Agente Administrativo

Raciocnio Lgico

Prof. Edgar Abreu

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Raciocnio Lgico

Professor Edgar Abreu

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COMO FOI O LTIMO EDITAL

RACIOCNIO LGICO: Estruturas lgicas. Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses. Lgica sentencial (ou proposicional). Proposies simples e compostas. Tabelasverdade. Equivalncias. Leis de De Morgan. Diagramas lgicos. Lgica de primeira ordem. Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

QUANTIDADE DE QUESTES PROVA: 50 bsicas e 70 especficas.

QUANTIDADE DE QUESTES DE RAC. LGICO: 7

BANCA: Cespe

CARGO: Agente Administrativo

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SUMRIO

Como foi o a ltima prova? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

O que lgica matemtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PROPOSIO E SENTENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

ou no Proposio?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

NEGAO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Conectivos lgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

CONJUNO E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

DISJUNO ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Condicional se...ento... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Bicondicional ...se somente se.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Negao de uma disjuno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Negao de uma conjuno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Negao de uma condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Negao de uma bicondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

EQUIVALENCIA DE PROPOSIES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Equivalncia de uma condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

TAUTOLOGIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

CONTRADIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

DIAGRAMA LGICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Algum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Nenhum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Questes Cespe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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Como foi a ltima prova?

Considerando que P seja a proposio No basta mulher de Csar ser honesta, ela precisa parecer honesta, julgue os itens seguintes, acerca da lgica sentencial.

22. A negao da proposio P est corretamente expressa por Basta mulher de Csar ser honesta, ela no precisa parecer honesta. JUSTIFICATIVA Denotando por p e q, respectivamente, as proposies no basta mulher de Csar ser honesta e a mulher de Csar precisa parecer honesta, a proposio P pode ser expressa por pq , ao passo que proposio do item p q . No caso em que p verdadeira e q falsa, tanto a proposio P quanto a proposio do item so falsas, de modo que uma no nega a outra.

23. Se a proposio Basta mulher de Csar ser honesta for falsa e a proposio A mulher de Csar precisa parecer honesta for verdadeira, ento a proposio P ser verdadeira. JUSTIFICATIVA A proposio P pode ser expressa por pq , em que p e q so, respectivamente, as proposies no basta mulher de Csar ser honesta e a mulher de Csar precisa parecer honesta. De acordo com as hipteses do item, p e q so verdadeiras, de modo que tambm o a proposio P: pq .

24. Se a proposio A mulher de Csar honesta for falsa e a proposio A mulher de Csar parece honesta for verdadeira, ento a proposio P ser verdadeira. JUSTIFICATIVA No possvel expressar a proposio P (que centrada nos verbos bastar e precisar) por causa das proposies dadas no item (que so centradas nos verbos ser e parecer). Assim, no possvel valorar a proposio P com base nos valores lgicos das proposies dadas no item.

25. A negao da proposio P est corretamente expressa por Basta mulher de Csar ser honesta ou ela no precisa parecer honesta. JUSTIFICATIVA Notando-se que a proposio P pode ser expressa por pq , em que p e q so, respectivamente, as proposies no basta mulher de Csar ser honesta e a mulher de Csar precisa parecer honesta, pode-se aplicar uma regra de De Morgan para obter sua negao: (pq) ou p q .

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A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A tambm se inscreveram para o cargo B.

A respeito dessa situao hipottica, julgue os itens subsecutivos.

26. Selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 1.200, a probabilidade de que ambos tenham-se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo B superior a 1/6. JUSTIFICATIVA Os dois candidatos devem estar em A, mas no em B, ou ambos em B, mas no em A, ou ainda ambos simultaneamente em A e B. Assim, a probabilidade (400*399)/(1200*1199)+(200*199)/(1200*1199)+ (200*199)/(1200*1199)=(400*399)/(1200*1199)+ (400*199)/(1200*1199)=(400*598)/(1200*1199)= (1/3)*(598/1199) < (1/3)*(1/2) = 1/6.

27. Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B. JUSTIFICATIVA O diagrama a seguir ilustra a situao do texto:

Obtm-se a seguinte equao do diagrama: 600 x + x + 400 x + 400 = 1200, cuja soluo x = 200.

Gabarito:22. Errado23. Certo24. Errado25. Certo26. Errado27. Errado

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RACIOCNIO LGICO

O QUE LGICA MATEMTICA?

A Lgica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigao da verdade.

A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia Lgica a formulao de leis gerais de encadeamentos lgicos que levariam descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento chamada, em Lgica, de argumento.

PROPOSIO E SENTENA

Um argumento uma sequncia de proposies na qual uma delas a concluso e as demais so premissas. As premissas justificam a concluso.

Proposio: Toda frase que voc consiga atribuir um valor lgico proposio, ou seja, frases que podem ser verdadeiras ou falsas.

Exemplos:

1) Saiu o edital da Polcia Federal.

2) Os primeiros colocados sero alunos da Casa.

3) 5 + 3 = 8.

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No so proposies frases que voc no consegue julgar se verdadeira ou falsa, por exemplo:

1) Vai estudar?

2) Mas que legal!

Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico.

Frases interrogativas e exclamativas no so proposies.

QUESTO COMENTADA

(CESPE Banco do Brasil 2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

I. A frase dentro destas aspas uma mentira.

II. A expresso X + Y positiva.

III. O valor de 4 +3= 7

IV. Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

V. O que isto?

Soluo:

Item I: No possvel atribuir um nico valor lgico para esta sentena, j que, se considerarmos que verdadeiro, teremos uma resposta falsa (mentira) e vice-versa. Logo no proposio.

Item II: Como se trata de uma sentena aberta, na qual no esto definidos os valores de X e Y, logo tambm no proposio.

Item III: Como a expresso matemtica no contm varivel, logo uma proposio. Conseguimos atribuir um valor lgico, que, neste caso, seria falso.

Item IV: Trata-se de uma simples proposio, j que conseguimos atribuir um nico valor lgico.

Item V: Como se trata de uma interrogativa, logo no possvel atribuir valor lgico. Assim, no proposio.

Concluso: Errado, pois existem apenas duas proposies: item III e IV.

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OU NO PROPOSIO?

Cuidado com a generalizao. Nas questes da CESPE, nem sempre que aparecerem pontos de ? ou de ! poderemos generalizar afirmando que no se trata de uma proposio.

