ConvecçãoemescoamentosabaixosnúmerosdeReynolds

Capítulo9

•  Mesmoemescoamentoslentos,apesardomecanismodetransportedecalorserpredominantementedifusivo(condução),aconvecçãocontribuiparaatrocadecalor

Convecçãoforçada

•  Exemplo:sólidoimersonumfluidoemmovimento(analogiacomatransferênciademassadeumasoluçãosendoliberadadasuperFciedomesmosólido)

• Propriedadesdepentesdatemperatura:soluçãoacopladadasequações• Hipótesedepropriedadesconstantes• Conveçãoforçada:convecçãonaturalédesprezada(i.e.,mesmoasvariaçõesdedensidadesãodesprezadas)

Equaçãodeenergia

€

ρcp∂T∂t

+ u•∇T

= k∇2T + 2µ E :E( )

CC : em S T = T0

r →∞ T→ T∞

• Parapropriedadesconstantes,aseqs.DeconOnuidadeemomentumsãoresolvidasparaencontraroscamposdevelocidadeepressão,eentãoresolve‐seaequaçãodeenergiaparadeterminarT.• Vamosconsiderarprimeiramenteosproblemasemregimepermanente.• OutraCCusualédefluxoconstanteaoinvésdeTconstante.

Adimensionalização

€

θ ≡T −T∞T0 −T∞

Pe u•∇θ( ) =∇2θ + 2Br E :E( )

Pe =U∞lκ

κ =kρcp

Br =µU∞

2

k T0 −T∞( )Pe =RePr ...magnitude relativa entre termos de convecção e de condução

Pr = µ/ρk/ρcp

=υκ... difusividade de momentum/difusividade térmica

Br... magnitude relativa dos termos de dissipação viscosaBr → 0 : Pe u•∇θ( ) =∇2θ

CC : em S, θ =1r →∞,θ → 0

€

θ = θ r,Re,Pr( )

•  FluxodecalornasuperFcie:

€

Q = −k ∇T •n( )A∫ S

dA

Fluxo de calor adimensional :

Nu = 2QAsk(T0 −T∞) / l

= −2l2

As

∇θ •n( )SA

∫ dA

Nu = Nu(Re,Pe) = Nu Re,Pr( )

AdependênciadatemperaturacomReéporqueu=u(r,Re).Nosescoamentosunidrecionais,enaquelesondeRe<<1,u=u(r)eentão,θ=θ(Pe)eNu=Nu(Pe).Asoluçãoexatadaeq.DeenergiaemgeralédiFcil,pelacomplexidadedeu:soluçõesparacasoslimitesparaReePe(p.ex.Pe<<1,convecçãofraca,ouPe>>1,convecçãoextremamenteimportante)

Analogiacomtransferênciademassa

•  SubsOtuiçãodeTporc,κporD(difusividadedosolutonosolvente):

•  CCsimilares(concentraçãodesolutoconstantenasuperFciedosólido,1solutoapenas)

•  Emgeral,Sc>Pe(líquidos:Sc~O(103),Pe~O(5);gases:Sc~O(1),Pe~O(0,01‐0,1))

•  Transferênciademassaalteraocampodevelocidade(velocidadenãonulanasuperFcie)

€

Pe ≡U∞l /D Pe =ReSc Sc =υ /D

•  cA(conc.Solvente),c(conc.Soluto):cA+c=1.Logo,

•  Comonãopodehaverfluxolíquidodosolvente(inerte)paraasuperFcie,temquehaverumavelocidadenormalparaforadasuperFcie,paracontrabalançarofluxodesolventeparaasuperFciedevidoaogradientenaconcentraçãodosolvente,:

€

∂cA /∂n = −∂c /∂n (derivadas normais à superfície)

€

∂cA /∂n

€

cAv'−D∂cA∂n'

= 0 em n'= 0 (superfície)

⇒ v'= DcA

∂cA∂n'

em n'= 0

ou :v'= − D1− c0

∂c∂n' n'= 0

Ccrescecomn’:sucçãonasuperFcie;quandoccaicomn’,geraçãonasuperFcie(blowing)

•  Adimensionalizando,

•  AdireçãodavelocidadeinduzidanasuperFciedependedosinaldeB.SeB/Pe<<1,podemosdesprezarasalteraçõesnoescoamentocausadaspelavelocidadenormalnafronteira

