QUESTÕES OBJETIVAS - Blog de Matemática · (C) existem x e y irracionais tais que x y é racional. (D) existem x e y irracionais tais que x y é irracional. (E) se x e y s ão irracionais,

2MATEMÁTICA PROVA 1

QUESTÕES OBJETIVAS

1Sendo este o gráfico de f(x),

o gráfico de f(– x) será:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

2Se z

1 é um número complexo do 1o quadrante e z

2, um número

complexo do 2o quadrante, ambos com partes reais e imagináriasnão nulas, então o quadrante em que fica o produto z

1z

2 é o:

(A) 1o ou 2o

(B) 1o ou 3o

(C) 1o ou 4o

(D) 2o ou 3o

(E) 3o ou 4o

3Multiplicando os números 42 567 896 095 416 765 443 769 (de 23algarismos) e 1 568 973 210 875 453 666 875 (de 22 algarismos)obtemos um produto cuja quantidade de algarismos é:(A) 43(B) 44(C) 45(D) 46(E) 47

4Dois pontos se movimentam em uma linha reta com equaçõeshorárias, s

1(t) = sen (3t) e s

2(t) = sen (t), com t ≥ 0. Quando o

primeiro retornar pela primeira vez à sua posição inicial, onde estará

o segundo?(A) π /3(B) π(C) 3π(D) sen (π /3)(E) sen (3π)

5Em certa região, a área ocupada por plantações de soja temaumentado de 10% ao ano, e a ocupada por milharais tem crescido1km2 por ano. Considere os gráficos a seguir.

Os gráficos que melhor representam as áreas ocupadas pelasplantações de soja e de milho em função do tempo são, respectiva-mente:(A) I e II.(B) I e III.(C) II e I.(D) II e III.(E) III e I.

6Se x2 ≡ 1 (mod 5) então:(A) x ≡ 1 (mod 5)(B) x ≡ 2 (mod 5)(C) x ≡ 4 (mod 5)(D) x ≡ 1 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5)(E) x ≡ 2 (mod 5) ou x ≡ 4 (mod 5)

7Em um grupo multiplicativo, o elemento x satisfaz x4 = x. O númerode elementos do conjunto {x,x2,x3,x4, ...}(A) é igual a 1.(B) é igual a 3.(C) é igual a 4.(D) só pode ser 1 ou 3.(E) só pode ser 2 ou 4.

3MATEMÁTICAPROVA 1

8Um pai tem dois filhos, de 2 e 4 anos. Ele prometeu dividir suafazenda entre os filhos de modo diretamente proporcional às suasidades assim que se case o mais velho dos filhos. Quanto maistarde este filho se casar, a fração da fazenda que lhe caberá será

(A) maior e nunca será menor do que 2

3 da fazenda.

(B) maior, mas nunca será maior do que 2

3 da fazenda.

(C) menor, mas sempre será maior do que a metade da fazenda.

(D) menor, podendo ser menor do que a metade da fazenda.

(E) igual a 2

3 da fazenda, independente da data do seu casamento.

9As retas reversas r e t são paralelas aos vetores u e v, respec-tivamente. A perpendicular comum a essas retas é paralela(A) à soma u + v.(B) à diferença u – v.(C) ao produto vetorial u ∧ v.(D) ao produto escalar <u,v>.(E) ao espaço gerado por u e v.

10Em certa cidade o tempo, bom ou chuvoso, é igual ao do dia

anterior com probabilidade 2

3.

Se hoje faz bom tempo, a probabilidade de que chova depois deamanhã vale:

(A) 2

9

(B) 1

3

(C) 4

9

(D) 5

9

(E) 2

3

11

“Se 2

2 for racional, temos um exemplo de um irracional que

elevado a um irracional dá um racional. Se, por outro lado, 2

2

for irracional, como ( 22 ) =

22 = 2, teremos um exemplo

de um irracional que elevado a um irracional dá um racional.”

O argumento acima prova que:

(A) 2

2 é um racional.

(B) 2

2 é um irracional.

(C) existem x e y irracionais tais que xy é racional.

(D) existem x e y irracionais tais que xy é irracional.

(E) se x e y são irracionais, xy é irracional.

12Um programa de computador apresentou para um polinômiodo 4o grau com coeficientes reais o seguinte gráfico, em que xvaria entre - 5,7 e 7,1:

Pode-se, então, concluir que esse polinômio tem:(A) duas raízes reais simples e uma raiz real dupla.(B) duas raízes reais e duas raízes complexas conjugadas.(C) três raízes reais e uma raiz complexa não real.(D) somente três raízes, todas reais.(E) alguma raiz real com módulo maior que 5.

13No sistema de três equações lineares com três incógnitas,

a1 x + b

1 y + c1 z = d

1

a2 x + b

2 y + c

2 z = d

2

a3 x + b

3 y + c

3 z = d

3

são nulos os determinantes

Tal sistema é:(A) possível e indeterminado.(B) possível e determinado.(C) possível.(D) impossível.(E) impossível ou indeterminado.

a1

b1

c1

a2 b2 c2

a3 b

3 c

3

a1

b1

d1

a2

b2

d2

a3 b3 d3

a1

d1

c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

d1

b1

c1

d2 b2 c2

d3

b3

c3

, , .e

2


14Em um cubo, CC’ é uma aresta e ABCD e A’B’C’D’ são facesopostas. O plano que contém o vértice C’ e os pontos médios dasarestas AB e AD determina no cubo uma seção que é um(A) triângulo isósceles.(B) triângulo retângulo.(C) quadrilátero.(D) pentágono.(E) hexágono.