O critrio para afirmao sempre tem que ser o mesmo: perguntar se a sentena aceita atribuio de um valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

CESPE 2008 SEBRAE-BA Superior

Uma proposio uma sentena afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas.

Nesse sentido, considere o seguinte dilogo:

(1) Voc sabe dividir? perguntou Ana.

(2) Claro que sei! respondeu Mauro.

(3) Ento, qual o resto da diviso de onze milhares, onze centenas e onze por trs? perguntou Ana.

(4) O resto dois. respondeu Mauro, aps fazer a conta.

(5) Est errado! Voc no sabe dividir respondeu Ana.

A partir das informaes e do dilogo acima, julgue o item que se segue.

1. A frase indicada por (3) no uma proposio.

()Certo()Errado

2. A frase (2) uma proposio.

()Certo()Errado

Gabarito:1. Errado2. Certo

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NEGAO SIMPLES

1) Zambeli feio.

Como negamos essa frase?

Quem tambm disse: Zambeli bonito errou. Negar uma proposio no significa dizer o oposto, mas sim escrever todos os casos possveis diferentes do que est sugerido.

Zambeli NO feio.

A negao de uma proposio uma nova proposio, que verdadeira se a primeira for falsa e falsa se a primeira for verdadeira.

PARA GABARITARPara negar uma sentena acrescentamos o no, sem mudar a estrutura da frase.

2) Andr Vieira no louco.

Negao: Andr Vieira louco.

Para negar uma negao, exclumos o no.

Simbologia: Assim como na Matemtica representamos valores desconhecidos por x, y, z..., na Lgica tambm simbolizamos frases por letras. Exemplo:

Zambeli feio.

Z

Proposio: Z

Para simbolizar a negao usaremos ou .

Negao: Zambeli no feio.

Simbologia: ~Z.

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Andr Vieira no Louco.

A

Proposio: ~A

Negao: Andr Louco.

Simbologia: ~(~A)= A

p = Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

Caso eu queira negar que Thiago Machado no gosta de matemtica, a frase voltaria para a proposio p: Thiago Machado gosta de matemtica.

~p = Thiago Machado no gosta de matemtica.

~(~p) = No verdade que Thiago Machado no gosta de matemtica.

ou

~(~p) = Thiago Machado gosta de matemtica.

PROPOSIES COMPOSTAS

Proposio composta a unio de proposies simples por meio de um conector lgico. Esse conector ir ser decisivo para o valor lgico da expresso.

Proposies podem ser ligadas entre si por meio de conectivos lgicos. Conectores que criam novas sentenas mudando ou no seu valor lgico (Verdadeiro ou Falso).

Uma proposio simples possui apenas dois valores lgicos, verdadeiro ou falso.

J proposies compostas tero mais do que duas possibilidades distintas de combinaes dos seus valores lgicos, conforme demonstrado no exemplo a seguir:

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Consideramos as duas proposies abaixo, chove e faz frio.

Chove e faz frio.

Para cada proposio, existem duas possibilidades distintas, falsa ou verdadeira. Numa sentena composta, teremos mais de duas possibilidades.

E se essa sentena ganhasse outra proposio, totalizando agora trs proposies em uma nica sentena?

Chove e faz frio e estudo.

A sentena composta ter outras possibilidades.

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PARA GABARITAR

possvel identificar quantas possibilidades distintas teremos de acordo com o nmero de proposio em que a sentena apresentar. Para isso, devemos apenas elevar o nmero 2 quantidade de proposio, conforme o raciocnio abaixo:

Proposies Possibilidades

1 2

2 4

3 8

n 2n

QUESTO COMENTADA

(CESPE Banco do Brasil 2007) A proposio simblica PQR possui, no mximo, 4 avaliaes.

Soluo:

Como a sentena possui 3 proposies distintas (P, Q e R), logo a quantidade de avaliaes ser dada por: 2proposies = 23 = 8

Resposta: Errado, pois teremos um total de 8 avaliaes.

CONECTIVOS LGICOS

Um conectivo lgico (tambm chamado de operador lgico) um smbolo ou uma palavra usada para conectar duas ou mais sentenas (tanto na linguagem formal quanto na linguagem informal) de uma maneira gramaticalmente vlida, de modo que o sentido da sentena composta produzida dependa apenas das sentenas originais.

Muitas das proposies que encontramos na prtica podem ser consideradas como construdas a partir de uma, ou mais, proposies mais simples por utilizao de instrumentos lgicos, a que se costuma dar o nome de conectivos, de tal modo que o valor de verdade da proposio inicial fica determinado pelos valores de verdade da, ou das, proposies mais simples que contriburam para a sua formao.

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Os principais conectivos lgicos so:

I. "e" (conjuno)

II. "ou" (disjuno)

III. "se...ento" (implicao)

IV. "se e somente se" (equivalncia)

CONJUNO E

Proposies compostas ligadas entre si pelo conectivo e.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por .

Exemplo:

Chove e faz frio.

Tabela verdade: Tabela verdade uma forma de analisarmos a frase de acordo com suas possibilidades, o que ocorreria se cada caso acontecesse.

Exemplo:

Fui aprovado no concurso da CEF e serei aprovado no concurso da Polcia Federal.

Proposio 1: Fui aprovado no concurso da CEF.

Proposio 2: Serei aprovado no concurso da Polcia Federal.

Conetivo: e

Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq

Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

H1:

p: No fui aprovado no concurso da CEF.q: Serei aprovado no concurso da Polcia Federal.

H2:

p: Fui aprovado no concurso da CEF.q: No serei aprovado no concurso da Polcia Federal.

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H3:

p: No fui aprovado no concurso da CEF.q: No serei aprovado no concurso da Polcia Federal.

H4:

p: Fui aprovado no concurso da CEF.q: Serei aprovado no concurso da Polcia Federal.

Tabela Verdade: Aqui vamos analisar o resultado da sentena como um todo, considerando cada uma das hipteses acima.

p q PQ

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V

Concluso:

DISJUNO OU

Recebe o nome de disjuno toda a proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "ou". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por v.

Exemplo:

Estudo para o concurso ou assisto aos jogos da Copa.

Proposio 1: Estudo para o concurso.

Proposio 2: Assisto aos jogos da Copa.

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Conetivo: ou

Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de .

Assim, podemos representar a sentena acima da seguinte forma: pq

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Estudo para o concurso.q: Assisto aos jogos da Copa.

H2:

p: No Estudo para o concurso.q: Assisto aos jogos da Copa.

