diâmetro da base do cilindro.

103- A geratriz de um cone mede 14 cm e a área da base 2cm80 . Calcule a medida da altura do cone.

104- Determine a aresta de um cubo, sabendo-se que, aumentada em 1m, o volume aumenta de 37m3.

105- Calcule o volume de um ortoedro retângulo de 93 cm de diagonal, 132 cm2 de área total, sabendo que suas

dimensões estão em P.A. 106- Qual deve ser a altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para que seu volume seja

igual ao volume de um cubo de aresta a? 107- A altura de um cilindro reto é igual ao triplo do raio da base. Calcule a área lateral, sabendo-se que seu volume é

32 cm3 .

108- A área lateral de um cilindro de revolução é igual a soma das áreas de suas bases. Sendo o raio do cilindro igual a 4

m, determine seu volume. 109- Determine o volume de um cone circular reto de 2 cm de raio de base, sabendo que a base e a secção meridiana têm

áreas iguais. 110- Uma casquinha de sorvete de forma cônica, tem 5 cm de diâmetro e 13 cm de altura. Se a casquinha está cheia de

sorvete até a boca, porém sem excesso, com quantos milímetros ela está? 111- Uma pirâmide, cuja área da base é 360 cm

2, tem 15 cm de altura. A que distância da base se deve cortá-la, por um

plano paralelo à base, para que a secção tenha 250 cm2 de área?

112- O apótema de um tronco de pirâmide regular mede 5 cm e as bases são quadrados cujos lados medem 4 cm e 10 cm,

respectivamente. Calcule a área lateral, a área total e o volume do tronco. 113- Determine o ângulo de uma cunha de 5m

3 de uma esfera de 20m

3.

Conteúdos envolvidos: Matrizes, Determinantes, Sistemas e Trigonometria

114- Sendo ,12

14Ce

01

21B,

13

12A

determine a matriz X que verifica a igualdade 3(X – A) = 2 (B+X) + 6C.

115- Sabendo que ,74

42ce

02

31b,

11

23a

calcule o número real x tal que .cb2a3x 2

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116- Resolva a equação matricial

8

2

2

z

y

x

115

632

741

.

117- Dadas as matrizes ,01

12Be

41

03A

determine AB – BA.

118- Dada a matriz

jisewjcosa

jisei2

wsena

quetal)a(A

ij

ij2x2ij , determine

2A .

119- Se ,2

a

qual o valor do determinante

acosasen1

asen1acos

1acosasen

?

120- Alexandre e sua irmã Helena foram a uma farmácia com seu cão Rex. Havia uma velha balança com defeito que só

marcava pesos corretamente acima dos 60 kg. Se pesaram dois a dois e obtiveram os seguintes resultados:

Alexandre e Rex pesam juntos 87 kg;

Alexandre e Helena pesam juntos 123 kg;

Helena e Rex pesam juntos 66 kg.

Pode-se afirmar que:

(A) Cada um deles pesa menos que 60 kg. (B) Dois deles pesam mais que 60 kg. (C) Helena é a mais pesada dos três. (D) O peso de Helena é a média aritmética dos pesos de Alexandre e Rex. (E) Alexandre é mais pesado que Helena e Rex juntos.

12'- A matriz A é dada pela lei de formação:

ji1ij2

ji2j2i

jii2

3x3)ija(A

Construa a matriz A. 122- Sr. José Carlos, considerado farmacêutico de sua cidade, resolveu organizar seu estoque de remédios. Colocou numa

matriz as quantidades de caixas dos 4 tipos de remédio: Antibióticos, Anti-inflamatórios, Analgésicos e Anti-térmicos, respectivamente nessa ordem, nas linhas. Os 4 laboratórios: Roche, Herald’s, Bayer e Merck, respectivamente nessa ordem, nas colunas, conforme a matriz abaixo:

22151314

16142117

12111920

18201012

Determine:

a) Qual o total de analgésicos da farmácia do Sr. José Carlos? b) Quantos medicamentos do laboratório Bayer possui o farmacêutico?

123- Determine o traço das matrizes:

a)

34

21A b)

101

532

102

B

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124- Determine os valores das incógnitas sabendo que A = B:

a)

056

4/321

153

21

zy

x b)

00

02

3m3m

92m2

125- Dado as matrizes:

72

15A ;

23

14B ;

87

91C

Calcule a matriz CBAM 32

126- Resolva as seguintes equações matriciais:

a)

2

3

11

5

1

3

X b)

30

14

14

32X

127- Considere as matrizes:

312C,3

4B,

10

12

53

A

A adição da transposta de A com o produto de B por C é:

(A) impossível, pois não existe o produto de B por C. (B) impossível, pois as matrizes são todas de tipos diferentes. (C) impossível, pois não existe a soma de A

t com B . C.

