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PROVA NACIONAL ESCRITA DE MATEMÁTICA

Equipa Responsável Pela Elaboração e Correção da Prova: Prof. Doutor Sérgio Barreira

Prof.ª Doutora Conceição Manso Prof.ª Doutora Catarina Lemos

Duração da Prova: 120 minutos. Tolerância: 30 minutos

Cotação: 200 PONTOS

Escola de Proveniência dos Concorrentes: ………………………………………………………………………………………………….

Nome para a Equipa (facultativo): …………………………………………………………………………………………………………………

Nome dos Concorrentes: N.º do Documento de

Identificação

1. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….

2. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….

3. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….

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Identifique claramente os grupos e os itens a que responde.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que

impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações).

Deve usar uma máquina de calcular, quando permitido.

É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corretor nas folhas da prova.

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Grupo I

É constituído por 13 questões de escolha múltipla.

Não é permitida utilização de máquina de calcular

Cada questão é seguida de três ou quatro respostas possíveis — A a C ou A a D —, mas

uma e só uma entre elas é a resposta correta.

Indique claramente, na folha de respostas, o número da questão e a letra que identifica

a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações.

COTAÇÕES

1. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória,

tais que:

3,0AP , xBP e 8,0BAP .

Qual é o valor de x se A e B forem independentes?

(A) 7

5x (B)

10

5x (C)

10

7x (D)

10

2x

5

2. Numa dada experiência são utilizados 10 ratos numerados de 1 a 10.

Escolhendo aleatoriamente 3 destes ratos, qual é a probabilidade de serem

selecionados aqueles com números menores ou iguais a 5?

(A) 12

1 (B)

120

1 (C)

10

5 (D)

10

3

5

3. Na cidade do Porto foram selecionados ao acaso 1000 pessoas para

averiguar qual a revista que habitualmente costumam ler entre a revista A e

revista B. Das pessoas seleccionadas, 15% responderam que são leitores da

revista A, 33% da revista B e 8% de ambas as revistas. Calcule a

5

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probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser leitor da revista B

sabendo que lê a revista A.

(A) 33

8 (B)

15

7 (C)

33

25 (D)

15

8

4. O número de doentes que entram diariamente na urgência de um hospital

com problemas de distúrbios alimentares é descrito por uma variável

aleatória X com a seguinte função de probabilidade f(X):

X 0 1 2 3 4

f(X) 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2

Qual é a probabilidade de em dois dias consecutivos o número de doentes

com distúrbios alimentares que recorrem à urgência ser superior a um?

(A) 7,0 (B) 49,0 (C) 3,0 (D) 09,0

5

5. Estudos laboratoriais de carácter científico comprovam que o tempo de

reacção de um medicamento segue uma distribuição normal com valor

médio de 25 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Sabe-se que o tempo de

reacção ao medicamento foi, num determinado doente, superior a 28

minutos. Qual é, neste caso, a probabilidade de o medicamento surtir efeito

em menos de 30 minutos?

(A) 73,0 (B) 84,0 (C) 16,0 (D) 88,0

5

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6. Que valores de y satisfazem a condição

yyy 2log3)(log3log2

122 ?

(A) 1y (B) 0y (C) 2y (D) 2y

10

7. Qual é o conjunto solução de 442222 211 xxxx ?

(A) 4

5 (B) 3 (C) 8 (D) 11

10

8. A função xf

2 se 4

2 se 2

42

2

xx

xxx

x

xf .

(A) É contínua em . (B) É contínua em 0\ .

(C) É contínua em 2\ . (D) É contínua em 0 ,2\ .

10

9. A função xsenxt 223 está definida em . Sabendo que

2

5

tan

1, quanto vale t ?

(A) 3t (B) 3

11t (C)

2

5t (D)

29

8329t

10

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10. A função derivada de xxxf 21ln)( é

(A) x

x

xxf

21

2)( (B)

x

xx

x

xxf

21

22)(

(C) x

xx

x

xxf

21

2ln22)( (D)

x

xx

x

xxf

21

2ln22)( .

