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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC CURSO DE PS-GRADUAO ESPECIALIZAO EM EDUCAO

MATEMTICA

JOSIANE CRUZ GOULARTE DORIGON

PROPOSIES DE DAVYDOV PARA INTRODUO AO

CONCEITO DE EQUAO

CRICIMA

2013

1

JOSIANE CRUZ GOULARTE DORIGON

PROPOSIES DE DAVYDOV PARA INTRODUO AO

CONCEITO DE EQUAO

Monografia apresentada ao programa de Ps-graduao em Educao Matemtica (Lato sensu) da Universidade do Extremo Sul Catarinense como exigncia parcial obteno do ttulo de especialista, com a orientao da Prof. Dr. Joslia Euzbio Da Rosa e co-orientao do Prof. Dr. Ademir Damazio.

CRICIMA

2013

2

AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a Deus. O que seria de nossas vidas sem

que o esprito esteja em paz.

A minha me, ela foi a primeira a me incentivar, para fazer esta

especializao. Sempre em minha memria, estar presente.

Ao meu pai, que sempre me conduziu, para ser a pessoa que sou

(amor incondicional).

Ao meu marido, que com toda compreenso e amor, me apoiou nas

horas de dificuldades. Sempre presente, contribuiu nos processos e etapas

desta monografia.

A minha irm, que sem exceo, com uma infinidade de atitudes,

refora mais os laos de unio, amor e cumplicidade que temos uma com a

outra.

Aos meus sogros, cunhada, cunhados e os concunhados. Que com

todo carinho, esto presentes.

Foi necessria a colaborao de muitos, desse modo, muito

obrigada:

Aos meus amigos e familiares.

Aos integrantes do GPEMAHC Grupo de Pesquisa em Educao

Matemtica: uma Abordagem Histrico-Cultural.

Aos professores da especializao e aos professores

extracurriculares.

Ao meu co-orientador.

Ao CNPQ Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e

Tecnolgico.

Ao FUMDES Fundo de Apoio Manuteno e ao Desenvolvimento

da Educao Superior.

A UNESC Universidade do Extremo Sul Catarinense.

E um obrigada especial, a minha orientadora, que com toda

pacincia, compreenso, timo profissionalismo e principalmente que se tornou

uma grande amiga para toda a vida. Assim, orientou, contribuiu e fez com que

cada etapa desta monografia, fosse concretizada.

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RESUMO

A presente monografia se caracteriza na modalidade terica, a partir dos pressupostos da Teoria Histrico-Cultural. Investigou-se, nas proposies davydovianas, a introduo do ensino do conceito de equao. Para Davydov, no ensino, os conceitos devem ser organizados de forma orientada do geral para o particular, no procedimento de ascenso do abstrato ao concreto. Mas, em que consiste organizar o ensino a partir desses pressupostos? Durante a anlise das proposies davydovianas, revelou-se as caractersticas essenciais, no movimento entre as dimenses particular, singular e universal, pelo procedimento de reduo do concreto catico ao abstrato e, posteriormente, de ascenso do abstrato ao concreto. Com intuito de revelar a essncia em detrimento da aparncia, selecionou-se e analisou-se atividades de alguns livros didticos brasileiros, utilizados por professores da rede municipal de Cricima nos anos letivos de 2012 e 2013. Em tais livros a referncia de anlise foram suas definies e como introduzido o conceito de equao do primeiro grau, em particular para as operaes de adio e subtrao. Durante a apresentao, explicao e anlise das tarefas davydovianas, com o intuito de colocar o leitor em atividade, organizou-se o texto por meio de perguntas, que o levaria a pensar nas possveis respostas para as tarefas, assim como tambm, para o processo de anlise dos dados. Dentre os resultados da investigao, destaca-se as multiplas relaes entre as significaes aritmticas, geomtricas e algbricas em nvel terico. Alm disso, confirmou-se que as proposies davydovianas so expresso da teoria anunciada, qual seja, a Teoria Histrico-Cultural. Por outro lado, as atividades dos livros didticos enfatizam as dimenses empricas do conceito de equao. Palavras-chave: Proposies davydovianas. Equao do primeiro grau. Significaes algbricas, aritmticas e geomtricas.

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LISTA DE ILUSTRAES

ILUSTRAO 1: TAREFA 1 QUADRO ................................................................................................... 18

ILUSTRAO 2: TAREFA 1 - ESQUEMA GERAL DA TAREFA .................................................................... 19

ILUSTRAO 3: TAREFA 1 - RESOLUO NA RETA NUMRICA ............................................................. 19

ILUSTRAO 4: TAREFA 1 - QUADRO PREENCHIDO ............................................................................. 20

ILUSTRAO 5: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO ....................................................................................... 21

ILUSTRAO 6: TAREFA 2 - TABELA COM PARTES FALTANTES.............................................................. 23

ILUSTRAO 7: TAREFA 2 - QUADRO COM PARTE COMPLETA ............................................................. 24

ILUSTRAO 8: TAREFA 2 - QUADRO COM PARTE J COMPLETA ......................................................... 24

ILUSTRAO 9: TAREFA 2 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO ............................................................... 25

ILUSTRAO 10: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES E REPRESENTAO ALGBRICA ....................... 26

ILUSTRAO 11: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES REPRESENTAO ALGBRICA COM TODO ...... 28

ILUSTRAO 12: TAREFA 3 UMA DAS PARTES CONHECIDA ............................................................... 28

ILUSTRAO 13: TAREFA 3 ESQUEMA E REPRESENTAO ALGBRICA TODO PARTES ....................... 29

ILUSTRAO 14: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES E REPRESENTAO ALGBRICA ....................... 29

ILUSTRAO 15: TAREFA 3 ESQUEMA TODO PARTES REPRESENTAO ALGBRICA COM O TODO ... 30

ILUSTRAO 16: TAREFA 3 TODO E UMA PARTE COMPLETA ............................................................. 31

ILUSTRAO 17: TAREFA 3 TODO PARTES COMPLETAS ..................................................................... 31

ILUSTRAO 18: TAREFA 3 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO .......................................................... 32

ILUSTRAO 19: TAREFA 4 REPRESENTAO ALGBRICA DE ADIO ............................................... 33

ILUSTRAO 20: TAREFA 4 DETERMINAO DO TODO ..................................................................... 34

ILUSTRAO 21: TAREFA 4 PARTE C COMPLETA ................................................................................ 35

file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735840file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735841file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735842file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735844file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735845file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735846file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735848file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735849file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735850file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735851file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735852file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735853file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735854file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735855file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735856file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735857file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735858

5

ILUSTRAO 22: TAREFA 4 REPRESENTAO ALGBRICA DA SUBTRAO ....................................... 35

ILUSTRAO 23: TAREFA 4 TODO E PARTES ...................................................................................... 36

ILUSTRAO 24: TAREFA 4 TODO ESCOLHIDO ................................................................................... 36

ILUSTRAO 25: TAREFA 4 VALOR ARITMTICO K ............................................................................ 37

ILUSTRAO 26: TAREFA 5 REPRESENTAO ALGBRICA COM UM VALOR COMPLETAR ............... 38

ILUSTRAO 27: TAREFA 5 - VALOR DESCONHECIDO DE K .................................................................. 39

ILUSTRAO 28: TAREFA 5 - VALOR DO TODO E DAS PARTES ORGANIZADOS ..................................... 40

ILUSTRAO 29: TAREFA 5 RELAO TODO-PARTES ......................................................................... 40

ILUSTRAO 30: TAREFA 5: TODO E PARTES ARITMETICAMENTE ........................................................ 40

ILUSTRAO 31: TAREFA 5 ESQUEMA PARTE E TODO ....................................................................... 41

ILUSTRAO 32: TAREFA 5 REPRESENTAO ALGBRICA DE SUBTRAO ........................................ 41

ILUSTRAO 33: TAREFA 5 NOMEAO TODO PARTES ..................................................................... 42

ILUSTRAO 34: TAREFA 5 VALOR ARITMTICO PARA TODO ........................................................... 42

ILUSTRAO 35: TAREFA 5 PARTE COMPLETA ................................................................................... 43

ILUSTRAO 36: TAREFA 5 - ESQUEMA TODO E PARTES ...................................................................... 43

ILUSTRAO 37: TAREFA 5 UMA DAS PARTES DESCONHECIDA ......................................................... 44

ILUSTRAO 38: TAREFA 5 - RELAO TODO E PARTES ...................................................................... 44

ILUSTRAO 39:TAREFA 5: TODO E PARTES J COMPLETOS ............................................................... 44

ILUSTRAO 40: TAREFA 5 REPRESENTAO GEOMTRICA DO TODO E DAS PARTES ....................... 45

ILUSTRAO 41: TAREFA 5 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO .......................................................... 45

ILUSTRAO 42: TAREFA 5 ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO ........................................................... 46

ILUSTRAO 43: TAREFA 6 ESQUEMA GENRICO .............................................................................. 48

ILUSTRAO 44: TAREFA 6 ESQUEMA GENRICO COM INTERROGAO ........................................... 49

file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735859file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735860file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735861file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735863file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735864file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735865file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735866file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735867file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735868file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735869file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735870file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735871file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735872file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735873file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735874file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735875file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735877file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735878file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735879file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735880file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735881

6

ILUSTRAO 45: TAREFA 6 ESQUEMA GENRICO COM INCGNITA X ............................................... 49

ILUSTRAO 46: TAREFA 6 ESQUEMA COM VALORES ARITMTICOS ................................................ 50

ILUSTRAO 47: TAREFA 6 ESQUEMA TODO E PARTES ..................................................................... 51

ILUSTRAO 48: TAREFA 7 TODO E PARTES ...................................................................................... 53

