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ICIV 200420 08
PROGRAMA PARA VERIFICACION DE DISEÑO DE VIGAS
PREESFORZADAS SIMPLEMENTE APOYADAS
CESAR AUGUSTO CASTAÑEDA SERRANO
DIRECTOR
ING. LUIS E. YAMIN
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL
BOGOTA D.C.
2005
ICIV 200420 08
Tabla De Contenido
1. Introducción __________________________________________________________ 1 2. Objetivos _____________________________________________________________ 3 3. Justificación __________________________________________________________ 4 4. Antecedentes__________________________________________________________ 5 5. Alcances _____________________________________________________________ 6 6. Desarrollo del programa ________________________________________________ 7 6.1. Fundamentos Teóricos__________________________________________________ 7
6.1.1. Pérdida parcial de la fuerza de tensionamiento ___________________________________ 7 6.1.2. Esfuerzos de flexión actuantes en una viga determinada___________________________ 13 6.1.3. Esfuerzos admisibles según NSR-98 __________________________________________ 16 6.1.4. Capacidad última a la flexión _______________________________________________ 18 6.1.5. Cálculo del Momento de agrietamiento de la viga _______________________________ 23 6.1.6. Comprobación de esfuerzos cortantes _________________________________________ 24
6.2. Manual del Usuario del programa _______________________________________ 29 6.2.1. Ingresar los datos básicos __________________________________________________ 29 6.2.2. Ingresar los datos del acero de preesfuerzo _____________________________________ 33 6.2.3. Escoger las opciones de verificación del programa_______________________________ 37 6.2.4. Ejecutar el programa ______________________________________________________ 41 6.2.5. Resultados ______________________________________________________________ 42
7. Conclusiones _________________________________________________________ 47 8. Bibliografía __________________________________________________________ 48
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1. Introducción
La industria de la construcción en el país ha pasado por diversas etapas, así
como hemos tenido momentos de grandes innovaciones tecnológicas y de
bonanza, también hemos tenido que pasar por momentos de recesión y
estancamiento; pero sin duda alguna, uno de los mayores aportes a la industria
de la construcción, no sólo en el país, sino a nivel mundial, lo ha dado la
implementación del concreto preesforzado.
Hacia los años de 1928, cuando E. Freyssinet, quién es hoy considerado como
el padre del preesforzado moderno, decidió utilizar acero de alta resistencia para
ejercer una fuerza de precompresión en los elementos de concreto con el
objetivo de disminuir o eliminar los esfuerzos de tensión a los que estos
elementos se podían ver sometidos. Esto fue posible ya que Freyssinet
aprovechó el buen desempeño y la alta resistencia que tiene el concreto bajo la
aplicación de esfuerzos de compresión.
Las primeras aplicaciones del concreto preesforzado fueron sobre todo en
elementos prefabricados debido a que se podían producir elementos de luces
grandes y a su vez más esbeltos, lo cual ayudó mucho en su transporte ya que
como bien es sabido, la carga muerta de un elemento es de las que más afecta
el diseño por su elevado valor, y al momento de volver los elementos más
esbeltos, indudablemente se reducían considerablemente los valores de carga
muerta.
La técnica y el conocimiento del preesforzado siguió implementándose cada vez
más en el mundo con el pasar del tiempo, tanto así, que su uso se extendió a
estructuras como columnas y vigas de edificaciones, tanques de
almacenamiento hidráulico, pisos, pavimentos, puentes, etc.
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Hoy en día, es tal el uso y conocimiento del concreto preesforzado que éste
pasó de ser una técnica innovadora a ser una casi imprescindible en cierto tipo
de proyectos, por ejemplo, en estos días ya no se puede concebir un puente en
concreto en el que no se use el preesforzado.
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2. Objetivos Gracias a la importancia que ha tenido el uso del concreto preesforzado a lo
largo de su desarrollo en la industria de la construcción, ya sea en tanques de
almacenamiento hidráulico, edificaciones, pavimentos, puentes, pisos, etc.; el
objetivo principal de este proyecto de grado es facilitar la labor de diseño de
vigas en concreto preesforzado por medio del desarrollo de un programa
computacional que verifique el diseño de estas vigas al estar sometidas a
diferentes solicitaciones de carga.
Este programa funcionará de acuerdo con los parámetros establecidos por las
Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR-98, las
cuales son las normas vigentes que rigen el desarrollo de proyectos de diseño y
construcción en el país.
Para el desarrollo de este programa se utilizará el software Microsoft Visual
Basic 6.0.
El segundo objetivo de este proyecto es lograr que el programa sea una
herramienta sencilla de usar para el usuario, que no le genere confusiones en el
momento de ingresar los datos básicos para la verificación del diseño y con esto
lograr un entorno de trabajo amigable pero a su vez poderoso para el usuario.
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3. Justificación
Cuando se refiere a elementos estructurales de concreto ya sean reforzados o
preesforzados, el proceso de diseño llevado a cabo por el ingeniero calculista en
muchas ocasiones podrá tornarse tedioso y largo debido a que muchos de los
cálculos requeridos en el proceso de diseño pueden ser procesos iterativos o
simplemente procesos de prueba y error hasta lograr obtener los valores
óptimos del diseño o por lo menos valores que cumplan con las solicitaciones de
esfuerzos y cargas requeridas.
El desarrollo de este programa de verificación de diseño de vigas en concreto
preesforzado tiene como objetivo agilizar y optimizar el proceso de diseño
mencionado anteriormente, de tal manera que el ingeniero calculista pueda
dedicar un poco más de tiempo al proceso analítico de diseño y optimización del
elemento que al tiempo invertido en los el procedimientos de cálculos.
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4. Antecedentes
En el departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, se han
venido desarrollando varios proyectos de grado y tesis de Magíster que
consisten en programas o módulos orientados a la enseñanza o ayuda en temas
relacionados con las estructuras, dentro de los cuales sobresalen varios
programas sobre estructuras metálicas (cerchas, parrillas, diseño en general de
vigas y conexiones metálicas), hay otras ayudas computacionales en resistencia
de materiales y en enseñanza del concreto reforzado, pero hasta ahora no se ha
trabajado ningún programa involucrado con el concreto preesforzado.