(D) possível de efetuar e o seu resultado é do tipo 2 x 3. (E) possível de efetuar e o seu resultado é do tipo 3 x 2.

128- A matriz

101x

01x

y21

A é simétrica. Calcule y

x

.

129- A matriz

z5y7

90x

710

A é anti-simétrica. Calcule x + y + z.

130- Dadas as matrizes

11

01A e

22

21B e o sistema

BA4yx2

B2A7y2x, calcule as matrizes x e y.

131- Sejam as matrizes

41

20

13

A ,

31

10B e

1

4C . Determine, se existir:

a) A . B b) B . A c) A . C d) B

t . C

e) B . A

t

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132- Verifique se

5/15/1

5/25/3 é a inversa de

31

21.

133- Determine, se existir, a inversa da matriz

14

2/12.

134- Determine x, y e z de modo que

zyx2

2

2

20

001

seja ortogonal.

135- Calcule o valor de 53

21

21

2

é:

136- Calcule o determinante da matriz A = (aij), de ordem 3, onde:

aij =

jiji

jiji.

137- Qual o módulo do determinante da matriz

152

3/110

431

A ?

138- Calcule o determinante da matriz

6212

0301

4115

6214

A .

139- Calcule os seguintes determinantes:

a)

3301

0400

2105

1243

b)

1201

1543

0210

7132

140- M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M) = 2. Qual o valor da expressão det(M) + det(2M) +

det(3M)? 141- Resolva o sistema:

10z3y5x

16zy4x2

2zyx

142- Resolva o sistema:

2zy

3zx

1yx

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143- Resolva o sistema:

3z3y2x2

4z3y2x

10z12y8x5

144- Resolva:

a)

3zyx2

3z2y2x

0zyx b)

3zyx

1z6y4x2

0zyx

c)

2w2zx

2wzy

4wzx2

4zyx

145- Ao ser perguntado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de passeio e 3 ônibus,

arrecadou-se a quantia de R$ 26,00; quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões a quantia arrecadada foi de R$ 47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões arrecadou-se a quantia de R$ 52,00”. Qual foi o valor do pedágio para cada veículo citado?

146- O curso de Álgebra, no semestre passado, teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos

das provas eram diferentes. Rafael, que acertou 4 questões na primeira prova, 5 na segunda e 3 na terceira, obteve no final um total de 15 pontos. Joana acertou 3 na primeira, 4 na segunda e 4 na terceira prova, totalizando também 15 pontos. Por sua vez, Leandro acertou 5 na primeira, 5 na segunda e 2 na terceira prova, atingindo a soma de 14 pontos no final. Já Fernando fez 4 questões certas na primeira prova, 6 na segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de pontos de Fernando?

147- A base de uma pirâmide de 6cm de altura é um quadrado de 8cm de perímetro. Calcule seu volume. 148 - O tampo de uma mesa apóia-se em quatro pirâmides regulares quadrangulares iguais, feitas de granito. Se a área

lateral de cada pirâmide é 0,28m2 e o lado do quadrado da base é 0,20m, calcule o volume de granito das estruturas

das quatro pirâmides. 149- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24cm o perímetro da base e 30cm a soma dos

comprimentos de todas as arestas laterais. 150- Um grupo de amigos foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma

pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base media 2m. Se, depois de montada, o ar em seu interior ocupava um

volume de 35 m3, quantos metros quadrados de lona tinha a barraca?

151- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm.

a) Calcule a altura da pirâmide.

b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? 152- Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm, onde "a" é a medida da aresta de sua

base. Então, a área total desta pirâmide, em cm2, vale?

153- Um cilindro circular reto, de ouro maciço, tem o raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm. Sabendo que a

densidade do ouro é de 19 g/cm3, calcule a massa total do cilindro.

(densidade = massa/volume) 154- Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. Cada lata deverá

ser preenchida em até 80% do seu volume.

Quantas latas, no mínimo, serão necessárias? 155- Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e 900π m

2 sua área lateral?

156- O perímetro da seção meridiana de um cilindro reto é 36 cm, e a área total é 130π cm

2.

Determine a altura do cilindro.

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157- Na decoração de uma festa foram usadas lanterninhas orientais.