ILUSTRAO 49: TAREFA 7 CALCULO DO VALOR DA INCGNITA X .................................................... 54

ILUSTRAO 50: TAREFA 7 TODO E PARTES DEFINIDOS .................................................................... 54

ILUSTRAO 51: TAREFA 7 CLCULO DO VALOR DA INCGNITA X .................................................... 55

ILUSTRAO 52: TAREFA 7 ESQUEMA A SER IDEALIZADO ................................................................. 55

ILUSTRAO 53: TAREFA 7- ESQUEMA A SER IDEALIZADO .................................................................. 56

ILUSTRAO 54: TAREFA 7 ESQUEMA A SER IDEALIZADO ................................................................. 56

ILUSTRAO 55: TAREFA 7 ESQUEMA A SER IDEALIZADO ................................................................. 57

ILUSTRAO 56: TAREFA 8 EQUAO COM A OPERAO DE SUBTRAO ....................................... 58

ILUSTRAO 57: TAREFA 8 EQUAO COM A OPERAO DE ADIO .............................................. 60

ILUSTRAO 58: TAREFA 8 ESQUEMA TODO PARTES EQUAO SUBTRAO................................... 61

ILUSTRAO 59: TAREFA 8 ESQUEMA TODO PARTES EQUAO ....................................................... 61

ILUSTRAO 60: TAREFA 09 TODO E PARTES DA EQUAO .............................................................. 62

ILUSTRAO 61: TAREFA 09 CLCULO DO VALOR ARITMTICO DA INCGNITA X ............................. 63

ILUSTRAO 62: TAREFA 09 EQUAO REPRESENTADA POR ESQUEMA ........................................... 63

ILUSTRAO 63: TAREFA 09 ESQUEMA COM VALOR DA INCGNITA CALCULADO ............................ 64

ILUSTRAO 64: TAREFA 09 TODO E PARTES DA EQUAO .............................................................. 64

ILUSTRAO 65: TAREFA 09 CLCULO DO VALOR ARITMTICO DA INCGNITA X ............................. 65

ILUSTRAO 66: TAREFA 09 - EQUAO REPRESENTADA POR ESQUEMA ........................................... 65

ILUSTRAO 67: TAREFA 09 ESQUEMA COM VALORES ARITMTICOS .............................................. 65

file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735882file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735883file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735884file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735885file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735886file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735887file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735888file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735889file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735890file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735891file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735892file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735893file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735894file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735898file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735900file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735902file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735904file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735906file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735908file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735910file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735912

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ILUSTRAO 68 TAREFA 09 ESQUEMA COMPARAO TODO E PARTES ............................................ 66

ILUSTRAO 69 TAREFA 09 ESQUEMA COMPARAO TODO E PARTES ............................................ 66

ILUSTRAO 70: TAREFA 10 ESQUEMA TODO E PARTES ................................................................... 67

ILUSTRAO 71: TAREFA 10 - PRIMEIRA IGUALDADE PARA COMPLETAR ............................................ 67

ILUSTRAO 72: TAREFA 10 TODO, PARTE E OPERAO COMPLETOS .............................................. 68

ILUSTRAO 73: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 68

ILUSTRAO 74: TAREFA 10 SEGUNDA IGUALDADE PARA COMPLETAR ............................................ 68

ILUSTRAO 75: TAREFA 10 TODO, PARTE E OPERAO COMPLETOS .............................................. 69

ILUSTRAO 76: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 69

ILUSTRAO 77: TAREFA 10 TERCEIRA IGUALDADE PARA COMPLETAR ............................................ 69

ILUSTRAO 78: TAREFA 10 TODO, PARTE E OPERAO COMPLETOS .............................................. 70

ILUSTRAO 79: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 70

ILUSTRAO 80: TAREFA 10 CLCULO DA EQUAO ........................................................................ 71

ILUSTRAO 81: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO...................................................................................... 74

ILUSTRAO 82: ATIVIDADE DO LIVRO DIDTICO ............................................................................ 77

ILUSTRAO 83: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO...................................................................................... 78

ILUSTRAO 84: ATIVIDADE LIVRO DIDTICO...................................................................................... 79

file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735920file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735924file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735929file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735934file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735936file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735938file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735939file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735940file:///C:/Users/Josiane/Desktop/monografia_verso_corrigida.docx%23_Toc349735941

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SUMRIO

1 INTRODUO ................................................................................................................................... 9

2 - APRESENTAO E ANLISE DO OBJETO DE ESTUDO ....................................................................... 18

CONSIDERAES FINAIS ...................................................................................................................... 83

REFERNCIAS ....................................................................................................................................... 87

9

1 INTRODUO

A presente investigao foi iniciada no ano de 2011. Depois de concluir

a licenciatura em Matemtica na Universidade do Extremo Sul Catarinense

UNESC (2010), a autora da presente monografia ingressou na Ps-graduao

Latu Sensu em Educao Matemtica da mesma instituio. Na primeira

disciplina que se teve no curso de especializao, a professora da referida

disciplina, estudiosa das proposies davydovianas, apresentou a proposta de

Davydov e seus colaboradores como uma das possibilidades de objeto de

estudo para se aprofundar na especializao. E, convidou os estudantes para

integrarem o GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educao Matemtica: Uma

Abordagem Histrico Cultural).

O convite foi aceito, pela autora desta monografia, para participar do

coletivo GPEMAHC. O grupo de pesquisa composto por pesquisadores e

estudantes de quatro universidades brasileiras, Universidade do Extremo Sul

Catarinense, Universidade do Sul de Santa Catarina, Universidade Federal de

Santa Catarina e Universidade Federal do Piau. O grupo possui as obras

didticas de Davydov e seus colaboradores traduzidas da lngua russa para a

lngua portuguesa, tais como livros didticos para o Ensino Fundamental

(, et al. 2012 )1 e livros que orientam o desenvolvimento em sala de

aula da proposta de ensino desse autor (, , ,

2009).

A partir da experincia como professora no Apoio Pedaggico de

Matemtica2, e durante as reunies de orientao para a monografia observou-

se a necessidade de se repensar o ensino do conceito de Equaes na

primeira fase do Ensino Fundamental, desde os anos iniciais. Davydov e seus

colaboradores propem que esse conceito seja objeto de estudo em todos os

1 As tradues do Russo para o Portugus foram realizadas pela tradutora Elvira Kim, de

nacionalidade russa. No Brasil, esta leciona a disciplina de russo na UFPR Universidade Federal do Paran. 2 Projeto de apoio pedaggico da Prefeitura Municipal de Cricima implantado nos anos finais

do Ensino Fundamental, nas disciplinas de Matemtica e Lngua Portuguesa, para atender as dificuldades apresentadas pelos/as alunos/as na aprendizagem do contedo destas disciplinas. Outro motivo de sua implantao o resultado das escolas estarem com o ndice do IDEB (ndice de Desenvolvimento da Educao Bsica) abaixo do nvel desejado.

10

anos escolares do Ensino Fundamental, e no somente a partir do 7 ano,

como acontece no ensino de uma forma geral aqui no Brasil.

A Proposta Curricular de Santa Catarina (SANTA CATARINA, 1991,

1998, 2000, 2005) e a proposta curricular de Cricima (CRICIMA, 2008), so

instrumentos de reflexo e apresentam alguns subsdios para a educao

escolar com base na Teoria Histrico-Cultural.

Contudo, muitos professores, assim como autora da presente

monografia, no se sentem seguros e com clareza para fundamentar a

docncia na referida teoria. Consequentemente, o livro didtico torna-se a

principal referncia para subsidiar o planejamento e a prtica pedaggica. O

que geralmente no vai ao encontro da perspectiva terica que fundamenta as

referidas Propostas Curriculares.

A partir dos pressupostos da Teoria Histrico-Cultural, no ensino, os

conceitos devem ser organizados de forma orientada do geral para o particular,

no procedimento de ascenso do abstrato ao concreto. Mas, em que consiste

organizar o ensino a partir desses dois pressupostos?

De acordo com Galperin, Zaporzhets, Elkonin (1987), Davydov e seus

colaboradores elaboraram propostas para o ensino de Matemtica que

expressa, fidedignamente, os princpios da Teoria Histrico-Cultural. Por isso, a

elegeu-se como objeto de estudo na presente investigao. Com base na

problemtica anunciada, cujo objetivo foi compreender o movimento conceitual

apresentado por Davydov e seus colaboradores para introduo do conceito de

equao no segundo ano do Ensino Fundamental. Em especial, no que se

refere ao movimento do geral para o particular e de ascenso do abstrato ao

concreto.

Os objetivos especficos consistem em:

- Verificar a expresso da teoria anunciada por Davydov, Teoria Histrico-

Cultural em suas proposies para o ensino de equao;

- Analisar como so contempladas as significaes aritmticas, algbricas

e geomtricas do conceito de equao do primeiro grau;

- Investigar os livros didticos escolhidos por professores da rede

municipal de Cricima, para utilizarem no ano letivo de 2013 e os j

utilisados atualmente, para o ensino introdutrio do conceito de

equaes.

11

De carter terico, a proposta de Davydov foi analisada a partir do

manual do professor para utilizar o livro didtico davydoviano. As proposies

de estudo, seguem o movimento pelo qual o conceito dever ser desenvolvido

em sala de aula. As anlises gerais do tema so desenvolvidas e reproduzidas

em tarefas particulares.

O estudo realizado em comparao com as tarefas davydovianas, dos

livros didticos escolhidos pelos professores da rede municipal para utilizar no

ano letivo de 2013, e um livro que era utilizado no ano de 2012, tais como: A

coleo Porta Aberta (2011) dos autores Marlia Centrin, Jnia La Scala e

Arnaldo Rodrigues do primeiro ao quinto ano, e o livro didtico da coleo

Fazendo a diferena (2006) dos autores Bonjorno e Ayrton do stimo ano.

