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PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA DE ENSINO: CONCEITO DE FRAÇÃO

Eloir Fátima Mondardo Cardoso

Luciane Oliveira de Aguiar

RESUMO: Neste trabalho, apresenta-se uma proposta de ensino sobre fração estudada e desenvolvida no subprojeto de Matemática do PIBID/UNESC. O referencial do estudo é a Teoria Histórico-Cultural, fundamento da proposição de ensino davydoviana, cujo objetivo é a formação do pensamento teórico do estudante. O propósito é possibilitar ao acadêmico, futuro professor de Matemática, subsídios científicos para a organização do ensino e para a prática pedagógica. Desse modo, inicialmente realizou-se o estudo de frações na perspectiva de Davydov, segundo (FREITAS, 2016) e (ROSA, DAMAZIO e CRESTANI, 2014), bem como o planejamento das tarefas de ensino, o que culminou no desenvolvimento da oficina “Apropriação do Sistema Conceitual de Fração na Proposta Davydoviana". A oficina foi realizada em uma turma do 4º ano do Magistério, com 28 alunas, de uma escola da rede estadual da região de Criciúma-SC. O objetivo principal da proposição davydoviana é promover a apropriação dos nexos internos da fração por meio de tarefas com teor científico e procedimentos de bases teóricas. Iniciou-se com um problema de mensuração para criar a necessidade de um novo método de medição. Tal processo revela a essência deste conceito pela subdivisão em partes iguais da unidade de medida básica. Uma parte desta divisão transforma-se na unidade de medida intermediária para a medição quando a unidade básica não cabe vezes inteira na grandeza a ser medida. Enquanto que, no livro didático brasileiro, a fração é trabalhada, na maioria das vezes, com bases empíricas, relacionada às situações do dia a dia, a proposta de ensino davydoviana visa superar a visão empírica do conceito matemático por meio de tarefas que coloquem o aluno em atividade de estudo promovendo abstrações e generalizações.

PALAVRAS-CHAve: Proposição Davydoviana, Fração.

Introdução

O presente artigo é expressão de nossos anseios de promover um ensino que

contemple as relações aritméticas, geométricas e algébricas no processo de elaboração e

apropriação dos conceitos teóricos de matemática. As reflexões aqui apresentadas resultam de

uma oficina vinculada ao Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência do curso de

Matemática juntamente com o Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: Uma Abordagem

Histórico-Cultural (GPEMAHC). Participaram da oficina vinte e oito alunas do 4º ano do

Professor Orientador, Mestre em Educação pela Universidade do Extremo Sul Catarinense, Docente dos

Cursos de Pedagogia e Matemática Licenciatura Plena da Universidade do Extremo Sul Catarinense,

integrante do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: Uma Abordagem Histórico - Cultural

(GPEMAHC). Graduando do Curso de Matemática Licenciatura Plena da Universidade do Extremo Sul Catarinense,

integrante do Curso de Matemática Licenciatura Plena da Universidade do Extremo Sul Catarinense,

integrante do Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: Uma Abordagem Histórico - Cultural

(GPEMAHC).

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Magistério de uma escola da rede estadual do município de Criciúma, a professora titular e

supervisora e os alunos do subprojeto de Matemática do PIBID/UNESC.

A base teórica foi a abordagem Histórico-Cultural e a proposição de ensino de

Davydov e colaboradores. Nesta proposta as tarefas têm o intuito de criar a necessidade da

atividade de estudo, cuja estrutura são as tarefas de estudo, as ações de estudo e por fim as

tarefas particulares. Na realização destas tarefas, que ocorrem as abstrações e generalizações

propiciadoras do pensamento teórico.

A escolha do conceito de fração para a realização da oficina incidiu da grande

dificuldade apresentada por parte dos estudantes na apropriação do número fracionário, algo

frequente nos meios escolares, independente do nível de ensino. Os objetivos elencados, para o

desenvolvimento da oficina foram: superar a visão empírica do conceito de fração por meio de

tarefas com teor cientifico; identificar as medidas básicas e intermediárias representando-as no

esquema e na reta numérica; expressar a inter-relação entre os conceitos de multiplicação e

divisão; Reconhecer o valor da medida intermediária como múltiplo e submúltiplo da unidade

básica.

