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PROVA NACIONAL ESCRITA DE MATEMÁTICA
Equipa Responsável Pela Elaboração e Correção da Prova: Prof. Doutor Sérgio Barreira
Prof.ª Doutora Conceição Manso Prof.ª Doutora Catarina Lemos
Duração da Prova: 120 minutos. Tolerância: 30 minutos
Cotação: 200 PONTOS
Escola de Proveniência dos Concorrentes: ………………………………………………………………………………………………….
Nome para a Equipa (facultativo): …………………………………………………………………………………………………………………
Nome dos Concorrentes: N.º do Documento de
Identificação
1. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….
2. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….
3. ………………………………………………………………………………………………………….……….…. N.º ……………………………..………….
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Identifique claramente os grupos e os itens a que responde.
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta (exceto nas respostas que
impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações).
Deve usar uma máquina de calcular, quando permitido.
É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corretor nas folhas da prova.
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Grupo I
É constituído por 13 questões de escolha múltipla.
Não é permitida utilização de máquina de calcular
Cada questão é seguida de três ou quatro respostas possíveis — A a C ou A a D —, mas
uma e só uma entre elas é a resposta correta.
Indique claramente, na folha de respostas, o número da questão e a letra que identifica
a única opção escolhida.
Não apresente cálculos, nem justificações.
COTAÇÕES
1. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória,
tais que:
3,0AP , xBP e 8,0BAP .
Qual é o valor de x se A e B forem independentes?
(A) 7
5x (B)
10
5x (C)
10
7x (D)
10
2x
5
2. Numa dada experiência são utilizados 10 ratos numerados de 1 a 10.
Escolhendo aleatoriamente 3 destes ratos, qual é a probabilidade de serem
selecionados aqueles com números menores ou iguais a 5?
(A) 12
1 (B)
120
1 (C)
10
5 (D)
10
3
5
3. Na cidade do Porto foram selecionados ao acaso 1000 pessoas para
averiguar qual a revista que habitualmente costumam ler entre a revista A e
revista B. Das pessoas seleccionadas, 15% responderam que são leitores da
revista A, 33% da revista B e 8% de ambas as revistas. Calcule a
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probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser leitor da revista B
sabendo que lê a revista A.
(A) 33
8 (B)
15
7 (C)
33
25 (D)
15
8
4. O número de doentes que entram diariamente na urgência de um hospital
com problemas de distúrbios alimentares é descrito por uma variável
aleatória X com a seguinte função de probabilidade f(X):
X 0 1 2 3 4
f(X) 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2
Qual é a probabilidade de em dois dias consecutivos o número de doentes
com distúrbios alimentares que recorrem à urgência ser superior a um?
(A) 7,0 (B) 49,0 (C) 3,0 (D) 09,0
5
5. Estudos laboratoriais de carácter científico comprovam que o tempo de
reacção de um medicamento segue uma distribuição normal com valor
médio de 25 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Sabe-se que o tempo de
reacção ao medicamento foi, num determinado doente, superior a 28
minutos. Qual é, neste caso, a probabilidade de o medicamento surtir efeito
em menos de 30 minutos?
(A) 73,0 (B) 84,0 (C) 16,0 (D) 88,0
5
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6. Que valores de y satisfazem a condição
yyy 2log3)(log3log2
122 ?
(A) 1y (B) 0y (C) 2y (D) 2y
10
7. Qual é o conjunto solução de 442222 211 xxxx ?
(A) 4
5 (B) 3 (C) 8 (D) 11
10
8. A função xf
2 se 4
2 se 2
42
2
xx
xxx
x
xf .
(A) É contínua em . (B) É contínua em 0\ .
(C) É contínua em 2\ . (D) É contínua em 0 ,2\ .
10
9. A função xsenxt 223 está definida em . Sabendo que
2
5
tan
1, quanto vale t ?
(A) 3t (B) 3
11t (C)
2
5t (D)
29
8329t
10
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10. A função derivada de xxxf 21ln)( é
(A) x
x
xxf
21
2)( (B)
x
xx
x
xxf
21
22)(
(C) x
xx
x
xxf
21
2ln22)( (D)
x
xx
x
xxf
21
2ln22)( .