Todo trabalho de pesquisa requer um mtodo para fundament-lo. Em

concernncia perspectiva terica aqui adotada, a Teoria Histrico-Cultural,

fundamentou-se no mtodo do Materialismo Histrico-Dialtico.

Por meio do mtodo possvel perceber o comportamento e as

contradies do objeto de estudo, como por exemplo, da sociedade capitalista.

Baptista (2010) comenta que na atual sociedade capitalista, no mercado de

trabalho, onde o homem produz instrumentos, no h conscincia significativa.

Ou seja, o homem moderno aprende uma profisso e a executa, mas pela

diviso social do trabalho, ele perde o contato com o produto final de seu

trabalho.

A relao entre o antigo e o novo no processo de desenvolvimento

histrico dos fenmenos ocorre a partir da lei da negao da negao. Na

interpretao dialtica, tal lei, segundo Trivios (1987, p. 71) se baseia na

evoluo e estuda todas as classes de movimento: desenvolvimento,

regresso e o movimento circular. consequncia da luta dos contrrios, e

seu propsito a passagem do inferior para o superior e vice-versa.

Na passagem do inferior para o superior ou o seu contrrio, no

significa, necessariamente, que o novo possa eliminar o antigo, pois possui

muitas caractersticas e elementos do antigo. O objeto em desenvolvimento

pode ser contestado, superado e ainda serem repetidas diversas etapas, com

qualidades diferenciadas.

Masson (2007, p. 112) comenta que os diferentes aspectos da

realidade se entrelaam, promovendo a incluso dos aspectos contraditrios.

12

A contradio, segundo Trivios (1987, p. 69), a fonte genuna do

movimento da transformao dos fenmenos, o materialismo dialtico

reconhece que a contradio uma forma universal do ser. As contradies

esto em oposio permanente, mas elas se penetram mutuamente, pois tm

semelhanas, que so concebidas e superadas, logo que solucionada a

passagem dos contrrios de um para o outro. Quando h a superao, se

atinge a identidade dos contrrios, em tal interao surge um novo objeto, um

novo fenmeno, um novo homem, com qualidades diferentes das anteriores, ou

seja, transformado.

Marx (1985) diz que se o produto do trabalho no pertence ao

operrio, logo tal produto pertence a outro homem (patro) e se a atividade do

homem um tormento, ela proporciona prazer para outro homem. No so os

deuses e nem a natureza que proporcionam esta fora contraditria sobre o

homem, mas sim o prprio homem sobre ele mesmo.

O ser humano, ao produzir para si, estabelece relaes com a

sociedade, isso exige uma conscincia social e conforme produz, se

condiciona, se relaciona e se desenvolve como ser, e assim, desenvolve a sua

conscincia. Por meio dessa atividade, gera tambm uma histria, porm, se

no consegue explic-la em suas mltiplas determinaes, em nvel de

concreto pensado, porque sua forma de pensamento emprica.

De acordo com Jardinetti (1996), o abstrato e o concreto

manifestam-se no mtodo dialtico como uma tendncia no processo de

conhecimento. O concreto e o abstrato so momentos de pensamentos

diferentes de um mesmo objeto, que deve ser analisado, no processo de

investigao, em todos seus detalhes essenciais no seguinte movimento:

concreto abstrato concreto. No incio da anlise, o objeto est concebido

em sua forma imediata, trata-se do concreto real, ponto de partida. Para

reproduzi-lo faz-se necessrio extrair as inter-relaes, no contexto de sua

produo histrica e considerar suas contradies e essencialidades.

O procedimento em que se eleva do abstrato ao concreto est apoiado

na formao do pensamento terico, composto pelas dimenses universais,

particulares e singulares do conhecimento. Por outro lado, o concreto ponto de

partida o aspecto sincrtico dado empiricamente. Nesse momento do

processo de cognio, o pensamento identifica os aspectos essenciais do

13

objeto e extrai as relaes essenciais, universais que vem a ser as abstraes

tericas. Essas constituem as mediaes que possibilitam a superao do

aspecto sincrtico do objeto de conhecimento e proporcionam um salto

qualitativo, no perodo analtico, para o concreto ponto de chegada. O concreto

ponto de chegada, ou concreto sntese, um nvel superior atingido pelo

pensamento no processo de conhecimento, ou seja, suas mltiplas

determinaes.

No mtodo Materialista Histrico-Dialtico, parte-se do concreto

catico, e por meio das abstraes chega-se ao concreto pensado, ou seja, a

sntese das mltiplas determinaes do objeto de investigao (MARX, 1985).

Como diz Kozik (1995), essencial conhecer a estrutura do objeto

de investigao, para tanto, preciso examinar em partes o todo. Nesse

processo, separa-se o que essencial do que menos importante para extrair

conexo interna do objeto, sua lei: por trs da aparncia externa do fenmeno

se desvenda a lei do fenmeno (Idem, p. 20).

Para aprender o objeto, segundo Rigon, et al (2010), no se pode

considerar apenas o ato direto e instantneo dado pela aparncia externa, mas

sim ativar o pensamento at chegar consistncia do real, a sua essncia.

A investigao da essncia de determinado objeto se d pela anlise da

sua forma mais desenvolvida (MARX, 1985). Na conexo dialtica entre o

universal, o particular e o singular:

A prtica, o ser (abstrato) e a essncia so momentos do conceito; assim, todo ser determinado um ser singular e, para se chegar ao conceito, necessrio estabelecer a conexo dialtica entre singular e universal. Nessa conexo surge o papel do particular como mediador entre o universal e o singular. O particular o ponto de partida do pensamento para chegar ao universal, bem como para explicar o singular. Portanto, para a formao de conceitos que penetrem alm do sensvel aparente necessrio estabelecer a conexo dialtica entre o universal, o particular e o singular. A particularidade uma categoria historicizante que possibilita a compreenso de outros aspectos do real, j que est no mbito das mediaes (MASSON, 2007, p. 111).

Para investigar o objeto no movimento das dimenses universal,

particular e singular, faz-se necessrio um processo de anlise devidamente

orientado teoricamente. Uma investigao particular sobre um determinado

objeto s possvel, segundo Marx (1985), pela prtica dos princpios tericos

14

gerais, tomado como ponto de partida a fase mais desenvolvida do objeto em

movimento (Badiou,1979).

O movimento, segundo Engels (apud Trivios, 1987, p. 60) o modo de

existncia da matria. Jamais existiu em algum lugar, nem pode existir, a

matria sem movimento. Os objetos e fenmenos, diferenciam-se entre eles

pela qualidade, isto , pelo conjunto de propriedades que os caracterizam

(idem, p. 65).

A qualidade representa o que o objeto e no outra coisa. A distino da qualidade do objeto, isto , do objeto entre outros objetos, a primeira fase do conhecimento do objeto. Isto quer dizer que o objeto nos apresenta e o separamos dos outros objetos pelo conjunto de suas propriedades (TRIVIOS, 1987, p. 65-66).

S mais tarde, segundo Trivios (1987), que, no processo de

investigao sobre o objeto, so descobertas outras caractersticas tais como a

quantidade, causa, essncia etc.

Na presente monografia, cujo objeto de investigao as proposies

davydovianas para a introduo do conceito de equao, com base no mtodo

Materialismo Histrico-Dialtico, revelou-se suas caractersticas essenciais, no

movimento entre as dimenses particular, singular e universal, pelo

procedimento de reduo do concreto catico ao abstrato e, posteriormente, de

ascenso do abstrato ao concreto.

No contato inicial com objeto de estudo ainda no se enxergava com

clareza a especificidade das proposies davydovianas, estas eram ofuscadas

pelo conhecimento prvio referente as proposies tradicionais, pois estas

permearam toda a formao bsica, desde a Educao Infantil at a

especializao. A investigao foi iniciada pelo estudo simultneo do livro

davydoviano que orienta o professor para o desenvolvimento das tarefas

apresentadas no livro didtico (sobre o conceito de equaes), de uma coleo

de livros didticos brasileiros3, dos livros sobre os fundamentos da Matemtica4

e algumas obras referentes a Teoria Histrico-Cultural5.

3 Optou-se por uma das colees de livro didtico de Matemtica mais votadas pelos

professores da rede municipal de cricima para ser utilizada no ano letivo de 2013 (CENTURIN; SCALA; RODRIGUES, 2011) e um dos livros didticos utilizado pelo 7 ano do ensino fundamental dois, dos autores (BONJORNO; AYRTON, 2006). 4 Caraa (1951)

5 JARDINETTI (1996);ROSA (2012) dentre outros autores.

15

Inicialmente sempre se concebia as equaes em Davydov como

base na concepo prvia sobre o referido conceito. O olhar inicial para as

tarefas davydovianas sobre o conceito de equao era a partir dos livros

didticos do ensino tradicional. Realizou-se uma espcie de adaptao de cada

tarefa de Davydov aos moldes de como seriam desenvolvidas a partir das

proposies brasileiras: primeiro, com balanas, equivalncia e com modelos

algbricos prontos das equaes definidas, que j seguiam inclusive para os

macetes das operaes inversas.

O conhecimento da realidade, portanto, impe uma superao da relativa imediaticidade da representao emprica inicial. O abstrato a negao do concreto inicial, o concreto sensrio perceptivo o meio de se atingir o concreto real pensado. As abstraes so portanto, mediaes de um concreto catico, obscuro, para um concreto na compreenso as multiplicidade de suas partes (GIARDINETTO, p.26, 1991).

No momento em que o objeto estava dado caoticamente, aproximou-

se Davydov com o modo tradicional de se ensinar o conceito de equaes, de

ensinar como proposto inicialmente o conceito de equaes. Ou seja, as

proposies davydovianas pouco se diferenciavam das proposies brasileiras.