A formação de conceitos Científicos

A proposta curricular do Estado de Santa Catarina é fundamentada nos

pressupostos da Teoria Histórico Cultural, este fato contribuiu para a escolha desta abordagem

para os fundamentos que orientaram a organização da oficina. Esta teoria tem como principal

estudioso Lev Semenovich Vygotsky e busca superar a visão da psicologia ocidental tradicional

sobre a concepção de homem, educação e de aprendizagem. (NÚÑEZ, 2009, p.25).

De acordo com Vigotski (2001), existem dois grupos de métodos tradicionais de

estudo. O método de definição, com suas variáveis indiretas e o método de estudo da abstração.

Em ambos os métodos está presente a dicotomização da palavra com a matéria, operam ou com

palavras sem matéria objetiva, ou com matéria objetiva sem palavras. Vygotsky propõe um novo

método que representa de forma adequada o processo de formação de conceito, unificando o

material, que serve de base para a elaboração de conceitos e a palavra que é onde o conceito

surge.

A formação de conceitos é um processo de caráter produtivo e não reprodutivo, que um conceito surge e se configura no curso de uma operação complexa voltada para a solução de algum problema, e que só a presença de condições externas e o estabelecimento mecânico de uma ligação entre a palavra e objeto não são suficientes para a criação de um conceito [...] o fato decisivo para a formação de conceitos era chamado tendência determinante. (VIGOTSKI 2001 p. 156).

Na perspectiva Histórico-Cultural os conceitos espontâneos, são conhecimentos

adquiridos no cotidiano do indivíduo, e os conceitos científicos, são adquiridos na escola, de

forma sistematizada e intencional. O que diferencia um do outro é o uso que se faz das palavras

em cada caso. Segundo Vygotsky, no conceito espontâneo, a palavra tem conotação de

sobrenome, que tem a finalidade de unir um grupo de objetos pela aparência. Enquanto nos

conceitos científicos, a palavra alcança novas significações, simbolizando o conceito abstrato,

que possibilita a operacionalização. (NÚÑEZ, 2009, p.43).

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A formação dos conceitos depende da organização e sistematização do processo de

assimilação.

As condições nas quais os conceitos espontâneos e os conceitos científicos se formam são diversas, dependendo fundamentalmente de como é organizado e sistematizado seu processo de assimilação. Dessa forma, a diferença na organização do processo de aprendizagem leva a diferenças no curso do desenvolvimento de pensamento conceitual dos alunos. (NÚÑEZ, 2009, p.45).

A escola é o lugar onde a criança aprende o que não consegue realizar sozinha,

porém a realização de tal atividade se torna possível com a orientação do professor. O fato de a

criança aprender algo novo é fundamental no processo de aprendizagem. (VIGOTSKI 2001 p.

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A teoria de Vygotsky contribuiu para questões levantadas por Vasili Vasilievich

Davydov, que foi um dos principais representantes dos estudos sobre o ensino

desenvolvimental. De acordo com as pesquisas de Davydov, “uno de los problemas centrales de

la psicología general, evolutiva y pedagógica es descobrir las conexiones entre el desarrollo de la

psiquis del niño y su educación y enseñanza.”(Davidov, 1988, p.46).

Para Davydov, a escola deve ensinar o individuo a pensar dialeticamente através de

um ensino que proporcione o desenvolvimento mental por meio da estruturação de sua

atividade de estudo focada no conhecimento teórico e nas generalizações teóricas.

Davydov, que se fundamenta no materialismo histórico dialético, ressalta a

importância da educação e do ensino para o desenvolvimento pleno do ser humano.

Introdução do conceito de fração em davýdov

A proposta de ensino davydoviana tem por finalidade promover o desenvolvimento

do pensamento teórico, o foco é para a apropriação dos nexos internos dos conceitos, ou seja, a

sua essência.

Referente ao conceito de fração, recorremos ao estudo de Freitas (2016), que tem

por base as tarefas dos livros russos, didático (ГОРБОВ et al.,2011) e do professor (ГОРБОВ et

al.,2006) do quinto ano, referente a apropriação do conceito de fração. Referente a este conceito,

inicialmente a tarefa de estudo consiste na apreensão de um novo procedimento de medição,

quando a unidade de medida não cabe na grandeza quantidade de vezes inteira.