H3:

p: Estudo para o concurso.q: No assisto aos jogos da Copa.

H4:

p: No Estudo para o concurso.q: No assisto aos jogos da Copa.

Tabela Verdade:

p q PQ

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

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CONDICIONAL SE......ENTO......

Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "Se... ento". Simbolicamente representaremos esse conectivo por .

Em alguns casos o condicional apresentado com uma vrgula substituindo a palavra ento, ficando a sentena com a seguinte caracterstica: Se proposio 1 , proposio 2.

Exemplo: Se estudo, ento sou aprovado.

Proposio 1: estudo (Condio Suficiente)

Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria)

Conetivo: se... ento

Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de q e o conetivo de

Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

Agora vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: Estudo.q: Sou aprovado.

H2:

p: No estudo.q: Sou aprovado.

H3:

p: No estudo.q: No sou aprovado.

H4:

p: Estudo.q: No sou aprovado.

p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F

A tabela verdade do condicional a mais cobrada em provas de concurso pblico.

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A primeira proposio, que compe uma condicional, chamamos de condio suficiente da sentena, e a segunda a condio necessria.

No exemplo anterior, temos:

Condio suficiente: Estudo.

Condio necessria: Sou aprovado.

Para detonar uma prova de Raciocnio Lgico em um concurso pblico, voc precisa saber que uma condicional s ser falsa se a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

BICONDICIONAL ...SE SOMENTE SE...

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo "...se somente se...". Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a sentena:

Exemplo: Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa.

Proposio 1: Maria compra o sapato.

Proposio 2: O sapato combina com a bolsa.

Conetivo: se e somente se.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: pq

Vamos preencher a tabela a seguir com as seguintes hipteses:

H1:

p: Maria compra o sapato.q: O sapato no combina com a bolsa.

H2:

p: Maria no compra o sapato.q: O sapato combina com a bolsa.

H3:

p: Maria compra o sapato.q: O sapato combina com a bolsa.

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H4:

p: Maria no compra o sapato.q: O sapato no combina com a bolsa.

p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V

O bicondicional s ser verdadeiro quando ambas as proposies possurem o mesmo valor lgico, ou quando as duas forem verdadeiras ou as duas proposies forem falsas.

Uma proposio bicondicional pode ser escrita como duas condicionais. como se tivssemos duas implicaes, uma seta da esquerda para direita e outra seta da direita para esquerda, conforme exemplo abaixo:

p q (p q) (q p)

Nesse caso, transformamos um bicondicional em duas condicionais conectadas por uma conjuno. Essas sentenas so equivalentes, ou seja, possuem o mesmo valor lgico.

PARA GABARITAR

SENTENA LGICA VERDADEIRO SE... FALSO SE..

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

p q nos demais casos que no for falso p = V e q = F

p q p e q tiverem valores lgicos iguaisp e q tiverem valores

lgicos diferentes

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QUESTO COMENTADA(FCC BACEN 2006) Um argumento composto pelas seguintes premissas:

I. Se as metas de inflao no so reais, ento a crise econmica no demorar a ser superada.

II. Se as metas de inflao so reais, ento os supervits primrios no sero fantasiosos.

III. Os supervits sero fantasiosos.

Para que o argumento seja vlido, a concluso deve ser:

a) A crise econmica no demorar a ser superada.b) As metas de inflao so irreais ou os supervits sero fantasiosos.c) As metas de inflao so irreais e os supervits so fantasiosos.d) Os supervits econmicos sero fantasiosos.e) As metas de inflao no so irreais e a crise econmica no demorar a ser

superada.

Soluo:

Devemos considerar as premissas como verdadeiras e tentar descobrir o valor lgico de cada uma das proposies.

Passo 1: Do portugus para os smbolos lgicos:

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Passo 2: Considere as premissas como verdade.

PREMISSA 1 PREMISSA 2 PREMISSA 3

VERDADE VERDADE VERDADE

~ P~Q P~ R R

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3

possibilidades distintas que tornam o condicional

verdadeiro.

No possvel determinar o valor lgico de P e Q, j que existem 3

possibilidades distintas que tornam o condicional

verdadeiro.

CONCLUSO: R = V

Passo 3: Substitui a premissa 3 em 2 e analise.

Como na premissa 3 vimos que R V logo ~R = F.

Como P uma proposio, o mesmo pode ser F ou V. Vamos testar:

P R

F F

V F

P R

F V F

V F F

Como a premissa 2 verdade e caso a proposio P tenha valor V, teremos uma premissa falsa. Logo chegamos concluso que P = F.

Passo 3: Substitui a premissa 2 em 1 e analise.

Como na premissa 2 vimos que P F, logo ~P = V.

Como Q uma proposio, o mesmo pode ser F ou V.

Analisando o condicional, temos:

P Q

V V V

V F F

Logo ~Q = V, assim Q = F

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Passo 4: Traduzir as concluses para o portugus.

Premissa 1: P = F

as metas de inflao no so reais.

Premissa 2: Q = F

crise econmica no demorar a ser superada.

Concluso: Alternativa A

Conetivos ocultos

Nem sempre as proposies sero apresentadas de forma tradicional e usual, logo necessrio tomar cuidado com as maneiras como a Cespe pode declarar determinados conetivos, conforme a tabela abaixo:

Conetivos Lgicos Como pode aparecer

Conjuno (p e q)p, mas qp , q (Vrgula, desde que d uma ideia de contradio)Tanto p, como q

Condicional (p q)

Quando p, qq, se p

OBS.: Sempre que der a ideia de causa x consequncia, temos uma condicional.

NEGAO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposies compostas. Para isso, devemos considerar que:

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar quela utilizada em lgebra na Matemtica.

NEGAO DE UMA DISJUNO

Negar uma sentena composta apenas escrever quando essa sentena assume o valor lgico de falso, lembrando as nossas tabelas verdade construdas anteriormente.

Para uma disjuno ser falsa (negao), a primeira e a segunda proposio precisam ser falsas, conforme a tabela verdade a seguir, hiptese 4:

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p q P v Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F

Assim, conclumos que, para negar uma sentena do tipo P v Q, basta negar a primeira (falso) E negar a segunda (falso), logo a negao da disjuno (ou) uma conjuno (e).

Exemplo 1:

1) Estudo ou trabalho.

p = estudo.

q = trabalho.

p q

Conectivo = v

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

~ p q( ) = ~ p ~ qNo estudo e no trabalho.