Porm, no aprofundamento das leituras referentes aos pressupostos

da Teoria Histrico-Cultural percebeu-se algumas diferenas entre as duas

proposies de ensino. Em Davydov, o ponto de partida so as representaes

gerais das relaes entre grandezas, quando o valor da medida de uma delas

desconhecido. O valor desconhecido, inicialmente representado por um ponto

de interrogao (?) e posteriormente substitudo pela incgnita x.

Diferentemente dos livros didticos brasileiros que nos anos iniciais

representam a incgnita por uma flor, um tijolo etc. Enfim, uma representao

que faa parte do dia-a-dia das crianas e, no stimo ano, j se apresentam

diretamente a incgnita.

Em Davydov as equaes no aparecem prontas, assim como

sugerem os livros didticos brasileiros. Elas so construdas a partir de

situaes de anlise, interpretadas por meio de esquemas, referentes a relao

parte-todo. Tal relao representada na forma algbrica e constitui o modelo

universal de equao. Conseguiu-se extrair de todas as relaes apresentadas

por Davydov e seus colaboradores, nas diferentes tarefas, a essncia, a

16

gnese do objeto do objeto de estudo. Ou seja, atingiu-se o momento de

abstrao como fala Giardinetto (1991):

As abstraes so o momento do pensamento em que se supera a caoticidade do todo pela compreenso de suas partes. Porm essas partes se tomadas isoladamente em si e por si, geram a atomizao do todo, no permitindo a compreenso das relaes que se do entre essas partes, compreenso esta necessria para a reproduo qualitativamente nova do concreto no pensamento (GIARDINETTO, p. 27, 1991).

A partir do momento que identificou-se a relao universal (todo-

partes) foi possvel identificar tambm trs relaes particulares (a + x = c, x +

b = c e a + b = x) que possibilitam a resoluo de qualquer problema singular

sobre adio e subtrao.

Para que se possa compreender a singularidade indispensvel que o pensamento tenha alcanado um mximo de aproximao do estgio mais desenvolvido das relativas particularidades e universalidades nas quais se insere a singularidade em estudo. Em outras palavras: o singular to mais compreendido, quanto mais se tenha captado suas mediaes particulares com a universalidade. O singular, portanto, no existe em si e por si, mas somente em sua relao intrnseca com o universal que se faz somente atravs de mediaes - o particular. Por outro lado, o universal s existe quando se concretiza no singular (OLIVEIRA, p. 19, 1998).

Para compreender o modo como Davydov e seus colaboradores

abordam o conceito de equao nas proposies de ensino teve-se que negar

as concepes iniciais no sentido de super-las. Inicialmente estava-se com o

pensamento to focado nos princpios empricos de ensino que ao organizar os

dados da pesquisa, considerava-se a cor um elemento indispensvel. Por

exemplo, se a tarefa davydoviana apresentava uma situao na qual havia uma

determinada quantidade de lpis azuis e outra quantidade na cor vermelha,

ento no esquema, fazia-se um arco azul para representar a quantidade de

lpis azuis e um arco vermelho para representar a quantidade de lpis

vermelhos. Ou seja, adaptava-se as tarefas davydovianas aos princpios da

escola tradicional. O intuito era facilitar visualmente a localizao da referida

quantidade no esquema. Depois, a partir das reflexes com base no referencial

terico, verificou-se que tal conduta no propiciava a compreenso da relao

parte-todo, subjacente ao conceito de equao sobre adio e subtrao,

17

assim como tambm no desenvolvia a ao investigativa da criana, pois os

dados estavam explicitados por meio da cor. Assim, era suficiente a relao

entre cores iguais e no a relao interna entre o valor desconhecido com os

demais valores j conhecidos.

Vale ressaltar, que no se trata de suprimir do ensino o carter visual,

mas a necessidade de ir alm do que est dado pela aparncia externa. Para

Amorin (2007)

A lei dialtica da negao da negao, numa perspectiva marxista, se torna fundamental para o entendimento do processo de evoluo do conhecimento e dos fenmenos. H uma forte relao entre o antigo e o conhecimento em estado de produo. O novo conhecimento no se desenvolve sem o velho. Este assim definido pelo tempo que se originou na humanidade. A apropriao do antigo conhecimento, pelo sujeito, se transforma em um novo conhecimento e por sua vez desenvolver outros que se traduz num processo dialtico contnuo de entendimento da realidade (AMORIN, 2007, p. 57-58).

A presente monografia composta por trs partes, inter-relacionadas:

Introduo e apresentao da problemtica, objeto, objetivos, metodologia e

fundamentao terica da investigao; anlise das tarefas davydovianas e

atividades extradas dos livros didticos brasileiros e, finalmente, a sntese, na

qual tambm procede-se as consideraes finais. Durante a apresentao,

explicao e anlise das tarefas davydovianas, estas so organizadas com o

intuito de colocar o leitor em atividade por meio de perguntas que o levam a

pensar nas possveis respostas para as tarefas, assim como tambm para o

processo de anlise dos dados. Ao final do captulo referente a anlise dos

dados apresentou-se o movimento adotado por um livro didtico brasileiro, para

a introduo de equaes. No decorrer da monografia, apresenta-se dados

confirmadores de que as proposies davydovianas so expresso da teoria

anunciada e divergentes s proposies brasileiras.

18

2 - APRESENTAO E ANLISE DO OBJETO DE ESTUDO

No presente captulo apresenta-se dez tarefas davydovianas para

introduo do conceito de equao no segundo ano do Ensino Fundamental.

Concomitantemente, tambm so apresentadas algumas atividades extradas

dos livros didticos utilizados atualmente na rede municipal de Cricima no

ensino fundamental I (1 ao 5 ano) e no ensino fundamental II, em especial, o

livro do 7 ano (6 srie). Vale explicar que sero denominadas por tarefas

quelas referentes as proposies davydovianas e por atividades as retiradas

dos livros didticos. Tais nomenclaturas so adotadas pelos seus respectivos

autores.

No decorrer da anlise, foram apresentadas ao leitor, algumas

perguntas, com intuito de coloc-lo em atividade durante a leitura. Algumas das

perguntas so respondidas outras, ficam em aberto para futuras investigaes.

Tarefa 1: A primeira tarefa (Ilustrao 1) consiste em preencher o quadro, a

partir da resoluo de duas expresses algbricas e com base no esquema

(, e , 2009).

Ilustrao 1: Tarefa 1 Quadro Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

Nessa tarefa, prope-se a reflexo sobre a leitura e o registro das

expresses que so lidas de dois modos: com as palavras aumentar e mais

para a expresso de adio a + 3, e com as palavras diminuir e menos para

a expresso de subtrao a 3 (, e , 2009).

No quadro anterior tem-se situadas as expresses algbricas e valores

genricos para a varivel a.

As tarefas davydovianas para o segundo ano do Ensino

Fundamental, sobre expresses algbricas, referem-se s operaes de adio

19

e subtrao. Expresso algbrica um conjunto de nmeros e letras ligados

por sinais de operao, no qual as letras s aparecem submetidas s

operaes elementares: adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao

e radiciao (PEREIRA, et al, 1986, p. 95).

As expresses a + 3 e a 3, apresentadas no quadro (Ilustrao 1),

na forma algbrica, so desenvolvidas no esquema, ou seja, na forma

geomtrica (Ilustrao 2). Para a + 3, desloca-se trs unidades direita de a, e

para a 3, desloca-se trs unidades para esquerda de a.

Ilustrao 2: Tarefa 1 - Esquema geral da tarefa Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

Em cada coluna do quadro, a partir da segunda, foram atribudos

valores aritmticos para a (5, 7, 6, 14, 13).

Para a = 5, sero percorridos pela reta, a partir do nmero cinco,

trs unidades para a direita: do cinco ao seis, do seis ao sete e do sete ao oito

(5 + 3) e, trs unidades para esquerda: do cinco ao quatro, do quatro ao trs e

do trs ao dois (5 - 3), conforme ilustrao 3.

Ilustrao 3: Tarefa 1 - Resoluo na reta numrica Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

Durante a realizao da tarefa, a orientao que o movimento seja

realizado coletivamente e cada unidade percorrida na reta numrica deve ser

pronunciada em voz alta por todos (, e ,

2009). A resoluo da tarefa segue at completar o quadro com os demais

valores (Ilustrao 4).

20

Ilustrao 4: Tarefa 1 - Quadro preenchido Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

Na tarefa, inicia-se pelas representaes algbricas, e, por meio da

reta numrica, elemento mediador particular, determina-se os valores

aritmticos, em sua forma singular. A letra a pode assumir quaisquer valores

aritmticos dentre aqueles apresentados no quadro (Ilustrao 1). Ou seja,

trata-se de uma varivel.

Caraa (1951) para definir varivel, inicia de uma situao particular

que corresponde a dois conjuntos aritmticos e para represent-los de

maneira simblica, necessrio introduzir o conceito de varivel. Sem a

representao simblica, teria-se que aderir a tabelas com dados particulares e

no haveria a representao de maneira generica correspondente.

Para explicar o conceito de varivel, Caraa (1951), utiliza os

elementos de um conjunto qualquer, denominado por conjunto (E), seja ele

finito ou infinito. Todos os elementos deste conjunto representado pela letra

x. Este smbolo x, representativo de qualquer um dos elementos do conjunto

(E), denomina-se de varivel. Assim, a varivel, e no cada elemento do

conjunto (CARAA, 1951, p. 128). Uma varivel o que for determinado pelo

conjunto aritmtico que ela representa a sua substncia, o seu domnio

(Idem).

Nesta tarefa, a ideia central do conceito de variveis que so

representados nas expresses desta tarefa por a + 3 e a 3.