Tarefas geradoras para a apropriação do conceito de fração

Nesta seção, nos deteremos a algumas das tarefas analisadas por Freitas (2016) e

usaremos a notação utilizada pela autora, não necessariamente na ordem apresentada pela

autora.

As tarefas propostas por Davydov para introduzir o número racional, possuem a

característica de gerar a necessidade de um novo método de medição. Os estudantes constatam

que há uma limitação conceitual em relação ao número, o mesmo precisa de novas significações

e representações.

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Primeiramente, a fração está expressa na forma algébrica, pois o objetivo é mostrar

a necessidade de um novo modo de medição. De acordo com Горбов et al.(2006, p.121, apud

FREITAS, 2016,p.79), a fração “ apenas se torna número quando começa a expressar relação

entre valores (medidas de quantidades e unidades), isto é, começa a ser percebida não como

descrição do procedimento de medida, mas como seu resultado”.

Deste modo, o ensino de fração é introduzido por meio de uma tarefa particular. Há

três segmentos, A, B e C para medir, utilizando a unidade de medida E. É nesta tarefa que o

estudante se depara com uma situação nova e percebe que o conhecimento até então adquirido,

não é suficiente para a resolução da tarefa.

Tarefa 1: Situação “a”

a) Medir o comprimento de A, B e C com a unidade de medida E. Em seguida, verificar na reta numérica os números resultantes (ГОРБОВ et al., 2006).

Figura – Dados referentes à situação a da tarefa 1

Fonte: Freitas (2016, p.80), conforme as orientações de Горбов et al. (2011).

Inicialmente, para a elaboração da tarefa, deve-se adotar um instrumento para a

mensuração, que fará a mediação no processo de medição. Este procedimento se faz necessário,

pois não é possível quantificar o número que corresponda à medida de cada segmento, fazendo

uso apenas do visual. Com um recorte de cartolina , unidade de medida E, o estudante faz a

medição sobrepondo-a nos segmentos A, B e C para obter o valor aritmético de cada um deles.

O processo de aplicar a unidade de medida sobre a grandeza a ser medida é de

caráter geométrico. A quantidade de vezes que a unidade cabe na grandeza traduz o teor

aritmético, que surge a partir da relação algébrica entre grandezas. A propriedade numérica da

grandeza varia em dependência da variação da unidade de medida. O conceito de unidade é

referência para todos os números singulares e suas operações no campo algébrico, aritmético e

geométrico. (ROSA, 2012, p.229)

O número expressa o resultado da mensuração que advém da relação de

multiplicidade e divisibilidade entre a unidade de medida adotada e a grandeza a ser medida, ou

seja, a relação essencial do conceito de número que é introduzido desde o primeiro ano escolar e

que se apresenta nos anos seguintes. (Freitas, 2016).

Na resolução da tarefa, Горбов et al. (2006) os estudantes perceberão que ao medir

os segmentos A e C, a unidade de medida E cabe quantidade de vezes inteira, 3 e 4,

respectivamente. Porém ao fazer a medição do segmento B, o estudante se depara com uma

situação em que a unidade de medida não cabe quantidade de vezes inteira, isso faz com que os

mesmos busquem alternativas para quantificar o segmento B.

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De acordo com Rosa (2012), Madeira (2012), Souza (2013), Mame (2014), Búrigo

(2015), Hobold (2014), Silveira (2015), na organização de ensino davidoviana as tarefas têm a

intenção de colocar os estudantes em ação investigativa, ação esta, indispensável à atividade de

estudo. É a partir da mensuração do segmento B, que o professor vai questionar se o número

equivalente à razão (

), não existe ou apenas é desconhecido.

A tarefa exige que se amplie o campo numérico, até então conhecido, o campo dos

números inteiros.

O número expresso pela razão (

), ainda é desconhecido, Горбов et al. (2006)

sugere a representação por uma letra qualquer, neste caso a letra m. consequentemente este

número será expresso por

, ou .