15Um programa de computador desenhou o gráfico dasretas y = 2x + 15 e y = 45 – x/2. O ângulo α formado porelas no desenho é aparentemente diferente de 90o, comomostra a figura abaixo.

Observa-se que:(A) houve algum erro porque o ângulo α deveria ter 90o.(B) o ângulo α formado pelos gráficos não depende das escalas

dos eixos.(C) o programa usou escalas diferentes para cada um dos

gráficos.(D) os gráficos estão certos, mas α ≠ 90o porque as escalas nos

eixos são diferentes.(E) as coordenadas do ponto de encontro das retas é que depen-

dem das escalas dos eixos.

16Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores dapopulação a cada ano formam uma progressão:(A) geométrica de razão 1,2.(B) geométrica de razão 1,02.(C) geométrica de razão 0,02.(D) aritmética de razão 1,02.(E) aritmética de razão 0,02.

17Os pontos (x,y,z) pertencentes às retas que contêm o ponto(0,0,1) e que se apóiam na curva y = x2 do plano z = 0 formamum conjunto dado pela equação:(A) x2 + yz – y = 0(B) x2 + xz – y = 0(C) x2 + 2xz – y = 0(D) x2 + z – y = 0(E) x2 – z – y = 0

18Se um corpo cai de grande altura, partindo do repouso e subme-tido apenas à ação da gravidade e a uma força de atrito (resis-tência do ar) diretamente proporcional à sua velocidade, o gráficoque melhor representa esta velocidade em função do tempo é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

19A seqüência {a

n } definida por a

n = (–1)n +

1

3 sen n :

(A) é monótona.(B) é divergente para ∞ .(C) é convergente para um número racional.(D) é convergente para um número irracional.(E) não é convergente, mas admite subseqüência convergente.

20Solta-se uma pedra em queda livre na boca de um poço e ouve-se seu impacto na água 2 segundos depois. Usando a lei querege a queda dos corpos, desprezando-se a resistência do ar,s = (1/2) gt2, com g = 10 m/s2 e considerando a velocidade depropagação do som no ar igual a 340 m/s, conclui-se que adistância, em metros, entre o ponto de onde a pedra foi solta ea superfície da água está compreendida entre:(A) 17 e 18.(B) 18 e 20.(C) 20 e 21.(D) 21 e 23.(E) 23 e 24.

5MATEMÁTICAPROVA 1

21Considere o retângulo no plano (x,y) cujo vértice inferior esquer-do tem coordenadas cartesianas (0,0) e o vértice superior direitoé (x

0,y

0). Deseja-se representar esse retângulo numa tela de

computador de resolução 640 por 200.

Considere na tela as coordenadas ( ,c) como na figura:

Uma possível correspondência entre os pontos (x,y) do plano eos pontos ( ,c) da tela, tal que a imagem do retângulo seja a telainteira e a orientação seja preservada, é dada por:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

= 199 0

y

y

c = 639 0

x

x

= 639 0

y

y

c = 199 0

x

x

= 0

y

y

c = 0

x

x

22Considere o problema a seguir: “Em um triângulo ABC, temosAC = 3m, BC = 4m e B = 600. Calcule sen A.” Esse problema:

(A) não faz sentido, porque tal triângulo não existe.

(B) admite mais de uma solução.

(C) admite uma única solução, 3

2

(D) admite uma única solução, 3

3

(E) admite uma única solução, 2 3

3

23Uma urna contém N bolas, numeradas de 1 a N, semrepetições. Para estimar o valor desconhecido de N, um esta-tístico retira, ao acaso, três bolas dessa urna. As bolas retira-das foram as de números 15, 43 e 17. Ele toma para estimativade N o valor para o qual a média dos números das bolasretiradas é igual à média dos números de todas as bolas daurna. A estimativa que ele obtém para N é:(A) 43 (B) 49 (C) 51 (D) 53 (E) 55

24O Método de Newton, aplicado ao cálculo de 2 , consiste emtomar uma aproximação inicial x

0 > 0 e obter aproximações

sucessivas { }nx de modo que n + 1x seja igual a:

(A) +n

n

x 1

2 x

(B) −n

n

x 1

2 x

(C) n

n

x 2+

2 x

(D) −n

n

x 2

2 x

(E) −nn

2x

x

25A Lei de Boyle diz que, mantida constante a temperatura, o produtoda pressão pelo volume de um gás perfeito é constante. Um gásperfeito, inicialmente à pressão de 16.105 Pa, ocupa um cilindro devolume 100L. Um êmbolo é deslocado no cilindro de modo a reduziro volume do gás. Se a temperatura é mantida constante e o volumediminui à razão de 1L/s, com que velocidade, em Pa/s, estáaumentando a pressão no instante em que o volume for igual a 80L?(A) 25.103 (B) 25.104 (C) 25.105 (D) 16.106 (E) 16.107

= 199 − 199 0

y

y

c = 639 0

x

x

= 639 0

y

y

c = 199 − 199 0

x

x


QUESTÕES DISCURSIVAS

PARTE B

QUESTÕES ABERTAS COMUNS AOS FORMANDOS DE BACHARELADO E DE LICENCIATURA

1Identifique e corrija o(s) erro(s) da argumentação a seguir.