10
11. A função 2
1)( xexxf …
(A) Possui, no intervalo 3 ,2 um máximo em 2
31x e um mínimo
em 1x .
(B) Não tem máximos, mas tem um mínimo em 0x .
(C) Não tem mínimos, mas tem um máximo em 2
3x .
(D) Possui, no intervalo 3 ,2 um mínimo em 2
3x e um máximo em
2x .
10
12. Considere o número complexo 4
1 iZ . Determine a e b de forma
que Z seja solução da equação ibZaZ 824 .
(A) 10 ba . (B) 11 ba .
(C) 10 ba . (D) 01 ba .
5
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13. Estabeleça a correspondência entre a equação ktCe
LtP
1)( ( L , C e
k são constantes positivas) e o seu gráfico.
(A)
(B)
(C)
.
10
P(t
)
t
P(t
)
t
P(t
)
t
2
L
k
lnC
2
L
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Grupo II
É constituído por 4 exercícios.
É permitida a utilização de máquina de calcular.
Nas respostas aos itens deste grupo, deverá apresentar todos os cálculos que tiver que
efetuar e todas as justificações necessárias. Apenas a uma resolução detalhada e
correta será atribuída a cotação máxima.
Indique claramente, na folha de respostas, o número do exercício.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o
valor exato.
COTAÇÕES
1. As constantes de acidez de um ácido fraco ( HA ) e de basicidade da sua
base conjugada ( A ) são dadas pelas equações:
HA
OHA
aC
CCK 3 e
A
HOHA
bC
CCK .
Sabendo que ii KpK 10log e que HOOHW CCK
3
, demonstre que
Wba pKpKpK .
10
2. A equação de Michaelis-Menten, MKS
Svv
0
0max, permite calcular a
velocidade inicial de uma reacção enzimática ( v ) para uma dada
concentração de substrato ( 0S ) e pode ser utilizada para definir a função
)( 0Sfv . maxv e MK são constantes positivas.
2.1. Estude a função indicando,
2.1.1. O seu domínio.
2.1.2. Os zeros.
2.1.3. A sua continuidade.
2.1.4. Os intervalos de crescimento e decrescimento.
2.1.5. Os máximos e mínimos.
2.1.6. O seu contradomínio.
2.1.7. As suas concavidades e pontos de inflexão.
5
5
5
10
10
10
10
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2.2. Esboce o gráfico da função.
5
3. Uma forma líquida de penicilina é fabricada por uma empresa de
biotecnologia e vendida a um preço de 180 €/unidade. Os custos totais de
produção mensal de x unidades são dados por
2002,075450000)( xxxc . A empresa guarda em stock 10% das
unidades produzidas mensalmente por forma a fazer face a encomendas
extraordinárias. O custo unitário de armazenamento é 0,52 €. Se a
capacidade máxima de produção da empresa for de 50000 unidades,
quantas unidades de penicilina devem ser produzidas e vendidas
mensalmente de forma a maximizar o lucro?
20
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4. Para o triângulo apresentado
Demonstre a seguinte relação conhecida como lei dos co-senos:
Abccba cos2222 .
10
h
b
A
C
c
a
B
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FORMULÁRIO
Probabilidades, Distribuição Normal Reduzida )( zZP , x
z
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Fórmulas trigonométricas correntes
)(2
cos
)(2
cos
)cos(2
)cos(2
)cos()cos(
)()(
xsenx
xsenx
xxsen
xxsen
xx
xsenxsen
222)cos()cos(
2cos
2cos2)cos()cos(
2cos
22)()(
2cos
22)()(
)cos()(2)2(
)()cos()2cos(
)cos()()cos()()(
)()()cos()cos()cos(
)(
1
)(
11
1)cos()(
22
22
22
basen
basenba
bababa
babasenbsenasen
babasenbsenasen
aasenasen
asenaa
absenbasenbasen
bsenasenbaba
xsenxtg
xxsen
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Limites notáveis
Regras de derivação