Figura – Resolução da tarefa 1.

Fonte: Elaboração dos estudantes.

Tarefa 3 : “Adotando a medida E, desenhar segmentos de comprimento igual ao perímetro de A e T, pentágonos regulares” (ГОРБОВ et al., 2006, p. 31).

Figura – Situações a e b da tarefa 3

Fonte: Freitas (2016, p.94), conforme as orientações de Горбов et al. (2011).

Esta tarefa possui pentágonos de áreas diferentes em que o objetivo é: utilizando a

unidade de medida E, desenhar um segmento de reta que expresse o perímetro de cada

pentágono.

Propusemos que os estudantes observassem os dois tipos de grandeza (área e

comprimento), que a tarefa continha. Esta observação se torna indispensável, uma vez que, no

processo de medição as grandezas devem ser da mesma espécie. Recorremos a Caraça, quando

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diz que “medir consiste em comparar duas grandezas de mesma espécie – dois comprimentos,

dois pesos, dois volumes, etc.” (CARAÇA, 2002, p. 29).

Nesta tarefa a grandeza é expressa pela unidade de medida, o segmento E, ou seja, o

comprimento.

Para medir o perímetro do pentágono A, o estudante constata que a unidade de

medida E coincide com o lado do pentágono A e que a mesma se repete por cinco vezes, portanto

o perímetro de A , pode ser expresso por

ou ou E = A/5

Figura - Resolução da tarefa 3, situação a.

Fonte: Elaboração dos estudantes.

Para construir o segmento que corresponda ao perímetro do pentágono A basta

repetir por cinco vezes a unidade E, pois, a mesma coincide com a medida do lado do referido

pentágono.

Figura - Resolução da tarefa 3, situação b.

Fonte: Elaboração dos estudantes.

No segundo caso, a unidade de medida E é maior que o lado do pentágono T. Ao

constatar a desigualdade entre as grandezas, sugerimos aos estudantes a construção da unidade

de medida intermediária.

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Diante da situação, o lado do pentágono cabe na unidade E, os estudantes chegam a

uma nova abstração, a subdivisão da unidade, “agora a unidade não cabe quantidade de vezes

inteira na grandeza, o que leva à necessidade de dividi-la em partes iguais, com a utilização de

uma das partes como nova unidade” (Горбов et al., 2006, p.121 apud FREITAS, 2016 p.102).

Tarefa – Representar na malha quadriculada as áreas T e B” (ГОРБОВ et al., 2006, p. 32).

Figura - tarefa 4

Fonte: Elaboração nossa, com base em Freitas, 2016 e Горбов et al., 2006).

Figura – Resolução da tarefa

Fonte: Elaboração dos estudantes.

Nesta tarefa, chama-se a atenção para o sentido da seta no esquema abstrato, pois o

mesmo muda, indicando a subdivisão da unidade básica. Neste momento se introduz o esquema

abstrato da fração, a representação do conceito

.

Figura – Esquema da fração

Fonte: Freitas, 2016.

E C

b

T

a

𝒃

𝒂

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O termo a (denominador), indica o valor da divisão da unidade básica em partes

iguais e o termo b (numerador), a repetição de uma destas partes, a unidade intermediária, para

a construção da grandeza. (FREITAS, 2016)

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Considerações

Com o estudo do conceito de fração, verifica-se que da relação entre grandezas surge

as singularidades numéricas. Quando a unidade de medida couber inteiras vezes na grandeza, o

resultado é um número inteiro. Quando a unidade de medida não couber inteira, será necessário

subdividi-la, originando o número fracionário. Estas duas singularidades numéricas, inteiros e

fracionários, formam o conjunto dos números racionais.

A expansão do campo numérico que caracteriza a teoria davydoviana de ensino, um

conhecimento já apropriado, ascende e supera por meio da incorporação. Desse modo, cria-se

um sistema conceitual que desenvolva o pensamento teórico e consequentemente a apropriação

efetiva dos conceitos matemáticos.

A cada tarefa proposta na oficina, havia a preocupação de se manter a consistência

do pensamento para que o estudante desenvolvesse a lógica da especificidade do conceito de

fração (subdivisão da unidade).