As variveis apresentadas nas expresses (a + 3 e a 3), durante o

desenvolvimento da tarefa forma substituidas por valores aritmticos

representados em sua forma aritmtica, por meio da reta numrica. Davydov e

seus colaboradores criam as condies, em suas proposies, para que a

criana desenvolva os clculos algebricamente, geometricamente e

aritmeticamente em uma nica tarefa.

Booth (1994, p. 24) diferencia a lgebra da aritmtica. Para o autor

na atividade da aritmtica ocorre o encontro de determinadas respostas

21

numricas particulares. J na lgebra o foco estabelecer procedimentos e

relaes e express-los numa forma simplificada geral (BOOTH, 1994, p. 24).

As expresses algbricas a + 3 e a 3, representam uma relao

geral passvel de ser generalizada para qualquer situao que envolva o

acrscimo ou o decrscimo de trs unidades a partir de um nmero qualquer.

Por outro lado, do ponto de vista aritmtico, ao atribuir-se valores para a,

obtive-se respostas singulares. Esse movimento, orientado do geral para o

particular e singular, das significaes algbricas para as significaes

aritmticas, foi mediado pelas significaes geomtricas, inicialmente de forma

geral (esquema) e, posteriormente, em suas particularidades e singularidades

(na reta nmerica). Ou seja, a tarefa abrange um sistema conceitual

matemtico que, alm de contemplar as significaes j mencionadas, inter-

relaciona as operaes de adio e subtrao.

Em relao com a tarefa 1 de Davydov, analisa-se uma atividade

proposta pelos autores de um dos livros didticos mais votados pelos

professores da rede municipal de Cricima para serem utilizados no ano letivo

de 2013. Na atividade (Ilustrao 5), Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011)

propem o segmento ( ) como unidade de medida para a medio das

distncias percorridas pelos coelhos, as crianas devero completar o quadro

correspondente.

Ilustrao 5: Atividade livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues, (2011, p.59)

22

Apesar da atividade envolver letras (A, B, C, D e E), estas so

utilizadas apenas para representar os coelhos. No se trata de um valor

genrico que representa a distncia percorrida por cada coelho. Alm disso,

no menciona a grandeza considerada para medir distncias, o comprimento.

Se assim o fosse, diria-se: A distncia percorrida pelo primeiro coelho foi de A

unidades de comprimento. Posteriormente, o valor A seria substitudo, com

base na anlise da situao, por 5.

Tal concluso seria realizada a partir da soma das unidades

percorridas pelo coelho, ou seja, um, mais um: dois. Dois, mais um: trs. Trs,

mais um: quatro. E, quatro, mais um: cinco. Portanto, o coelho percorreu cinco

unidades de comprimento. Porm, a orientao para a anlise da relao entre

as unidades percorridas e o seu valor total, apenas h a identificao na

sequncia numrica j apresentada em sua forma esttica ao final da malha.

Desse modo, trata-se apenas de uma atividade associacionista, cabe ao

estudante associar o final da seta que indica a distncia percorrida pelo coelho

ao algarismo.

Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011) no contemplam, na

atividade em referncia (Ilustrao 5), a soma aritmtica das unidades

percorridas e representadas por segmentos, ou seja, representadas

geometricamente. A sequncia poderia ser relacionada com o campo

geomtrico, pelo acrscimo de unidades na reta numrica, caso as setas que

representam a distncia percorrida pelos coelhos fossem assim consideradas.

Um professor, ao analisar superficialmente a ilustrao 5, poderia

concluir que esta atividade se aproxima das proposies davydovianas.

Porm, como j anunciado anteriormente, entre ambas h mais

distanciamentos que aproximaes. No h a relao entre as trs

significaes matemtica: algbricas, aritmticas e geomtricas.

Com base nas proposies davydovianas, o ensino de matemtica

organizado de forma que contemple a inter-relao entre as significaes

matemticas, por meio da relao entre seus diversos conceitos. Assim, para a

atividade apresentada na ilustrao 5 se aproximar das proposies de

Davydov e seus colaboradores, faz-se necessrio repens-la tanto do ponto de

vista de seu contedo quando do mtodo de ensino. Pois, do modo como est

organizado no h aproximao alguma com os pressupostos davydovianos.

23

Tarefa 2: No esquema (Ilustrao 6), o nmero nove (9) representa o todo e

suas partes so apresentadas na forma algbrica (a e c). A tarefa consiste em

completar os valores desconhecidos em cada coluna do quadro (Ilustrao 6),

com base na relao apresentada no esquema.

As letras podem assumir quaisquer valores aritmticos singulares.

Desse modo, a e c, possibilitam a representao de diferentes partes que

juntas compem o todo (nove). A partir do esquema possvel extrair as

seguintes operaes: 9 = c + a, em que as partes a e c juntas compem o

todo (nove); e, 9 a = c ou 9 c = a, em que ao subtrair do todo (nove),

uma das partes (a ou c) o resultado ser igual outra parte. Assim, o esquema

nesta tarefa, proporciona a reflexo sobre relao todo e partes no movimento

entre a operao da adio e sua inversa, a subtrao.

Do ponto de vista dos fundamentos da matemtica, sobre o

movimento inverso entre as operaes mencionadas, Caraa (1951) diz que:

Adio. A inverso consiste em: dada a soma e uma das parcelas, determinar a outra. Deveria haver duas operaes inversas, conforme se pedisse o adicionando ou adicionador, mas, em virtude da propriedade comutativa da adio, os papis das duas parcelas podem trocar-se, e as duas inversas fundem-se numa s, que se chama subtrao (CARAA, 1951, p. 20)

6.

Caraa (1951, p. 20) destaca ainda, que, dado o resultado da

operao e um dos dados possvel determinar o outro dado. Davydov e

seus colaboradores introduzem o conceito de equao referentes as operaes

de adio e subtrao com base na inter-relao entre ambas. A partir da

relao todo-partes, conclui-se que uma das partes subtrada do todo, resulta

6 Sobre as relaes internas entre as operaes de adio e subtrao em Davydov ver Alves

(2013).

Ilustrao 6: Tarefa 2 - Tabela com partes faltantes Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

24

na outra parte, e, o com base no movimento inverso, que as partes juntas,

resultam no todo.

Em cada coluna do quadro (Ilustrao 7), a partir da segunda, uma

das partes j conhecida e a outra desconhecida. Esta dever ser

determinada, no plano mental, com base na parte conhecida e no todo (nove).

Na segunda coluna do quadro (Ilustrao 7) a parte j conhecida,

em negrito, era o valor de a, que correspondia, nessa coluna em particular, ao

nmero trs (3) e o valor c era a parte desconhecida. Assim, 9 3 = 6, pois 3

+ 6 igual ao todo (9), ou seja, na segunda coluna tem-se: c = 6.

O valor da parte desconhecida proposto aleatoriamente sem seguir

uma sequncia previamente definida. Em alguns momentos o valor da parte a

o desconhecido, e em outros momentos, o valor desconhecido refere-se a

outra parte: c. Em sntese, para determinar a parte faltante a ser registrada no

quadro, a referncia para a resoluo da tarefa o todo (nove) e uma de suas

partes j conhecidas (aleatoriamente a ou c). A resoluo da tarefa segue at

completar o quadro com os demais valores propostos (Ilustrao 8).

Ilustrao 7: Tarefa 2 - Quadro com parte completa Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 8: Tarefa 2 - Quadro com parte j completa Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

25

Na ilustrao 8 os valores em negrito representam as parte

conhecidas e os demais valores desconhecidos. Davydov e seus

colaboradores propem, em uma mesma tarefa (2) a inter-relao entre as

significaes aritmticas e algbricas do conceito de nmero. A tarefa foi

organizada no movimento orientado do geral para o particular e singular. Ou

seja, inicialmente os nmeros eram apresentados genericamente e para cada

coluna particular, havia um valor aritmtico singular.

Em Davydov, as dependncias internas essenciais dos conceitos

so reveladas em um sistema de tarefas que renem situaes distintas, no

repetitivas do tipo siga o modelo, para evitar a generalizao emprica do

conceito (DAVDOV, 1988, p. 130).

Uma das atividades extradas dos livros didticos analisados,

aparentemente, se aproxima da tarefa davydoviana em anlise (tarefa 2), no

que se refere a relao a todo-partes e esquema. A atividade se inicia do

particular com significaes aritmticas e no atinge as significaes

algbricas. Na atividade, Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011) propem a

escrita dos nmeros que faltam em cada adio (Ilustrao 09).

A atividade inicia com a composio das adies em cada

esquema particular, j apresentado pronto, com uma resposta previamente

Ilustrao 9: Tarefa 2 Atividade do livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011, p.74)

26

definida. No h relao da adio com sua inversa a subtrao. A palavra

total no possibilita a anlise da identificao de quais elementos representam

as partes e quais elementos representam o todo, este j est dado. Conforme

j mencionado, a atividade apresentada nos limites das significaes

aritmticas, com contempla as significaes algbricas e geomtricas e nem as

dimenses entre o universal, geral, particular e singular, portanto, trata-se de

uma atividade que promove apenas o desenvolvimento do conceito emprico.

Por outro lado, Davydov e seus colaboradores contemplam a

integridade dos conceitos. As tarefas possibilitam a concretizao do sistema

conceitual em estudo. De acordo com Davdov, (1988, p. 131)

No materialismo dialtico esta integridade objetiva existente por meio da conexo das coisas singulares chama-se concreto. O concreto, segundo K. Marx, a unidade do diverso. Em sua exterioridade como algo formado, est dado na contemplao, na representao que capta o momento da inter-relao geral de suas manifestaes. Mas, a tarefa consiste em representar este concreto como algo em formao, no processo de sua origem e mediatizao, porque s este processo conduz completa diversidade das manifestaes do todo. Trata-se de examinar o concreto em desenvolvimento, em movimento, em que podem ser descobertas as conexes internas do sistema e, com isso, as relaes do singular e do universal. importante acentuar que a principal diferena entre os conceitos tericos e as representaes gerais que nestes conceitos se reproduz o processo de desenvolvimento, de formao do sistema, da integridade, do concreto, e, s dentro desse processo, se revelam as particularidades e as inter-relaes dos objetos singulares.