(i) "A função f(x) = tg x tem derivada positiva em todo seu domínio, pois

f’(x) = sec2x.(ii) Uma função cuja derivada é positiva no seu domínio é crescente nesse domínio.(iii) Logo, a função tangente é crescente em todo o seu domínio.

(iv)Então, como 34π >

4π , temos 3

tg4π > tg

4π Ou seja, − 1 > 1." (valor: 20,0 pontos)

2a) Mostre que, se um número inteiro a não é divisível por 3, então a2 deixa resto 1 na divisão por 3. (valor: 10,0 pontos)

b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a2 + b2, então a e b são divisíveis por 3. (valor: 10,0 pontos)

3Um modo de cifrar uma mensagem é associar um inteiro positivo a cada letra do alfabeto (A = 1, B = 2, ..., W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26)e usar uma chave f, de conhecimento apenas do emissor e do receptor. Assim, em vez de transmitir a letra associada ao número p, transmite-

se aquela associada a f(p). O receptor, recebendo q = f(p), decifra a letra determinando p = f – 1 (q).O imperador romano Júlio César, por exemplo, usava como chave f(p) = p + 3 (na aritmética dos inteiros módulo 26). Assim, a mensagemZERO seria transmitida CHUR e a mensagem recebida PAZ seria decifrada como MXW.

a) Mostre que a chave f(p) = 2p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26) não é invertível. (valor: 10,0 pontos)

b) Determine f –1(q) para a chave f(p) = 3p + 1 (na aritmética dos inteiros módulo 26). (valor: 10,0 pontos)

4Em visita ao Museu da Academia, em Florença, Maria observa maravilhada a estátua de David feita por Michelângelo. A sala está lotadade turistas e, por isto, Maria foi empurrada para muito perto da estátua, cujo pedestal está acima do nível dos seus olhos. Comoresultado, ela não pode ver quase nada!

a) Faça um esquema geométrico e identifique as variáveis relevantes para o estudo da situação. (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule a distância ideal de onde Maria veja a estátua sob o maior ângulo de visão possível (supondo, é claro, que a multidão a deixemovimentar-se à vontade pela sala!). (valor: 10,0 pontos)

5

Seja nn 1

A∞

=∑ uma série convergente de números reais.

a) É sempre verdade que 2nn 1

A∞

=∑ também converge? (valor: 5,0 pontos)

b) Forneça uma demonstração se a sua resposta a a) for afirmativa ou um contra-exemplo, se negativa. (valor: 15,0 pontos)

7MATEMÁTICAPROVA 1

PARTE C

QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO

6Seja γ um caminho no plano complexo, fechado, simples, suave (isto é, continuamente derivável) e que não passa por i nem por – i.

Quais são os possíveis valores da integral γ +∫ 2

dz

1 z ? (valor: 20,0 pontos)

7Uma função u : R2 → R, com derivadas contínuas até a 2a ordem, é dita harmônica em R2 se satisfaz a Equação de Laplace:

∂ ∂∆ = + =∂ ∂

2 2

2 2u u

u 0x y

em R2.

Mostre que se u e u2 são harmônicas em R2, então u é uma função constante. (valor: 20,0 pontos)

8

Seja {An}, n

∈ N, uma seqüência de números reais positivos e considere a série de funções de uma variável real t dada por

∞

=∑ t

nn 0

(A ) .

Suponha que tal série converge se t = t0 ∈ R. Prove que ela converge uniformemente no intervalo [t0, ∞ [. (valor: 20,0 pontos)

9

Sejam A = −

−

0 1 3

0 2 0

0 1 3

e n um inteiro positivo. Calcule An.

Sugestão: Use a Forma Canônica de Jordan ou o Teorema de Cayley-Hamilton. (valor: 20,0 pontos)


10Como bem se sabe, a América do Sul (17,9 milhões de km2) é muito maior que a Europa (9,8 milhões de km2), embora ambas pareçamaproximadamente do mesmo tamanho nos mapas comuns. Tais mapas utilizam a projeção criada na Alemanha em 1569 pelogeógrafo e matemático Gerhard Kremer Mercator (1512 – 1594). Uma alternativa à projeção de Mercator é a projeção criada pelohistoriador alemão Arno Peters, que preserva a razão entre as áreas dos diversos países. Esta projeção é feita da seguinte maneira:considere um cilindro de altura 2R circunscrito a uma esfera de raio R, ambos com o mesmo baricentro. Dado um ponto P no cilindro,considere o segmento de reta que liga P ao eixo do cilindro e que é perpendicular a esse eixo. Defina f(P) como sendo a intersecçãodesse segmento com a esfera.Mostre que f preserva a razão de áreas entre regiões no cilindro e as correspondentes imagens na esfera. (valor: 20,0 pontos)

Projeção cilíndrica equivalente de Peters.

Projeção cilíndrica equatorial ou de Mercator.

9MATEMÁTICAPROVA 1

PARTE C

QUESTÕES ABERTAS ESPECÍFICAS PARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA

11Numa prova, o professor apresenta a seguinte questão: “Dois estados do país, num certo ano, apresentam o modo como dividiramos impostos arrecadados. Os gráficos de setores a seguir ilustram a relação entre a quantia gasta em cada área e a arrecadação totaldaquele estado naquele ano.

i) Determine que percentual da arrecadação do estado II, daquele ano, foi gasto com Saúde e Educação, juntas. Justifique.ii) Pode-se dizer que naquele ano o estado I gastou mais com Segurança do que o estado II? Por quê?”