En el ámbito de software comercial especializado podemos destacar programas
como “Section Builder”, “RAPT” e incluso “SAP2000”, pero estos presentan la
gran desventaja de que tienen altísimos costos de adquisición y licenciamiento y
que dentro de sus bases de datos trabajan con varios códigos y normas de
construcción internacionales, pero ninguno incluye la normativa colombiana
NSR-98.
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5. Alcances
El programa que desarrollaré está hecho para la verificación del diseño vigas de
concreto preesforzado simplemente apoyadas (estáticamente determinadas),
con secciones transversales en I o rectangulares; y con la presencia o ausencia
de refuerzo longitudinal ordinario (similar al concreto reforzado).
La verificación del diseño de la viga se hará por medio de los análisis de
esfuerzos de flexión y de esfuerzos cortantes a lo largo del elemento.
Para el análisis de los esfuerzos de flexión se calcularán los esfuerzos actuantes
en el centro de la luz y en los dos extremos, se hallará también la resistencia
última de la viga a la flexión y el momento de agrietamiento ésta, momento con
el cual la viga se agrietará y comenzará a trabajar como un elemento con
preesforzado parcial.
El análisis de esfuerzos cortantes en la viga se hará calculando la resistencia
nominal al cortante (por agrietamiento en el alma o por agrietamiento por flexión-
cortante) en un punto específico ingresado por el usuario, y también se mostrará
una sugerencia de espaciamiento de estribos para diversas áreas de refuerzo a
cortante.
El programa de verificación es aplicable para elementos pretensados y
postensados con distribuciones de cables de preesforzado parabólicos y de
excentricidad constante.
Todos los cálculos, verificaciones y chequeos se harán de acuerdo con las
normas colombianas de construcción y diseño sismo resistente NSR-98 y usarán
el sistema de unidades mks (esfuerzos en kgf/cm²).
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6. Desarrollo del programa
6.1. Fundamentos Teóricos
Para comenzar a enunciar y explicar los fundamentos teóricos usados en el
desarrollo del programa es necesario definir primero los estados de carga
básicos usados a lo largo de este proyecto, al igual que la notación que se va
a utilizar:
o Pj = Fuerza de tensión en el gato aplicada inicialmente al tendón de
preesfuerzo. (antes de cualquier pérdida)
o Pi = Preesfuerzo inicial, inmediatamente después de la
transferencia en el acero de preesfuerzo.
o Pe = Preesfuerzo efectivo, después de que han ocurrido todas las
pérdidas dependientes del tiempo y en la viga está actuando la
totalidad de la carga de servicio.
o La notación para los esfuerzos de compresión será negativo (-) y
para los esfuerzos de tensión positivo (+).
o Las deformaciones y esfuerzos correspondientes a la parte
extrema superior de la viga se denotarán con el subíndice 1
mientras que los correspondientes a la parte extrema inferior serán
asignados con el subíndice 2.
6.1.1. Pérdida parcial de la fuerza de tensionamiento
La fuerza de tensionamiento que normalmente se aplica para preesforzar
el concreto en los sistemas de pretensado y postensado no es constante
y disminuye con el tiempo por varias razones, las más importantes son:
6.1.1.1. Deslizamiento del anclaje
En los elementos postensados, en el momento en que se libera la
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fuerza del gato, la tensión del acero es transferida al concreto por
medio de anclajes; pero siempre habrá un pequeño deslizamiento en
los anclajes después de la transferencia. Generalmente el fabricante
de los anclajes proporciona un valor promedio de la cantidad de
deslizamiento que pueden sufrir estos; así, conociendo el valor de
deslizamiento del anclaje podemos calcular las pérdidas por
deslizamiento del anclaje así:
panc Ell
f∆
=∆
donde,
l∆ = cantidad de deslizamiento
l = cantidad de deslizamiento
pE = Módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo
6.1.1.2. Acortamiento Elástico
Cuando se aplica una carga axial en el concreto, éste sufre un
acortamiento debido a su comportamiento elástico y esto hace que
exista una pequeña pérdida en el efecto de precompresión.
Este acortamiento es importante sobre todo en los elementos
pretensados puesto que se transfiere la carga del cable al elemento;
mientras que en los elementos postensados sólo afectan las pérdidas
por acortamiento elástico cuando hay más de un cable y el
tensionamiento del último afecta a los primeros. Para el caso del
programa que se desarrollará, las pérdidas por acortamiento elástico
sólo se tendrán en cuenta en elementos pretensados. Para elementos
postensados se asume (si hay más de un cable) que todos los cables
se tensionan a la vez.
Para calcular las pérdidas por acortamiento elástico se usó la
siguiente ecuación en donde de calcula el esfuerzo de compresión en
el concreto en el lugar del centroide del acero más el esfuerzo
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producido por el peso propio:
EI
eMre
AcPi
fc
ocs +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 2
2
1
donde
Pi = fuerza pretensora inicial
Ac = Área de la sección transversal de la viga
e = Excentricidad del centroide del acero con respecto al
centroide del concreto
oM = Momento debido al peso propio de la viga
r = Radio de giro de la sección de concreto = c
c
AI
r =2
cI = Momento de Inercia de la sección transversal de la viga.
Como NO conocemos el valor de Pi , éste se asume como Pj90.0 .
Para calcular la pérdida de esfuerzo en el tendón por acortamiento
elástico se tendría:
cspel fnf =∆
donde
pn = relación modular entre acero de preesfuerzo y concreto c
p
EE
6.1.1.3. Retracción de Fraguado (shrinkage)
El fraguado en el concreto durante los primeros 14 días provoca una
contracción significativa en el concreto y por ende en el acero de
preesfuerzo.
Una vez es conocida la deformación por retracción de fraguado (que
usualmente y para efectos de este trabajo se tomará como
0003.0=shε ) es fácil calcular la pérdida de esfuerzo en el acero por
retracción de fraguado como:
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shpsh Ef ε=∆
6.1.1.4. Relajación del acero:
Este tipo de pérdidas ocurre en el acero cuando es sometido a niveles
de esfuerzos muy altos y tiende a deformarse permanentemente.