Para negar uma proposio composta por uma disjuno, ns negamos a primeira proposio, negamos a segunda e trocamos ou por e.

Exemplo 2:

No estudo ou sou aprovado.

p = estudo

q = sou aprovado

~p = no estudo

~ p q

Conectivo: v

Vamos agora negar essa proposio composta por uma disjuno.

~ ~ p q( ) = p ~ qLembrando que negar uma negao uma afirmao; trocamos ou por e e negamos a afirmativa.

Estudo e no sou aprovado.

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NEGAO DE UMA CONJUNO

Vimos no captulo de negao simples que a negao de uma negao uma afirmao, ou seja, quando negamos duas vezes uma mesma sentena, encontramos uma equivalncia.

Vimos que a negao da disjuno uma conjuno, logo a negao da conjuno ser uma disjuno.

Para negar uma proposio composta por uma conjuno, ns devemos negar a primeira proposio e depois negar a segunda e trocarmos e por ou.

Exemplo 1:Vou praia e no sou apanhado.

p = Vou praia.

q = No sou apanhado

p ~ q

Conectivo =

Vamos agora negar essa proposio composta por uma conjuno.

~ p ~ q( ) = ~ p qNo vou praia ou sou aprovado.

PARA GABARITARVejamos abaixo mais exemplos de negaes de conjuno e disjuno:

~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q)

~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)

NEGAO DE UMA CONDICIONAL

Conforme citamos anteriormente, negar uma proposio composta escrever a(s) linha(s) em que a tabela verdade tem como resultado falso.

Sabemos que uma condicional s ser falsa quando a primeira proposio for verdadeira e a segunda for falsa.

Assim, para negarmos uma sentena composta com condicional, basta repetirmos a primeira proposio (primeira verdadeira), substiturmos o conetivo se...ento por e e negarmos a segunda proposio (segunda falsa).

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Vejamos um exemplo:

1) Se bebo, ento sou feliz.

p = bebo.

q = sou feliz.

p q

Conectivo =

Negao de uma condicional.

~ p q( ) = p ~ qResposta: Bebo e no sou feliz.

Exemplo 2: Se no estudo, ento no sou aprovado.

p = estudo.

~p = no estudo.

q = sou aprovado.

~q = no sou aprovado.

~ p ~ q

Conectivo =

Negando: ~ ~ p~ q( ) = ~ p qResposta: No estudo e sou aprovado.

Exemplo 3: Se estudo, ento sou aprovado ou o curso no ruim.

p = estudo.

q = sou aprovado.

r = curso ruim.

~r = curso no ruim.

p q ~ r

Negando, ~ p q ~ r( )Negamos a condicional, mantemos a primeira e, negamos a segunda proposio, como a segunda proposio uma disjuno, negamos a disjuno, usando suas regras (negar as duas proposies trocando ou por e).

~ p q ~ r( ) = p ~ q ~ r( ) = p ~ q rEstudo e no sou aprovado e o curso ruim.

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NEGAO DE UMA BICONDICIONAL

Negar uma bicondicional negar duas condicionais, ida e volta. Temos, ento, que negar uma conjuno composta por duas condicionais. Negamos a primeira condicional ou negamos a segunda, usando a regra da condicional em cada uma delas.

Exemplo 1:

Estudo se e somente se no vou praia.

p = estudo.

q = vou praia.

~q = no vou praia.

p~ q = p~ q ~ q p

Conectivo =

Uma bicondicional so duas condicionais, ida e volta.

Negando,

~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q( ) =~ p~ q ~ q p =~ p~ q ~ ~ q p =

p q ~ q ~ p.

Estudo e vou praia ou no vou praia e no estudo.

PARA GABARITAR

~ =

~ =

~ p q = p ~ q

~ p q =~ p q ~ q p

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QUESTO COMENTADA(ESAF Fiscal Trabalho 98) A negao da afirmao condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" :

a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva.e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

Passo 1: Traduzir do texto para smbolos lgicos.

o P = Estar chovendo

o Q = Levar guarda-chuva

o Conetivo: Se... Ento ()

PQ

Passo 2: Aplicar as propriedades de negao. Nesse caso, repetir a primeira proposio E negar a segunda.

~ (PQ) = P ~Q

Passo 3: Traduzir o resultado encontrado para texto novamente.

Est chovendo e no levo o guarda-chuva.

Soluo: Alternativa E

EQUIVALNCIA DE PROPOSIES

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas verdade so idnticos.

Equivalncia de uma conjuno e uma disjuno.

Exemplo.

1) No vou praia e vou estudar.

p = Vou praia

~p = No vou praia

~ p q

q = vou estudar

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Vamos negar essa proposio.

~ ~ p q = p ~ q

Negaremos agora a negao da proposio.

~ p ~ q =~ p q

Voltamos para a proposio inicial, ou seja, numa conjuno, negar uma negao resulta numa equivalncia.

Essa equivalncia tambm vale para a disjuno.

~ p q =~ p ~ q

~ ~ p ~ q = p q

EQUIVALNCIA DE UMA CONDICIONAL

Vamos descobrir qual a sentena equivalente a uma condicional utilizando o mesmo mtodo anterior, negando duas vezes a mesma sentena.

Exemplo: Se estudo sozinho, ento sou autodidata.

Simbolizando temos:

p = estudo sozinho.

p = sou autodidata.

p q

conectivo =

Simbolicamente: p q

Vamos negar, ~ p q = p ~ q

Agora vamos negar a negao para encontrarmos uma equivalncia.

Negamos a negao da condicional p q = pq

Soluo: No estudo sozinho ou sou autodidata.

Mas ser mesmo que estas proposies, p q e ~p v q so mesmo equivalentes? Veremos atravs da tabela verdade.

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p Q ~p p q ~ p v q

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

Perceba, na tabela verdade, que pq e ~p v q tm o mesmo valor lgico. Assim, essas duas proposies so equivalentes.

Exemplo 2: Vamos encontrar uma proposio equivalente sentena Se sou gremista ento no sou feliz.

p = Sou gremista.

q = Sou feliz.

~q = No sou feliz.

p ~ q

Negao: ~ p~ q = p q

Sou gremista e sou feliz.

Equivalncia: negao da negao.

~ p~ q = p q

~ p q =~ p ~ q

Logo, no sou gremista ou no sou feliz uma sentena equivalente.

Exemplo 3: Agora procuramos uma sentena equivalente a Canto ou no estudo.

c = Canto.

e = Estudo.