Um aluno apresentou as seguintes respostas a estas questões:

“i) 50%. Os gastos com Saúde e Educação correspondem à metade da circunferência.ii) Sim. Setor circular de área maior.”

a) Analise a resposta desse aluno à questão i). (valor: 10,0 pontos)

b) Faça o mesmo, em relação à questão ii). (valor: 10,0 pontos)

12O aluno de Licenciatura nem sempre se dá conta da relação entre o curso da Universidade e os temas que vai lecionar. A Integral deRiemann, por exemplo, esclarece a definição de área. Tanto o cálculo da integral pode servir para o cálculo de áreas quanto vice-versa.

a) Esboce o gráfico de y = 21 x− para 0 ≤ x ≤ 1. (valor: 10,0 pontos)

b) Calcule o valor da integral 1/2

2

01 x−∫ dx por meio de sua interpretação como área no plano, recorrendo apenas à Geometria e à

Trigonometria estudadas usualmente nos cursos Fundamental e Médio. (valor: 10,0 pontos)

13O conceito de logaritmo, introduzido na Matemática no século XVII, teve grande importância por facilitar cálculos numéricos. Atualmente,com o aperfeiçoamento dos computadores e a popularização das calculadoras, esse emprego dos logaritmos perdeu o interesse.Apesar disso, o estudo dos logaritmos e de suas inversas, as exponenciais, permanece nos cursos médio e superior.

a) De acordo com os princípios orientadores dos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), de contextualizar os assuntos tratados,justifique essa permanência citando alguma aplicação da Matemática a outra Ciência (Física, Química, Economia, Estatística, ...) emque seja empregada a função logaritmo ou sua inversa. (valor: 10,0 pontos)

b) Desenvolva os cálculos que levam à utilização da função logaritmo ou de sua inversa na aplicação citada em a). (valor: 10,0 pontos)


14Ensinando Trigonometria, um professor construiu, para motivar seus alunos, um aparelho rudimentar, usado por alguns engenheirose guardas-florestais para medir, à distância, a altura de árvores. Este aparelho é formado por uma placa retangular de madeira, quetem um canudo colado ao longo de um dos seus lados, e tem um fio de prumo preso a um dos vértices, próximo a uma das extremidadesdo canudo (Figura A).

Observando o topo de uma árvore através do canudo, os profissionais verificam o ângulo indicado no transferidor pelo fio de prumo.Segundo esses profissionais, a medida do ângulo de "visada", isto é, do ângulo formado com o plano horizontal pelo canudo, quandopor ele se observa o topo da árvore, é a mesma determinada pelo fio de prumo sobre o transferidor.

a) Com o auxilio do esquema da Figura B, verifique, justificando, se de fato o ângulo de “visada” tem a mesma medida do ângulo indicadopelo fio de prumo sobre o transferidor. (valor: 10,0 pontos)

b) Suponha que você deseja medir a altura, em relação ao plano horizontal dos seus olhos, do topo de uma árvore da qual você nãoconsegue se aproximar por haver um rio entre ela e você. Utilizando esse aparelho, mostre como fazê-lo, indicando os cálculosnecessários para chegar ao resultado. (valor: 10,0 pontos)

15Seja T um tetraedro regular e considere um plano que passa pelos pontos médios das três arestas que formam um dos vértices deT. Este plano divide T em dois poliedros, sendo um deles um tetraedro regular que chamaremos de t. Analogamente, considerandooutros três planos relativamente a cada um dos outros vértices do tetraedro, é possível decompor T em quatro tetraedros regularesiguais a t e mais um poliedro, que chamaremos de P.

Responda justificando:

a) Qual é a forma do poliedro P? (valor: 5,0 pontos)

b) Qual é a razão entre o volume de T e o volume de t? (valor: 5,0 pontos)

c) Qual é a razão entre o volume de P e o volume de t? (valor: 5,0 pontos)

d) Descreva um material didático na forma de um "quebra-cabeças” para montar, constituído por 8 (oito) peças com formas de poliedros,o qual possa ser utilizado para auxiliar o aluno a perceber os fatos geométricos envolvidos na situação descrita anteriormente.

(valor: 5,0 pontos)

11MATEMÁTICAPROVA 1

IMPRESSÕES SOBRE A PROVA

As questões abaixo visam a levantar sua opinião sobre aqualidade e a adequação da prova que você acabou de realizare também sobre o seu desempenho na prova.Assinale as alternativas correspondentes à sua opinião e àrazão que explica o seu desempenho nos espaços próprios(parte inferior) do Cartão-Resposta.Agradecemos sua colaboração.

26Qual o ano de conclusão deste seu curso de graduação?(A) 2000.(B) 1999.(C) 1998.(D) 1997.(E) Outro.

27Qual o grau de dificuldade desta prova?(A) Muito fácil.(B) Fácil.(C) Médio.(D) Difícil.(E) Muito difícil.

28Quanto à extensão, como você considera a prova?(A) Muito longa.(B) Longa.(C) Adequada.(D) Curta.(E) Muito curta.

29Para você, como foi o tempo destinado à resolução da prova?(A) Excessivo.(B) Pouco mais que suficiente.(C) Suficiente.(D) Quase suficiente.(E) Insuficiente.