Ocurre sobre todo en aceros inoxidables y con un alto contenido de
carbón.
Estas pérdidas se calculan así:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∆ 55.0
10)(log10
py
pipirel f
ftff
donde
pif = Esfuerzo inicial producido por la fuerza Pi
pyf = Esfuerzo de fluencia del acero de preesfuerzo
t = Tiempo en horas después de aplicar la tensión
6.1.1.5. Flujo Plástico del Concreto:
El concreto sufre flujo plástico (creep) bajo una carga permanente
puesto que al estar sometido a esa fuerza permanente de compresión
primero se deforma elásticamente y luego continua deformándose
plásticamente durante un periodo de tiempo cambiando así su
volumen, y por ende provocando pérdidas en el preesfuerzo definidas
por la siguiente ecuación:
cspucr fnCf =∆
6.1.1.6. Fricción:
Este tipo de pérdidas se presenta solamente en el sistema de
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postensado y corresponde al efecto de la fricción entre el ducto y los
tendones que este contiene. Esta pérdida es función de la trayectoria
del cable dentro del concreto y aumenta con la curvatura y se calcula
así:
( )µα+=∆ Klff sfr si ( ) 30.0≤+ µαKl
ó
( )( )µα+−−=∆ Klsfr eff 1
donde
=α radianesxy8 , cambio en ángulo del gato al punto x
=x Distancia de punto de evaluación de pérdidas
=y Excentricidad del acero en el punto x (desde el centroide del
concreto)
=l Distancia desde el gato hasta x
=K Coeficiente de fricción accidental
=µ Coeficiente de fricción por curvatura
=e Base de los logaritmos naturales
Para el caso del programa, si la distribución del cable es parabólica,
se calculan las pérdidas por fricción en la mitad de la luz (α = máximo);
y si el cable tiene excentricidad constante se asume α = 0.
Para calcular el esfuerzo debido al preesfuerzo inicial iP ( pif ) se tiene el
esfuerzo inicial de tensión en el cable p
jpj A
Pf = y se le restan las pérdidas
que ocurren durante la transferencia del preesfuerzo
frelancpjpi fffff ∆−∆−∆−= (para postensado) ó elpjpi fff ∆−= (para
pretensado).
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Teniendo el esfuerzo inicial podemos calcular la fuerza de preesfuerzo
inicial (después de la transferencia pero antes de las pérdidas debidas al
tiempo) como:
ppii AfP =
relshcrpipe fffff ∆−∆−∆−= (para pretensado o postensado)
De esa manera obtendríamos la fuerza de preesfuerzo efectivo como:
ppee AfP =
El anterior fue el procedimiento para calcular el preesfuerzo efectivo por
medio del cálculo detallado de las pérdidas ocurridas en el proceso de
preesforzado; pero en ocasiones resulta conveniente expresar la relación
entre preesfuerzo inicial iP y el preesfuerzo efectivo eP en términos de la
relación de efectividad R la cual se define como:
ie RPP =
donde como es lógico la relación de efectividad R debe tener valores
menores al 100%.
El programa desarrollado en este proyecto de grado da la opción al
usuario de calcular el preesfuerzo efectivo eP por medio de cualquiera de
los dos métodos, introduciendo una relación de efectividad R o
calculando las pérdidas detalladamente.
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6.1.2. Esfuerzos de flexión actuantes en una viga determinada
Para calcular los esfuerzos de flexión actuantes en una viga partimos del
hecho que la viga debe permanecer sin agrietarse y que tanto el concreto
como el acero de preesfuerzo son esforzados dentro del rango elástico;
una vez cumplidas estas condiciones podemos calcular los esfuerzos
actuantes en la viga usando las ecuaciones de mecánica de materiales
dentro del rango elástico usadas tradicionalmente. Con esto tendríamos
los siguientes esfuerzos para los siguientes estados:
o Estado 1 – Esfuerzos debidos únicamente al preesfuerzo inicial:
En la fibra extrema superior:
c
i
AP
− + c
i Iec
P 1 = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −− 2
11rec
AP
c
i
Compresión Flexión
por
preesfuerzo
En la fibra extrema inferior:
c
i
AP
− + c
i Iec
P 2− = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 2
21rec
AP
c
i
Compresión Flexión
por
preesfuerzo
o Estado 2 – Esfuerzos debidos al preesfuerzo inicial más el peso
propio:
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En la fibra extrema superior:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −− 2
11rec
AP
c
i + 1S
M o− = 1
211
SM
rec
AP o
c
i −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
Peso propio
En la fibra extrema inferior:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− 2
21rec
AP
c
i + 2S
M o = 2
221
SM
rec
AP o
c
i +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
Peso propio
o Estado 3 – Esfuerzos debidos al preesfuerzo final más carga de
servicio total:
En la fibra extrema superior:
1211
SM
rec
AP o
c
e −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −− +
1SMM ld +
− = 1
211
SM
rec
AP t
c
e −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
Carga Total
En la fibra extrema inferior:
2221
SM
rec
AP o
c
e +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +− +
2SMM ld +
= 2
221
SM
rec
AP t
c
e +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
Carga Total
donde
iP Preesfuerzo inicial (después de pérdidas por transferencia)
eP Preesfuerzo efectivo (después de pérdidas debidas al tiempo)
cA Área de sección transversal de la viga
e Excentricidad del tendón de preesfuerzo desde el centroide de
concreto
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2r Radio de giro c
c
AI
r =2
oM Momento debido al peso propio del elemento
dM Momento debido a la carga muerta
lM Momento debido a la carga viva
tM Momento total = oM + dM + lM
1S Módulo de sección superior 11 cIS c=
2S Módulo de sección inferior 22 cIS c=
1c Distancia desde el centroide de concreto hasta fibra extrema
superior
2c Distancia desde el centroide de concreto hasta fibra extrema
inferior
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6.1.3. Esfuerzos admisibles según NSR-98 C.18.4 - ESFUERZOS ADMISIBLES EN EL CONCRETO - ELEMENTOS A FLEXION C.18.4.1 - Los esfuerzos en el concreto inmediatamente después de la transferencia del preesfuerzo (antes de las pérdidas de preesfuerzo dependientes del tiempo), no deben exceder los siguientes valores: (a) Esfuerzo en la fibra extrema a compresión.………………………………………. cif '60.0
(b) Esfuerzo en la fibra extrema a tracción, excepto lo permitido en (c)…………… 4'cif
(c) Esfuerzo en la fibra extrema a tracción en los extremos de
elementos simplemente apoyados………………………………………………….. 2'cif