~e = No estudo.

c ~ e

Negao: ~ c ~ e =~ c e

Equivalncia: Negar a negao: ~ ~ c e = c ~ e

Voltamos para a mesma proposio, tem algo errado, teremos que buscar alternativa. Vamos l:

Vamos para a regra de equivalncia de uma condicional.

p q ~ p q = , podemos mudar a ordem da igualdade.

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~ p q = p q

Veja que o valor lgico de p mudou e q continuou com o mesmo valor lgico.

Usando essa regra, vamos transformar a proposio inicial composta de uma disjuno em uma condicional.

c ~ e = p q

Para chegar condicional, mudamos o valor lgico de p,

Troco ou por se...ento e mantenho o valor lgico de q, ficando:

Se no canto, ento no estudo.

Exemplo 4: Estudo ou no sou aprovado. Qual a sentena equivalente?

e = Estudo.

a = Sou aprovado.

~a = No sou aprovado.

e ~ a

Dica: quando for ou a equivalncia sempre ser se...ento.

Assim, temos que transformar ou em se...ento. Mas como?

p q = ~ p q (equivalentes), vamos inverter.

~ p q = p q

Inverte o primeiro e mantm o segundo, trocando ou por se...ento, transferimos isso para nossa proposio.

e ~ a =~ e~ a

Trocamos e por ~e, mantemos ~a e trocamos "v"por " ".

Logo, se no estudo ento no sou aprovado.

No podemos esquecer que ou comutativo, assim, a opo de resposta pode estar trocada. Atente, ento, para isso: ao invs de e a pode ser ae , assim, a resposta ficaria:

Se sou aprovado, ento estudo.

Quaisquer das respostas estaro certas, ento muita ateno!

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CONTRAPOSITIVA

Utilizamos como exemplo a sentena abaixo:

Se estudo lgica, ento sou aprovado.

p = Estudo lgica.

q = Sou aprovado.

p q

Vamos primeiro negar essa sentena:

~ (p q) =p ~ q

Lembrando da tabela verdade da conjuno e, notamos que ela comutativa, ou seja, se alterarmos a ordem das premissas, o valor lgico da sentena no ser alterado. Assim, vamos reescrever a sentena encontrada na negao, alterando o valor lgico das proposies.

p ~ q =~ q p

Agora vamos negar mais uma vez para encontrar uma equivalncia da primeira proposio.

~ (~ q p) q ~ p

Agora vamos utilizar a regra de equivalncia que aprendemos anteriormente.

Regra:p q~ p q

Em nosso exemplo temos :q ~ p~ q~ p

Logo encontramos uma outra equivalncia para a nossa sentena inicial.

Esta outra equivalncia chamamos de contrapositiva e muito fcil de encontrar, basta comutar as proposies (trocar a ordem) e negar ambas.

p q =~ q~ p

Exemplo 2: Encontrar a contrapositiva (equivalente) da proposio Se estudo muito, ento minha cabea di

p = Estudo muito.

q = Minha cabea di.

p q

Encontramos a contrapositiva, invertendo e negando ambas proposies.

p q =~ q~ p

Logo, temos que: Se minha cabea no di, ento no estudo muito.

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PARA GABARITAR

EQUIVALNCIA 1: p q =~ p q

EQUIVALNCIA 2: p q =~ q~ p (contrapositiva)

Como saber qual das duas regras devemos utilizar na hora da prova? Note que a equivalncia 1 transforma uma condicional se ento em uma disjuno ou, enquanto a equivalncia dois transforma uma condicional em outra condicional. Assim, apenas olhando as resposta, na maioria das questes, ser possvel identificar qual das duas regras devemos utilizar.

QUESTO COMENTADA

(ESAF Fiscal Trabalho 98) Dizer que "Pedro no pedreiro ou Paulo paulista" , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista.b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro.c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista.d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista.e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista.

Soluo:

Observe que temos uma disjuno, logo a regra que devemos utilizar aquela que transforma uma disjuno em uma condicional.

p q =~ p q

Simbolizando a sentena dada na questo, temos:

~p = Pedro no pedreiro.

q = Paulo paulista.

~ p q

Conetivo: v

Utilizando a nossa regra de equivalncia, temos:~ p q p q

Logo, conclumos que:

Se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista. Alternativa A.

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TAUTOLOGIA

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser considerada uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo:

Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso.

Vamos chamar a primeira proposio de p, a segunda de ~p e o conetivo de v.Assim podemos representar a sentena acima da seguinte forma: p v ~p

Agora, vamos construir as hipteses:

H1:

p: Grmio cai para segunda diviso.~p: Grmio no cai para segunda diviso.

H2:

p: Grmio no cai para segunda diviso.~p: Grmio cai para segunda diviso.

p ~p p v ~p

H1 V F V

H2 F V V

Como os valores lgicos encontrados foram todos verdadeiros, logo temos uma TAUTOLOGIA!

Exemplo 2: verificamos se a sentena abaixo uma tautologia:

Se Joo alto, ento Joo alto ou Guilherme gordo.

p = Joo alto.

q = Guilherme gordo.

p p q

Agora, vamos construir a tabela verdade da sentena acima:

p q p v q p p v q

H1 V F V V

H2 F V V V

H3 F V V V

H4 F F F V

Como para todas as combinaes possveis, sempre o valor lgico da sentena ser verdadeiro, logo temos uma tautologia.

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CONTRADIO

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies p, q, r, ... que a compem.

Exemplo: Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil.

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^.

Assim, podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p

p ~p p ^ ~p

H1 V F F

H2 F V F

Logo, temos uma CONTRADIO!

PARA GABARITAR

Sempre Verdadeiro = Tautologia

Sempre Falso = Contradio

DIAGRAMA LGICO

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra proposio final, que ser consequncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: todo, algum, nenhum ou outros similares.

Um argumento vlido tem obrigatoriamente a concluso como consequncia das premissas. Assim, quando um argumento vlido, a conjuno das premissas verdadeiras implica logicamente a concluso.

Exemplo: Considere o silogismo abaixo:

1. Todo aluno da Casa do Concurseiro aprovado.

2. Algum aprovado funcionrio da defensoria.

Concluso:

Existem alunos da Casa que so funcionrios da defensoria.

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Para concluirmos se um silogismo verdadeiro ou no, devemos construir conjuntos com as premissas dadas. Para isso, devemos considerar todos os casos possveis, limitando a escrever apenas o que a proposio afirma.