Por outro lado, as atividades analisadas, dos livros didticos

brasileiros j referenciados, limitam-se a singularidades fragmentadas, ou seja,

no revela-se as inter-relaes que envolvem o sistema conceitual na qual tais

atividades esto inseridas.

Tarefa 3: Analise o esquema (Ilustrao 10) e escreva as partes e o todo nos

quadros abaixo da igualdade.

Ilustrao 10: Tarefa 3 Esquema todo-partes e representao algbrica Fonte: Elaborao com base nas proposies davydovianas

27

A partir do esquema, sabe-se que treze (13) o valor do todo.

Inicialmente faz-se necessrio identificar qual das significaes algbricas, a, b

ou c, representa o todo (13), na relao parte-todo expressa na igualdade a + b

= c (, e , 2009).

Igualdade, de acordo com Pereira (1986, p. 123), o conjunto de

duas expresses do mesmo valor unidas pelo sinal = (de igual). Desse modo,

dois ou mais termos so iguais quando so exatamente similares em grandeza

e quantidade (Idem). E quanto aos membros da igualdade, estes so as

expresses ou grandezas separadas pelo sinal de igualdade. O elemento

esquerda do sinal de igualdade o primeiro membro e o que est direita o

segundo membro da igualdade (PEREIRA, 1986, p. 149).

Na igualdade a + b = c, a + b, constituem o primeiro membro da

igualdade, e c o segundo membro da igualdade. Tal igualdade expressa por

meio da operao de adio, a mais simples e da qual todas outras operaes

dependem (CARAA, 1951). A ideia de adio est subjacente a lgica da

sequncia dos nmeros Naturais. Cada nmero na referida sequncia,

composto a partir da ideia de somar ou adicionar: O que a operao

elementar de passagem de um nmero ao seguinte, seno a operao de

somar uma unidade ao um nmero? (Idem, p. 17). Ou seja, ao adicionar a um

nmero qualquer (a), uma unidade (b) e efetua-se uma transio de um

nmero ao outro a partir da operao elementar de adio, assim

representada: a + b.

Ao nmero a, d-se o nome de adicionando e representa o papel

passivo da operao. O nmero b, denominado de adicionador, este

desempenha o papel ativo. Os dois so denominados parcelas da adio

(CARAA, 1951).

Na tarefa em anlise, as partes juntas (a e b) compem o todo. E a

operao que se utiliza para determinar o todo a partir das partes, a adio.

Desse modo, o todo registrado, na operao da adio, aps a igualdade. Ou

seja, nesta tarefa, o todo (13) corresponde ao valor algbrico c (Ilustrao 11).

28

Se o todo (13) corresponde ao valor c, as partes a e b sero

menores que o todo c. Assim dentre as duas opes, escolhe-se o valor de

uma das partes, aleatoriamente (Ilustrao 12).

Dentre as vrias opes de valores aritmticos para uma das partes,

optou-se pelo nmero sete (7). Este, pela propriedade comutativa da adio (a

+ b = b + a), pode representar tanto a parte de valor a, quanto a parte de valor

b. Optou-se, aleatoriamente, a ttulo de exemplificao por a = 7.

Nesse estgio de resoluo da tarefa, j se tem o valor aritmtico do todo (13),

e o valor aritmtico da parte a (7). O professor sugere vrios valores (9, 2, 5

etc.) para representar a outra parte desconhecida. A sntese a ser elaborada, a

partir das observaes do professor, com base na relao do todo com suas

partes, que somente um destes nmeros corresponde a parte desconhecida.

Ou seja, o valor aritmtico de b no pode ser determinado aleatoriamente

(, e , 2009).

A continuidade da tarefa realizada no plano mental: quanto ser

necessrio adicionar ao nmero sete (parte) para se obter o todo (13)?

(Ilustrao 13).

Ilustrao 11: Tarefa 3 esquema todo-partes representao algbrica com todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 12: Tarefa 3 Uma das partes conhecida Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

29

A partir da anlise referente a ilustrao 13, que formou uma

sentena fechada de valor 7 + 6 = 13, tem-se as seguintes relaes: a parte

sete (7) adicionada a outra parte seis (6) resulta no todo treze (13). Ou,

comutativamente, a parte seis (6) adicionada parte sete (7) resulta no todo

treze (13). A partir da operao inversa, a subtrao, tem-se que a parte sete

(7) subtrada do todo treze (13) resultar em seis (6). Ou a parte seis (6)

subtrada do todo treze (13) resultar em sete (7).

A segunda questo da tarefa 3 (Ilustrao 14), ser realizada a partir da

representao algbrica da operao m n = k que uma sentena aberta e

do esquema com o valor do todo j apresentado, a partir da seguinte reflexo:

qual das significaes algbricas m, n ou k, representam o valor do todo

(14)?

A partir da anlise do esquema (Ilustrao 14) conclui-se que o todo

corresponde ao valor 14. Para relacionar este todo representao algbrica,

faz-se necessrio considerar que na primeira parte da tarefa a operao

considerada foi adio, agora trata-se da subtrao.

A subtrao, que define Caraa (1951) genericamente, a operao

pela qual, se determina um nmero c, que somado com b, resulta em a (c + b =

Ilustrao 13: Tarefa 3 Esquema e representao algbrica todo-partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 14: Tarefa 3 Esquema todo-partes e representao algbrica Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

30

a), ou seja: a b = c. Para o nmero a, d-se o nome de diminuendo, para b,

de diminuidor ou subtrativo, e para c de resto ou diferena. Para que a

operao da subtrao seja possvel, nos limites dos nmeros inteiros

positivos, o aditivo deve ser maior que o subtrativo ou, igual a ele (a b)

(CARAA, 1951, p. 21).

Costa (1866) define a operao de subtrao como a

operao que tem por fim decompor um nmero dado em duas partes, das quais uma conhecida; ou uma operao, que tem por fim, diminuir de um nmero dado quantas unidades contm outro nmero tambm dado. Ao resultado se chama resto, excesso ou diferena. Em vista desta definio evidente que o processo da subtrao se deduz facilmente do da adio, porque a primeira das duas inversa da segunda (COSTA, 1866, p. 29).

Pereira (1986), por sua vez, define a operao de subtrao, como a

inversa da adio. Dada a soma de dois nmeros (minuendo e subtraendo)

determinar um outro (resto ou diferena). Para que uma subtrao seja

possvel de ser operada, nos Naturais, necessrio que o minuendo,

representado genericamente por m, seja igual ou maior que o subtraendo,

representado por s. Desse modo, tem-se que: m s. Por meio da operao de

subtrao entre dois nmeros obtem-se um terceiro que, adicionado ao

segundo, resulta no primeiro.

Na tarefa em anlise m o todo, o minuendo. E as duas partes

esto representadas por n e k. Desse modo, poderia-se estabelecer as

seguintes relaes subtrativas: m n = k ou m k = n. Nas quais, do todo m

poderia-se subtrair uma das partes n ou k. Porm, a tarefa j determina que n

o subtrativo, k o resto e quatorze (14) o todo (Ilustrao 15).

Ilustrao 14: Tarefa 3 esquema todo-partes representao algbrica com o todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

31

Para completar, as partes do esquema, dentre vrias opes,

escolhe-se o valor de uma das partes, aleatoriamente.

Optou-se, a ttulo de exemplificao por n = 8. Ou seja, tem-se o

valor aritmtico do todo (14), e de uma das partes (8). Quanto ser a outra

parte? (Ilustrao 17).

Na igualdade formada (14 - 8 = 6), do todo quatorze subtrai-se a

parte oito e resulta na outra parte seis.

Escolheu-se o nmero oito (8), dentre as vrias possibilidades, para

representar uma das partes. Por outro lado, o valor aritmtico seis (6), foi

determinado a partir dos valores conhecidos. Ou seja, a ltima parte faltante

no pde ser completa aleatoriamente. Em sntese, se tem dois valores

conhecidos na relao entre duas partes e todo, o terceiro nmero no pode

surgir de uma escolha arbitraria, este depende estritamente dos valores

conhecidos.

H uma atividade em um dos livros didticos analisados que,

aparentemente, se assemelha com a tarefa 3 de Davydov, no que se refere a

relao a todo-partes, conforme ilustrao 18.

Ilustrao 15: Tarefa 3 Todo e uma parte completa Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 16: Tarefa 3 Todo-partes completas Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

32

Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011) propem que os espaos

vazios sejam preenchidos. A condio que nos fios de mesma cor o total

seja sempre 10 (p. 74). A anlise da figura nos levou a reflexo sobre algumas

questes, tais como: h quantos mbiles na atividade? Qual o significado do

nmero dez representado no fio marrom? Trata-se do todo? Ou de mais uma

parte? So quantas partes? A atividade envolve a relao todo-partes?

A relao todo-partes incide na anlise de cada fio. Desse modo, o

todo sempre 10. A relao das partes, embora de forma implcita, foi proposta

para que a criana complete os valores nos limites das significaes

aritmticas. Diferentemente das proposies davydovianas, aqui, os nmeros

desconhecidos so determinados sem explicitar o movimento que inter-

relaciona as operaes de adio e subtrao, e sem a sistematizao

requerida pelas referidas operaes (relao com a simbologia adequada: =, +

e - ). Alm disso, no contempla as significaes algbricas e geomtricas

concernentes ao conceito em estudo, limita-se apenas aos valores aritmticos.

