Universidade do Estado do Pará

Centro de Ciências Sociais e Educação

Departamento de Matemática, Estatística e Informática

Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

Linha de Pesquisa: Metodologia para Ensino de

Matemática no Nível Fundamental

RAMON GABRIEL SANTOS DE BRITO

ENSINO DE PROBLEMAS DO SEGUNDO

GRAU COM UMA VARIÁVEL

BELÉM/PA 2019

Ramon Gabriel Santos de Brito

Ensino de problemas do segundo grau com uma variável

Dissertação apresentada como requisito para obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Universidade do Estado do Pará. Linha de Pesquisa: Metodologia para Ensino de Matemática no Nível Fundamental. Orientadora: Profª. Drª. Cinthia Cunha Maradei Pereira.

BELÉM/PA 2019

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA

Brito, Ramon Gabriel Santos de

Ensino de problemas do segundo grau com uma variável /Ramon

Gabriel Santos de Brito; orientação de Cinthia Cunha Maradei Pereira,

2019.

Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)

Universidade do Estado do Pará, Belém, 2019.

1.Ensino por atividades 2. Matemática - Estudo e ensino – Barcarena

(PA) . 3. Matemática – Métodos de ensino I. Pereira, Cinthia Cunha

Maradei (orient.). II. Título.

CDD. 23º ed.510.76

Bibliotecária: Regina Ribeiro CRB-2 739

Dedicatória

Dedico este trabalho à Deus, por ter me guiado no caminho da perseverança, à minha família, pai, mães, irmãos e a todos que sempre estiveram ao meu lado em todos os momentos decisivos de minha vida.

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo dom da vida e por me proporcionar saúde e paz, permitindo

realizar meus sonhos.

As minhas mães, Márcia e Esmeralda e ao meu pai Edilaelson, meus exemplos

de força e perseverança, que me direcionaram ao caminho do estudo, mostrando a

importância da educação.

Aos meus irmãos e amigos, pelo companheirismo e incentivos nos momentos

de dificuldades. Em especial aos colegas da turma 2017 de Mestrado em Ensino de

Matemática, por contribuírem com a troca de experiencias e compartilhamento de

momentos de descontração no “anexo” da UEPA.

Aos companheiros Renan, Rayssa Bessa, Maurício, Daniel, Renato e Airton,

pela parceria e paciência na jornada.

A Estela Márcia e Auricélia Bontá, pelo companheirismo e ajuda na construção

mais adequada das ideias da pesquisa e revisão ortográfica.

Em especial, a minha orientadora Dra. Cinthia Cunha Maradei Pereira pela

dedicação, confiança, apoio, serenidade, cuidado e orientação na construção da

pesquisa.

A parceria da Secretária Glads Serra, apoio e cuidado.

Aos professores do Programa de Mestrado Profissional em Ensino da

Matemática, por compartilharem seu vasto conhecimento.

Aos coordenadores, secretários e diretora da Escola Estadual Professora

Risalva Freitas do Amaral.

A todos que contribuíram direta e indiretamente com o desenvolvimento desta

dissertação.

Muito Obrigado!

Todo homem é o arquiteto de seu próprio destino.

Salústio

RESUMO

BRITO, Ramon Gabriel Santos de. O ensino de problemas do segundo grau com uma variável. Dissertação do Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2019.

Esta presente pesquisa teve uma resposta de resposta à seguinte questão: qual o potencial de uma sequência didática, com embasamento nas teorias da Engenharia Didática, no ensino de problemas do segundo grau com uma variável? e com objetivo de investigar os efeitos causados por esta sequência no processo de ensino e aprendizagem de problemas de 2º grau com uma variável. Adotamos como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática. E como recursos metodológicos de ensino: ensino de atividades e método de resolução de problemas da Polônia, com o uso de alguns recursos da Tecnologia de Informação e Comunicação para potencializar e agilizar a resolução de problemas; para análise e comprovação do aprendizado que foram utilizadas como teorias da Semiótica de Duval. A sequência didática elaborada neste trabalho ocorreu em quatro encontros e foi aplicada a uma turma do 9º ano do ensino fundamental II de uma escola pública localizada no município de Barcarena - PA. Após a análise posterior dos registros escritos, foi evidenciada a sequência de atividades elaboradas e aplicadas, o interesse, o entusiasmo e a capacidade dos alunos em resolver problemas que ocorrem nas equações polinomiais de grau dois, segundo a melhoria dos registros escritos dos alunos. Diante desse exposto, bem como os resultados qualitativos observados, podemos concluir qual o objetivo deste trabalho foi alcançado.

Palavras-chave: Problemas do 2° grau. Ensino de Matemática. Ensino por atividades. Semiótica.

ABSTRACT

BRITO, Ramon Gabriel Santos de. Teaching high school problems with a variable. Dissertation of the Professional Master's Program in Teaching Mathematics - University of Pará State, Belém, 2019.

This research answered the following question: what is the potential of a didactic sequence, based on Didactic Engineering theories, in teaching high school problems with one variable? and with the objective of investigating the effects caused by this sequence in the process of teaching and learning of second degree problems with one variable. We adopted as research methodology the Didactic Engineering. And as methodological teaching resources: teaching activities and problem solving method in Poland, using some resources of Information and Communication Technology to enhance and expedite problem solving; for analysis and proof of learning that were used as theories of Duval Semiotics. The didactic sequence elaborated in this work occurred in four meetings and was applied to a 9th grade elementary school class from a public school located in the city of Barcarena - PA. After further analysis of the written records, the sequence of elaborated and applied activities, students 'interest, enthusiasm, and ability to solve problems that occur in grade two polynomial equations were evidenced by improving students' written records. Given this, as well as the qualitative results observed, we can conclude what the objective of this work was achieved.

Keywords: Problems of the second degree. Mathematics teaching. Teaching by

activities. Semiotics.

Lista de Figuras

Figura 1 – Processos cognitivos importantes no ensino de matemática.................... 27

Figura 2 – Possíveis registros de representação de um objeto matemático.............. 29

Figura 3 – Diagrama – Metodológico – Equação do segundo grau............................ 37

Figura 4 – Questão proposta na S.D.......................................................................... 42

Figura 5 – Resolução da questão proposta................................................................ 42

Figura 6 – Justificativa da resolução........................................................................... 43

Figura 7 – Atividade base........................................................................................... 48

Figura 8 – Resolução do livro..................................................................................... 49

Figura 9 – Problema base.......................................................................................... 50

Figura 10 – Exemplo de cartas do baralho................................................................. 52

Figura 11 – Problema proposto.................................................................................. 53

Figura 12 – Imagem do estacionamento para moto e bicicleta.................................. 54

Figura 13 – Croqui do estacionamento para moto e bicicleta.................................... 55

Figura 14 – Aplicativo para determinar a função a partir de dois pontos................... 55

Figura 15 – Aplicação do questionário diagnóstico.................................................... 63

Figura 16 – Designer do aplicativo de tradução para linguagem matemática............ 87

Figura 17 – Telas para confirmação de acerto ou erro...............................................88

Figura 18 – Questão para identificar coeficientes e classificar a equação quadrática

(Aluno A1).................................................................................................................105

Figura 19 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 1 (Parte 1/2)...........................106

Figura 20 – Resposta para o cálculo do discriminante do aluno E5...........................107

Figura 21 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 1 (Parte 2/2).........................108

Figura 22 – Reprodução da tentativa de solução da questão 6 do aluno I9...... ........109

Figura 23 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 2 (parte 1/3).........................113

Figura 24 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 2 (parte 2/3).........................114

Figura 25 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 2 (parte 3/3)....... .................115

Figura 26 – Registro do aluno A1 na atividade 3 (parte 1/4).....................................117

Figura 27 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 2/4)...........................118

Figura 28 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 3/4)......................... 119

Figura 29 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 4/4) ....................... 120

Figura 30 – Registro escrito do aluno I9 na atividade 3 (4/4) questão 12.................121

Figura 31 – Registro escrito do aluno A1 na atividade 4......................................... 123

Figura 32 – Registro escrito dos alunos A1, I9 e K11 na atividade 4.......................124

Lista de Quadros

Quadro 1 – Classificação dos estudos e anos de publicações ....................................35

Quadro 2 - Relação entre Filosofias Pessoais de Matemática e a Interpretação de

Resolução de Problemas............................................................................................38

Quadro 3 – Comparativo de acertos ...........................................................................40

Quadro 4 – Classificação da exposição dos problemas .............................................78

Quadro 5 – Quadro explicativo das aulas da Sequência didática ...............................82

Quadro 6 – Codificação da identificação dos estudantes ....................................................101

Quadro 7 – Cronograma das aulas de ensino................................................................102

Quadro 8 – Diálogo professor/pesquisador – aluno durante primeira aula .......................104

Quadro 9 – Diálogo professor/pesquisador – aluno durante atividade 1...........................107

Quadro 10 - Diálogo professor/pesquisador – aluno durante atividade 2 ........................111

Lista de gráficos

Gráfico 1 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................65

Gráfico 2 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................65

Gráfico 3 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................66

Gráfico 4 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................67

Gráfico 5 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................68

Gráfico 6 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................68

Gráfico 7 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas. ..................................................................................................................69

Gráfico 8 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................70

Gráfico 9 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas....................................................................................................................71

Gráfico 10 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas ...................................................................................................................72

Gráfico 11 – Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas

ilustradas ...................................................................................................................72

Lista de siglas

ED Engenharia Didática

TIC Tecnologias da Informação e Comunicação

MM Modelagem Matemática

SD Sequência Didática

UEPA Universidade do Estado do Pará

PMPEM Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional Básica

PCN Parâmetros Curriculares Nacional

PCNEF Parâmetros Curriculares Nacional do Ensino Fundamental

BNCC Base Nacional Comum Curricular

SAEB Sistema de Avaliação da Educação Básica

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais

PISA Programa Internacional de Avaliação de Estudantes

OCDE Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO...................................................................................................15

2. TEORIAS UTILIZADAS NA PESQUISA ...........................................................21

2.1 Engenharia didática ........................................................................................ 21

2.2 Ensino por atividades ..................................................................................... 24

2.3 Semiótica ....................................................................................................... 26

3. ANÁLISES PRÉVIAS ...................................................................................... 31

3.1 Estudos sobre o ensino de problemas ............................................................ 31

3.1.1 Estudos teóricos ....................................................................................... 35

3.1.2 Estudos diagnósticos ................................................................................ 39

3.1.3 Estudos experimentais .............................................................................. 44

3.2 Caminhos do aprendizado: Currículo e Avaliação............................................56

3.2.1 Procedimentos de construção da pesquisa de campo............................... 61

3.2.2 Concepção dos discentes.......................................................................... 64

3.3 Aspectos Matemáticos................................................................................... 75

4. SEQUÊNCIA DIDÁTICA................................................................................... 80

4.1 Fundamentação teórica .................................................................................80

4.2 Sequência didática com a análise a priori das atividades ...............................83

5. EXPERIMENTAÇÃO, ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS .....................100

5.1 Caracterização da escola e dos sujeitos ........................................................100

5.1.1 A escola ...................................................................................................100

5.1.2 Os sujeitos da pesquisa ...........................................................................101

5.2 Primeiro dia de experimentação e análise......................................................103

5.3 Segundo dia de experimentação e análise.................................................... 110

5.4 Terceiro dia de experimentação e análise......................................................116

5.5 Quarto dia de experimentação e análise........................................................122

5.6 Considerações acerca da Experimentação .................................................. 125

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................... 127

REFERÊNCIAS .......................................................................................................130

APÊNDICE...............................................................................................................135

15

1. INTRODUÇÃO

Saber identificar e aplicar conteúdos matemáticos, que são estudados entre as

quatro paredes da escola, é uma das principais finalidades do ensino e aprendizado

das teorias abordadas no currículo educacional, destacando a importância do

educador como autor principal da construção de nossa sociedade, e fazendo com que

a instrução destes conteúdos precise do empenho máximo de nós professores,

mesmo que tenhamos apenas o mínimo de reconhecimento e incentivo. Segundo

Secco (2018) o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade

de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para

lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma de desenvolver

habilidades de pensamento.

É dessa forma que iremos desempenhar o papel de incentivadores do interesse

dos estudantes com o estudo, para que assim estes tomem a vanguarda do

desenvolvimento social atual e futuro, inserindo-os como cidadãos ativos, autônomos

e seguros em solucionar situações problemas.