Donde los esfuerzos de tracción calculados excedan los valores dados anteriormente, debe suministrarse refuerzo auxil iar adherido, (preesforzado o no preesforzado) en la zona de tracción para resistir la totalidad de la fuerza de tracción en el concreto calculada bajo la suposición de que la sección no está fisurada. C.18.4.2 - Los esfuerzos en el concreto ante cargas de servicio (después de descontar todas las pérdidas del preesfuerzo) no deben exceder los siguientes valores: (a) Esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al preesfuerzo más las cargas permanentes..................................................... cf '45.0
(b) Esfuerzo en la fibra extrema a compresión debido al preesfuerzo más las cargas totales ............................................................... cf '60.0 (c) Esfuerzo en la fibra extrema a tracción en la zona
a tracción precomprimida ..................................................................................2
'cf
(d) Esfuerzo en la fibra extrema a tracción en la zona de tracción precomprimida de los elementos (excepto sistemas de losas en dos direcciones) en los cuales un análisis basado en secciones fisuradas transformadas y uti l izando relaciones momento-deflexión bil ineales, demuestra que las deflexiones, inmediatas y a largo plazo, cumplen los requisitos de C.9.5.4 y donde los
requisitos de recubrimiento cumplen con C.7.7.3.2 ......................................... cf ' C.18.4.3 - Los esfuerzos admisibles en el concreto dados por C.18.4.1 y C.18.4.2 pueden excederse si se demuestra por medio de ensayos o por análisis que el funcionamiento de la estructura no se ve afectado.
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C.18.5 - ESFUERZOS ADMISIBLES EN LOS TENDONES DE PREESFUERZO C.18.5.1 - El esfuerzo de tracción en los tendones de preesfuerzo no debe exceder los siguientes valores: (a) Debido a la fuerza en el gato............................................................................. pyf94.0
pero no puede ser mayor que el menor valor entre puf80.0
y el valor máximo recomendado por el fabricante de los tendones de preesfuerzo o los anclajes. (b) Inmediatamente después de la transferencia del preesfuerzo........................... pyf82.0
pero no mayor de puf74.0
(c) Tendones de postensado, en los anclajes y acoples, inmediatamente después del anclaje de los tendones....................................... puf70.0 1
Los esfuerzos admisibles tanto en el concreto como en los tendones de
preesfuerzo listados anteriormente son tenidos en cuenta en el programa
que es desarrollado en este proyecto, de manera que cuando el usuario
ejecuta el programa después de haber ingresado los datos básicos, Si
algún esfuerzo actuante en el concreto o en los tendones que este
verificando NO cumple con los admisibles se generará un cuadro de
advertencia diciéndole al usuario qué esfuerzo no está cumpliendo con el
admisible pero el programa se ejecutará de todas formas.
1 NSR-98 – Capítulo C.18 – Concreto preesforzado – Página C-153
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6.1.4. Capacidad última a la flexión
Para hallar la capacidad última a la flexión de la viga en estudio se
utilizará el método de la compatibilidad de deformaciones, método que
está aprobado por la NSR-98 en el capítulo C-18.
Este método parte del hecho que se hallan las deformaciones actuantes
en el elemento en tres estados distintos de carga de éste, estados que
varían desde cuando está actuando la fuerza efectiva de preesfuerzo sola
(estado 1); cuando hay un nivel de carga intermedio correspondiente a la
descompresión del concreto al nivel del centroide del acero, suponiendo
adherencia completa entre el acero y el concreto (estado 2); y por último,
un estado de sobrecarga en el elemento hasta el nivel de la falla (estado
3).
Una vez halladas las deformaciones actuantes en el elemento en cada
uno de estos estados, la teoría del método de compatibilidad de
deformaciones dice que la deformación del acero de preesfuerzo en el
momento de la falla debe ser igual a la suma de las deformaciones de
cada uno de los tres estados mencionados anteriormente.
Las fórmulas y la metodología usadas en el programa para el cálculo de
la capacidad última a la deflexión se muestran a continuación:
Primero se halla la deformación del tendón en el estado 1 ( )1ε así:
p
epe A
Pf =
p
pepe E
f== εε1 (1)
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El incremento en la deformación que sufre el tendón cuando pasa del
estado 1 al estado 2 es igual a la disminución en la deformación del
concreto en ese mismo nivel ( )2ε (ya que hay adherencia completa como
se mencionó anteriormente), la cual está dada por la expresión:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 2
2
2 1re
EAP
cc
eε (2)
Cuando el elemento es sobrecargado hasta el nivel de la falla (estado 3),
el eje neutro de la viga está localizado a una distancia c desde la parte
superior de esta, entonces la deformación correspondiente a este estado
( )3ε es:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=c
cdcuεε 3 (3)
donde
cuε = Capacidad última de deformación del concreto
d = Distancia de ubicación del acero de preesfuerzo desde la parte
superior de la viga.
Entonces la deformación total del acero en el momento de la falla ( )psε
sería igual a:
321 εεεε ++=ps (4)
y el esfuerzo correspondiente a esa deformación de falla en el acero
sería:
pspps Ef ε= (5)
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Se supone que la distribución de esfuerzos de compresión en el concreto
es rectangular equivalente, así para la condición de falla se establece que
la compresión C debe ser igual a la tensión T; y entonces se tendría:
pspc fAabf ='85.0
Si se resuelve esta ecuación para la profundidad del bloque de esfuerzos
se tiene:
cbf
fAa
c
psp1'85.0
β== (6)
De acuerdo con lo anterior, la resistencia nominal a la flexión es:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2a
dfAM pspn (7)
El problema de este método para calcular la capacidad última a la flexión
es que no se pueden usar directamente las ecuaciones (6) y (7) para
calcularla puesto que se desconoce el valor de psf , pero se puede seguir
el siguiente procedimiento para determinar la capacidad última a la
flexión:
1. Se supone un valor razonable de psf , y de la curva esfuerzo-
deformación del acero de preesfuerzo obtiene un valor de deformación
correspondiente a ese esfuerzo de falla psε .