Cada fio do mbile direciona, sempre, para uma mesma resposta. O

que faz com que a atividade possa ser resolvida de forma mecnica,

repetitiva nos limites de um todo expresso de forma singular. A criana

completar cada fio, sem estabelecer relao com o todo sugestivo por uma

relao sustentada em um sistema de mbiles, que vai alm do nmero dez

(10), conforme limita o prprio enunciado. Os nmeros faltantes podero ser

completados nos espaos vazios de cada fio do mbile a partir do seguinte

Ilustrao 17: Tarefa 3 Atividade do livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011, p.74)

33

raciocnio: Fio cor de laranja - de 9 para chegar a 10 falta 1. Escreve-se o

nmero um; Fio de cor azul - de 3 para chegar a 10, faltam 7 unidades.

Escreve-se o nmero sete; Fio de cor vermelha - de 4 para chegar a 10, faltam

6 unidades; Fio de cor verde: de 2 para chegar a 10, faltam 8 unidades; e, o no

fio marrom no h o que ser resolvido. Mas, qual o papel dos mbiles nessa

atividade? Qual a relao dos fios (partes dos mbiles) com o suporte que o

sustenta? E, qual a relao entre os trs mbiles?

Essa atividade, a partir das proposies davydovianas poderia ser

organizada com base nas seguintes consideraes: h um mbile maior que

sustenta dois mbiles menores. Os trs juntos forma um sistema

organicamente equilibrado, por isso, cada fio possui sempre o mesmo valor

aritmtico (Ilustrao 18). Em cada mbile menor, o todo 20, formado a partir

das partes constitudas pelos valores determinados na etapa anterior para cada

fio (10).

Ao centro do mbile maior, o valor aritmtico 10 seria substitudo

pelo nmero 40. Este seria o novo valor do todo, no sistema de mbiles,

tomado os dois menores como partes (20 + 20). Ou seja, os nmeros dez e

vinte, tanto representam a parte quanto o todo. Trata-se, pois de um

movimento interno em que o mesmo valor aritmtico pode representar a parte

ou o todo conforme a relao considerada.

O valor aritmtico 10, ao centro do mbile maior descarta qualquer

relao no sistema de mbiles. Ali est somente para reforar o enunciado da

atividade, o que limita o foco da anlise apenas nos fios e impossibilita

qualquer relao entre o sistema de mbiles.

Tarefa 4a: Complete a igualdade c + b = e. A partir dos nmeros 5, 7 e 15

(Ilustrao 19).

Ilustrao 18: Tarefa 4 representao algbrica de adio Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

34

A igualdade (Ilustrao 19) c + b = e est representada

genericamente e formada pela operao da adio. Um de seus valores,

neste caso o valor algbrico b, j possui valor aritmtico, oito (8).

Para a igualdade que envolve trs termos, faltam determinar os

valores aritmticos para as representaes algbricas, ou incgnitas c e e.

Para tanto, h trs opes singulares, circuladas ao lado esquerdo da

ilustrao (7, 5 e 15).

Com base na relao todo-partes, utiliza-se a operao de adio

para determinar o valor aritmtico do todo. Logo, o nmero oito (8),

representado por b na igualdade, uma das partes, que adicionada a outra

parte resulta no valor do todo.

Na relao todo-partes, neste caso contemplado pela operao

de adio, sabe-se que o todo ser maior que a parte oito, e por representar tal

operao, a totalidade relacionada aps a igualdade (, e

, 2009).

Aps a identificao do o todo e das partes, na representao

algbrica, procede-se a determinao, dentre as opes (7, 5 e 15), do valor

aritmtico que representa o todo (Ilustrao 20). Se oito (8) a parte

conhecida, o todo ser menor ou maior que oito? (, e

, 2009).

Na igualdade representada algebricamente, o todo est

representado por e, as partes esto representadas por c e b.

Dentre as possibilidades circuladas, a opo que representou o todo

foi o valor aritmtico quinze (15), visto que os outros valores sugeridos na

tarefa (7 e 5) so menores que a parte j conhecida, oito (8).

Ilustrao 19: Tarefa 4 determinao do todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

35

Em relao a representao algbrica tem-se: c uma parte de

valor aritmtico ainda desconhecido, que adicionado a outra parte b, de valor

aritmtico oito (8), resultam em e. Ou seja, somadas, so iguais ao todo e, cujo

valor aritmtico quinze (15).

E qual dos valores, sete (7) ou cinco (5) representa o valor da parte

c, desconhecida (Ilustrao 21)?

Embora, os nmeros sete (7) e cinco (5) sejam menores que o todo

quinze (15), apenas o valor aritmtico sete (7) representa a parte

desconhecida. Assim, a parte sete (7) adicionada a outra parte oito (8) resultam

no todo quinze (15). O que resulta na sentena fechada 7 + 8 = 15.

Tarefa 4b: A segunda igualdade a c = k (Ilustrao 22), est apresentada,

genericamente, a partir da operao inversa anterior, a subtrao. Um de

seus valores (c), j est determinado aritmeticamente, sete (7). Para

determinar o valor aritmtico das duas representaes algbricas (a e k), h

trs opes singulares, circuladas ao lado esquerdo da ilustrao (4, 6 e 13).

Antes de determinar os valores aritmticos das representaes a e

Ilustrao 20: Tarefa 4 parte c completa Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 21: Tarefa 4 representao algbrica da subtrao Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

36

k, deve-se identificar o todo e as partes (Ilustrao 23) (,

e , 2009). Para isso, sabe-se que o todo subtrai uma das partes

para resultar e igualar ao valor de outra das partes.

A igualdade a c = k est significada por, a igual ao todo ainda

desconhecido, c uma das partes de valor aritmtico conhecida por sete (7) e k

outra parte tambm desconhecida.

Para obter o valor aritmtico da igualdade, no registro da operao

de subtrao, melhor determinar primeiro o valor do todo, e s aps isso, o

valor da outra parte (, e , 2009).

Dentre os valores para completar (4, 13 e 6), o todo desconhecido

ser?

Sabe-se que o todo deve ser maior que as partes, por isso, dentre

os valores (4, 6 e 13) escolheu-se a opo aritmtica treze (13). A

determinao foi por ser a nica das opes aritmticas, de maior valor que a

parte j definida, sete (7).

Na igualdade, tem-se o todo a de valor treze (13), a parte j

conhecida c de valor sete (7), e outra parte de valor aritmtico desconhecido

representado algebricamente por k.

Ilustrao 22: Tarefa 4 Todo e partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 23: Tarefa 4 Todo escolhido Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

37

Para o clculo do valor aritmtico, da parte desconhecida k, tem-se

o todo a de valor aritmtico treze (13), que se subtrai a parte c, cujo valor

aritmtico sete (7). Qual dos valores (4 e 6), representa a parte desconhecida k

(Ilustrao 25)?

Ilustrao 24: Tarefa 4 Valor aritmtico k Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Dentre os valores aritmticos quatro (4) e seis (6), apresentados

como opo para representar a parte k, somente o valor aritmtico seis (6)

poderia ser considerado, com este movimento, concluiu-se a sentena fechada

13 7 = 6.

Assim, na igualdade a c = k, o valor de a treze (13), que ao

subtrair a parte c, de valor sete (7), resulta no valor seis (6), que corresponde a

outra parte k.

Os modelos abstratos c + b = e, a c = k, das operaes de adio

e subtrao, representam o movimento universal determinado pela relao

todo-partes. A tarefa pr-determinava um valor singular para cada modelo. Na

adio, o valor aritmtico era oito. E, na subtrao, o valor aritmtico era sete.

A partir da determinao dos demais valores singulares, obteve-se a

representao concreta do modelo universal abstrato.

Um importante componente da matria escolar o mtodo de seu

ensino, o qual determinado pelo seu contedo e pelo programa da disciplina. Por exemplo, se o contedo da matria escolar est

estruturado em correspondncia com o princpio da ascenso do pensamento do abstrato ao concreto, o mtodo de ensino a ser

empregado pelo professor deve assegurar uma atividade de estudo

em cuja realizao as crianas possam se apropriar de forma precisa este contedo. O professor emprega um mtodo semelhante quando

por exemplo introduz no processo de ensino o sistema de tarefas de estudo, cuja realizao possibilitar a formao, nos escolares, das

correspondentes aes de estudo. Este mtodo permite aos alunos se

apropriarem dos conhecimentos tericos segundo o princpio da

38

ascenso do pensamento do abstrato ao concreto (DAVDOV, 1988 p.

194).

Rigon, Asbahr e Moretti (2010), com base em Leontiev, falam sobre

a atividade pedaggica que desenvolvida para a transformao do indivduo

no processo de apropriao do conhecimentos e saberes. E o professor com a

funo primordial para tal ao educativa, tem por finalidade direta

organizao do ensino para que os conhecimentos elaborados pela

humanidade possam ser apropriados pelos indivduos.

No ambiente escolar a criana deve apropriar-se, de acordo com

Davydov (1982) do conhecimento cientfico, este o objetivo principal da

atividade de ensino. Tal conhecimento revelado durante o desenvolvimento

do sistema de tarefas davidoviano. Ou seja, tais proposies, so

fundamentadas no mtodo de ascenso do abstrato ao concreto.

Tarefa 5a: Determine os nmeros desconhecidos e corrija os erros quando

houver.

A igualdade (Ilustrao 26) a k = c representa a operao de

subtrao. Os valores algbricos a e c, j esto definidos com valores

aritmticos (8 e 14).

Na sentena anterior (Ilustrao 26), a = 8 e c = 14, e o valor de k

ainda desconhecido. Para determinar o valor desconhecido, faz-se

necessrio realizar o seguinte raciocnio: de oito (8), se subtrai quanto para

resultar em quatorze (14)?