Pelo exemplo acima, vimos que nem sempre a concluso verdadeira. Veja que, quando ele afirma que existem alunos da Casa que so funcionrios da defensoria, ele est dizendo que sempre isso vai acontecer, mas vimos por esse diagrama que nem sempre acontece.

Funcionrio da Defensoria

Alunos aprovados

Aluno da casa

Nesse diagrama, isso acontece, mas pelo dito na concluso, sempre vai existir, e vimos que no, logo a concluso falsa.

No mesmo exemplo, se a concluso fosse:

Existem funcionrios da defensoria que no so alunos da Casa.

Qualquer diagrama que fizermos (de acordo com as premissas), essa concluso ser verdadeira, tanto no diagrama 1 quanto no diagrama 2 sempre vai ter algum de fora do desenho.

Logo, teramos um silogismo!

Silogismo uma palavra cujo significado o de clculo. Etimologicamente, silogismo significa reunir com o pensamento e foi empregado pela primeira vez por Plato (429-348 a.C.). Aqui o sentido adotado o de um raciocnio no qual, a partir de proposies iniciais, conclui-se uma proposio final. Aristteles (384-346 a.C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma concluso.

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ALGUM

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso algum.

So considerados sinnimos de algum as expresses: existe(m), h pelo menos um ou qualquer outra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

A B

Concluses:

Existem elementos em A que so B.

Existem elementos em B que so A.

Existem elementos A que no so B.

Existem elementos B que no esto em A.

NENHUM

Vejamos agora as premissas que contm a expresso nenhum ou outro termo equivalente.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

A B

Concluses:

Nenhum A B.

Nenhum B A.

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TODO

Vamos representar graficamente as premissas que contenham a expresso todo.

Pode ser utilizado como sinnimo de todo a expresso qualquer um ou outra similar.

Analise o desenho abaixo, que representa o conjunto dos A e B. O que podemos inferir a partir do desenho?

A

B

Concluso:

Todo A B.

Alguns elementos de B so A ou existem B que so A.

PARA GABARITAR

Como vou reconhecer um problema onde tenho que usar conjuntos?

Quando, na questo, existirem expresses como todo, algum, nenhum ou outras similares, usaremos o mtodo dos conjuntos para solucionar a questo.

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QUESTO COMENTADA

(FCC TCE-SP 2010) Considere as seguintes afirmaes:

I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

Se as duas afirmaes so verdadeiras, ento correto afirmar que:

a) Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

b) Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.c) Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento

ele escriturrio.d) Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do

Estado de So Paulo.e) Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no

ter noes de Matemtica.

Resoluo:

Primeiramente, vamos representar a primeira premissa.

I. Todo escriturrio deve ter noes de Matemtica.

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II. Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo so escriturrios.

Vejamos uma hiptese para a segunda premissa.

Vamos considerar agora a possibilidade de todos os funcionrios terem noes de Matemtica. Ficamos agora com duas possibilidades distintas.

Analisamos, agora, as alternativas:

Alternativa A: Todo funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo deve ter noes de Matemtica.

Soluo:

Observe que o nosso smbolo representa um funcionrio do TCE que no possui noo de Matemtica. Logo, a concluso precipitada.

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Alternativa B: Se Joaquim tem noes de Matemtica, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que possui noo de Matemtica, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

Alternativa C: Se Joaquim funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo, ento ele escriturrio.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que funcionrio do TCE, porm no escriturrio, logo a concluso precipitada e est errada.

Alternativa D: Se Joaquim escriturrio, ento ele funcionrio do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo.

Soluo:

O ponto em destaque representa algum que escriturrio, porm no funcionrio do TCE, logo a concluso precipitada e essa alternativa est errada.

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Alternativa E: Alguns funcionrios do Tribunal de Contas do Estado de So Paulo podem no ter noes de Matemtica.

Soluo:

O ponto em destaque representa um funcionrio do TCE que no tem noo de matemtica, como a questo afirma que podem, logo est correta.

NEGAO DE TODO, ALGUM E NENHUM.

As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

Como negamos estas Proposies:

Exemplos:

1) Toda mulher friorenta.

Negao: Alguma mulher no friorenta.

2) Algum aluno da casa ser aprovado.

Negao: Nenhum aluno da Casa vai ser aprovado.

3) Nenhum gremista campeo.

Negao: Pelo menos um gremista campeo.

4) Todos os estudantes no trabalham.

Negao: Algum estudante trabalha.

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PARA GABARITAR

NENHUM ALGUM

negao

negao

Cuide os sinnimos, como por exemplo, existem, algum, etc.

TODOS Algum no

negao

negao

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Questes CESPE

CESPE 2015 TRT-ES Superior

Considerando a proposio P: Se nesse jogo no h juiz, no h jogada fora da lei, julgue os itens seguintes, acerca da lgica sentencial.

1. A negao da proposio P pode ser expres-sa por Se nesse jogo h juiz, ento h joga-da fora da lei.

()Certo()Errado

2. A proposio P equivalente a Se h joga-da fora da lei, ento nesse jogo h juiz.

()Certo()Errado

3. A proposio P equivalente a Nesse jogo h juiz ou no h jogada fora da lei.

()Certo()Errado

CESPE 2013 STF Superior

Julgue os itens seguintes, relativos lgica proposicional.

4. A sentena um ensino dedicado forma-o de tcnicos negligencia a formao de cientistas constitui uma proposio sim-ples.

()Certo()Errado

5. A sentena A indicao de juzes para o STF deve ser consequncia de um currculo que demonstre excelncia e grande experincia na magistratura pode ser corretamente representada na forma PQ, em que P e

Q sejam proposies simples conveniente-mente escolhidas.

()Certo()Errado

Mara, Jlia e Lina so assessoras em um tribunal. Uma delas ocupa a funo de ce-rimonialista, outra, de assessora de assun-tos internacionais e a outra, de analista pro-cessual. Uma dessas assessoras ocupa a sua funo h exatos 11 anos, outra, h exatos 13 anos, e a outra, h exatos 20 anos. Sabe--se, ainda, que:

Mara no a cerimonialista e no a assessora que exerce a funo h exa-tos 11 anos;

a analista processual ocupa a funo h exatos 20 anos;

Jlia no a assessora de assuntos in-ternacionais nem a assessora que ocupa a funo h exatos 13 anos;

Lina ocupa a funo h exatos 13 anos.