Em contrapartida a importância do ensino e aprendizado nos deparamos com

dados alarmantes, destacados por investigações sobre o desempenho dos estudantes

na proficiência matemática. Segundo Tokarnia (2017) cerca de 7,3% dos alunos que

deixaram a escola em 2016 sabem somente o aceitável, índice este que foi ainda

menor em relação a 2013 que atingiu uma parcela de 9,3%, onde o esperado era que

40,6% dos alunos tivessem um aprendizado fundamental no término do ensino básico,

segundo dados divulgados pelo movimento Todos pela Educação.

Ainda sobre os pontos negativos da educação brasileira, vale ressaltar os altos

índices de reprovação e o abandono da vida estudantil, como destacado por Camilo

(2017) a taxa de reprovação do 6° ao 9º ano alcança 5,1% e no 9º especificamente, o

número absoluto é de 87.157 abandonos, correspondendo a 3,1% do total.

Estes índices foram estabelecidos levando em consideração os parâmetros do

Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB, aplicados aos 6º e 9º ano do

ensino fundamental e no último ano do ensino médio e se confirmam ao panorama

apresentado pelo relatório do Programa Internacional de Avaliação de Estudantes –

Pisa, segundo Martins (2016) onde foi constatado que 70% dos alunos brasileiros

16

entre 15 e 16 anos não alcançam sequer o nível básico em Matemática, ou seja,

resolver problemas simples ressalta-se que dentre 70 países pesquisados, o Brasil se

encontra em 65º no ranking estabelecido pela Organização para a Cooperação e

Desenvolvimento Econômico – OCDE, ficando à frente apenas de países como:

Macedônia, Tunísia, Kosovo, Argélia e República Dominicana. Essa análise mostra

que a linha educacional brasileira necessita de novos direcionamentos e que estejam

num rumo comum, com a finalidade da melhoraria do aprendizado.

Diante desta mazela enfrentada pela educação brasileira, não devemos medir

esforços para a produção e melhorias de metodologias que forneçam efeitos

benéficos ao aprendizado de nossos alunos e para isso, tomaremos a linha de Valero

(2009) em fazer valer as pesquisas direcionadas a prática da educação matemática,

campo de ensino e campo de prática da matemática, que são respectivamente:

análises, pesquisas e investigações sobre a prática, e esta por sua vez, as atividades

de interação entre professor e aluno. E ainda, para Graça (2011) a educação

matemática é uma área de pesquisa educacional, cujo objeto de estudo é a

compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino e à

aprendizagem da matemática, nos diversos níveis da escolaridade.

Posso atrelar estes dados e acontecidos educacionais ao construir de minha

carreira docente, aflorado de uma família de professores, na qual pude dar início na

EEEF Maria Hyluisa Pinto Ferreira localizada na cidade de Curuçá-PA, sendo minha

mãe a diretora desta. Anos depois ao mudar para cidade de Belém cursei a maior

parte do Ensino Fundamental no Colégio Madre Zarife Sales, onde pude desenvolver

o gosto pelos cálculos que facilitaram anseio em lecionar, pois com a facilidade que

tinha em assimilar os conteúdos, ajudava meus colegas de classe que apresentavam

dificuldades.

Nos anos finais do Ensino Médio, estudado no Colégio Universo, a dedicação

pelos cálculos se intensificou com o desejo de prestar vestibular para o curso de

engenharia, mas por uma análise de mercado de trabalho futuro, optei em prestar

vestibular e ser aprovado tanto para a Engenharia de Produção pela Universidade do

Estado do Pará-UEPA, quanto para Licenciatura em Matemática pela Universidade

Federal do Pará – UFPA. Todavia, ao prestar concurso para ser professor no estado

do Amapá, não hesitei em abandonar o curso de engenharia e seguir na carreira que

já havia me arrebatado, seja pelo gosto de resolver problemas ou pela dedicação em

ensinar.

17

Após dar início a carreira de professor no estado do Amapá no ano de 2014,

pude compreender as diversas vertentes da práxis educacional. Assim, almejando unir

o desejo de fazer o melhor como professor com o uso da experiência adquirida em

sala de aula, tanto na rede pública quanto privada, ao conviver com as diferentes

especificidades dos alunos, refletindo e aprofundando conhecimentos específicos da

disciplina e a forma mais adequada para o ensino destes, levou-me à procura da

formação continuada.

No ano de 2017 houve a aprovação ao Programa de Mestrado Profissional em

Ensino de Matemática – PMPEM ofertado pela Universidade do Estado do Pará, no

qual pude esclarecer e ampliar conhecimentos relevantes para a melhoria de minha

prática docente, como diferentes metodologias ativas de ensino. Desta forma, me

senti motivado a desenvolver uma pesquisa, com a orientação da professora Doutora

Cinthia Cunha Maradei Pereira, para ensinar problemas que recaem em equações

polinomiais do segundo grau com uma variável, aos alunos do 9º ano do ensino

fundamental.

Desta forma, pode-se expor a hipótese de que uma Sequência Didática – SD

especifica, desenvolvida por nós, impulsionaria de forma positiva o desenvolvimento

cognitivo dos estudantes, pois com nossa vivencia podemos constatar a dificuldade

demonstrada pelos alunos em entender e resolver problemas, como defendido por

Santos (2017) o fracasso na resolução de problemas no contexto educacional reforça

a necessidade de estudos mais sistemáticos, tendo como foco a produção de práticas

docentes inovadoras, para reverter esse cenário desagradável.

Então, sobre a sequência didática que será exposta neste trabalho, podemos

definir como.

[...] um conjunto articulado de dispositivos comunicacionais de natureza escrita ou oral que sistematiza as intervenções de ensino com a intencionalidade objetiva de estimular a aprendizagem de algum conteúdo disciplinar de Matemática a partir da percepção de regularidades e do estabelecimento de generalizações adotando-se uma dinâmica de interações empírico-intuitivas (CABRAL, 2017, p. 12).

A busca do desenvolvimento das competências e habilidades apresentadas na

BNCC (2017, p. 265) de utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive

tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais

e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. Reforça a

18

importância da utilização de uma metodologia mais adequada para o ensino de

problemas do segundo grau com uma variável e que leve em consideração as

peculiaridades dos alunos.

Assim, optamos por uma pesquisa de cunho qualitativo. Segundo Rocha e

Barreto (2008, apud MODESTO, 2019, p.37), nesse tipo de pesquisa não existe a

preocupação de quantificar dados, mas de interpretá-los e compreendê-los na busca

por solucionar o problema que motivou o desenvolvimento da pesquisa. Veremos no

decorrer da observação que podemos definir problemas de diversas formas, como

exposto em estudos científicos de autores em diferentes períodos cronológicos,

entretanto, aqui tomaremos, de uma forma geral, que problemas são situações

corriqueiras, ou não, que necessitam de um pouco mais do tempo e raciocínio do

aluno para que se chegue a uma solução, Lester (1982).

Quanto ao tema problemas do segundo grau, que foi escolhido pelas

experiencias vivenciadas no decorrer de nossa prática docente, mais especificamente

quando observamos as dificuldades enfrentadas pelos alunos em tratar e representar

enunciados, além aplicar conceitos e propriedades, estabelecemos como sendo a

extensão da definição aqui já exposta e que resulta de aplicações contextualizadas

das equações polinomiais do segundo grau com uma variável de forma que serão

divididas em duas classes: problemas cotidianos e não cotidianos, cujo contexto se

aplicam explicitamente a situações associadas a realidade do aluno e da sociedade

em geral, ou que são produzidos com sentenças e argumentos abstratos de difícil

observação extra classe.

É comum observarmos equações quadráticas aplicadas em situações

modeladas matematicamente dos fenômenos reais, ou seja, problemas que para

serem solucionados ou entendidos necessitam da resolução deste conteúdo

matemático, mas para tanto, os alunos deverão ser capazes de percorrer algumas

etapas cognitivas. Diante das dificuldades, sucessos e comum observância da

aplicação do assunto matemático estudado, fomos motivados a estabelecer uma

pesquisa de cunho qualitativo para contribuir com o ensino e aprendizado.

Assim, a construção desta pesquisa levantou a questão de qual o potencial de

uma sequência didática, com embasamento nas teorias da Engenharia Didática, no

ensino de problemas do segundo grau com uma variável? Desenvolvida a questão,

passamos a direcionar nosso estudo com o objetivo geral de investigar os efeitos

benéficos causados no processo de ensino e aprendizado de problemas do 2º grau

19

com uma variável, ao utilizar como recurso uma sequência didática, de forma que se

oponha ao ensino tradicional, entendido aqui como um modelo de ensino em que os

alunos são passivos, ouvintes e sua principal função é a memorização. Contudo, a

pesquisa percorreu os objetivos específicos de analisar pesquisas que tratam sobre

problemas do 2º grau com uma variável; desenvolver uma sequência didática,

elaborada para uma turma do 9º ano do ensino fundamental; averiguar o

desenvolvimento e aquisição da aprendizagem durante a aplicação da SD, baseada

na teoria da Semiótica.

Desta forma, tomamos como base metodológica de pesquisa a Engenharia

Didática que segundo Almouloud (2007) caracteriza-se, em primeiro lugar, por um

esquema experimental baseado em "realizações didáticas" em sala de aula, isto é, na

concepção, realização, observação e análise de sessões de ensino.

Sobre a aplicação da engenharia didática em nossa pesquisa, que se define

em receber esta intitulação por se comparar ao trabalho de um engenheiro, visto que

ao fazer um projeto, perpassa por várias etapas, assim como faremos em nosso

trabalho, mais precisamente nas 4 etapas destacadas por Artigue (1996) que são:

Análises prévias; Concepção e análise a priori; Experimentação e Análise posteriori

com a validação. Essas etapas serão direcionadas ao nosso tema central de pesquisa

e que venha a ser traçado um melhor aproveitamento possível do ato de ensino e

aprendizado.

Tendo em vista que pela educação ter uma tendência “hibrida”, que aqui

entenderemos como a junção de mais de uma linha de ensino, no segundo capítulo

de nosso trabalho, faremos o estudo aprofundado sobre referenciais teóricos que de

forma implícita e explicita compõem a concepção e análise a priori acerca da

formulação de nossa SD, como, o ensino por atividades, Tecnologias de Informação

e Comunicação – TIC, Semiótica e as tendências para resoluções de problemas.

Segundo Pais (2008, p.101) o fato consiste na definição de um certo número de

variáveis de comando do sistema de ensino que supostamente interferem na

constituição do fenômeno. Essas variáveis serão articuladas e analisadas no

transcorrer da sequência didática.

Ainda sobre a ótica da primeira etapa da Engenharia didática, no terceiro

capítulo, com a finalidade de estabelecer a fundamentação prévia do ensino de

problemas do 2° grau com uma variável, foi realizado um estudo sobre este conteúdo

20

que é abordado no 9º ano do ensino fundamental II, para isso um levantamento de

estudos relevantes do assunto, teóricos, diagnósticos ou experimentais, juntamente

com uma análise de como é abordado no currículo e avaliado. Ainda sobre o

levantamento prévio, foi realizada uma pesquisa de campo com alunos do primeiro

ano do ensino médio de uma escola pública da cidade de Barcarena – PA, que foi

nosso lócus de pesquisa, para diagnosticar fatos que pudessem resultar em êxito ou

dificuldades no aprendizado do conteúdo em foco.

No quarto capítulo, será apresentado a Sequência Didática criada por nós, para

atingir os objetivos desta pesquisa, que foi usada na fase de experimentação, com

suas devidas expectativas de aplicação por parte do professor/pesquisador, análises

a priori quanto o cunho metodológico de ensino e vertentes de aprendizado.

No quinto capítulo de nossa pesquisa, apresentaremos os fatos ocorridos no

decorrer de nossa experimentação, com os registros e análises a posteriori, chegando

à análise geral confrontados com a análise a priori e por fim nas considerações finais

com os resultados alcançados.

21

2. TEORIAS UTILIZADAS NA PESQUISA

Neste capítulo trataremos das teorias e metodologias de pesquisa, ensino e

análise que foram de fundamental importância para a construção deste trabalho em

todas as etapas; partindo da metodologia de pesquisa Engenharia Didática – ED, que

estruturou de forma integral o corpo da pesquisa; a metodologia de ensino por

atividades que potencializado pelo uso da tecnologia e as Teorias da resolução de

problemas de Polya, subsidiou a Sequência Didática; e por fim, a teoria de análise

semiótica para estabelecer a validação da pesquisa com a linha de entendimento e

aprendizado dos problemas do segundo grau mediante utilização da SD.

Com efeito, a escolha destas metodologias pautou-se no objetivo geral de

nossa pesquisa e no objetivo capital da LDB (1996) de preparar o educando para o

pleno exercício da cidadania, qualificado ao mercado de trabalho e com capacidade

de solucionar problemas cotidianos.