30As questões da prova apresentam enunciados claros e objetivos?(A) Sim, todas apresentam.(B) Sim, a maioria apresenta.(C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta.(D) Não, poucas apresentam.(E) Não, nenhuma apresenta.

31Como você considera as informações fornecidas em cadaquestão para a sua resolução?(A) Sempre excessivas.(B) Sempre suficientes.(C) Suficientes na maioria das vezes.(D) Suficientes somente em alguns casos.(E) Sempre insuficientes.

32Como você avalia a adequação da prova aos conteúdos defini-dos para o Provão/2000 desse curso?(A) Totalmente adequada.(B) Medianamente adequada.(C) Pouco adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheço os conteúdos definidos para o Provão/2000.

33Como você avalia a adequação da prova para verificar as habi-lidades que deveriam ter sido desenvolvidas durante o curso,conforme definido para o Provão/2000?(A) Plenamente adequada.(B) Medianamente adequada.(C) Pouco adequada.(D) Totalmente inadequada.(E) Desconheço as habilidades definidas para o Provão/2000.

34Com que tipo de problema você se deparou mais freqüentementeao responder a esta prova?(A) Desconhecimento do conteúdo.(B) Forma de abordagem do conteúdo diferente daquela a que

estou habituado.(C) Falta de motivação para fazer a prova.(D) Espaço insuficiente para responder às questões.(E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova.

35Como você explicaria o seu desempenho nas questões objeti-vas da prova?(A) Não estudei durante o curso a maioria desses conteúdos.(B) Estudei somente alguns desses conteúdos durante o curso,

mas não os aprendi bem.(C) Estudei a maioria desses conteúdos há muito tempo e já os

esqueci.(D) Estudei muitos desses conteúdos durante o curso, mas nem

todos aprendi bem.(E) Estudei e conheço bem todos esses conteúdos.

Como você explicaria o seu desempenho em cada questão aberta da parte comum da prova?Números referentes ao CARTÃO-RESPOSTA.

Números das questões da prova.

O conteúdo ...(A) não foi ensinado; nunca o estudei.(B) não foi ensinado; mas o estudei por conta própria.(C) foi ensinado de forma inadequada ou superficial.(D) foi ensinado há muito tempo e não me lembro mais.(E) foi ensinado com profundidade adequada e suficiente.

36 37 38 39 40

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

1

MATEMÁTICA

Questão nº 1

Padrão de Resposta Esperado:

A afirmação (i) "A função f(x) = tg x ... f' (x) = sec2x" está correta.

A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo."

A afirmação (iii) está errada. A afirmação correta seria "Logo, a função tangente é crescente em qualquer intervalo do seu domínio."

A conclusão (iv) está evidentemente errada (−1 não é maior que 1) e, apesar de π π3>

4 4, não se pode concluir que

3tg > tg

4 4π π

porque ,π π

3

4 4não é subconjunto do domínio da função tangente ( π

2, que está compreendido entre π π3

e4 4

, não pertence ao

domínio da função tangente). (valor: 20,0 pontos)

Observação: Na argumentação acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que são falsos). A falha do argumento se concentraem (ii).

2

MATEMÁTICA

Questão nº 2


a) Se a não é divisível por 3, então a ≡ 1 ou a ≡ 2 (mod 3). Daí, a2 ≡ 1 ou a2 ≡ 4 (mod 3), ou seja, em ambos os casos, a2 ≡ 1 (mod 3). (valor: 10,0 pontos)

b) Suponhamos que (a2 + b2),

1º caso: 3 a e b . Tem-se, então, b2 ≡ 0 (mod 3) e, pela parte a), a2 ≡ 1 (mod 3); donde a2 + b2 ≡ 1(mod 3), o que é incompatívelcom a hipótese.

2º caso: Por simetria, não se pode ter a e 3 b.

3º caso: Falta examinar o caso em que 3 a e 3 b. Neste caso, tem-se, pela parte a), a2 + b2 ≡ 1 + 1 (mod 3), ou seja

a2 + b2 ≡ 2 (mod 3), o que é também incompatível com a hipótese.

Logo, a e b.

Alternativa: não usar congruências e escrever a = 3 k + r, onde r pode ser 0,1 ou 2, e prosseguir a argumentação. (valor: 10,0 pontos)

3

MATEMÁTICA

Questão nº 3


a) f não é injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 29 = 3, em Z26

; logo não pode ser invertível. Pode-se também provar que f nãoé sobrejetora, pois 2, por exemplo, não pertence à imagem de f. (valor: 10,0 pontos)

b) 1a alternativa: q = 3p + 1 ⇔ 3p = q −−−−−1 ⇔ p = 3−−−−−1. (q −−−−−1) ⇔ p = 9(q −−−−−1) ⇔ p = 9q −−−−−9, isto é, f−−−−−1(q) = 9q + 17.

2a alternativa: O estudante, se não souber inverter a função algebricamente, poderá demonstrar iniciativa construindo a tabela paraa função f e daí montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domínio de cada uma destas funções tem 26 elementos e os cálculosnão são tão complicados. (valor: 10,0 pontos)

Obs.: Serão também aceitas respostas com:

− alguma pesquisa sobre valores de f e de f– 1;− a apresentação da inversa mesmo sem prova.