Determine a área lateral de uma lanterninha, sabendo que ela tem a forma de um cilindro equilátero cuja altura mede 15 cm.

158- Determine a medida da altura de um cone reto cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diâmetro de sua base. 159- Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é 9π cm

3.

160- A geratriz de um cone reto mede 14 cm e a área da base, 80π cm

2.

Calcule a medida da altura e o volume desse cone. 161- O chapéu de um bruxo tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e 100π cm

3 de volume.

Se ele é feito de cartolina, quanto desse material foi usado para fazer a superfície lateral? 162- Determine a altura de um cone eqüilátero cuja área total é de 54π cm

2.

163- Deseja-se construir um galpão em forma de um hemisfério, para uma exposição. Se, para o revestimento total do piso,

utilizou-se 78,5m2 de lona, quantos metros quadrados de lona se utilizaria na cobertura completa do galpão?

(Considerar π = 3,14). 164- Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da superfície

esférica, determinando uma circunferência.

Qual o raio desta circunferência, em cm? 165- Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará:

(A) 21 % (B) 11 % (C) 31 % (D) 24 % (E) 30 %

166- Qual a razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo? 167- Se senx - cosx = 1/2, qual será o valor de senx cosx? 168- O seno de um arco de medida 2340° é igual a quanto? 160- Qual o valor de y = cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos 90°? 170- Determine o valor do número:

N = (3 cos180° - 4 sen210° + 2 tg135°) / (6 sen245°)

171- O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos B = 0,6, então cotg C é igual a quanto? 172- Seja x um número real pertencente ao intervalo [0,π/2]. Se secx = 3/2, então tgx é igual a quanto? 173- Se x é um arco do 3° quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a quanto? 174- Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007.

Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.

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Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores:

- ouro: 3 pontos; - prata: 2 pontos; - bronze: 1 ponto. Esses valores compõem a matriz V.

Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. 175- Se as matrizes

São tais que M.N = N.M, então, sobre os números reais x e y, é possível afirmar, corretamente, que:

(A) x é um número qualquer e y pode assumir somente um valor. (B) y é um número qualquer e x pode assumir somente um valor. (C) x e y podem ser quaisquer números reais. (D) x pode assumir somente um valor, o mesmo acontecendo com y.

176- Duas matrizes A e B são comutativas em relação à operação multiplicação de matrizes, se A . B = B . A. Dada a

matriz B (figura 1), para que uma matriz não nula A (figura 2) comute com a matriz B, seus elementos devem satisfazer a relação

(A) a = c + d e b = 0. (B) a + d e b = c. (C) a = c + d e b = 1. (D) c = a + d e d = c.

177- O valor de x + y, para que o produto das matrizes

seja a matriz nula, é:

(A) - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 4

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178- Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir (figura 1) fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro.

A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:

179- Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i

2 – j

2 e bij = - i

2 + j

2, o valor de A - B é:

180- Na planilha de cálculos do setor de Engenharia, responsável pelas obras de um shopping, foram encontradas as

matrizes:

É correto, então, afirmar que A é igual a:

(A) (1/2) B (B) B (C) - B (D) 2B

181- Três barracas de frutas, B1, B2 e B3 são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio

de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.

Calcule, para esse dia, o valor, em reais:

a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2; b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.

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182- Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij), definida por C = A.B,

é correto afirmar que o elemento c23 é:

(A) Igual ao elemento c12. (B) Igual ao produto de a23 por b23.

(C) O inverso do elemento c32. (D) Igual à soma de a12 com b23. (E) Igual ao produto de a21, por b23.

183- A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A. Se

então a matriz A . B será nula para:

(A) x + y = -3 (B) x . y = 2 (C) x/y = -4 (D) x . y

2 = -1

(E) y/x = -8 184- Dada uma matriz A (figura 1), denotamos por A

-1 a matriz inversa de A. Então A + A

-1 é igual a:

185- Sendo B = (bij)2x2, onde,

{

Calcule o det B:

(A) 13. (B) -25. (C) 25. (D) 20. (E) -10.

186- Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:

podemos afirmar que x/y vale:

(A) -12 (B) 12 (C) 36 (D) -36 (E) -1/6

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187- Para que o determinante da matriz

seja nulo, o valor de a deve ser:

(A) 2 ou -2 (B) 1 ou 3 (C) -3 ou 5 (D) -5 ou 3 (E) 4 ou -4

188- Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes

é verdade que y/x é igual a

(A) 1/20 (B) - 1/20 (C) 20 (D) - 20 (E) 3/20

189- Sendo sen x = 1/2; x Q, o valor da expressão cos2x . sec

2x + 2senx é:

(A) zero (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 3

190- O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos B = 0,6, então cotg C é igual a:

(A) 5/3 (B) 4/3 (C) ¾ (D) 3/5 (E) 1/2

191- Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, /2]. Se secx = 3/2, então tgx é igual a:

(A) 2 /3 (B) 2/3

(C) 1/2 (D) 5 /2

(E) 3 /2

192- Se x é um arco do 3º quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a:

(A) -5/3 (B) -3/5 (C) 3/5 (D) 4/5 (E) 5/3

193- Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o comprimento da

sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o sen = 0,6.

Calcule o comprimento da sombra x.

1945- O seno de um arco de medida 2340° é igual a:

(A) -1 (B) - 1/2

(C) 0 (D) ( 3 )/2

(E) 1/2

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195- O valor de y = cos 150° + sen 300° - tg 225° - cos 90° é

(A) - [( 3 ) - 3]/2 (B) - ( 3 ) + 1

(C) - ( 3 ) -1 (D) ( 3 ) - 1

196- O número N = (3 cos180° - 4 sen210° + 2 tg135°) / (6 sen

245°) pertence ao intervalo:

(A) ] -4 , -3 [ (B) [ -3 , -2 [ (C) [ -2 , -1 ] (D) ] -1 , 0 ]

197- A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com

137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.

A área da base dessa pirâmide, em m2, é:

(A) 13.272 (B) 26.544 (C) 39.816 (D) 53.088 (E) 79.432

198- Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm.

Qual seu volume, em cm3?

199- Um grupo de esotéricos deseja construir um reservatório de água na forma de uma pirâmide de base quadrada.

Se o lado da base deve ser 4/5 da altura e o reservatório deve ter capacidade para 720 m3, qual deverá ser a medida

aproximada do lado da base?

(A) 8,7 m (B) 12,0 m (C) 13,9 m (D) 15,0 m (E) 16,0 m

200- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas laterais das faces A = 4 cm.

a) Calcule a altura da pirâmide. b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?

201- Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior.

Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em m

3, é igual a:

(A) 9 (B) 12 (C) 15 (D) 18 (E) 21

202- Numa pirâmide regular, a base é um quadrado de lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros.

O volume desta pirâmide é:

(A) [( 2 )/12] a3

(B) [( 2 )/6] a3

(C) [( 2 )/3] a3 (D) [( 3 )/12] a

3

(E) [( 3 )/6] a3

203- Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade.

Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%.

O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é:

(A) 200. (B) 300. (C) 400. (D) 500. (E) 800.

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204- Um salame tem a forma de um cilindro reto com 40 cm de altura e pesa 1 kg. Tentando servir um freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura do pedaço varia entre 22 cm e 26 cm.

O peso do pedaço é de:

(A) 600 g (B) 610 g (C) 620 g (D) 630 g (E) 640 g

205- Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de altura 6 m e raio da base 3 m. O nível da água nele contida está

a 2/3 da altura do tanque. Se = 3,14, então a quantidade de água, em litros, que o tanque contém é:

(A) 113 040 (B) 169 560 (C) 56 520 (D) 37 680 (E) 56 520

206- Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3 m e área total (área da superfície lateral mais

áreas da base e da tampa) igual a 20 m2.

Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner. 207- Um pedaço de cartolina possui a forma de um semi-círculo de raio 20 cm. Com essa cartolina um menino constrói um

chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa.

Qual a distância do bico do chapéu à mesa?

(A) 10 3 cm. (B) 3 10 cm.

(C) 20 2 cm. (D) 20 cm.

(E) 10 cm. 208- A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base.

Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 cm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:

(A) 64 (B) 48

(C) 32 (D) 16

(E) 8

209- Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm.

Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?

(A) 20 (B) 30

(C) 40 (D) 50

(E) 60 */

210- O setor circular da figura a seguir é a superfície lateral de um cone cuja base tem

diâmetro 4 e área igual a k% da área total do cone.

Então k vale:

(A) 20. (B) 25. (C) 30. (D) 35. (E) 40.

FM/1306/DOCUMENTOS/PRP - PROGRAMA DE RECUPERACAO PARALELA - APOSTILAS /PRP 01 – 2013 - MATEMATICA/MATEMATICA–PRP 01 – 2ª SERIE – ENSINO MEDIO - 2013 - PARTE 2.DOC