2.1 ENGENHARIA DIDÁTICA

Por se tratar de uma pesquisa extensa se fez necessário a utilização de um

procedimento para organizar a estrutura, ideias e ponderações, para isso se fez uso

da metodologia Engenharia Didática – ED desenvolvida a partir das discussões feitas

no Instituto de Investigação do Ensino Matemático – IREM, na França, no qual se

destaca como principal colaboradora a pesquisadora matemática Michèle Artigue.

Segundo Maués (2017) trata-se de uma metodologia de pesquisa em Didática da

Matemática, organizada em quatro fases: 1) Análises Prévias; 2) Construção

(concepção) da sequência didática e Análise A Priori; 3) Aplicação de uma sequência

didática (Execução) e a 4) Análise A Posteriori e a Validação.

A partir do conhecimento destas fases é possível perceber o novo horizonte que esta abordagem veio dar às práticas educativas desenvolvidas em sala de aula, tendo em vista a possibilidade de se considerar a própria prática de ensino como objeto de investigação sujeitando-a a mudanças observadas conforme os resultados alcançados. (SECCO. 2018. p. 21)

Desta forma, a Engenharia Didática – ED pode ser compreendida como

instrumento metodológico imprescindível para apontar cientificamente os aspectos

das práxis docente e discente, na transmissão organizada sistematicamente da visão

22

de um ora professor, ora pesquisador, nas pesquisas que tecem melhorias específicas

ou gerais do ensino e aprendizado. Para Pinheiro (2017) os objetivos decorrentes da

pesquisa nesta metodologia podem ser de cunho didático para o ambiente de sala de

aula, com o foco em um assunto especificamente, ou em uma concepção mais ampla,

alcançando o nível de abrangência da transdisciplinaridade.

[...] vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se, em primeiro lugar, por um esquema experimental baseado em "realizações didáticas" em sala de aula, isto é, na concepção, realização, observação e análise de sessões de ensino. Caracteriza-se também como pesquisa experimental pelo registro em que se situa e modo de validação que lhe são associados: a comparação entre análise a priori e análise a posteriori. Tal tipo de validação é uma das singularidades dessa metodologia, por ser feita internamente, sem a necessidade de aplicação de um pré-teste ou de um pós-teste. (ALMOULOUD, DE QUEIROZ e COUTINHO, 2008, p. 66)

Deste modo, na primeira etapa indicada pela Engenharia Didática - ED, a

análise prévia é encarregada por estabelecer o maior acervo teórico a respeito do

tema de pesquisa para fundamentar hipóteses e linhas de pesquisas que se tomarão

no decorrer da pesquisa e construção do ensino, neste momento o pesquisador se

enriquece com as experiencias de outros autores e pode estabelecer ou perceber a

dimensão de sua pesquisa.

Na análise prévia é verificado as dificuldades ou facilidades que são essenciais

à construção do ensino e que implica na aprendizagem de determinado assunto

matemático, e as teorias para que possam ser utilizadas para melhorar, sanar ou

amenizá-las as dificuldades ou potencializar a facilidades de ensino e aprendizado.

Sobre esta etapa Silva (2019) transcorre que com as análises prévias, o pesquisador

deverá buscar um ponto de equilíbrio entre o que é estudado tradicionalmente e o que

ele pretende propor. Na análise prévia, desenvolvemos um aporte teórico com

pesquisas teóricas, diagnósticas e experimentais, juntamente com o levantamento do

caminho que o ensino de problemas do segundo grau percorre no currículo e

avaliação e a percepção discente, além dos aspectos matemáticos de nosso referido

tema.

Na segunda etapa, a construção (concepção) da sequência didática e

Análise A Priori, com uso das teorias e pesquisas expostas na primeira fase da ED

desenvolvemos a Sequência Didática que deverá ser aplicada aos estudantes com o

ensino de problemas do segundo grau com uma variável, bem como as devidas ações

e orientações a serem seguidas tanto pelo aluno quanto pelo professor em seus

23

direcionamentos. De uma forma geral, as Sequências Didáticas devem conter

algumas especificações fundamentais e como sugestão podemos observar que:

A sequência didática deve contemplar os aspectos pedagógicos dos recursos a serem utilizados durante toda a aplicação, não sendo necessariamente exclusiva a uma tendência, mas pode ser feito uma ação coordenada de duas ou mais tendências, com a intenção de superar as dificuldades verificadas nas análises prévias e alcançar as habilidades e competências em relação ao conteúdo elencado para a pesquisa. (PINHEIRO, 2017, p.55)

Esta SD tem em sua composição uma estrutura meticulosamente arquitetada

com as expectativas e perspectivas que poderão vir a ocorrer quando esta for aplicada

experimentalmente em sala de aula, sendo sensível e atenta a facilitar tanto o ensino

quanto o aprendizado.

Durante o momento de execução na sala de aula da Sequência didática

desenvolvida na etapa anterior, constituindo a cumprimento do terceiro momento da

Engenharia didática, o professor pesquisador exerce o papel não somente de

executor, mas também de mediador do assunto contido nas atividades, e com zelo faz

o levantamento dos ocorridos epistemológicos para posterior comparação a análise

prévia. Segundo Almouloud, De Queiroz e Coutinhho (2008) é o momento de se

colocar em funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-o se necessário,

quando as análises locais do desenvolvimento experimental identificam essa

necessidade, o que implica em um retorno à análise a priori, em um processo de

complementação.

Na quarta e última fase, Análise A Posteriori e a Validação, com a utilização

dos registros obtidos, com a aplicação da Sequência Didática aos alunos, por

gravação de áudio, entrevistas, questionários ou qualquer outra forma de se obter

dados informativos, o professor pesquisador fica responsável por organizar as

reações ao efeito relativo da ação aplicada e desenvolvida pela SD.

Por fim, na validação é estabelecido uma triangulação entre a análise a priori,

posteriori e as teorias de análise, encontrado os objetivos de pesquisas originais que

podem ser os desejados ou perspectivas para confrontações futuras, melhor elaboras

e em novas vertentes.

Portanto, a Engenharia Didática constituiu em nossa pesquisa o referencial

metodológico capital para a entender e construir do processo de ensino e

aprendizado.

24

2.2 ENSINO POR ATIVIDADES

A forma com que se ensina matemática tem sido cada vez mais debatida por

pesquisadores da educação, visto que o método tradicional é questionado pela falta

de dinamismo durante as aulas, bem como a falta de liberdade e de autonomia do

aluno. Assim, surge a possibilidade de empregar a metodologia de ensino por

atividades, que é uma estratégia que consiste no uso de uma sequência de instrução

gradativa com apresentação e análise de um conteúdo específico, na qual o aluno

pode descobrir ou redescobrir definições, relações, regras e propriedades por etapas

de aprofundamento, tudo isso com o auxílio do professor exercendo um papel de

mediador do conhecimento e não transmissor.

[...] tais atividades possibilitam ao discente, experimentos matemáticos promovidos a partir do contato direto com o fenômeno, para a familiarização dos conceitos preliminares, objetivando outras elaborações conceituais, até o alcance da verbalização e sistematização do assunto por parte do estudante. (DANTAS. 2018, p. 15)

O Ensino por Atividades tem base no construtivismo, teoria na qual professor

mostra os passos que deverão ser percorridos na atividade, orienta a construção e

resolução da mesma e ao final avalia as construções dos alunos, ou seja, o aluno não

recebe o conhecimento pronto e acabado, mas observa o seu desenvolver. Vale

ressaltar ainda que o professor tem a responsabilidade de planejar previamente o

roteiro das atividades, verificando expressões que possam dificultar o entendimento e

processar tempo destinado a interação dos alunos com dúvidas e contribuições, a fim

de verificar possíveis ajustes na sequência didática e alcançar seus objetivos

traçados. Sob a ótica de Pacheco (2017. p. 146) o professor precisa planejar e orientar

os estudantes na execução adequada da atividade, um aspecto imprescindível para o

sucesso no processo de aprendizagem do aluno.

Em Sá (2009), alguns cuidados são pontuados para o planejamento e

execução, como:

• As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;

• Toda atividade deve procurar conduzir o aluno a construção das noções matemáticas através de três fazes: a experiência, a comunicação oral das ideias apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;

25

• As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;

• As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele; (SÁ, 2009, p. 18).

Assim, em uma das etapas da construção de nossa sequência didática fez uso

desta metodologia de ensino, para que o aluno pudesse desenvolver a capacidade de

reconhecer e traduzir da linguagem materna para a matemática os problemas do

segundo grau com uma variável, ou seja, de acordo com a teoria da semiótica, tratar

e converter. Nas pesquisas em Educação Matemática, as discussões a respeito deste

processo de ensino são longas e, é apresentado como uma das alternativas viáveis

para o ensino da Matemática, como defendido por Sá (2009).

[...] desse ponto de vista, consiste na investigação qualitativa sobre quais práticas de ensino são consoantes com a natureza da aprendizagem, sendo elas, é claro, as mais eficientes. Essas pesquisas têm mostrado que o ensino baseado na utilização de atividades estruturadas são as mais eficazes. (FOSSA. 2009. p. 11)

Com a prática do ensino por atividades o professor/pesquisador se dispõe a

reestruturar as linhas de ensino da sala de aula, se alicerça nas linhas teóricas e

práticas do construtivismo Piagetiano, onde o aluno constrói o conhecimento na

influência mútua com o meio físico e social. Assim, as atividades devem provocar o

desequilíbrio cognitivo no aluno e dar início ao processo de Assimilação, Acomodação

e Equilíbrio do novo.

Como já relatado por Sá (2009) o ensino por atividades proporciona ao aluno,

entre outras coisas, que a memorização seja um resultado do uso compreensivo de

um assunto, e este método permite que o aluno descubra ou redescubra resultados

matemático. Daí, a produção de listas com atividades possuir o tanto de exercícios

necessários para que o aluno desenvolva habilidades básicas em observar, analisar

e concluir, de forma individual ou em grupo.

Quanto a estrutura do material utilizado durante os encontros com os alunos,

Sá (2009) destaca que as atividades devam conter o espaço para o título, objetivo,

26

procedimentos, material necessário espaço para registrar resultados, observações e

conclusões.

Quanto a utilização deste método de ensino em nossa sequência didática para

o ensino de problemas do segundo grau com uma variável, podemos destacá-la

primeiramente ao expor sentenças matemáticas em linguagem materna para que o

aluno pudesse traduzir e posteriormente classificar os tipos de problemas quanto ao

seu grau referente a equação envolvida.

Em seguida, este processo foi usado como subterfugio para a fixação dos

passos de resolução de problemas desenvolvidos por Polya fazendo com que o aluno

possa adquirir um campo amplo e profundo de exemplos de problemas para que

venha, futuramente, fazer analogias com estes já resolvidos.

A partir do entendimento das conjecturas do ensino por atividades,

apresentaremos a seguir a teoria que foi utilizada para comprovar a potencialidade aa

sequência didática para o ensino de problemas do segundo grau com uma variável.

2.3 SEMIÓTICA

Para analisar as fases de interação e os resultados obtidos mediante a

aplicação da Sequência Didática – SD, utilizaremos a Teoria das Representações

Semióticas desenvolvida por Duval (1998). No qual o autor (Apud MODESTO, 2019,

p.29) discorre sobre os possíveis tratamentos matemáticos inerentes a cada situação

mencionada por uma atividade e ao permitir o entendimento, desencadeado por

análises cognitivas visto que os registros são manifestações simultâneas a cada um

dos momentos de exposição dos seus entendimentos. Sobre a verificação do

desenvolvimento do raciocínio, Duval destaca a visualização, construção e raciocínio,

que podem seguir o esquema a seguir de relação.

27

Figura 1: Processos cognitivos importantes no ensino de matemática

Fonte: Fainguelent (1999, p. 54), adaptada por Pinheiro (2017, p. 65)

Como o aprendizado é um processo composto por muitas variáveis, esta teoria

acompanhará paulatinamente o procedimento de aquisição e assimilação de novos

conhecimentos matemáticos com os registros e símbolos que pertencem a sua

linguagem e em específico a algébrica desenvolvida na sequência didática de

problemas quadráticos, que foi trabalhada com os alunos.

Segundo Santaella (1983), semiótica é a ciência dos signos, “uma coisa que

representa outra coisa” e estes signos tem o poder de substituir algo ou objeto, ou

seja, na semiótica encontramos os estudos sobre as formas do aluno se comunicar,

seja verbal ou não verbal, portanto, a semiótica é alicerce para todas as outras

ciências. É com a semiótica que podemos ler as situações do dia a dia, podendo

representar e assimilar os fenômenos de forma significativa.