4

MATEMÁTICA

Questão nº 4


1ª alternativa:

a)

Contados a partir do nível dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da estátua, incluindo o pedestal; b a altura do pedestal, x a distância dosolhos de Maria à estátua, medida na perpendicular à estátua. O ângulo γ será o ângulo sob o qual Maria vê a estátua. É preciso determinarx de modo que γ seja máximo.É claro que d = a − b, altura da estátua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituição a a ou a b.

(valor: 10,0 pontos)

b) Tem-se: tg γ = tg (α − β) = 1 . 2

tg tg (a b) x= f(x)

+ tg tg x + ab

α − β −=α β

, com x, a, b e a − b > 0 e 2

2 2(a b) (ab x )

f (x) =(x + ab)

’ − − que se anula para

x > 0 somente quando x = ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, a função f(x) passa

por um máximo. Sendo a função arctg uma função crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor de γ também será máximo. Logo o

valor de x procurado é x = ab (valor: 10,0 pontos)

2ª alternativa:

a)


b) tg α = ax

e tg β = bx

. Como γ = arctg ax

− arctg bx

tem-se que γ' =

2

2 2 2 22 2 2 2

a b (a b)(ab x )+

(x + a )(x +b )x + a x + b

− − −=

que se anula para x > 0 somente quando x = ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor

de x, γ passa por um máximo. Logo o valor de x procurado é x = ab (valor: 10,0 pontos)

a

bα

β

γ

x

a

bα

β

γ

x

5

MATEMÁTICA

Questão nº 5


a) Não. (valor: 5,0 pontos)

b) Um exemplo de série convergente é o da série ∞

−∑ n

n = 1

1( 1)

n (converge porque é uma série alternada em que os valores absolutos dos

termos formam uma seqüência decrescente tendendo a 0). Tomada, entretanto, a série só dos termos pares, tem-se:

2 n

n = 1 n = 1 n = 1

1 1 1 1( 1)

2n 2n 2 n

∞ ∞ ∞− = =∑ ∑ ∑ e esta última é divergente para ∞ , pois é a série harmônica. (valor: 15,0 pontos)

6

MATEMÁTICA

PARTE C (BACHARELADO)

Questão nº 6


1a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. O valor da integral I é igual a 2z int z

12 i x Res

1+z∈ γ∑π . Calculando os resíduos da

função em seus pólos, i e −i, temos:

→ →

−= = =2 2z i z ii

1 z i 1 1lim limRes

z + i 2i1+ z 1+ z

De modo análogo, calcula-se o resíduo em z = −i, que dá −12i

.

Daí, têm-se os 4 casos:1. γ não contém nem i nem – i em seu interior, então: I = 0;

2. γ contém i no interior, mas não – i, então: I = 1

2 i x2i

= π π

3. γ contém −i no interior, mas não i, então: I = π π − − 1

2 i x = ;2i

4. γ contém i e – i, no interior, então: I = 1 1

2 i = 02i 2i

+ − π

Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima.

2a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. Decompondo f em frações simples, chega-se a:

− − 2

1 i 1 1f(z) = =

2 z + i z i1+ z.

Têm-se novamente os 4 casos:

1. γ não contém nem i nem – i em seu interior; então a função é analítica no interior de γ e I = 0;

2. γ contém i no interior, mas não – i; então a parcela i 1x

2 z i+ é analítica no interior de γ, e o valor da integral se reduz à integral da

outra parcela que, pela Fórmula de Cauchy π −∫!0

0

1 f (z)f(z ) = dz

2 i z z, é: I =

i2 i x ( 1) = ;

2−π π

3. γ contém −i no interior, mas não i; então é a parcela −

i 1x

2 z ique é analítica no interior de γ, e o valor da integral será o valor da

integral da outra parcela, que também pode ser calculada pela Fórmula de Cauchy dando:

I = ( )π π−i2 i x 1 = ;

24. γ contém i e – i, no interior, então o valor da integral é a soma dos valores de I nos casos 2 e 3, isto é: I = π − π = 0.

Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. (valor: 20,0 pontos)

7

MATEMÁTICA

Questão nº 7


Se u2 é harmônica, tem-se que: ∆ u2 = 0, mas

∂∂ ∂ ∂ ∂∴∂ ∂ ∂ ∂∂

∂∂ ∂= +∂ ∂∂

∂ ∂ ∆ = + + ∆ = ∂ ∂

22 2 2 2

2 2

22 2 2 2

2 2

22

2

uu u u u= 2u = 2 + 2u e, analogamente :

x x x xx

uu u2 2u , donde :

y yy

u uu 2 2u u 0

x y

Se u é harmônica, tem-se então que ∂ ∂

∂ ∂

22u u

+ = 0x y

, mas este 1º membro é o quadrado do módulo do gradiente de u. Sendo grad u = 0

no plano, que é conexo, tem-se u = constante.

Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais de u em vez do gradiente. (valor: 20,0 pontos)

8

MATEMÁTICA

Questão nº 8


Esse resultado é verdadeiro no caso em que t0 > 0 (dado não informado). Com efeito, se ∞∑

t0

n=0(A )n converge, então ( )

→ ∞t0

nnlim A = 0 . Logo,

sendo c um número fixado entre 0 e 1, existe n0 tal que para n ≥ n0 tem-se que 0 < t0nA < c < 1. Mas, então, como a

exponencial de base menor que 1 é decrescente, tem-se que, para todo n ≥ n0 e t ≥ 0

t > 0 : 0 < ( )t t / tt 0 0

n nA A= ≤

n

t0A porque

0

t

t ≥ 1.