•  NúmerodeSherwood(fluxodemassaadimensionalnasuperFcie):

€

θ ≡c − c∞( )c0 − c∞( )

B =c0 − c∞( )1− c0( )

("blowing number")

v = −BPe

∂θ∂n

em n = 0

€

J = − D∇'c •n( )A∫ S

dA + v'cA∫ S

dA

Sh ≡ 2JASD c0 − c∞( ) / l

= −2l2

AS

− ∇θ •n( )A∫ S

dA + B ∇θ •n( ) θ +c∞

c0 − c∞

A∫S

dA

B <<1: Sh = −2l2

AS

− ∇θ •n( )A∫ S

dA[ ]ExpressãosimilaraNuOEscoamentosónãoéafetadoseB/Pe<<1

Transferênciadecalorporcondução(Pe0)

€

Pe <<1:θ = θ0 x,Re( ) + Peθ1 x,Re( ) +O(Pe2)

⇒∇2θ0 = 0CC :θ0 =1 em Sθ0 → 0 quando r →∞

• Equaçãodeconduçãoemregimepermanente(análogaàeq.paraesc.lentos),aformadevnãoinfluieθindependedeRe,apenasdeS• EquaçãodeLaplace

•  Exemplo:esferaaquecidaimersanumfluido•  ComprimentocaracterísOco:l=R

•  CC:θ=1emr=1

•  SoluçãodaequaçãodeLaplace:

€

θ0 = Anrn + Bnr

−( n+1)[ ]Pn (η)n= 0

∞

∑

η = cosθAn ,Bn coeficientes a serem determinados das CCda CC r =1:B0 =1, n ≥1:Bn = 0

⇒θ0 =1r

Nu = −1

2π∂θ∂r

r=1

sinθdθdφ0

π

∫0

2π∫

Nu0 = 2

TrocadecalornumaesferasólidaimersanumescoamentoabaixosPe•  ComoPeafetaasoluçãoanterior?•  Vamosconsiderarinicialmentesomenteasegundaaproximaçãoθ1

€

∇2θ1 = u•∇θ0em S :θ1 = 0θ1→ 0 quando r →∞

• Nãoexistesolução:soluçãodeconduçãopuranãoéumaprimeiraaproximaçãoválidaparaocampodetemperaturasuniformemente• AaproximaçãoassintóOcanãoéválidalongedaesfera• ParaPe<<1,r>>1:

€

Peη∂θ0 /∂r ~ O(Pe / r2)

∂ 2θ /∂r2 ~ O(1/ r3)AdimensionalizaçãosóéválidaemumaPartedodomínio:expansãoassintóDcaregular(válidauniformemente)nãoexisteparaPe<<1

•  Nestecaso,asoluçãodeveserobOdapelométododeexpansãoassintóOcasingular:2oumaisaproximaçõesassintóOcassãopropostasparaocampodetemperaturasparaPe<<1,cadaumaválidanumaregiãododomínio(masconectadasemumaregião,ondeas2aproximaçõessereduzemamesmaforma).Aadimensionalizaçãoéfeitadeformadiferenteparaas2regiões

•  Expansãonaregiãointerna:lc=R,eaprimeiraaproximação(θ0)éválida

•  CClongedaesferanãofazpartedodomínio

•  AinfluênciadaconvecçãoparapequenosPeéumpequenoaumentodataxadetrocadecaloremrelaçãoaconduçãopura

€

θ =1r

+ +Pe 121r−1

+η

12−34r

+38r2

−18r3

+O( f2(Pe))

Nu = 2 1+12Pe +O( f2(Pe))

•  Expansãonaregiãoexterna:novaadimensionalização()

€

lc =κ /U∞

€

Θ ρ,η,Pe( ) =Peρe−ρ(1−η ) / 2 +O(F1(Pe))

F1(Pe) /Pe→ 0 quando Pe→ 0ρ = rPe

•  Podemosprocuraraindaaproximaçõesdeordemmaisalta(paramelhoraracomparaçãodas2soluçõesnaregiãodeoverlap)

•  SoluçãoparaCCdefluxoconstante(NujáéfornecidoenestecasodesejamosdeterminaratemperaturanasuperFcie).Atemperaturaadimensionaldeveserredefinidapara

€

θ =T −T∞(qR /k)