Para Peirce (1934) define os signos como sendo estruturado de forma triádico:

representamen, objeto e interpretante. O representamen seria a parte perceptível do

signo a exemplo de um objeto que lembre algo de fora; o objeto é o elemento real,

que foi representado ou substituído; o interpretante é a interpretação formada na

mente de quem o analisa.

A compreensão do mundo, em sintonia e em absoluta complementariedade com a língua materna. É necessário pensar e sentir, consumir e produzir, compreender e fruir os temas que estudamos. [...]” (MACHADO, 2012, p.13).

Duval (2009) remete ao desenvolvimento cognitivo do aluno pela representação

de um objeto ou algo que o relacione por intermédio de uma interpretação de forma

pessoal. Em nossa pesquisa, este processo cognitivo transcorrerá no decorrer das

28

etapas desenvolvidas na SD, como nas traduções simbólicas, da linguagem

geométrica e verbal materna para a linguagem matemática algébrica com números,

letras e todos os outros símbolos necessários, culminando no tratamento e

representação em mais de uma linguagem dos problemas com equações polinomiais

do segundo grau com uma variável.

Duval (apud PINHEIRO, 2017, p.65) nem sempre há um entendimento

considerado fácil por parte dos estudantes, da maneira como o professor espera que

aconteça, pois durante o processo de entendimento, as conexões cognitivas do sujeito

são acionadas, tornando os resultados diferentes para cada um especificamente. Este

fato nos remete a particularidade do aluno ao se deparar com o experimento e a

expectativa docente da construção das atividades constituintes da Sequência Didática

e suas respectivas análises a priori, que após a aplicação em sala de aula, estas

podem fugir ao que era esperado, ressaltando melhorias ou não no aprendizado. Para

evidenciar se esta atividade é mais complexa ou menos complexa em uma atividade

matemática, é preciso comparar a representação no registro de saída com a

representação no registro de chegada (MAUÉS, 2017, p.46).

Para Duval (2009) a visualização é o ponto primordial que pode direcionar o

estudante por diferentes caminhos, proporcionando reflexões sobre as observações,

além de transformações e o raciocínio para então a objetivação da consistência do

conhecimento desejado. Em nossa pesquisa os sujeitos puderam observar estre

processo em etapas sequenciadas partindo da visualização de sentenças

matemáticas no campo semiótico da linguagem materna e posteriormente na

problemática envolvendo a quadra de esportes da escola. Contudo, segundo

Henriques e Almouloud (2016) a representação de um objeto de estudo matemático,

pelo aluno, perpassa pelas etapas do tratamento, representação e a conversão, onde

estes registros tratados do objeto podem ser predominantes quatro, como observado

na figura a seguir.

29

Figura 2: Possíveis registros de representação de um objeto matemático

Fonte: Henriques e Almouloud (2016, p. 468)

No processo de aprendizado do conteúdo matemático estudado, Duval (2009)

ressalta que as conversões e os tratamentos representativos no campo semiótico são

as manifestações de que o aluno obteve êxito na aquisição de novos conhecimentos,

mas este processo de avaliação depende das transformações de convergências e

tratamento de representações. As transformações e os tratamentos deverão ser

apreciados pelos estudantes nos momentos em que há tradução da situação

problema e sua devida resolução, pois para estes procedimentos, os alunos deverão

elaborar ações cognitivas férteis em analogias que fundamentam o entendimento e

construção da linguagem.

A particularidade da aprendizagem das matemáticas considera que essas atividades cognitivas requerem a utilização de sistemas de expressão e de representação além de linguagem natural ou das imagens: sistemas variados de escrituras para os números, notação simbólica para os objetos, escrituras algébricas e lógica que contenham o estatuto de linguagem natural para exprimir as relações e as operações [...] (DUVAL, 2009, p 13)

Desta forma, segundo (MAUÉS, 2017, p.48) em Matemática, muitas vezes, o

tratamento é a transformação que mais se evidencia nas atividades, pois o tratamento

corresponde a procedimentos de justificação. A conversão de uma representação é

uma transformação dessa representação em uma representação de um outro registro,

conservando a totalidade ou uma pequena parte somente do conteúdo da

representação inicial. A conversão é uma transformação externa ao registro de partida

(DUVAL, 1995, p.42).

Em nossa pesquisa, a conversão proveniente da representação de problemas

do segundo grau com uma variável, com a simbologia direcionada ao assunto após

registros é fundamental para a compreensão. Para Duval (1995) é na Conversão das

30

representações de um sistema semiótico a outro que existirá uma operação cognitiva

que pode ser apresentada como uma mudança de forma, que permitirá a

conceitualização dos objetos matemáticos pelos sujeitos aprendentes.

Assim, os registros feitos por cada aluno ao se deparar com a sequência

didática, que será fundamentada no ensino por atividades e resolução de problemas,

com auxílio da tecnologia de informação, com a utilização de um aplicativo, deve ser

minunciosamente acompanhada nos aspectos evolutivos de entendimento do

tratamento e conversão da representação para solução dos problemas, para que

assim possamos direcionar nossa pesquisa a destacar os sucessos ou dificuldades e

desenvolver intervenções para sanar este ocorrido da forma mais precisa possível.

31

3. ANÁLISES PRÉVIAS

A seguir abordaremos tópicos sobre as apreciações que serviram para

embasamento e produção da sequência didática de nossa pesquisa, tais como:

estudos sobre o ensino de problemas do segundo grau com uma variável, que nos

servirão de suporte teóricos, diagnóstico e experimental; caminhos do aprendizado do

currículo e avaliação, subsidiado em pesquisa de campo com a concepção dos

discentes; e por fim, os aspectos matemáticos de nosso tema central.

3.1 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE PROBLEMAS

A aplicação de problemas matemáticos direcionados as equações polinomiais

do segundo grau com uma variável, assim como em outros assuntos matemáticos é

uma possibilidade de aplicar conteúdos abstratos em situações cotidianas ou não

cotidianas, de forma contextualizada diferenciada, com eventos que criem o interesse

nos alunos que terão de estudar assuntos de complexibilidade ao senso comum.

Sobre o tema central desta pesquisa o ensino de problemas polinomiais do

segundo grau com uma variável, aplicado ao 9º ano do ensino fundamental II, se pode

constatar, a partir da visão do professor e devida experiência adquirida em sala de

aula que é comum a dificuldade tanto no processo de ensino quanto ao de

aprendizado deste assunto, motivando assim uma pesquisa aprofundada com o intuito

de podermos sistematizar conhecimentos básicos e aprofundados.

Assim, a definição de problemas no âmbito matemático é bem amplo e relativo

quando debatido por parte de pesquisadores da área matemática, como podemos

destacar a concepção de problema para Dante (1998) onde se difere o problema da

concepção problema matemático como sendo o primeiro qualquer situação que exige

o pensar do indivíduo para soluciona-la e o segundo vem se contrapor a esta situação,

pois vem exigir a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para

serem desenvolvidas. Ainda sobre esta concepção de problemas, vale ressaltar a

categorização de Polya (1978) em duas classes, rotineiros e não rotineiros, pois com

isso se pode obter um melhor estudo.

Desta forma, esta etapa da pesquisa desenvolveu-se primeiramente partindo

da necessidade de se ter um estudo das pesquisas já produzidas, principalmente nos

últimos 10 (dez) anos, para o domínio do assunto matemático de problemas do

32

segundo grau com uma variável e o direcionamento das pesquisas produzidas que o

utilizavam. Após a revisão da literatura sobre o ensino aprendizado de problemas do

segundo grau com uma variável de forma direta ou indireta, se fez necessário a

organização destes estudos e que por assim foram classificados em teóricos,

diagnósticos e experimentais como se pode constatar a seguir, no corpo desta

pesquisa.

A construção desta seção do trabalho foi desenvolvida mediante 5 etapas

principais; obtenção de material para estudo, análise prévia por leitura dinâmica para

eventual exclusão daqueles que não se encaixassem na investigação, categorização

do material remanescente após exclusão, apreciação e crítica das pesquisas e por fim

se estabeleceu a conclusão segundo as contribuições e considerações apresentada

pelos autores verificados.

Para a obtenção de material, se deu início a uma revisão de pesquisas que

abordassem o tema de ensino de problemas do segundo grau com uma variável, onde

foram usadas as seguintes fontes responsáveis por publicações cientificas: Banco de

dados, teses e dissertações da Universidade do Estado do Pará, Banco de dados,

teses e dissertações da Universidade Federal do Pará, Biblioteca Digital Sapientia –

Banco de Teses e Dissertações da Puntifícia Universidade Católica de São Paulo,

página oficial do Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT, Google

Acadêmico, ENEM, Sipem, Ciaem, Relime, Ciem, Epaem, Epem, SBEM, Revista

Biomatemática, Bolema e Cadernos IME.

Durante a pesquisa nas fontes citadas foi usado as seguintes palavras chaves:

“Ensino de problemas do 2º grau”, “Problemas do segundo grau”, “Problemas do 2º

grau”, “problemas de grau 2”, “Ensino de problemas”, “Equações do segundo grau”,

“segundo grau com uma variável”, porém foram poucos os estudos encontrados que

abordassem especificamente o ensino de problemas do segundo grau com uma

variável, entretanto, para contornar a escassez de material, se fez necessário o uso

de trabalhos que aproximassem o referido tema, de forma indireta, como por exemplo,

os que possuíam o assunto de equações do segundo grau como foco principal, mas

nos conteúdos secundários tratavam da aplicação deste assunto em problemas e,

ainda foram usados trabalhos que pesquisavam o ensino de problemas de uma forma

geral aplicados a outros assuntos matemáticos.

Como já relatado, o fato de o referido tema possuir poucos trabalhos

específicos publicados fez necessário do uso de pesquisas que pudessem fazer uma

33

linha circundante ao assunto, seja abordando o ensino de problemas ou a equação

polinomial do segundo grau com uma variável. Desta forma, se destacando a segunda

etapa que foi tido como critério de exclusão: pesquisas publicadas antes do ano 2000,

com exceção dos trabalhos de Púrez Echeverría (1994) e Polya (1978) que no

decorrer da leitura dos estudos selecionados mostrou-se servir de alicerce para muitas

outras pesquisas, fazendo com que o uso das obras originais destes dois autores

fosse indispensável, dada suas respectivas importâncias.

Foram encontrados 47 trabalhos entre artigos de revistas científicas, TCC,

dissertações e teses. Com base na leitura de seus respectivos resumos e introduções,

constatou-se que alguns não serviam para o propósito deste estudo, reduzindo os

títulos a 22, posteriormente observou-se que alguns destes foram obtidos duplamente

em diferentes fontes de pesquisas ou foram produzidos anteriormente ao ano 2000,

fazendo com que o número de trabalhos usados para a revisão de estudo fosse

reduzido para 16 pesquisas, que foram utilizados para a fundamentação do referido

tema, os quais foram lidos na íntegra.

A pesquisa para fundamentação deste trabalho foi estabelecida usando a

técnica de revisão de estudo sistemática, que para Clarke et al (2008) a revisão

responde a uma pergunta claramente formulada utilizando métodos sistemáticos e

explícitos para identificar, selecionar e avaliar criticamente pesquisas relevantes,

coletar e analisar dados de estudos incluídos na revisão. Assim, foi tomado como

pergunta, como estava sendo trabalhado por professores e pesquisadores o ensino

de nosso tema central e ainda, como o aluno tem contato e faz proveito deste assunto

matemático.

Com a conclusão da seleção de estudos a serem analisados, com uma leitura

cautelosa e rigorosa foi feito uma classificação de acordo com as características

principais de pesquisa, resultando em três tipos de trabalhos: aqueles que se

classificavam por serem Teóricos, no qual constatou-se a predominância da

apresentação de definições e propriedades especificas do conteúdo matemático;

Diagnósticos, em que apresentaram sucessos ou insucessos identificados no

processo de ensino ou aprendizado; ou Experimentais, com a construção prática de

métodos de ensino.

Após a análise e categorização do seleto material nos meios de divulgações

cientificas, foi dado início a uma nova etapa do trabalho, com a exposição resumida

34

das principais ideias, metodologias e resultados obtidos por seus autores em suas

respectivas pesquisas.

E por fim, faremos as devidas considerações com a relação dos levantamentos

teóricos adquiridos juntamente com a experiência vivida em sala de aula. Vale

ressaltar, que com a formulação da revisão de literaturas expostas nesta seção da

pesquisa é o momento de enriquecer a visão da linha de pesquisador com

experiencias e formas de exposição de ideias, pois a cada trabalho analisado se

absorve teorias, didáticas e metodologias particulares dos diferentes autores

pesquisados.