Isto é, a série ∞∑ t

n=0(A )n admite uma série majorante convergente e essa majoração é a mesma para todo t. Então, (pelo critério M de

Weierstrass) a série ∞∑ t

n=0(A )n é uniformemente convergente.

Alternativa:

Se t0 < 0, a tese não pode ser verdadeira, pois, neste caso, 0 ∈ [ t

0 , ∞ [ e esta série não converge quando t = 0.


9

MATEMÁTICA

Questão nº 9


1ª alternativa:

Os autovalores dessa matriz são as raízes de

−λ −− λ− − λ

1 3

0 2 0

0 1 3 = 0

.São, portanto, λ = 0, 2 e 3 e os respectivos autovetores são: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Daí tem-se, tomando a Forma Canônicade Jordan para A, que:

A = P J P−1. onde

10 0 0 1 1 1 1 0 1

J = 0 2 0 , P = 0 1 0 e P = 0 1 0

0 0 3 0 1 1 0 1 1

−−

−

Logo, An = P Jn P −1, mas:

. .− − − = = −

n

n n n n n

1 1n n n n

n n n n n n

0 0 0 0 2 3 0 2 3 3

J 0 2 0 e PJ P = 0 2 0 P 0 2 0

0 0 3 0 2 3 0 2 3 3

2ª alternativa:

O polinômio característico é P(λ) = −λ (2 −λ) (3 −λ).

Dividindo λn por P(λ) teremos λn = P(λ) . Q (λ) + a λ2 + b λ + c.

Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente λ = 0, λ = 2 e λ = 3, obtendo 0 = c, 2n = 4a + 2b e 3n = 9a + 3b.

Daí, a = 3n −1 − 2 n −1 , b = 3 . 2 n −1 − 2 . 3 n −1, c = 0.Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0.

Daí,

An = a A2 + bA. Como ,

− − −

− − −

2 n

n n n

n

n n n

0 5 9 0 1 3 0 2 3 3

A = 0 4 0 e A = 0 2 0 A = 0 2 0

0 5 9 0 1 3 0 2 3 3

.

3ª alternativa:Calcular A2, A3, sugerir uma expressão para An e provar por indução. (valor: 20,0 pontos)

10

MATEMÁTICA

Questão nº 10


1ª alternativa:

Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e

C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se:

Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e

Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) e Cϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.

Daí, S Su v∧ = C Cu v∧ = R2 sen ϕ em ambas as superfícies.

2ª alternativa:

Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e

C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se:

Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) e Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e

Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) e Cϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.

Daí,

EG − F2 = R4 sen2 ϕ, em ambas as superfícies.

3ª alternativa:

Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:

2 2 2 2S(u,v) = ( R v cos u, R v sen u, v)− − .

Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cadauma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).

Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região no domínio das parametrizações em cada uma destassuperfícies. Ora, a área de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfícies, pela integral dupla da expressão

− 2EG F estendida ao mesmo domínio, onde E = <Su, Su> ; G = <Sv, Sv> e F = <Su, Sv> na esfera e expressões análogas para o cilindro.

Como 2 2 2 2 2 2 2 2

u vS = ( R v sen u, R v cos u, 0) , S = ( v cos u / R v , v sen u / R v , 1)− − − − − − −

u vC = ( Rsen u, R cos u, 0) e C = (0, 0, 1).−

tem-se que na esfera:EG − F2 = (R2 − v2) (sen2 u + cos2 u) [1 + v2 (cos2 u + sen2 u) / (R2 − v2)] − [v sen u cos u − v cos u sen u]2 = R2 e no cilindro:

EG − F2 = R2 (sen2 u + cos2 u) x 1 − 0 = R2.

Logo, áreas de regiões correspondentes são iguais.

11

MATEMÁTICA

4ª alternativa:

Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:

2 2 2 2S(u,v) = ( R v cos u, R v sen u, v)− − .

Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cadauma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).

Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região D no domínio das parametrizações em cada uma destas

superfícies. Ora, a área de uma tal imagem na esfera pode ser calculada, pela integral dupla S S du dvu vD

∧∫∫ e no cilindro por

C C du dvu vD

∧∫∫ , onde ,

Como S Su v∧ = 2 2 2 2( R v cos u, R v sen u,v) R− − = e C Cu v∧ = (R cos u, R sen u,0) R= , tem-se que áreas de regiões

correspondentes são iguais. (valor: 20,0 pontos)

2 2 2 2 2 2 2 2u vS = ( R v sen u, R v cos u, 0) , S = ( v cos u / R v , v sen u / R v , 1)− − − − − − −

u vC = ( Rsen u, R cos u, 0) e C = (0, 0,1).−

12

MATEMÁTICA

PARTE C (LICENCIATURA)

Questão nº 11


a) A resposta está certa.

Melhor seria se o estudante respondesse aproximadamente 50%, de vez que ele só dispõe do desenho e não tem os dados

numéricos. (valor: 10,0 pontos)

b) A resposta do aluno está errada.