Com base nessa situao hipottica, julgue os itens subsequentes.

6. A assessora de assuntos internacionais ocu-pa a funo h exatos 11 anos.

()Certo()Errado

7. Lina a cerimonialista.

()Certo()Errado

8. Mara a assessora que ocupa essa funo h mais tempo.

()Certo()Errado

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CESPE 2015 MEC Superior

P Q R V V V F V V V F V F F V V V F F V F V F F F F F

A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R re-presentam proposies lgicas, e V e F cor-respondem, respectivamente, aos valores lgicos verdadeiro e falso.

Com base nessas informaes e utilizando os conectivos lgicos usuais, julgue os itens subsecutivos.

9. A ltima coluna da tabela-verdade referen-te proposio lgica P (Q R) quando representada na posio horizontal igual a

P (Q R) V V V F V F V V

()Certo()Errado

10. A ltima coluna da tabela-verdade referen-te proposio lgica P (QR) quando representada na posio horizontal igual a

P (Q R) V V F F V F V V

()Certo()Errado

CESPE 2015 STJ Mdio

Mariana uma estudante que tem grande apreo pela matemtica, apesar de achar essa uma rea muito difcil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Maria-na aprovada nas disciplinas de matemti-ca que cursa na faculdade. Neste semestre, Mariana est cursando a disciplina chama-da Introduo Matemtica Aplicada. No entanto, ela no tem tempo suficiente para estudar e no ser aprovada nessa discipli-na. A partir das informaes apresentadas nessa situao hipottica, julgue os itens a seguir, acerca das estruturas lgicas.

11. Considerando-se como p a proposio Ma-riana acha a matemtica uma rea muito difcil de valor lgico verdadeiro e como q a proposio Mariana tem grande apreo pela matemtica de valor lgico falso, en-to o valor lgico de pq falso.

()Certo()Errado

12. Considerando-se as seguintes proposies: p: Se Mariana aprende o contedo de Cl-culo 1, ento ela aprende o contedo de Qumica Geral; q: Se Mariana aprende o contedo de Qumica Geral, ento ela aprovada em Qumica Geral; c: Mariana foi aprovada em Qumica Geral, correto afirmar que o argumento formado pelas premissas p e q e pela concluso c um ar-gumento vlido.

()Certo()Errado

13. Designando por p e q as proposies Ma-riana tem tempo suficiente para estudar e Mariana ser aprovada nessa disciplina, respectivamente, ento a proposio Ma-riana no tem tempo suficiente para estu-dar e no ser aprovada nesta disciplina equivalente a pq .

()Certo()Errado

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CESPE 2015 MPOG Superior

Considerando a proposio P: Se Joo se esforar o bastante, ento Joo conseguir o que desejar, julgue os itens a seguir.

14. A proposio Joo no se esfora o bastan-te ou Joo conseguir o que desejar logi-camente equivalente proposio P.

()Certo()Errado

15. A proposio Se Joo no conseguiu o que desejava, ento Joo no se esforou o bas-tante logicamente equivalente proposi-o P.

()Certo()Errado

16. Se a proposio Joo desejava ir Lua, mas no conseguiu for verdadeira, ento a pro-posio P ser necessariamente falsa.

()Certo()Errado

A partir dos argumentos apresentados pelo personagem Calvin na tirinha acima mostrada, jul-gue o seguinte item.

17. Considere que o argumento enunciado por Calvin na tirinha seja representado na forma: P: Se for ignorante, serei feliz; Q: Se assistir aula, no serei ignorante; R: Serei feliz; S: Logo, no assistirei aula, em que P, Q e R sejam as premissas e S seja a concluso, correto afirmar que essa representao constitui um argumento vlido.

()Certo()Errado

CESPE 2015 TRE-GO Mdio

Considere as proposies P e Q apresenta-das a seguir.

P: Se H for um tringulo retngulo em que a medida da hipotenusa seja igual a c e os catetos meam a e b, ento c2 = a2 + b2.Q: Se L for um nmero natural divisvel por 3 e por 5, ento L ser divisvel por 15.

Tendo como referncia as proposies P e Q, julgue os itens que se seguem, acerca de lgica proposicional.

18. Se L for um nmero natural e se U, V e W forem as seguintes proposies:

U: L divisvel por 3; V: L divisvel por 5; W: L divisvel por 15;ento a proposio Q , a negao de Q, poder ser corretamente expressa por UV (W) .

()Certo()Errado

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19. A proposio P ser equivalente proposi-o (R)S , desde que R e S sejam propo-sies convenientemente escolhidas

()Certo()Errado

20. A veracidade da proposio P implica que a proposio Se a, b e c so as me-didas dos lados de um tringulo T, com 0 < a b c e c2 a2 + b2 , ento T no um tringulo retngulo falsa.

()Certo()Errado

21. A respeito de lgica proposicional, julgue o item subsequente.

Se P, Q e R forem proposies simples e se T for a proposio composta falsa P (Q) R , ento, necessariamente, P,

Q e R sero proposies verdadeiras.

()Certo()Errado

22. A respeito de lgica proposicional, julgue o item subsequente.

A proposio Quando um indivduo con-some lcool ou tabaco em excesso ao lon-go da vida, sua probabilidade de infarto do miocrdio aumenta em 40% pode ser cor-retamente escrita na forma (PQ)R , em que P, Q e R sejam proposies conveniente-mente escolhidas.

()Certo()Errado

CESPE 2008 SEBRAE-BA Mdio

Uma proposio uma declarao que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F), mas no cabem ambos os julgamentos para a mesma proposio. usual representar proposies simples por letras maisculas do alfabeto, como A, B, C etc. As proposi-es compostas so construdas a partir da conexo de proposies.

Uma proposio na forma AB com-posta, sendo lida como A ou B e avaliada como F quando A e B so ambas F, e, nos demais casos, V; uma proposio na forma AB composta, sendo lida como A e B e avaliada como V quando A e B so ambas V, e, nos demais casos, F.

Uma proposio na forma A a negao de A, sendo, portanto, V quando A F, e F quando A V, e uma proposio compos-ta. Parnteses podem ser usados para agru-par as proposies e evitar ambiguidades.

Tendo como referncia as informaes apre-sentadas acima, julgue os prximos itens.