Assim, fez-se necessário a busca por estudos que não somente abordassem o

ensino de problemas do segundo grau de forma direta, mas sim pesquisas que

indiquem suporte e trabalhem a relação de ensinar e resolver problemas de uma forma

geral, além de trabalhos sobre as equações algébricas de grau dois e suas

propriedades, para que no decorrer das análises pudesse ser direcionada ao tema

focal deste estudo. Sendo assim o objetivo desta produção de seção será de expor e

discutir os achados da literatura referentes ao ensino de problemas do segundo grau

com uma variável através de trabalhos originais devidamente publicados e

compartilhados no meio científico.

Como já definido neste campo é importante frisar que, as pesquisas

selecionadas foram lidas e devidamente classificados em três categorias de

pesquisas, correspondendo a suas características fundamentais tal como o foco

principal ser de expor conceitos e propriedades matemáticas de equação polinomial

do segundo grau e ainda sobre problemas, se enquadrando na categoria de Teóricos.

Aquelas pesquisas em que na maioria das vezes foi feito com base numa

pesquisa de campo com o enfoco em mostrar alguma peculiaridade, histórico ou

implicação de algum fator educacional conteudista que venha influenciar ao ensino e

aprendizado de equações do segundo grau ou do uso de problemas matemáticos,

com coleta de dados, análise e resultado, portanto, estes são caracterizados como

diagnósticos.

Os trabalhos que aplicam alguma metodologia e/ou Sequência Didática - SD

de ensino referente ao nosso tema foram enquadrados na categoria de experimentais,

como veremos a seguir destacado no quadro abaixo e em seguida exposto com suas

principais considerações.

35

Quadro 1: Classificação dos estudos e anos de publicações

Categorias Autores Ano

Teórico

Púrez Echeverría e

Pozzo

1994

Andrade 2000

Sá 2004

Graça 2011

Lima, Pereira e

Chaquiam 2017

Diagnóstico Ribeiro 2001

Marco 2004

Dorigo e Ribeiro 2010

Gómez-Ferragud,

Solaz-Portolés e

Sanjosé

2014

Experimental

Sá 2005/2006

Fanti et al 2006

Morais 2008

Sá 2009

Graça 2011

Brandão 2014

Pinheiro 2017

Fonte: Autor 2019

Após a classificação destes estudos podemos acompanhar a síntese, de suas

principais ideias em suas respectivas seções classificatórias, em busca de teorias,

diagnósticos e experiencias de problemas do segundo grau com uma variável.

3.1.1 ESTUDOS TEÓRICOS

Para saber e compreender de fato o assunto, ensino de problemas do segundo

grau com uma variável, foi desenvolvido um levantamento de pesquisas para se ter

em mente o maior número possível de estudos teóricos que enraízem os conceitos,

36

definições e, acima de tudo, a sua aplicação, para que assim possamos desenvolver

o domínio de uma visão bem fundamentada do referido tema e com esta percepção

desenvolveremos a seção com algumas concepções.

Púrez Echeverría e Pozzo (1994) destacam a distinta concepção sobre a

definição de problemas no contexto de ensino aprendizado e para limitar este

impasse, faz uso da visão mais aceitável por muitos autores que é uma situação onde

um indivíduo ou um grupo quer ou precisa resolver e para qual não dispõe de um

caminho rápido e direto que o leve a solução.

Ainda devemos levar em consideração o direcionamento da contextualização

dos problemas que queiramos submeter aos alunos para que estes venham a

desenvolver a problematização de equações do segundo grau, pois o contexto deve

estar ao alcance da realidade do aluno. Assim, Púrez Echeverría e Pozzo (1994)

completa reforçando que uma situação para ser concebida como problema, a solução

não deve ser obtida de forma trivial, e ainda ressalta o valor da contextualização dos

problemas para que se torne motivador a resolução destes por parte dos alunos.

Indo mais afundo no contexto de ensino e aprendizado de problemas, Púrez

Echeverría e Pozzo (1994) faz a distinção entre o uso de problemas e exercícios,

sendo este último uma situação similar aos problemas, mas que a solução pode ser

encontrada de forma imediata, ou que após uma prática contínua de resolução de

problemas similares se torne algo corriqueiro, sem que haja um grande emprego de

recursos cognitivos, reforçando que para alguns, esta situação pode ser um problema,

mas para outros com maior experiência ou interesse seja um exercício.

Púrez Echeverría e Pozzo (1994) advertem a importância de conteúdos

“sobreaprendidos” como sendo subterfúgios necessários, mas não suficiente para a

resolução de problemas acima de tudo para produzir uma habilidade geral, pois é

necessário colocar em ação várias aptidões e conhecimentos, que no caso de nossa

pesquisa, seria o conhecimento sobre equações do segundo grau com uma variável.

Para um melhor estudo em relação de problemas matemáticos os autores

fazem a divisão quanto aos seus tipos estruturais como, exemplo dos problemas

dedutivos (demonstrações de fórmulas) e dos problemas indutivos (estabelecimento

de regularidades), em ambas estruturas podemos encontrar sua importância,

entretanto, os indutivos são de maior relevância ao ensino básico, por se direcionar

aos problemas aplicados.

37

Andrade (2000) realizou um estudo com o objetivo de investigar os processos

evolutivos das resoluções de equações do segundo grau, e em suas abordagens o

pesquisador faz a relação entre as várias formas de resolução de problemas, que

recaem em equações quadráticas em várias épocas e civilizações, historicamente

conhecidas por seus estudos matemáticos, bem como: pré-Helenísticas, Grega,

Árabe e pôr fim a civilização europeia.

Embora o autor não faça distinção entre exercícios e problemas, assim como

outros autores, o mesmo, reforça o ato de que sempre foi importante relacionar as

necessidades cotidianas como problemas matemáticos, independente da época ou

lugar, pois é sabido que aquelas civilizações encontravam nas situações cotidianos,

tais como medições de terras, cálculos administrativos e econômicos, modelos que se

faziam necessário o uso de equações do segundo grau como formas de solucionar

seus problemas.

Em Lima, Pereira e Chaquiam (2017) podemos encontrar um recorte histórico

da evolução do raciocínio das equações quadráticas fazendo uso diagrama

metodológico para formulação de contextos históricos, de autoria do pesquisador

Chaquiam, que consiste em organizar cronologicamente ao redor de um autor

historicamente importante para um assunto matemático, fatores e autores relevantes

para o desenvolvimento do conteúdo, esta metodologia é direcionado ao ensino de

história da Matemática no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Figura 3: Diagrama – Metodológico – Equação Quadrática

Fonte: Lima, Pereira e Chaquiam (2017)

Na produção de conhecimento de Lima, Pereira e Chaquiam (2017) podemos

encontrar as contribuições do francês Françõis Viète (1540-1603) para a

apresentação geral que conhecemos hoje em dia da equação quadrática, com a

38

introdução de vogais e consoante para representar quantidades indeterminadas e

números conhecidos. Podemos observar neste trabalho também pesquisadores

contemporâneos a Viète, além da evolução construtiva que destas equações sofreram

e quais as contribuições de cada civilização, de antes de Cristo até a idade moderna,

a exemplo dos Babilônicos (LIMA, PEREIRA e CHAQUIAM, 2017, p. 51) eles também

apresentavam a solução da equação quadrática a partir de uma flexibilidade algébrica

da adição ou multiplicação de um determinado termo em ambos os membros da

equação, para equações incompletas. Posteriormente esse método resolutivo foi

acrescido da visão geométrica grega e a técnica de completar quadrados.

Lima, Pereira e Chaquiam (2017) concluem com a importância da

interdisciplinaridade para mostrar historicamente o desenrolar da modelagem de

situações em que se aplicava equações do segundo grau para solucioná-las e por fim,

o equívoco ainda constante de alguns textos para a denominação do método de

encontrar as raízes de uma equação quadrática, comumente conhecida como fórmula

de Bháskara, onde na verdade é um método produzido desde os Babilônios.

Ainda no contexto da definição de problema e sua respectiva resolução e na

distinção entre problemas e exercícios, Sá (2004) discorre fundamentado num estudo

de revisão bibliográfica sobre as diversas concepções usadas por vários autores e

ainda reflete sobre as filosofias matemáticas pessoais que norteiam o entendimento

pelos professores do que vem a ser problemas matemáticos: absolutismo,

absolutismo progressista e Falibilismo.

Quadro 2: Relação entre Filosofias Pessoais de Matemática e a Interpretação de Resolução

de Problemas

FILOSOFIAS

PESSOAIS SOBRE

MATEMÁTICA

INTERPRETAÇÕES DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

ABSOLUTISMO

A resolução de problemas consiste na execução de tarefas

não rotineiras e com resposta certa imposta pelo professor.

O principal papel do professor é comunicar e transmitir

conhecimentos. Os problemas são meios secundários de

aplicar, reforçar e motivar a aprendizagem.

39

ABSOLUTISMO

PROGRESSISTA

A resolução de problemas é um meio de desenvolver e

utilizar as estratégias e os processos matemáticos bem

como o meio de descobrir as verdades e estruturas da

matemática. Os alunos são guiados pelo professor para

resolverem os problemas contidos, implícita ou

explicitamente, em ambientes cuidadosamente escolhidos;

espera-se que o conhecimento surja da experiência dos

alunos tendo o professor o papel de condutor e facilitador.

FALIBILISMO

A resolução de problemas será considerada a pedagogia a

utilizar na sala de aula. Particularmente será vista como um

processo socialmente mediado de formulação de

problemas e construção da sua solução, processo esse

requerendo discussão para negociação de sentidos,

estratégias e provas.

Fonte: Boavida (1994)

Neste artigo o autor usa o referido estudo para fundamentar futuras pesquisas

sobre o uso da resolução de problemas nas aulas como três propostas de ensino:

Objetivo, processo e ponto de partida.

Sá apud Graça (2011) explica que o desenvolvimento da habilidade de resolver

problemas rotineiros é tão importante quanto o desenvolvimento da habilidade de

resolver os não rotineiros e, além disso, aponta que um problema só se torna rotineiro

quando é entendido e internalizado seu processo de resolução, valendo isso para

qualquer tipo de problema.

3.1.2 ESTUDOS DIAGNÓSTICOS

Ribeiro (2001) realizou um estudo com o objetivo de levantar, identificar e

analisar procedimentos e estratégias utilizadas por alunos quanto a álgebra

elementar, usando como base dados levantados por dois sistemas de avaliações em

larga escala (SAEB1 e SARESP2) com fundamentação em teorias sobre o

1 Sistema de Avaliação da Educação Básica – Coordenado pelo MEC/INEP 2 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Coordenado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo

40

conhecimento algébrico. A coleta dos dados foi obtida em duas etapas, a primeira, foi

aplicado questões algébricas do SARESP a um grupo de 20 alunos da 8ª série do

ensino fundamental II e posteriormente a este mesmo grupo foi aplicado um novo teste

semelhante ao anterior, mas agora em formato de oficina com o auxílio e indagações

dos professores.

Pode-se constatar com este estudo o maior insucesso dos alunos na primeira

etapa da pesquisa correspondendo ao aproveitamento de 33%, menor que a média

geral disponibilizada pelo SARESP que foi de 39% de acertos, nas 30 questões que

compunham o questionário, quanto a tradução e resolução de problemas que pela

provável hipótese, seja decorrente de um aprendizado construído sem a

disponibilização de instrumentos que auxiliem interpretação, fora de situações

problemas e deixando de lado a compreensão, focando apenas no fazer de forma

isolada e memorizada, ocasionando o baixo rendimento na compreensão de

enunciados.

Ainda em seu estudo Ribeiro (2001) faz a ressalva de que o desempenho do

aluno se torna satisfatório quando a contextualização dos problemas é fundamentada

em seu cotidiano, ou seja, que a resolução da situação problema seja significativa.

Daí que a necessidade de o aluno saber tratar a representação simbólica como

objetos matemáticos. Como se pode observar nos quadros abaixo referente a

comparação de desempenho na primeira e segunda etapa em 10 questões propostas.

O autor destaca que a média de acerto no SARESP foi de 39% enquanto no

teste semelhante, produzido por ele foi de 49%.