2. Calcular la profundidad c del eje neutro de acuerdo con la ecuación
(6).
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3. Calcular el incremento en la deformación 3ε con la ecuación (3) y se
calcula psε de acuerdo con la ecuación (4) y las deformaciones 1ε y
2ε calculadas previamente.
4. Se compara el valor de psε obtenido en el paso 3 con el obtenido del
esfuerzo supuesto en el paso 1; si estos dos valores difieren mucho
entre sí se repite el paso 1 suponiendo otro esfuerzo de falla con su
respectiva deformación hasta que coincida.
5. Una vez se ha obtenido el valor real de psf y psε se procede a
calcular la resistencia de la viga a la flexión usando la fórmula (7).
En el caso en que la viga también contiene refuerzo longitudinal ordinario además del acero de preesfuerzo, la metodología a seguir es la
misma que la mencionada anteriormente con las siguientes diferencias:
La ecuación (6) cambia de
cbf
fAa
c
psp1'85.0
β== (6)
a
cbf
fAfAa
c
yspsp1'85.0
β=+
= (6)
Y la ecuación (7) cambia de
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2a
dfAM pspn (7)
a
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
22a
dfAa
dfAM sysppspn (7)
En este caso donde se usa refuerzo ordinario se asume que éste acero
está fluyendo en el momento de la falla, cómo realmente ocurre.
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El proceso de cálculo de la resistencia última a flexión de la viga en le
programa desarrollado en este proyecto se lleva a cabo usando el
proceso iterativo mencionado precedentemente en donde el usuario
únicamente debe ingresar un valor tentativo de esfuerzo para la falla del
acero con su respectiva deformación y el programa le dice si ese esfuerzo
es el real de falla en la viga o no; y en caso que no sea, le dice al usuario
cual es la deformación real que está obteniendo con el esfuerzo que
supuso y le da la oportunidad de que ingrese otro valor de esfuerzo y
deformación de falla del acero hasta que encuentre el que realmente
actúa en la viga.
El valor reportado por el programa de resistencia última a la flexión de la
viga está afectado por factor de reducción usual para flexión de nMφ en
donde 90.0=φ .
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6.1.5. Cálculo del Momento de agrietamiento de la viga
El momento que produce el agrietamiento de la viga se puede hallar para
una viga típica usando la ecuación para el esfuerzo en el concreto en la
cara inferior e igualándola al módulo de rotura del concreto rf ' así:
rcr
c
e fS
Mrec
AP
f '12
22
2 =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
Reescribiendo esta ecuación se puede obtener una expresión directa
para hallar el momento de rotura de la viga:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= e
cr
PSfM ercr2
2
2'
Para hallar el factor de seguridad contra el agrietamiento ( )crF se tiene:
l
docrcr M
MMMF
−−=
donde
crM = Momento de agrietamiento de la viga
oM = Momento debido al peso propio de la viga
dM = Momento debido a la carga muerta de la viga
lM = Momento debido a la carga viva de la viga
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6.1.6. Comprobación de esfuerzos cortantes
El procedimiento llevado a cabo en el programa para calcular o
comprobar los esfuerzos cortantes actuantes en la viga se hace
básicamente analizando cuál de las resistencias nominales al cortante
está rigiendo el diseño (la menor entre la resistencia nominal al cortante
para agrietamiento por flexión-cortante ( )ciV o para agrietamiento por
cortante en el alma ( )cwV ).
Una vez se ha escogido la resistencia nominal al cortante que rige el
diseño se procede a calcular el exceso de cortante que está actuando en
la viga; y éste es la diferencia entre la fuerza cortante total ( )uV actuante
en el punto de la viga que se está analizando el cortante, y la resistencia
nominal al cortante de la viga.
Con el exceso de cortante calculado se procede a calcular el área ( )vA de
refuerzo transversal (estribos) y la correspondiente separación ( )s de
estribos para esa área determinada; los cuales satisfagan los
requerimientos de exceso de cortante en la viga.
Las ecuaciones y el procedimiento detallado para esta comprobación por
cortante se muestran a continuación:
1. El usuario ingresa al programa la distancia al punto donde va a ser
evaluado el cortante; entonces dependiendo de si el cable de
preesfuerzo es parabólico o recto, se debe calcular la excentricidad e del cable en e punto de análisis, la cual será menor o igual a la
excentricidad del cable en el centro de la luz (si el cable tiene
distribución parabólica), ó será igual a la excentricidad en el centro de
la luz (si el cable es recto).
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2. Conociendo el valor de la excentricidad e del cable en el punto de
análisis se procede a calcular la profundidad d del tendón o cable en
el punto de análisis desde la fibra extrema superior de la viga.