As alunas demonstraram compreensão na interpretação das tarefas. Devido ao

conhecimento prévio do conceito de número, de multiplicação e divisão na proposta

davydoviana, pois a professora titular da turma trabalha na perspectiva Histórico-Cultural, Na

realização das mesmas, revelou-se a essência do conceito de fração em Davydov que é a

subdivisão em partes iguais da unidade de medida básica, uma parte desta divisão transforma-se

na unidade de medida intermediária. Isto se faz necessário, quando a unidade básica não cabe

vezes inteira na grandeza a ser medida.

Diante do exposto, acreditamos que a oficina cumpriu com os objetivos a que se

propôs.

Referências

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Número Negativo. 2015. 153 f. Dissertação (mestrado) - curso de matemática, programa de pós-graduação

em educação - PPGE, Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2015.

CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva, 2002.

DAVÍDOV, V. V. La enseñanza escolar y el desarrollo psíquico: investigación teórica y experimental. Moscú:

Progreso, 1988.

FREITAS, Daiane de. O Movimento do Pensamento Expresso nas tarefas particulares proposta por

Davýdov e Colaboradores para a apropriação do Sistema Conceitual de Fração. 2016. 167 f.

Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Programa de Pós-graduação em Educação - PPGE,

Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2016.

HOBOLD, Ediséia Suethe Faust. Proposições para o Ensino da Tabuada com Base nas Lógicas Formal e

Dialética. 2014. 199 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Universidade do Sul de Santa

Catarina, Tubarão, 2014.

MADEIRA, Silvana Citadin. “Prática": Uma Leitura Histórico-Crítica e Proposições Davydovianas para o

Conceito de Multiplicações. 2012. 164 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Programa de Pós-

graduação em Educação - PPGE, Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2012.

MAME, Osvaldo Augusto Chissonde. Os conceitos Geométricos nos dois anos iniciais do Ensino

Fundamental na Proposição de Davýdov. 2014. 163 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática,

Programa de Pós-graduação em Educação - PPGE, Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma,

2014.

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Brasília: Liber Livro, 2009. 216 p.

ROSA, Josélia Euzébio da. Proposições de Davydov para o ensino de Matemática no primeiro ano escolar:

inter-relações dos sistemas de significações numéricas. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade

Federal do Paraná, Curitiba, 2012.

PC/SC, Secretaria de Estado da Educação e do Desporto. Proposta curricular de Santa Catarina:

Florianópolis. GOGEM, 2014.

ROSA, Josélia Euzébio da. DAMAZIO, Ademir; CRESTANI, Sandra. Os conceitos de divisão e multiplicação

nas proposições de ensino elaboradas por Davydov e seus colaboradores. Educação Matemática Pesquisa,

São Paulo, v. 16, n. 1, p.167-187, jan. 2014. Quadrimestral. Disponível em:

<http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/issue/archive>. Acesso em: 25 maio 2016.

SILVEIRA, Gisele Mezzari. Unidade entre Lógico e Histórico no Movimento Conceitual do Sistema de

Numeração Proposta por Davydov e Colaboradores para o Ensino das Operações da Adição e Subtração.

2015. 188 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Matemática, Universidade do Sul de Santa Catarina,

Tubarão, 2015.

VIGOTSKI, L.S. A Construção do Pensamento e da Linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 2001.

Tradução: Paulo Bezerra.

ГОРБОВ, С. Ф.;. ЗАСЛАВСКНЙ, В. М.; МОРОЗОВА, А. В.; ТАБЧНИКОВА, Н. Л. математика: учебник

тетрадь для 5 класса общеобразоват.учрежд. (система д. ъ. эльконина - в.в. давыдова). в 3 - х

частях. часть 2. /. - 4-е изд - м.: ВИТА - ПРЕСС, 2011. - 80 с.: ил.

ГОРБОВ, С. Ф.;. ЗАСЛАВСКНЙ, В. М.; МОРОЗОВА, А. В.; ТАБЧНИКОВА, Н. Л. Обучение математика: 5

класса. пособие для учителя (система д. ъ. эльконина - в.в. давыдова)./. - м.: ВИТА - ПРЕСС, 2006. -

178 с.: ил.