Quadro 3: Comparativo de acertos

1 22% 30%

2 64% 85%

3 28% 15%

4 33% 40%

5 34% 50%

6 28% 15%

7 38% 45%

8 49% 65%

9 57% 70%

41

10 38% 75%

Média 39% 49%

Fonte: Ribeiro (2001)

Marco (2004) desenvolveu uma investigação sobre as formas de pensamento

matemático, especificamente quanto a resolução de problemas quando os estudantes

jogam ou criam jogos computacionais. Em seu estudo a autora de forma interpretativa

analisa as manifestações por parte dos alunos observados, que se insere em um

movimento de busca e investigação por novas alternativas e estratégias de ensino,

objetivando minimizar a realidade apresentada e repensar a concepção de resolução

de problemas, apontando que a resolução deste se desenvolva sob uma abordagem

que considere o aluno em todo seu movimento de aprendiz, além do aspecto cognitivo,

outros de natureza distinta deste como as formas sensitivas do pensamento:

sensações e percepções, além de movimentos subjetivos que são levados em

consideração do lado emotivo, como sentimentos, frustrações, dúvidas, hesitações,

alegrias e desejo de querer resolver a situação encontrada.

Em relação ao contrato didático onde o aluno possui resposta de um problema.

Em Lima apud Marco (2004) a preocupação dos estudantes em geral de buscar uma

“conta” para solucionar problemas parece, aos autores, ser decorrente deste enfoque

de ensino. Foi percebido, em seu exercício de professora, que várias escolas utilizam

a pedagogia do treinamento ao invés de valorizar o processo de saber pensar sobre

conceitos matemáticos mediante a resolução de problema.

A pesquisa de Dorigo e Ribeiro (2010) caminhou na perspectiva de uma

abordagem qualitativa para analisar e discutir principalmente a resposta dos alunos

do ensino médio acerca do conhecimento das equações e seus multisignificados

como, Intuitivo-Pragmático, Dedutivo-Geométrico, Estrutural-Generalista, Estrutural-

Conjuntista, Processual-Tecnicista e Axiomático-Postulacional. Em sua investigação

aplicada a um grupo de 16 alunos agrupados em 8 duplas, os autores executaram

questões que abordavam apenas um significado ou mais de um.

Assim, os autores para não se prolongarem, fizeram a exposição dos dados

recolhidos de uma dupla juntamente com a análise a posteriori e algumas transcrições

das justificativas dos alunos, como podemos observar a seguir uma questão referente

a equação polinomial do segundo grau.

42

Figura 4:Questão proposta na Sequência Didática – SD

Fonte: Dorigo e Ribeiro (2010)

A atividade apresentada na figura à cima mostrou a perspectiva análisada pelos

autores sobre o conhecimento e significado processual-tecnicista das equações do

segundo grau com uma variável, no qual os autores esperavam em sua análise a

priore do desempenho dos alunos, que fosse possivel a tradução em simbolos

matemáticos para posterior resolução por meios formais matemáticos. Em nossa

pesquisa, este tipo de abordagem esteve presente em duas etapas da sequência

didática, onde o aluno pode práticar sua tradução da linguagem materna para a

mátemática e em seguida pos em prática sua estratégia resolutiva.

Entretanto, a dupla em questão demonstrou não seguir exatamente o que foi

esperado pelos autores, como podemos ver a seguir no entendimento da questão e

demonstrada pela forma semiotica de resolução.

Figura 5: Resolução da questão proposta

Fonte: Dorigo e Ribeiro (2010)

Na figura 6, Dorigo e Ribeiro (2010) apresentam o processo de tentativa e erro

como forma de resolução da questão, não identificando a questão que estava implícita

ou explicita do significado processual-tecnicista, que trabalha os conceitos e

abordagens estritamente ao meio escolar.

Em seguida, na figura 7, pode-se constatar a justificativa apresentava pela

dupla, onde há o relato de que foi mais cômodo estabelecer “chutes” para a solução

do problema, ao invés de traduzir e formalizar uma estratégia resolutiva. Ou ainda,

demonstrando a falta de experiencia com a resolução de problemas com maior grau

43

de contextualização, observado no momento em que os alunos relatam ser “a única

forma que sabiam resolver”.

Figura 6: Justificativa da resolução

Fonte: Dorigo e Ribeiro (2010)

Com seu estudo Dorigo e Ribeiro (2010) diagnosticou que predomina o

significado intuitivo-pragmático e a dificuldade por parte dos estudantes em saber

definir o que é uma equação e, portanto, em algumas questões não conseguiram

afirmar se usavam ou não, e ainda, não entendiam com clareza o que estavam

fazendo. Portanto, deve-se investigar e ampliar o pensamento do aluno sobre

equação antes de se aplicar em problemas mais complexos.

A pesquisa realizada por Gómez-Ferragud, Solaz-Portolés e Sanjosé (2014)

com alunos do ensino básico (14 - 16 anos) e graduandos de matemática na Espanha,

teve o intuito de observar o desempenho positivo e as dificuldades em codificar,

relacionar e categorizar problemas verbais algébricos, na qual mostrou dados

alarmantes quanto a esta problemática.

Para analisar o procedimento utilizado por cada aluno pesquisado, os autores

fizeram uso direto das quatro fases destacadas por Polya (1978): compreensão,

elaboração de um plano, execução do plano e verificação. Assim, foram utilizados

procedimentos quantitativos e qualitativos para ponderar o desempenho dos sujeitos

entrevistados, onde os problemas propostos se encaixavam em dois temas,

matemático ou científico. Quanto aos fatores característicos dos problemas verbais

foram destacados os componentes básicos, superfície (situação problema) e estrutura

(maneira em que a situação é descrita).

Segundo Gómez-Ferragud, Solaz-Portolés e Sanjosé (2014) sem

explicitamente resolver os problemas propostos, foi constatado que aqueles que tem

maior instrução (graduandos) se sobressaem no processo de categorização dos

problemas, pois estabelecem analogias com aqueles problemas já familiares. No

entanto, 37% dos participantes mostraram classificar os problemas pela superfície,

enquanto 14% pela estrutura científica. Em específico à classe dos alunos do ensino

44

básico, 61% guiaram suas analogias por características superficiais dos problemas e

12% dos alunos usaram critérios indecifráveis, incoerentes, mal definidos e

incompletos, difíceis de serem assimilados aos fatores característicos dos problemas.

Os autores ainda ressaltam que estabelecer analogias estruturais entre

problemas, além das características superficiais explícitas em seus enunciados, é

uma tarefa de especial dificuldade para alunos menos experientes e ainda que entre

35% a 45% dos futuros professores não conseguiram estabelecer analogias

estruturais ou superficiais básicas. O nível acadêmico e a familiaridade com os tópicos

foram fatores significativos, mas os futuros docentes participantes mostraram muitas

dificuldades, alertando sobre a conveniência de rever alguns pressupostos

instrucionais habituais (GÓMEZ-FERRAGUD, SOLAZ-PORTOLÉS E SANJOSÉ,

2014, p.1256).

Por fim, o reconhecimento de elementos constitutivos, classificação de uma

classe e a relação de analogia entre novos e problemas com aqueles já resolvidos

pelos estudantes, deve ser levado em consideração durante a instrução de resolução

de problemas.

3.1.3 ESTUDOS EXPERIMENTAIS

Sá (2005) ressalta que a resolução de problemas é uma das tendências na

educação matemática e apresenta recomendações ao professor de como proceder

no uso da resolução de problemas matemáticos como objetivo, que traz a solução

com significado que se ensina matemática para resolver problemas.

Nas recomendações didáticas acerca da resolução de problemas como

objetivo, Sá (2005) observa que cada situação determina uma interpretação mais

adequada para o desenvolvimento de problemas em cada momento, assim, o autor

destaca em seu artigo 15 sugestões para melhor criar ou selecionar os problemas a

serem propostos em sala:

1- Começar propondo problemas que todos os envolvidos sejam capazes de

resolver;

2- Substituir os números grandes por números pequenos;

3- Reduza as dificuldades com a leitura;

45

4- Use o contexto social e o nível de interesse dos alunos;

5- Substituir as questões do tipo “coloque falso ou verdadeiro” por questões do

tipo “Dê um exemplo de”; (grifo Sá, 2005)

6- Dê uma sequência de exercícios algoritmos com um propósito específico;

7- Faça a inversão de um problema conhecido;

8- Apresentar dados para que os alunos construam os problemas;

9- Apresentar problemas que faltam dados, para que o aluno os descubra;

10- Não dizer ao aluno o que ele pode descobrir só;

11- Não proteger demais o aluno dos erros;

12- Oportunizar a socialização das equações encontradas;

13- Estimular a troca de ideias entre alunos;

14- Decompor um problema mais elaborado numa sequência de problemas

mais simples.

15- Utilizar as listas de problemas propostas com referência para elaboração de

testes.

Sá (2005) conclui ressaltando a importância de exercícios rotineiros por serem

comumente abordados em processos seletivos e além disso estes tipos de problemas

são poucos explorados nos livros didáticos disponibilizados pelas secretarias de

educação públicas e quando é abordado não estão no nível que é cobrado nos

certames, deixando o aluno com a ideia errônea de que é capaz de resolver

problemas. Desta forma, o autor indica que fizesse necessário a complementação

destes materiais didáticos com questões oriundas de concursos.

Na sequência de seus estudos sobre o uso da resolução dos referidos

problemas, Sá (2006) faz sugestões que podem ser utilizados como processo em sala

de aula com o emprego de problemas matemáticos não-padrões3. O autor destacou

estratégias de resoluções de problemas de forma que a partir destas possa se

estabelecer uma linha de aprendizado de resolução dos mesmos, como a tentativa e

erro, a busca de padrões, resolver um problema mais simples, trabalhar em sentido

inverso, e pôr fim a simulação.

A resolução de problemas com processo, direciona o olhar para o desempenho/

transformação dos alunos como resolvedores dos citados problemas. Assim, Sá

3 Problemas que exige certa dose de criatividade por parte de quem resolve.

46

(2006) ainda faz recomendações acerca do uso da resolução de problemas com

processo, seguindo 5 princípios adaptados de Butts (1997):

1. A resolução de problemas não deve ser uma atividade isolada para ser

separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do

currículo e cuidadosamente preparada, para ser utilizada de modo continuo

e ativo ao longo do ano letivo;

2. O fato de existirem problemas difíceis não é motivo para eles serem

evitados;

3. Quanto mais estratégias para resolver problemas, as pessoas conhecem,

ficam mais preparadas e estarão aptas a enfrentar os obstáculos da vida;

4. A flexibilidade na resolução de problemas é um tipo de comportamento que

se aprende;

5. É preciso tempo para se desenvolver a habilidade de resolver problemas.

Além destas sugestões Sá (2006) ainda complementa com outras 7 situações

baseadas na experiência.

1. Incentive o aluno a considerar estratégias diferentes que possam ser

usadas para resolver um problema, usando materiais/procedimentos

diversos;

2. Use perguntas para focalizar a atenção do aluno na informação pertinente

dada no problema;

3. Sempre que possível planeje dentro de cada conteúdo ou unidade

trabalhada sessões de resolução de problemas na interpretação do

processo;

4. Estimule os alunos a resolverem e/ou apresentarem/ formularem problemas

criativos dentro de cada assunto estudado;

5. Não subestime a capacidade dos seus alunos em propor e/ou resolver

problemas;

6. Realize sessões de resolução de problemas estimulando o trabalho em

grupo;

7. Não proponha problemas não padrões em avaliações de conteúdos

trabalhados.

47

Sá (2006) conclui destacando a importância da resolução de problemas como

processo principalmente na resolução de problemas não-padrões pelo fato de ser

necessário mais que a aplicação de algoritmos e também a aplicação de raciocínios

melhor elaborados. O autor acredita que se a resolução de problemas fosse

trabalhada em maior escala, as dificuldades dos alunos participantes de processos

seletivos seriam menores e o preparo do cidadão em geral para enfrentar situações

do dia-a-dia seria maior, aplicado em problemas padrões e não-padrões.

Quanto a forma de abordar o estudo de equações polinomiais do segundo grau.

Fanti et al (2008) destacou o ensino destas equações mediante o uso de diversas

metodologias, principalmente aquelas que se relacionam com jogos aliados a

informática, para que fosse potencializado o aprendizado dos alunos da 8ª série/ 9º

ano, pois para a autora o uso destes procedimentos tem-se mostrado ferramenta

eficaz para o trabalho com alunos jovens.