A resposta certa seria afirmar que não se pode saber quem gastou mais em termos absolutos. A informação que se pode tirar

do gráfico é que o estado I gastou com segurança uma porcentagem de sua arrecadação maior do que o estado II, em relação à própria

arrecadação, mas, sem o dado sobre os respectivos totais de arrecadação, não se podem comparar as quantias gastas por um e

por outro. (valor: 10,0 pontos)

13

MATEMÁTICA

Questão nº 12


a) Como y = 1 ,,2 2 2x 0 x 1 x y 1, 0 x 1e 0 y 1− ≤ ≤ ⇔ + = ≤ ≤ ≤ ≤ tem-se que o gráfico solicitado é o arco da circunferência de raio 1 e

centro (0, 0), que fica no 1º quadrante.


b) A figura em questão pode ser decomposta em um triângulo de base 12

e altura 3

2, e um setor circular de ângulo central .

2 3 6π π π− =

Então sua área pode ser calculada como a soma de 1 1 3 3x x

2 2 2 8= com 21

x 1 x2 6

π=

12π

.

Ou seja, a área é: 38 12

+ π . (valor: 10,0 pontos)

14

MATEMÁTICA

Questão nº 13


a) Qualquer grandeza cuja variação seja, em cada instante, proporcional ao seu valor nesse instante pode ser modelada por uma funçãoexponencial que é a inversa do logaritmo.

Alguns exemplos são: em Química, a quantidade de uma substância radioativa; em Economia, um capital empregado a juros; emBiologia, certas populações (de bactérias, por exemplo), etc. (valor: 10,0 pontos)

b) Sendo x(t) a medida dessa grandeza no instante t, tem-se: x’= kx e daí, se x (t0) ≠ 0, tem-se:

In |x (t)/ x (t0)| = k (t − t0) ou x (t) = x (t0) exp [k (t − t0)] (e esta vale mesmo para x(t0) = 0) (valor: 10,0 pontos)

15

MATEMÁTICA

Questão nº 14


a) Como a linha horizontal e o fio de prumo fazem um ângulo reto, o mesmo se dando com a borda do aparelho e o canudo, o ânguloformado pelo fio de prumo e o canudo terá por medida

p + 90° = 90° + v , logo, p = v . (valor: 10,0 pontos)

b) Seja W o topo da árvore, X o ponto em que estão os olhos do observador, Z o ponto de encontro entre a vertical traçada do topo daárvore e a linha que parte de X no plano horizontal e que encontra essa vertical. O triângulo XZW é retângulo em Z e o observador pode mediro ângulo <X = v. Em seguida, andando na direção de Z uma distância d, o observador faz uma nova medida a partir do ponto Y, obtendo oângulo p.

Considerando os triângulos retângulos XWZ e YWZ, tem-se que tg v1 = x/(d + YZ) e tg v2 = x/YZ

Então, tg v1 = x . tg v2 / (d . tg v2 + x),

de onde

x (tg v2 − tg v

1) = d . tg v

1 . tg v

2.

Como os ângulos v1 e v

2 são diferentes (pois o ponto Y se encontra mais próximo de Z) e estão ambos entre 0 e 180°, tem-se que

a diferença tg v2

− tg v1 não se anula; logo, pode-se escrever:

x = d . tg v1 . tg v

2 / (tg v

2 − tg v

1),

como a expressão que dá a altura pedida.

Observação: Uma simplificação interessante no processo se dá quando seja possível localizar o aparelho de forma que os valores de v1 e

v2 sejam ângulos com tangente conhecida como por exemplo o caso em que v1 = 45° e v2 = 60° quando então d 3 d (3 3)

x = .23 1

+=

− (valor: 10,0 pontos)

16

MATEMÁTICA

Questão nº 15


a)

1a alternativa:

P é um octaedro regular inscrito no tetraedro, pois possui quatro pares de faces paralelas. Esses pares são formados por uma face do octaedroobtida pelo corte do plano que passa pelos três pontos médios de cada um dos vértices e por uma face triangular inscrita numa face dotetraedro.

2a alternativa:

O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura do “octaedroinscrito no tetraedro”. (valor: 5,0 pontos)

b) Como as arestas de T foram divididas ao meio para se obterem as arestas de t, e como T e t são tetraedros regulares − figurassemelhantes, portanto, e com razão de semelhança igual a ½ − o volume de T é oito vezes o volume de t. (valor: 5,0 pontos)

c) Como V(T) = 4 V(t) + V(P) e V(T) = 8 V(t), tem-se:

V(P) = 8 V(t) – 4 V(t) = 4 V(t) . (valor: 5,0 pontos)

d)

1a alternativa:

O jogo poderá ser formado por 4 tetraedros regulares iguais a t (com arestas do tamanho da metade das de T) e quatro tetraedrosnão regulares, obtidos por cortes de P, de tal forma que cada dois desses tetraedros não regulares formem uma das pirâmides debase quadrada que compõem P.

2a alternativa:

O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura anterior,onde aparece a diagonal do quadrado da base das duas pirâmides que formam o octaedro P. (valor: 5,0 pontos)

Questão Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 01 E C A D 02 D B D B 03 B D D B 04 D A B E 05 A B E D 06 D D B E 07 D B E A 08 C E A D 09 C A D E 10 C D C B 11 C E D C 12 E D C A 13 E C B A 14 D B B D 15 D A E C 16 B C D C 17 A E C B 18 C E A D 19 E A E C 20 B D D B 21 C D B E 22 A E A E 23 B B D D 24 A C E B 25 A E C A

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QUESTÕES OBJETIVAS - Blog de Matemática · (C) existem x e y irracionais tais que x y é racional. (D) existem x e y irracionais tais que x y é irracional. (E) se x e y s ão irracionais,