10

11. A função 2

1)( xexxf …

(A) Possui, no intervalo 3 ,2 um máximo em 2

31x e um mínimo

em 1x .

(B) Não tem máximos, mas tem um mínimo em 0x .

(C) Não tem mínimos, mas tem um máximo em 2

3x .

(D) Possui, no intervalo 3 ,2 um mínimo em 2

3x e um máximo em

2x .

10

12. Considere o número complexo 4

1 iZ . Determine a e b de forma

que Z seja solução da equação ibZaZ 824 .

(A) 10 ba . (B) 11 ba .

(C) 10 ba . (D) 01 ba .

5

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13. Estabeleça a correspondência entre a equação ktCe

LtP

1)( ( L , C e

k são constantes positivas) e o seu gráfico.

(A)

(B)

(C)

.

10

P(t

)

t

P(t

)

t

P(t

)

t

2

L

k

lnC

2

L

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Grupo II

É constituído por 4 exercícios.

É permitida a utilização de máquina de calcular.

Nas respostas aos itens deste grupo, deverá apresentar todos os cálculos que tiver que

efetuar e todas as justificações necessárias. Apenas a uma resolução detalhada e

correta será atribuída a cotação máxima.

Indique claramente, na folha de respostas, o número do exercício.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o

valor exato.

COTAÇÕES

1. As constantes de acidez de um ácido fraco ( HA ) e de basicidade da sua

base conjugada ( A ) são dadas pelas equações:

HA

OHA

aC

CCK 3 e

A

HOHA

bC

CCK .

Sabendo que ii KpK 10log e que HOOHW CCK

3

, demonstre que

Wba pKpKpK .

10

2. A equação de Michaelis-Menten, MKS

Svv

0

0max, permite calcular a

velocidade inicial de uma reacção enzimática ( v ) para uma dada

concentração de substrato ( 0S ) e pode ser utilizada para definir a função

)( 0Sfv . maxv e MK são constantes positivas.

2.1. Estude a função indicando,

2.1.1. O seu domínio.

2.1.2. Os zeros.

2.1.3. A sua continuidade.

2.1.4. Os intervalos de crescimento e decrescimento.

2.1.5. Os máximos e mínimos.

2.1.6. O seu contradomínio.

2.1.7. As suas concavidades e pontos de inflexão.

5

5

5

10

10

10

10

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2.2. Esboce o gráfico da função.

5

3. Uma forma líquida de penicilina é fabricada por uma empresa de

biotecnologia e vendida a um preço de 180 €/unidade. Os custos totais de

produção mensal de x unidades são dados por

2002,075450000)( xxxc . A empresa guarda em stock 10% das

unidades produzidas mensalmente por forma a fazer face a encomendas

extraordinárias. O custo unitário de armazenamento é 0,52 €. Se a

capacidade máxima de produção da empresa for de 50000 unidades,

quantas unidades de penicilina devem ser produzidas e vendidas

mensalmente de forma a maximizar o lucro?

20

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4. Para o triângulo apresentado

Demonstre a seguinte relação conhecida como lei dos co-senos:

Abccba cos2222 .

10

h

b

A

C

c

a

B

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FORMULÁRIO

Probabilidades, Distribuição Normal Reduzida )( zZP , x

z

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Fórmulas trigonométricas correntes

)(2

cos

)(2

cos

)cos(2

)cos(2

)cos()cos(

)()(

xsenx

xsenx

xxsen

xxsen

xx

xsenxsen

222)cos()cos(

2cos

2cos2)cos()cos(

2cos

22)()(

2cos

22)()(

)cos()(2)2(

)()cos()2cos(

)cos()()cos()()(

)()()cos()cos()cos(

)(

1

)(

11

1)cos()(

22

22

22

basen

basenba

bababa

babasenbsenasen

babasenbsenasen

aasenasen

asenaa

absenbasenbasen

bsenasenbaba

xsenxtg

xxsen

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Limites notáveis

Regras de derivação