Ilustrao 25: Tarefa 5 representao algbrica com um valor completar Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

39

A igualdade a k = c uma pegadinha (, e

, 2009). Trata-se de uma tarefa na qual o professor verifica se a

criana realmente se apropriou do assunto estudado. As tarefas at aqui

apresentadas revelam a seguinte ideia: o todo subtrado de uma das partes

resulta no valor da outra parte. Assim, nos limites dos nmeros Naturais, o

valor do todo maior ou igual s suas partes.

Na igualdade em anlise (Ilustrao 27), a representa o todo, k e c

so as partes. As partes devem ser menores ou uma delas igual ao valor de a.

Mas, isso no ocorre na igualdade a k = c. Pois, como, do valor aritmtico

oito (8) ir se subtrair um nmero, no limite dos Naturais, para resultar em

quatorze (14)? Oito menos quanto resulta em quatorze? Matematicamente,

trata-se de uma tarefa sem soluo nos limites do campo aritmtico

considerado. Existem outros campos aritmticos para alm dos Naturais, a

operacionalizao destes ser introduzida mais tarde. A ideia de nmero real

introduzida em Davydov desde o primeiro ano escolar est fundamentada no

estudo das relaes entre grandezas contnuas e sua localizao na reta

numrica (ROSA, 2012).

O valor aritmtico da parte c, representado aritmeticamente por

quatorze (14), nessa igualdade (8 k = 14), maior que o valor do todo a (8).

Sugere-se ento, reorganizar os valores, na igualdade, com base na

relao todo-partes (, e , 2009). Para o

clculo do valor desconhecido, organiza-se os valores conhecidos da

igualdade, de modo que o valor aritmtico maior represente o todo, e o menor,

uma das partes, conforme ilustrao 28.

Ilustrao 26: Tarefa 5 - Valor desconhecido de k Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

40

Na igualdade (Ilustrao 28) tem-se a = 14, k = 8 e c ainda um

valor desconhecido.

Reorganizada a igualdade, vale estabelecer, conforme a ilustrao

29, a relao entre as representaes algbricas e aritmticas do todo e das

partes (, e , 2009).

Na igualdade, tem-se o todo, representado algebricamente por a e

aritmeticamente por quatorze (14). Uma das partes representada

algebricamente por k cujo valor aritmtico oito (8) e a outra parte,

representada algebricamente por c, possui valor aritmtico desconhecido.

Tem-se o todo quatorze (14), que subtrado a parte oito (8), resultar

em quanto a outra parte?

Ilustrao 27: Tarefa 5 - Valor do todo e das partes organizados Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 28: tarefa 5 Relao todo-partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 29: Tarefa 5: Todo e partes aritmeticamente Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

41

Logo, do todo quatorze (14) subtrai-se a parte oito (8) e resultam

seis (6), a outra parte at ento desconhecida do ponto de vista aritmtico.

A relao do todo e das partes referente a sentena fechada 14 8

= 6 pode ser representada por meio do esquema geomtrico (Ilustrao 31).

No esquema (Ilustrao 31), referente a operao da subtrao a

k = c, verifica-se a relao interna dos valores aritmticos das partes e do todo.

Subtrai-se o valor da parte oito (8) do todo quatorze (14) e resultar no valor da

outra parte seis (6). Por meio da operao inversa, a adio, tem-se as partes

oito (8) e seis (6), que juntas, compem o todo, quatorze (14).

Tarefa 5b: Apresenta-se igualdade e m = p (Ilustrao 32), com valor

aritmtico definido para p.

Na igualdade, o valor algbrico de p j est representado

aritmeticamente por cinco (5). Para o clculo dos valores algbricos (e e m),

faz necessrio o seguinte raciocnio: quanto se subtrai de quanto para resultar

em cinco (5)?

Antes de proceder o clculo, analisa-se a representao algbrica

com base na relao entre o todo e as partes (Ilustrao 33).

Ilustrao 30: Tarefa 5 Esquema parte e todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 31: tarefa 5 representao algbrica de subtrao Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

42

Esta igualdade uma pegadinha. No h uma nica resposta.

Existem infinitas possibilidades inclusive nos limites dos Naturais, uma vez que

h, apenas, um valor conhecido (, e , 2009).

O todo, representado algebricamente por e, ainda no possui valor aritmtico

conhecido. A parte m, tambm no. E, a outra parte p o valor aritmtico j

conhecido, cinco (5).

Dentre as infinitas opes, mesmo nos Naturais, escolhe-se,

aleatoriamente, um valor aritmtico para a varivel e (todo), ou para varivel m

(parte). Porm, com a limitao em relao escolha do valor aritmtico para

representar o todo. Este deve ser maior que a parte j conhecida (cinco). A

ttulo de exemplificao, toma-se o valor aritmtico oito (8) para representar o

todo (Ilustrao 34).

Para determinar o valor da outra parte desconhecida, cabe a

seguinte questo: qual valor aritmtico que, acrescido parte conhecida (5),

resulta no todo (8)?

Ilustrao 33: Tarefa 5 Valor aritmtico para todo Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 32: Tarefa 5 nomeao todo-partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

43

E, se a referncia for o movimento inverso (Ilustrao 35), a partir do

valor do todo oito (8), qual ser o valor da parte desconhecida? Ou seja, quanto

subtrado de oito (8) resulta em cinco (5)?

Determinou-se o valor da parte desconhecida, a partir do seguinte

raciocnio: do todo, oito (8) subtrado a parte trs (3), resultou no valor

aritmtico da outra parte cinco (5). Outra forma de representar a operao do

todo e as partes por meio do esquema conforme a ilustrao 36 (,

e , 2009).

A relao representada por trs diferentes modos (algbrica,

aritmtica e geometricamente, e a mesma: o valor do todo , algebricamente, e

e, aritmeticamente, 8; o valor da partes so, algebricamente, m e p e,

aritmeticamente, 3 e 5, respectivamente.

O movimento todo-partes entre os trs elementos consiste, na

operao da subtrao em: do todo, oito subtrai-se a parte cinco e resulta no

valor da outra parte, trs. Ou do todo, oito subtrai-se a parte trs e resulta no

valor da outra parte cinco. Ou ainda, com base na operao da adio, as duas

partes juntas (trs e cinco), compem o todo, de valor aritmtico oito.

Ilustrao 34: Tarefa 5 parte completa Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 35: Tarefa 5 - Esquema todo e partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

44

Tarefa 5c: A terceira igualdade, representada por n u = b, consiste na

determinao do valor aritmtico de n (Ilustrao 37).

Na representao algbrica n u = b, u = 8, b = 5 e o valor

aritmtico da incgnita n desconhecido.

Antes de proceder o clculo para determinar o valor desconhecido,

essencial analisar a relao entre as partes e o todo da igualdade (Ilustrao

38). O valor aritmtico do todo n desconhecido, e os valores aritmticos das

partes (u e b), so, respectivamente, oito (8) e cinco (5).

Ao considerar que, oito (8) e cinco (5) so as partes, qual o valor

aritmtico do todo (Ilustrao 39)?

Ilustrao 38:Tarefa 5: Todo e partes j completos Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 36: Tarefa 5 Uma das partes desconhecida Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas.

Ilustrao 37: Tarefa 5 - Relao todo e partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

45

As partes oito (8) e cinco (5) compem o todo treze (13). A operao

realizada consiste em: do todo (13) subtrai-se a parte conhecida (8) e resulta

na outra parte (5), conforme representao geomtrica a seguir (Ilustrao 40):

A sntese da relao todo-partes referente a igualdade em anlise

consiste em: do todo, treze, subtrai-se a parte, oito e resulta no valor da outra

parte, cinco. Ou, do todo, treze, subtrai-se a parte cinco e resulta na outra

parte oito. Ou ainda, as partes juntas, por meio da operao de adio (8 + 5

ou 5 + 8) resultam no valor do todo treze.

H duas atividades em um dos livros didticos analisados que,

aparentemente, se assemelham com a tarefa 5 de Davydov, no que se refere a

relao do valor desconhecido, conforme as ilustraes 41 e 42:

A primeira atividade (Ilustrao 41) prope o clculo mental para

determinar quanto falta para chegar a 10000, em cada item.

Ilustrao 39: Tarefa 5 Representao geomtrica do todo e das partes Fonte: elaborao com base nas proposies davydovianas

Ilustrao 40: Tarefa 5 Atividade do livro didtico Fonte: Centurin, Teixeira e Rodrigues (2011, p.79)

46

O valor desconhecido representado por um desenho, que deve ser

substitudo pelo valor aritmtico, determinado pelo clculo. Em seguida

procede-se o registro no caderno.

Por exemplo, de 5000 para chegar a 10000, faltam 5000, ou, de

6000 para se chegar 10000, faltam 4000, etc.

A operao utilizada na atividade, para de um valor se chegar a

outro, a adio. No envolve o movimento necessrio para inter-relacionar a

operao inversa, subtrao, no clculo do valor desconhecido. Pois, a

expresso de quanto falta, lembra a operao de adio, ou subtrao?

O valor desconhecido, nesta atividade sempre referente a

segunda parcela. Porque no considerar como valor desconhecido a primeira

parcela tambm? Alm disso, no so contempladas as representaes

geomtricas (da soma dos valores aritmticos) e as algbricas (do valor

desconhecido). Inclusive, no adota-se a simbologia matemtica adequada

para representar a igualdade, trata-se de uma seta que indica o caminho de

forma ldica para se chegar ao valor de 10000.

A segunda atividade foi extrada do livro didtico dos autores

CENTURIN; TEIXEIRA; RODRIGUES (2011). O enunciado solicita que as

crianas descubram a parcela que falta em cad