23. As proposies na forma (AB) tm exa-tamente trs valores lgicos V, para todos os possveis valores lgicos de A e B.

()Certo()Errado

24. Se A for considerada uma proposio F e B for considerada uma proposio V, ento a proposio BA F.

()Certo()Errado

25. Considerando-se que A e B sejam propo-sies ambas V ou sejam ambas F, ento a proposio (A)B( ) ser F.()Certo()Errado

26. Proposies na forma ((A (BC))) (A (BC)) tm somente valores lgicos V, para quaisquer que sejam os valores lgicos de A, B e C.

()Certo()Errado

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27. Se A for a proposio Joaquim agricultor, e B, a proposio Marieta empresria, en-to a sentena verbal correspondente pro-posio B (A) ser Marieta empresria e Joaquim no agricultor.

()Certo()Errado

28. Se a proposio Alguns administradores so especialistas em recursos humanos for considerada V, ento a proposio Alguns especialistas em recursos humanos so ad-ministradores tambm ser V.

()Certo()Errado

29. Considere as proposies a seguir.

A: Todo marciano pssimo jogador de fu-tebol.B: Pel marciano.

Nessa hiptese, a proposio Pel pssi-mo jogador de futebol F.

()Certo()Errado

30. Se a proposio Joo tem planos de inves-tir em agronegcio ou em uma indstria de confeces for considerada F, ento a pro-posio Joo no tem planos de investir em agronegcio mas tem planos de investir em uma indstria de confeces ser V.

()Certo()Errado

CESPE 2008 SEBRAE - Superior

Com relao lgica formal, julgue os itens subsequentes.

31. Toda proposio lgica pode assumir no m-nimo dois valores lgicos.

()Certo()Errado

32. A negao da proposio 2 + 5 = 9 a pro-posio 2 + 5 = 7.

()Certo()Errado

33. A proposio Ningum ensina a ningum um exemplo de sentena aberta.

()Certo()Errado

34. A proposio Joo viajou para Paris e Ro-berto viajou para Roma um exemplo de proposio formada por duas proposies simples relacionadas por um conectivo de conjuno.

()Certo()Errado

35. A negao da proposio Ningum aqui brasiliense a proposio Todos aqui so brasilienses.

()Certo()Errado

Os conectivos e, ou, no e o condicional se ... ento so, simbolicamente, representa-dos por ,, e , respectivamente. As letras maisculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposies. As indicaes V e F so usadas para valores lgicos verdadeiro e falso, respectivamente, das proposies. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.

36. A proposio Tanto Joo no norte-ame-ricano como Lucas no brasileiro, se Alber-to francs poderia ser representada por uma expresso do tipo P [(Q) (R)] .

()Certo()Errado

37. A proposio (PQ) equivalente pro-posio (P) (Q) .

()Certo()Errado

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38. A proposio [(PQ) (QR)] (PR) uma tautologia.

()Certo()Errado

39. Considere o quadro abaixo, que contm al-gumas colunas da tabela verdade da propo-sio P [QR] .

P Q R P [QR]

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F V

Nesse caso, pode-se afirmar que a ltima coluna foi preenchida de forma totalmente correta.

()Certo()Errado

Proposies simples so simbolizadas por letras maisculas, e as proposies com-postas so construdas com o uso de conec-tivos. Uma proposio composta, da forma AB , lida como A e B e avaliada como V quando A e B so ambas V, e, nos demais casos, F, uma proposio composta, da forma AB , lida como se A, ento B e avaliada como F quando A V e B F, e, nos demais casos, V. Uma proposio com-posta, da forma A, a negao de A e V quando A F, e F quando A V. Parnteses podem ser usados para agrupar as proposi-es e evitar ambiguidades.

A partir dessas definies, julgue os itens a seguir.

40. A proposio O SEBRAE facilita e orienta o acesso a servios financeiros uma propo-sio simples.

()Certo()Errado

41. Considerando que as proposies Seu che-fe lhe passa uma ordem e Voc no aceita a ordem sem question-la sejam V, a pro-posio Se seu chefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem sem question--la julgada como F.

()Certo()Errado

42. A proposio simblica (AB) ((A (B))) sempre julgada como V, independentemen-te de A e B serem V ou F.

()Certo()Errado

43. Se A, B e C so proposies simples, ento existem exatamente duas possibilidades para que a proposio (AB)C seja ava-liada como V.

()Certo()Errado

44. Se as proposies Se um arteso recebe o prmio SEBRAE TOP 100 de Artesanato, en-to ele fica feliz e Se um arteso recebe o prmio SEBRAE TOP 100 de Artesanato, en-to ele produz mais forem avaliadas como V, a proposio Se um arteso fica feliz, en-to ele produz mais tambm ser avaliada como V.

()Certo()Errado

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CESPE 2015 FUB Mdio

Uma parte considervel do jogo de pquer est relacionada s estratgias dos jogado-res, seja para no mostrar nenhuma emo-o, seja para mostrar reaes que levem o seu adversrio a cometer algum erro. Assim, considere que Pedro, Joo e Jos estejam jo-gando em uma mesa de pquer fechado e que cada um deles tenha na mo um jogo de cinco cartas da seguinte forma: um deles possui uma quadra, outro possui um par e o outro no tem nenhum tipo de sequncia significativa. Por meio das reaes dos joga-dores, percebe-se que: um deles tem a in-teno de desistir da jogada, outro tem a in-teno de continuar a jogada e o outro tem a inteno de blefar.

Sabe-se, ainda, que:

Joo no blefa e no tem o pior jogo; o jogador que tem a inteno de con-

tinuar tem na mo um jogo que forma um par;

Pedro no tem a inteno de desistir; o jogador que blefa tem o jogo formado

pela quadra.

Com base nessa situao hipottica, julgue os itens subsequentes.

45. Joo tem a inteno de continuar a jogada e, alm disso, possui um par.

()Certo()Errado

46. Pedro o jogador que possui o pior jogo.

()Certo()Errado

47. Se um jogador for escolhido ao acaso, sem que haja qualquer tipo de informao sobre a sua inteno ou sobre seu jogo, ento a quantidade de possveis combinaes dos jogos e intenes que poderiam ser forma-dos para ele superior a 20.

()Certo()Errado

Gabarito:1. E2. C3. C4. C5. C6. C7. C8. E9. C10. E11. E12. E13. C14. C15. C16. E 17. E18. C19. C20. E21. E22. C23. C24. C25. E26. C27. E28. C29. E30. E31. E32. E 33. E34. C35. E36. C37. C38. C39. C40. E41. C42. C43. E44. E45. C46. E47. E