Si está profundidad d es menor que h80.0 (donde h es la altura de la
viga), según el código d debe ser igual a h80.0 . 3. Para hallar la resistencia nominal al cortante para agrietamiento por
flexión-cortante primero ser debe calcular lo siguiente:
• El esfuerzo en el concreto ( )pf 2 en la cara inferior provocado
únicamente por el preesfuerzo
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= 2
22 1
rec
AP
fc
ep
• El momento ( )oM actuante en el punto de análisis ( )x debido al
peso propio
( )xlxw
M oo −=
2
donde
ow = carga distribuida debida al peso propio
l = luz de la viga
x = distancia al punto del análisis del cortante en la viga
• El cortante ( )oV debido al peso propio de la viga en el punto de
análisis ( )x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= x
lwV oo 2
• El esfuerzo de tensión inferior ( )of producido por el momento por
peso propio ( )oM de la viga
c
oo I
cMf 2=
• El momento de agrietamiento ( )crM proveniente de las cargas
muertas y vivas sobre puertas
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( )opcc
cr fffcI
M −+= 22
'6
• El momento ( )máxM actuante en el punto de análisis ( )x debido a
las cagas viva y muerta sobre puestas
( ) ( )xlxww
M ldmáx −
+=
2
donde
dw = carga muerta distribuida actuante en la viga
lw = carga viva distribuida actuante en la viga
• El cortante ( )iV debido a las cargas muerta y viva sobre puestas en
el punto de análisis ( )x
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= x
lwwV ldi 2
Ya conociendo los valores mencionados anteriormente se puede calcular
la resistencia nominal al cortante para agrietamiento por flexión-cortante
( )ciV por medio de la siguiente expresión:
crmáx
iowcci M
MV
VdbfV ++= '60.0
donde
wb = ancho del alma de la viga
4. Para hallar la resistencia nominal al cortante para agrietamiento por
cortante en el alma primero ser debe calcular lo siguiente:
• El esfuerzo centroidal en el concreto ( )ccf debido al preesfuerzo
c
ecc A
Pf =
• La componente vertical ( )pV de la fuerza pretensora efectiva
θSenPV ep =
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donde
θ = inclinación de la línea centroidal del tendón en la sección
Después de conocer los valores listados anteriormente se puede calcular
la resistencia nominal al cortante para agrietamiento por cortante en el
alma ( )cwV por medio de la siguiente expresión:
( ) pwccccw VdbffV ++= 30.0'5.3
5. Se escoge qué resistencia nominal al cortante rige el diseño (la menor
entre cwV y ciV )
cV = cwV ó ciV (según sea el caso)
6. Se calcula la fuerza cortante ( )uV total en el punto de análisis ( )x bajo
las cargas factorizadas
( ) ( )[ ]xwwwV ldou 7.14.1 ++=
7. Para hallar el exceso en cortante ( )sVφ en el punto de análisis se
tendría:
( )cus VVV φφ −=
donde
φ = Factor de reducción de la resistencia igual a 0.85 para cortante
8. Ahora se calculará el espaciamiento de los estribos ( )s para un área
tentativa de refuerzo transversal ( )vA (que puede variar desde estribos
No. 3 hasta No. 6) por medio de la siguiente expresión:
cu
yv
VVdfA
sφ
φ−
=
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En el caso que sVφ sea negativo significa que en la viga no hay exceso
de cortante (la viga resiste por sí misma todos los cortantes), pero
igualmente es necesario verificar el área mínima de acero en el alma así:
w
yv
bfA
s50
=
Además se debe tener en cuenta que el máximo espaciamiento obtenido
con las ecuaciones anteriores NO deben sobrepasar el menor de los
siguientes valores: .61cm ó h75.0 en donde h es la altura de la viga.
El proceso de verificación por cortante en el programa que se desarrolla
en este proyecto consiste en analizar el cortante en un punto determinado
x ingresado por el usuario; y al final el programa le dice al usuario cuáles
son las resistencias nominales al cortante tanto para agrietamiento por
flexión-cortante, como para agrietamiento por cortante en el alma; le dice
cuál de estos rige el diseño y le da unas recomendaciones de
espaciamiento de los estribos para varias áreas tentativas de refuerzo
transversal comenzando por el No. 3 hasta el No. 6.
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6.2. Manual del Usuario del programa
El siguiente manual del usuario ayudará a comprender el desarrollo del
programa, su alcance y la mejor manera de utilizarlo:
6.2.1. Ingresar los datos básicos
Imagen 1: Pantallazo inicial del programa
En el pantallazo inicial del programa mostrado en la imagen 1 se ve el primer
cuadro donde se ingresan los datos generales del proyecto, los cuales son
obligatorios para poder ejecutar el programa y son:
1. Ingresar el valor de carga muerta distribuida que está actuando en la
viga.
2. Ingresar el valor de carga viva distribuida que está actuando en la
viga.
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3. Especificar la resistencia a la compresión del concreto f’c.
4. El peso específico del concreto es por default 2400 kg/m3 pero el
usuario tiene la posibilidad de cambiarlo, esto con el objeto de tener
en cuenta el peso propio del elemento.
5. Ingresar el Módulo de Elasticidad del concreto.
6. Ingresar la longitud de la luz de la viga.
En el cuadro siguiente de selección de Tipo de Viga existe la posibilidad que
el usuario escoja el tipo de sección transversal que tiene la viga en análisis,
entre sección en I compleja, sección en I simple y una sección rectangular;
sección que va a ser mostrada en el cuadro de la derecha por medio de una
imagen en donde el usuario posteriormente tendrá que ingresar los datos de
las dimensiones de la Viga.
Nota: Cuando se estén ingresando las dimensiones de la viga, se deben
llenar TODOS los cuadros que aparecen en la imagen, por más que
parezcan redundantes.
Imagen 2: Selección de Tipo de Viga e ingreso de dimensiones de esta
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Después del ingreso del tipo de viga y las dimensiones de esta, se procede a
escoger el tipo de preesfuerzo al que va a estar sometida; el cual puede ser
preesfuerzo total (No hay inclusión de refuerzo ordinario como el del concreto
reforzado o preesforzado parcial que incluye la adición de refuerzo ordinario.
Si se escoge la opción del preesforzado parcial se activará el recuadro de
ingreso de datos del refuerzo ordinario y se activará el cuadro de ubicación
de este acero en la imagen de dimensiones de la viga como se ve en la
imagen 3
Imagen 3: Selección de tipo de preesfuerzo e ingreso de datos del refuerzo ordinario
El último de los datos básicos que se debe ingresar es la distribución de los
cables o tendones de preesfuerzo, los cuales pueden tener una excentricidad
constante a lo largo de la viga (sólo se ingresa la excentricidad constante del
cable); o una distribución parabólica, caso en el cual el usuario debe ingresar
la ubicación de el/los cables en el extremo A, en el centro y en el extremo B
de la viga. (Imagen 4)
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Imagen 4: Selección y ubicación del acero de preesfuerzo
A continuación se muestra una imagen de cómo debe quedar la pantalla de
inicio después de ingresar todos los datos:
Imagen 5: Pantalla de inicio después de ingresar todos los datos
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6.2.2. Ingresar los datos del acero de preesfuerzo
El siguiente paso para ejecutar el programa es ingresar los datos del acero
de preesfuerzo, proceso que se lleva a cabo en el segundo tabulador (parte
superior del programa)
Imagen 6: Tabuladores para av anzar en el desarrollo del programa (ingreso de datos y
ejecución)
Para ingresar de los datos del acero de preesfuerzo primero de debe escoger
qué tipo de sistema de preesforzado se usará en la viga (pretensado o
postensado); posteriormente debe escoger cómo desea calcular las perdidas
parciales de la fuerza de tensionamiento, si desea un procedimiento
detallado o simplemente ingresar un porcentaje de efectividad de preesfuerzo
(no es exacto).