O trabalho descrito tomou como ponto de partida a reforma de uma quadra

poliesportiva da escola em que foi produzida a pesquisa, que pôde ser usado com a

situação problema. Fanti et al (2008) desenvolveu o ensino de equações em 9

atividades utilizando vários processos, sendo esses específicos para o aprendizado

de conteúdos envolvidos com a equação do segundo grau, como:

1. Uso de vídeo aula para conceituação de equação do 2º grau e dedução da

fórmula de Bhaskara;

2. Leitura de livro Paradidático onde personagens desenvolviam métodos para

solucionar equações do segundo grau;

3. Jogo Vai-e-vem das equações para trabalhar os coeficientes de uma

equação do segundo grau;

4. O Algeplan para trabalhar as fatorações das equações do segundo grau;

5. O software Equações do 2º grau V 1.5, para auxiliar no jogo do vai-e-vem

das equações, verificando se a resposta estava correta;

6. Pesquisa de campo para que os alunos tomassem conhecimento de

algumas informações para posterior aplicação na resolução do problema

com a área de escape da quadra;

7. Resolução do problema inicialmente proposto, sabendo das dimensões

coletadas em trabalho de campo, os alunos puderam resolver a equação

que representava o problema;

48

8. Representando, com o Winplot, a parábola associada a cobertura da quadra

9. Com o Excel foi estabelecido a equação da cobertura da quadra e posterior

gráfico;

Fanti et al (2008) conclui destacando a possibilidade do uso de situações

problemas fornecidos pelo cotidiano dos alunos, unido com metodologias alternativas

para o aprendizado mais significativo e prazeroso, de forma que o aluno se observe

inserido no processo de ensino.

Morais (2008) desenvolveu seu estudo objetivando como o uso de problemas

contextualizados auxiliam no ensino aprendizado escolar de polinômios, utilizando

materiais concretos e conhecimentos prévios já estudados. Em sua pesquisa a autora

tratou o ensino de polinômio de forma qualitativa a partir de um estudo de longa

duração com aplicação de um projeto a alunos da 7ª série e posterior aplicação a

esses mesmos alunos já na 8ª série do ensino fundamental II da continuidade do

projeto inicial.

Em seu trabalho, Morais (2008) com foco no ensino de uma matemática com

contextualização significativa, buscou em materiais didáticos e paradidáticos

exemplos de metodologias que fossem úteis para este objetivo. Com isso, a autora

encontrou em Imenes & Lellis (2002) o exemplo de problema que foi posteriormente

aplicado ao grupo de alunos divididos em grupo, como podemos observar abaixo.

Figura 7: Atividade base

Fonte: Imenes & Lellis (2002)

49

Neste problema se pode constatar a utilização da abordagem Dedutivo-

Geométrico de problemas do segundo grau com uma variável, em que o aluno deveria

ser capaz de lembrar e aplicar conhecimentos prévios de medidas e áreas que

recairiam em uma equação polinomial do segundo grau com uma variável. A seguir

observamos a resolução proposta pelo material didático.

Figura 8: Resolução do livro

Fonte: Imenes & Lellis (2002)

A resolução apresentada na figura 6, referente ao problema proposto na figura

5 exposta pelo livro de Imenes & Lellis (2002), propõe descritivamente o processo de

construção da equação algébrica que dará a área total da caixa de papelão em função

da medida x desconhecida, somando-se as áreas dos quadrados e retângulos que

compõem a caixa de papelão planificada, como um todo. Posteriormente o livro traz o

problema 18 similar ao proposto e resolvido anteriormente, mostrado na figura 7, como

oportunidade de fixação do conteúdo, com o uso da experiencia adquirida na questão

17.

50

Figura 9: Problema base

Fonte: Imenes & Lellis (2002)

Desta forma, Morais (2008) fazendo uso da construção de caixas de papelão

beneficiou o processo de aprendizado dos alunos com uma alternativa de ensino

pouco utilizada nas aulas regulares de matemática, de forma que pudessem observar

a construção matemática polinomial de forma lúdica, artesanal e participativa.

Neste processo de aprendizado podemos observar a produção educacional dos

alunos mediante o problema de construção sugerido pela autora.

Podemos fazer uma conexão com o trabalho de Sá (2009) que aborda a

resolução de problemas como ponto de partida nas aulas de matemática, para que

seja usado como recurso pedagógico para iniciar a construção do conhecimento

específico. O que podemos relacionar com a importância do uso de situações

problemas nas aulas.

O autor faz uso de sua experiência para sugerir recomendações para o uso da

resolução de problemas como ponto de partida:

1. Não tente fazer uma aula desse modo de maneira improvisada;

2. Determine qual é o problema mais simples e interessante para turma que

uma operação ou conceito matemático auxiliam a solução;

51

3. Descubra um processo de resolver o problema sem uso da operação;

4. Proponha a situação-problema em sala de aula e disponibilize um pouco de

tempo para turma pensar numa solução;

5. Solicite que a turma apresente uma solução ao problema ou apresente a

solução que você tem;

6. Faça um registro escrito e detalhado da solução para toda a turma;

7. Analise com a turma os invariantes que surgiram na resolução do problema.

8. Solicite da turma uma conclusão operacional para resolver o problema

apresentado;

9. Sistematize o conceito e o conteúdo que você tinha como objetivo trabalhar;

10. Mostre como fica a solução do problema proposto com o uso do conteúdo

sistematizado;

11. Proponha outras questões envolvendo o assunto sistematizado.

Posterior a pontuação dessas sugestões, o autor faz a construção de exemplos

utilizando-os claramente aplicados a assuntos de ensino fundamental e médio, mas

deixando em aberto para a aplicação no ensino superior também.

Podemos acompanhar também no trabalho, a advertência que o autor faz

quanto ao uso limitado do ensino de problemas como ponto de partida, entretanto

reconhece a resolução de problemas como ponto de partida sendo excelente para o

desenvolvimento flexível e criativo do aluno.

Vale ressaltar, que mesmo não sendo uma aplicação direta ao tema de

equações de segundo grau, o estudo de Graça (2011) abordou o ensino de problemas

de primeiro grau por atividades e seus efeitos em alunos do 7º ano do ensino

fundamental.

Em sua metodologia usou primeiro um questionário diagnóstico para uma

análise prévia sobre o ensino de seu referido tema na visão discente e docente do

processo de ensino e aprendizado no 8º ano. Posteriormente, assumiu uma sequência

didática composta de 9 atividades posteriormente subdivididas, que abordou o

processo necessário para o ensino-aprendizado de ensino de problemas do 1º grau,

como: ensino de tradução, atividades de problemas do 1º grau com uma incógnita; e,

atividades de problemas envolvendo sistemas do 1º grau.

Em seu trabalho Graça (2011) fez uso de uma atividade metodológica

diferencial despertando uma atividade lúdica com o uso de um baralho onde o aluno

52

relacionava o comando na linguagem materna com a equação matemática

correspondente como pode ser observado a seguir.

Figura 10: Exemplo de cartas do baralho

Fonte: Graça (2011)

Após desenvolver a prática da tradução de equações do primeiro grau o aluno

era direcionado a resolução de problemas do primeiro grau com uma variável em

situações padrões e não padrões. Após análises feitas posterior aplicação de sua SD,

Graça (2011) concluiu que os testes apontaram resultados relevantes no percentual

de acertos nos problemas propostos e assim, a sequência didática favoreceu o

aprendizado.

A pesquisa proposta por Brandão (2014) foi desenvolvida com alunos do

primeiro ano do ensino médio da rede pública da cidade de Lagoa Seca – PB afim de

analisar a dificuldade do ensino aprendizado do conceito, representação e

formalização de funções com o uso de múltiplas representações com intermédio da

resolução, proposição e exploração de problemas.

Com o uso da metodologia de resolução de problemas, o autor tem o objetivo

de fazer com que o aluno reflita sobre o que está estudando, ou seja, aprenda a

aprender e se torne mais crítico com a capacidade de melhor entender o mundo a sua

volta. Sobre o uso e metodologia de resolução de problemas, destaca-se o uso das

quatro etapas defendidas por George Polya em seu livro “A arte de resolver

problemas” (1994, 1ª ed. Em 1945).

Para o desenvolvimento das resoluções por parte dos alunos, Brandão (2014)

fez uso das seguintes etapas: compreensão do problema, elaboração de um plano,

execução do plano e a verificação da aplicabilidade. Para estes passos, o autor

53

aplicou atividades à grupos compostos por três alunos para uma melhor interação de

ideias.

Figura 11: Problema proposto

Fonte: Brandão (2014)

Brandão (2014) verificou que a metodologia de resolução de problemas

cotidianos utilizada foi bem aceita pelos alunos, proporcionando uma maior autonomia

e interação entre professores e companheiros de grupo para superar as dificuldades.

O pesquisador Pinheiro (2014) fazendo uso de sua experiencia na vida

docente, observou a carência, precariedade ou a própria falta de preparo por parte de

professores para o uso de novas tecnologias disponíveis em laboratórios de

informática de escolas públicas.

54

E por este fato, aliou seus estudos do ramo da Tecnologia de Informação e

Comunicação - TIC para desenvolver sua pesquisa aplicada a alunos do 1º ano do

ensino médio da rede pública de São João de Pirabas – PA, unindo três metodologias

de ensinos: Ensino por atividades, Modelagem Matemática - MM e a TIC.

Com a intensão de detectar a influência de uma SD que faz uso da produção

de aplicativos na plataforma MIT APP Inventor no ensino de função do primeiro e

segundo grau, Pinheiro (2014) desenvolveu eu seu trabalho, atividades em que os

alunos, partindo de um texto base com uma situação problema da construção da

cobertura para o estacionamento de motos e bicicletas, tinham a liberdade para

desenvolver um modelo matemático como proposta de solução do problema e em

seguida era dado início a construção do aplicativo que por fim foi usado para resolução

da atividade.

Figura 12: Imagem do estacionamento para moto e bicicleta

Fonte: Pinheiro (2017)

Na imagem acima, podemos observar a exposição do estacionamento para

moto e bicicleta que os alunos puderam modelar matemática com a planificação

transversal, no qual os discentes fizeram uso das dimensões verificadas por eles

próprios e posteriormente formalizaram em forma gráfica em um plano cartesiano para

ser estudada em forma de programação de aplicativos com os coeficientes

necessários.

55

Figura 13: Croqui do estacionamento para moto e bicicleta

Fonte: Pinheiro (2017)

Tendo em posse da situação problema e com intermédio do professor, os

alunos passaram a responder e discutir questionamentos preestabelecidos para que

fosse formulado uma estratégia de determinação da função a partir de dois pontos. E

posteriormente construção do aplicativo.

Figura 14: Aplicativo para determinar a função a partir de dois pontos

Autor: Pinheiro (2017)

Pinheiro (2017) com auxílio das teorias Semiótica e Microgenética pode

concluir que o entusiasmo dos alunos ao fazerem parte da construção do

conhecimento foi um fator positivo, pois além de alcançarem o entendimento do

56

assunto puderam interagir com os colegas colaborando com ideias e despertando sua

autonomia na resolução de problemas.

3.2 CAMINHOS DO APRENDIZADO: CURRÍCULO E AVALIAÇÃO

Estabelecer o laço entre currículo e avaliação tem sido ultimamente um tema

bastante discutido, e atrelar este debate a um assunto matemático específico torna-

se ainda mais complexo, por ter que levar em consideração muitas variáveis, sejam

em relação ao aluno, conhecimento ou professor. Assim, a elaboração desta seção

percorreu abordando e ponderando o objetivo de apontar e discutir os principais

fatores que dificultam o aprendizado de problemas que relacionam equações

polinomiais do segundo grau com uma variável na perspectiva curricular e de

avaliação, e ainda, proporcionar um maior suporte e reflexão para ser utilizado na

construção da SD.

A resolução de problemas do segundo grau com uma variável é abordada na

Base Nacional Comum Curricular de forma particionada, no 8º e 9º ano, tendo como

centro o aluno que por sua vez, deve ser habilitado com o uso da Álgebra como

unidade temática, ter o conhecimento necessário e suficiente para saber resolver e

elaborar problemas que possam ser apresentados por equações polinomiais do tipo

ax² = b. Fazendo com que o domínio do conteúdo e a competência para aplica-los,

sejam vislumbrados como finalidade e para isso durante o trajeto de estudo do aluno

seja desenvolvido um aporte didático e metodológico propício.

Assim, o referido tema aprofundou-se com a problemática de que é corriqueiro

os alunos possuírem extrema dificuldades em traduzir, interpretar e posteriormente

solucionar os problemas quadráticos que estão em língua materna para a linguagem

matemática dos códigos, como abordado por Silva (2016) em sua obra Educação

Matemática: Caminhos Necessários.

Desta forma, esta seção tem caráter de pesquisa mista, sendo primeiramente

quantitativa, por se tratar do levantamento de dados mediante pesquisa de campo e

em seguida temos o caráter qualitativo com embasamento bibliográfico em textos

científicos recentes e filosofias consolidadas, que juntamente com análise de dados

coletados em pesquisa de campo com uma amostra de 100 alunos e posterior

tabulação para apreciação e diagnóstico.