Si el usuario escoge calcular las pérdidas detalladamente para un sistema
postensado, deberá ingresar los siguientes datos:
1. Para calcular las pérdidas por deslizamiento del anclaje, debe ingresar
el valor del deslizamiento del anclaje en cm.
2. Para calcular las pérdidas por fricción se debe ingresar los valores de
los coeficientes K y µ.
3. Para calcular las pérdidas por flujo plástico del concreto debe ingresar
el coeficiente Cu que depende del tipo de acero de preesfuerzo.
4. Para calcular las pérdidas por relajamiento del acero debe ingresar el
tiempo en años para el cual quiere calcular las pérdidas.
5. Fuerza pretensora inicial Pj (antes de la transferencia)
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Imagen 7: Ingreso de datos del preesfuerzo teniendo en cuenta perdidas detalladas para
un sistema postensado
Si el usuario escoge calcular las pérdidas detalladamente para un sistema
pretensado, deberá ingresar los siguientes datos:
1. Para calcular las pérdidas por flujo plástico del concreto debe ingresar
el coeficiente Cu que depende del tipo de acero de preesfuerzo.
2. Para calcular las pérdidas por relajamiento del acero debe ingresar el
tiempo en años para el cual quiere calcular las pérdidas.
3. Fuerza pretensora inicial Pj (antes de la transferencia)
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Imagen 8: Ingreso de datos del preesfuerzo teniendo en cuenta perdidas detalladas para
un sistema pretensado
Si el usuario escoge calcular las con el coeficiente de efectividad
independientemente del sistema usado, deberá ingresar los siguientes datos:
1. Porcentaje de efectividad de preesfuerzo.
2. Fuerza tensora inicial Pi después de la transferencia.
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Imagen 9: Ingreso de datos del preesfuerzo teniendo en cuenta perdidas con porcentaje
de efectiv idad
Después de ingresar los datos para el cálculo de las pérdidas debe ingresar
los datos básicos del preesfuerzo que son:
1. Área de el/los cables de preesfuerzo Ap.
2. Resistencia última del acero de tensionamiento fpu.
3. Resistencia a la fluencia del acero de tensionamiento fpy
4. Fuerza pretensora inicial Pj (antes de la transferencia)
5. Módulo elástico del acero de preesfuerzo Ep.
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6.2.3. Escoger las opciones de verificación del programa
En el tabulador 4 de opciones de comprobación aparece un cuadro de tipos
de verificación en el cual se puede escoger si desea calcular la resistencia
última a flexión de la viga, hacer un chequeo por cortante y/o calcular el
momento de agrietamiento de la viga.
Imagen 10: Escoger tipo de comprobación
Nota: En el caso que el usuario no seleccione ninguna opción de
comprobación de las mencionadas anteriormente el programa simplemente
calculará los esfuerzos de flexión actuantes en la viga.
Si el usuario selecciona la casilla de resistencia última a flexión, se activará el
cuadro de ingreso de datos correspondiente a ese caso tal y como se
muestra en la siguiente imagen
Imagen 11: Cuadro de ingreso de datos para capacidad última de flexión
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Este cálculo de resistencia última a la flexión requiere que el usuario ingrese
la deformación última del concreto si lo desea pues el valor por default es
0.003. Además este proceso de cálculo se hace mediante un proceso
iterativo en el cual el usuario supone e ingresa el esfuerzo que estará
actuando en el acero de preesfuerzo cuando falla e ingresa la deformación
de falla correspondiente a ese esfuerzo (la cual obtiene de la curva esfuerzo-
deformación de ese acero).
Una vez ingresados esos datos; en el momento que se ejecuta el programa,
si el esfuerzo y la deformación de falla del acero supuestas no son iguales a
las obtenidas analíticamente, entonces el programa le informará eso al
usuario por medio de un cuadro de advertencia y le dice cuál es la
deformación que está obtenido analíticamente para darle una idea de con
qué valor de falla del acero debe intentar de nuevo.
Imagen 12: Adv ertencia cuando no se puede calcular la capacidad última de flexión
Cuando el esfuerzo la deformación de falla del acero supuestas por el
usuario son las que realmente están actuando en el acero se ejecuta
satisfactoriamente el proceso y muestra la capacidad última de flexión de la
viga así:
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Imagen 13: Proceso satisfactorio de cálculo de resistencia última a flexión
Si el usuario selecciona la casilla de cálculo del momento de agrietamiento
de la viga, se activará el cuadro de ingreso de datos correspondiente a ese
caso ubicado en la parte inferior del tabulador 4 tal y como se muestra a
continuación:
Imagen 14: Cuadro para calcular el momento de agrietamiento de la v iga
Si el usuario desea calcular el momento de agrietamiento en la viga
simplemente tendrá que ingresar el valor del módulo de rotura del concreto f’r
en el espacio correspondiente mostrado en la imagen 14.
Si el usuario selecciona la casilla de chequeo por cortante, se activará el
cuadro de ingreso de datos correspondiente a ese caso ubicado en el
tabulador 3 de la parte superior del programa.
Una vez el usuario esté ubicado en ese tabulador 3 verá lo siguiente:
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Imagen 15: Pantallazo de ingreso de datos para comprobación de cortante
En este caso, el usuario deberá ingresar el valor de la resistencia a la
fluencia del acero de los estribos y además el punto de la viga
(longitudinalmente) en donde desea evaluar el cortante.
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6.2.4. Ejecutar el programa
En el tabulador 4 aparece un botón “Calcular” para ejecutar el programa.
Vale la pena resaltar que para ejecutar el programa el usuario debe haber
ingresado todos los datos necesarios para que le programa efectúe los
cálculos, de lo contrario cuando el usuario presione el botón “Calcular” el
programa desplegará un cuadro de información diciéndole al usuario qué
dato le falta ingresar, y no se ejecutará el programa hasta que no estén
completos los datos.
Imagen 16: Cuadro de información cuando falta ingresar datos
Es importante que el usuario esté pendiente si seleccionó por ejemplo la
casilla de verificar cortante y no ingresó los datos necesarios para ese tipo de
verificación porque de nuevo el programa mostrará un cuadro de información
y no se ejecutará.
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6.2.5. Resultados
Cuando el programa termina de ejecutarse, se mostrarán los siguientes
resultados:
En el tabulador 4 “Opciones de comprobación” aparece el cuadro de
resultados generales en donde se mostrará:
1. Área de sección transversal de la viga.
2. Momento de Inercia de la viga.
3. Centroide de la sección transversal de concreto de la viga.
4. Momento máximo de flexión actuante en la viga.
En el cuadro de preesfuerzo efectivo aparecen los resultados de la fuerza
pretensora efectiva Pe después de que han ocurrido todas las pérdidas
parciales del preesfuerzo, aparece el porcentaje de efectividad de
preesfuerzo y por último aparece el esfuerzo efectivo (después de todas las
pérdidas) fpe actuante en los tendones.
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Imagen 17: Resultados generales del programa
Los resultados de comprobación por cortante se muestran igualmente en el
tabulador 3, y se muestran los valores de resistencia nominal al cortante de
la viga y cuál de estos rige el diseño; al igual que se muestra una
recomendación de separación de estribos para varias áreas de acero (Av).
Es necesario recordar que el chequeo se hace en un solo punto de la viga, si
el usuario quiere saber el comportamiento en otros puntos debe correr varias
veces el programa especificando los puntos donde quiere verificar.
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Imagen 18: Resultados de v erificación de cortante en la v iga
Los resultados de Momento de agrietamiento y resistencia última a la flexión
de la viga se muestran también en el tabulador 4 de la siguiente manera:
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Imagen 19: Pantalla de resultados del programa
Para el resultado de los esfuerzos de flexión actuantes en la viga, estos son
mostrados en el tabulador 5 “Esfuerzos de flexión” en dos imágenes de
vigas. En la primera (superior) se muestran los esfuerzos actuantes en la
viga cuando se tiene en cuenta únicamente el Preesfuerzo inicial Pi y el
momento debido al peso propio de la viga Mo. Son mostrados los esfuerzos
tanto en la fibra extrema superior como en la inferior para los extremos de la
viga y el centro.
En la segunda imagen (inferior) se muestran los esfuerzos actuantes en los
mismos sitios mencionados anteriormente, con la diferencia que estos
esfuerzos son debidos al preesfuerzo efectivo Pe y la totalidad de las cargas
de servicio.
Es conveniente recordar la notación usada para los esfuerzos, negativos (-)
significan compresión y positivos (+) significan tensión.
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Imagen 20: Resultados de esfuerzos de flexión actuantes en la v iga
Cuando el programa es ejecutado y alguno o varios de los esfuerzos en el
concreto o en los cables de preesfuerzo NO cumplen con los requisitos
mínimos estipulados en las Normas Colombianas de Diseño y Construcción
Sismo Resistente NSR-98, se desplegará un cuadro de advertencia diciendo
qué esfuerzo no está cumpliendo los requisitos pero el programa terminará
de ejecutarse.
Imagen 21: Adv ertencia cuando no se cumplen los requisitos mínimos estipulados en la
NSR-98
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7. Conclusiones
El programa para verificación de diseño de vigas preesforzadas simplemente
apoyadas desarrollado en este proyecto de grado se puede convertir en una
herramienta útil para los ingenieros calculistas ya que evita que estos
empleen demasiado tiempo realizando cálculos o verificaciones reiterativas
del proceso de diseño. Con esto se lograría que el ingeniero calculista pueda
dedicarle más tiempo a pensar e implementar un buen diseño que ha realizar
cálculos.
El programa no sólo funciona para hacer una comprobación de los diseños
sino que se puede convertir en una herramienta de diseño ya que en caso
que la viga no cumpla los requisitos, la tarea de corrección o re-diseño
consistiría en cambiar los valores del requisito que no está cumpliendo hasta
que este cumpla; claro esta, teniendo en cuenta el buen criterio profesional
de quien está haciendo el diseño.
A pesar de que el programa desarrollado en este proyecto puede ser de
mucha utilidad en el proceso de diseño de vigas preesforzadas tiene varias
limitaciones, entre las cuales están:
o Es aplicable únicamente a vigas estáticamente determinadas,
simplemente apoyadas.
o La distribución del acero de preesfuerzo sólo puede tener dos
formas, excéntrica o parabólica; y aunque esas dos distribuciones
son las utilizadas normalmente en ese tipo de vigas, la
implementación del programa a otro tipo de vigas (continuas) y
para otras distribuciones del acero de preesfuerzo hubiera
implicado un desarrollo gráfico complejo del programa.
o Las comprobaciones de resistencia última a la flexión de las vigas
no incluye vigas que estén agrietadas, ya que éstas cambian sus
propiedades de sección transversal dependiendo del grado de
agrietamiento.
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8. Bibliografía
• Arthur H. Nilson, “Diseño de Estructuras de Concreto Preesforzado”,
Noriega Editores, 1982.
• Luís Enrique García Reyes, “Notas sobre Concreto Preesforzado”,
Uniandes, 1999
• Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, “Normas Colombianas de
Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR-98”.
• Instituto del Concreto, “Memorias Seminario Construcción en Concreto Preesforzado”, Bogotá, Febrero de 2004.
• Bob Reselman, Richard Peasley & Wayne Prunchniak, “Descubre Visual Basic 6.0”, Prentice Hall, 1999.