57

Levar em consideração a complexidade da aprendizagem do aluno de forma

como Silva (2016) defende a relevância dos valores protodidáticos4, no

desenvolvimento cognitivo do estudante, que não deva ser deixado de lado pelos

professores, que como mediadores do processo de conhecimento necessitam estar

sensibilizado com esta situação, reforçando o que é desejável pela Base Nacional

Curricular Comum (BNCC) que é usar as situações cotidianas dos alunos como forma

de ensino aprendizagem, admitindo que todo aluno já tenha, um conhecimento prévio,

mesmo que não seja com sua formalidade, o contato com a matemática, em si.

[...] o aprendizado das crianças começa muito antes delas freqüentarem a escola. Qualquer situação de aprendizado com a qual a criança se defronta na escola tem sempre uma história prévia. Por exemplo, as crianças começam a estudar aritmética na escola, mas muito antes elas tiveram alguma experiência com quantidades – elas tiveram que lidar com operações de divisão, adição, subtração e determinação de tamanho. Conseqüentemente, as crianças têm a sua própria aritmética pré-escolar, que somente psicólogos míopes podem ignorar (VYGOTSKY, 1989, p. 94-95).

Assim, o processo de ensino e aprendizagem deve ser desenvolvido

mutuamente ao acompanhamento curricular da matemática e com a forma de

avaliação aplicada para obter a assimilação do assunto explanado pelo professor, haja

visto que os assuntos estudados durante as aulas são retirados dos documentos

curriculares ora construído e tendo como base na necessidade que um aluno deverá

saber em meio e no fim de sua carreira estudantil básica, como define De Mello (2014).

Currículo é tudo aquilo que uma sociedade considera necessário que os alunos aprendam ao longo de sua escolaridade. Como quase todos os temas educacionais, as decisões sobre currículo envolvem diferentes concepções de mundo, de sociedade e, principalmente, diferentes teorias sobre o que é o conhecimento, como é produzido e distribuído, qual seu papel nos destinos humanos. (p.1)

A participação do aluno é valorizada com o uso das experiências e

conhecimentos matemáticos já vivenciado por ele em seu cotidiano como De Mello

(2014) destaca não sendo uma verdade fixa, assim, deve se destacar que o currículo

brasileiro passou por um longo e conturbado caminho até chegar ao que temos hoje,

desde a chegada da corte portuguesa em 1808, com a busca por suprir a carência

4 Derivação pelo Autor Silva (2016) do termo protomatemático.

58

educacional dos portugueses que vieram refugiados para o Brasil e a criação por João

IV de várias instituições de produções de conhecimento, sejam escolas de ensino

superior, bibliotecas, laboratórios, jardins e até mesmo imprensas, fazendo com que

desse início a reflexão de que era preciso um norte a se seguir no ensino, um currículo.

Passado a fase de ensino exclusivo da elite, somente em meados de 1830 outra parte

da população teve, mesmo que de forma tímida, a oportunidade de a aprender a ler e

escrever nas escolas primárias, sendo importante pela produção do primeiro currículo

Nacional básico, ainda não especificado a denominação Matemática, tendo essa

aparecido somente em 1925 na reforma de Rocha.

[...] em geral de 4 anos de duração – e no nível então chamado de “superior” que corresponderia ao que hoje chamamos de ensino fundamental II e ensino médio No nível elementar estavam incluídos leitura, escrita, e conteúdos muito básicos de gramática, aritmética, pesos e medidas, além de história sagrada e educação moral [...]. (De Mello, 2014, p.3)

No passar dos anos foram poucas as mudanças, além da Leis Orgânicas de

1940 e a listagem das matérias obrigatórias para o currículo, sendo estas leis em

seguida reguladas pela LDB nº 4024/1961 centrada no conhecimento, onde Estado e

União deveriam estabelecer as disciplinas optativas e quais as obrigatórias

respectivamente. Com a militarização de 1964, surgiu o modelo profissionalizante de

ensino e o aperfeiçoamento pela LDB nº5692/1971 com as áreas de estudo e as

disciplinas.

Com a chegada dos anos 80, mediante a uma nova fase social, se fez

necessário a produção de novas linhas no que tange ensinar e avaliar o aprendizado.

Posteriores discussões em encontros internacionais que discutiam a educação a

exemplos das reuniões desenvolvidas pela NCTM e suas recomendações para o

ensino de matemática e UNESCO em 1990, onde tomou importância os resultados da

aprendizagem para uma aplicação relacionada, posteriormente denominada como a

competência e habilidades do estudo na OCDE de 2001, dando base a Nova LDB de

1996, os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN’s de 1997 e não menos importante

Base Nacional Comum Curricular (BNCC), juntamente com sistemas avaliativos como

o IDEB.

O IDEB funciona como um indicador nacional que possibilita o monitoramento da qualidade da Educação pela população por meio de dados concretos, com

59

o qual a sociedade pode se mobilizar em busca de melhorias. Para tanto, o Ideb é calculado a partir de dois componentes: a taxa de rendimento escolar (aprovação) e as médias de desempenho nos exames aplicados pelo Inep. Os índices de aprovação são obtidos a partir do Censo Escolar, realizado anualmente. (MEC, 2016).

Os PCN’s traduzem de forma mais detalhadas os objetivos e conteúdo a serem

abordados nos anos de estudos, enquanto hoje o objetivo central da BNCC traz

consigo direcionar o professor que como facilitador da “reconstrução’’ do

conhecimento, levando em consideração o que já foi abordado em séries anteriores

com o aluno e a importância da base de conhecimentos sociais do mesmo,

destacando como formas de conexões e recursos didáticos que deva ser usado para

despertar um maior interesse do aluno em decodificar e modelar problemas

corriqueiros com a linguagem matemática.

Segundo a BNCC (2017), planilhas eletrônicas e softwares de geometria são

exemplos de tecnologias da Informação que o documento cita de forma geral, como

sendo subterfúgios que podem vir a ser usados como auxilio no ensino matemático

como um todo, não especificando ou restringindo programas ou aplicativos algébricos

que auxiliam na resolução de problemas do referido assunto, desta forma fica a cargo

do professor buscar no meio de tantos, um recurso tecnológico para lhe ajudar na

compreensão das resoluções de problemas do segundo grau com uma variável.

Quanto ao conteúdo, problemas com equações polinomiais do segundo grau

com uma variável, toma maior destaque no eixo algébrico dos anos finais do

fundamental do documento da BNCC, sendo abordados como objetivos de

aprendizagem saber resolver e elaborar problemas que envolvam equações do

segundo grau, anos em que as disciplinas tomam densidade e por este conteúdo ser

de fácil aplicabilidade na interdisciplinaridade. De forma similar o PCN objetiva o

desenvolvimento de habilidades para que o aluno assuma a competência de utilizar o

conteúdo em diferentes áreas do conhecimento.

O direcionamento do Ensino Fundamental para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; a importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; a ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas. (BRASIL, 1996, p.20).

60

Os problemas algébricos, em especial do segundo grau, são bastante

abrangentes e de ampla aplicação pelo fato de poderem ser modelados a todo e

qualquer tipo de situações que necessite de um modelo algébrico, sendo estas

situações cotidianas ou não, de forma básica e direta, quando é desconhecido certo

valor para satisfazer equações aritméticas, as incógnitas.

De acordo com nossa experiencia docente ainda podemos observar que o

processo avaliativo aplicado aos alunos se resume unicamente a utilização de provas,

deixando ser avaliado a produção processual de conhecimento do aluno, acarretando

a um sistema avaliativo frágil por levar em consideração um instrumento avaliativo.

Contudo, ensinar e avaliar o aluno de forma homogênea nos remete a retroagir aos

anos de ensino fortemente tradicional, não observando que nem todos querem ser

futuros matemáticos e o desenvolvimento destas linhas de avaliação nos manda em

uma direção em que apenas um aluno com foco num estudo futuro na área das

ciências exatas tenha capacidade de ter um bom desempenho.

Entretanto, esta é apenas uma vertente que gera um muro entre aluno e

aprendizado, pode-se citar o fator das faltas de incentivo, qualificação específica,

valorização e estrutura mínima oferecida aos professores que devem fazer o máximo

com o mínimo. Como explanado por Miguel (2008), cada aspecto dessa problemática

merece a devida consideração e cumpre um papel determinante para o desempenho

das crianças nessa área do conhecimento.

Ainda sobre o processo avaliativo, em 2011 a Organização para a Cooperação

e Desenvolvimento Econômico - OCDE destaca como o resultado do aprendizado, a

capacidade do aluno operar o conteúdo aprendido em situações aplicáveis, ou seja,

ter competência. Fato este que norteia as políticas públicas utilizadas para avaliar o

processo de aprendizado e criação de metodologia para que seja alcançado.

Assim, ultimamente o processo avaliativo na matemática tem seguido a linha

de uma maior interação entre professor, aluno e aprendizado, de maneira mais

reflexiva, para que haja uma sensibilidade de que realmente houve a assimilação de

habilidades no processo de ensino, e o aluno possa ter competência de usar os

aparatos metodológicos e de conteúdos adquiridos. Por fim, para que tenhamos uma

maior sensatez no processo de avaliação é imprescindível a formulação de um

currículo nacional mais coeso com as dimensões continentais do Brasil, para que

assim possamos contornar os baixos índices de qualidade do aprendizado nacional

61

apontados pelo IDEB nos últimos anos, com os alunos correspondendo aos

descritores solicitados pelos exames avaliativos nacionais.

3.2.1 PROCEDIMENTOS DE CONSTRUÇÃO DA PESQUISA DE CAMPO

No que se refere a construção desta seção que aborda as dificuldades de

ensino e aprendizagem de equações do segundo grau com uma variável no contexto

curricular e de avaliação, se fez necessário para estabelecer um conhecimento

aprofundado sobre a temática educacional, e mais especificamente na área

matemática, a uso de procedimentos metodológicos, tais como análises de

bibliografias, discussões, roda-viva e GV/GO5, durante encontros rotineiros no curso

de mestrado em ensino de matemática da Universidade do Estado do Pará – UEPA.

Essas técnicas de estudo, na maioria das vezes, foram fundamentadas em coletâneas

de artigos científicos recentes, que abordavam desde a história da construção do

currículo em séculos passados, seus rumos e abordagens contemporâneas,

juntamente com as apreciações das diferentes concepções e vertentes de avaliação.

Com a aquisição de conhecimentos novos ou já consolidadas e difundidas

filosofias de ensino partiu-se para a apreciação do universo amostral que deverá ser

estudada, assim como uma pesquisa centrada no conteúdo matemático, problemas

do segundo grau com uma variável para a elaboração das 10 (dez) questões de

múltipla escolha que estão contidas na técnica de pesquisa escolhida, questionário,

que de acordo com Parasuraman (1991), o questionário é um conjunto de questões

que são organizadas com a finalidade de destacar dados para comprovar objetivos de

um projeto, que posteriormente foi aplicado juntamente a um questionário sócio

educacional à amostra de 100 alunos pertencentes ao primeiro ano do ensino médio,

da rede pública de ensino da cidade de Barcarena do Pará, que foi previamente

escolhido por já terem tido contato com o assunto investigado.

Ao iniciar o estudo através da pesquisa de campo, houveram algumas

conturbações, a começar pela busca da escola que aconteceria a coleta de dados,

pois fez-se necessários vários retornos à secretarias e direções escolares, mesmo

munido de todos os documentos comprobatórios da referida pesquisa (minuta do

5 Grupo de Verbalização e Grupo de Observação é muito utilizada com grande quantidade de participantes, para se debater certo tema.

62

projeto e declaração de vínculo com a IES), logo não foi a primeira escola procurada

que aceitou o projeto, demonstrado certo “receio” de serem perseguidos ou taxados

pelo provável baixo nível que os alunos poderiam vir a obter na participação e

resolução dos questionários.

Sobre a dificuldade de iniciar a coleta de dados, pôde-se constatar a falta de

parceria e comprometimento com pesquisas que pudessem vir a ajudar o processo

educativo dos alunos, quando pela atitude de um professor de matemática na primeira

escola que averiguei a possibilidade de aplicar os questionários aos alunos, o mesmo

adentrou a sala da direção para indagar as intensões da pesquisa e posteriormente

pontuando diversos obstáculos, para a diretora, que inviabilizariam a aplicação da

pesquisa naquela escola.

Ainda na busca de uma escola para desenvolver a pesquisa, fomos

rapidamente desencorajados por parte da coordenação da segunda escola que

tentamos verificar a disponibilidade, informando que dificilmente a direção viria a

autorizar a coleta de dados naquela instituição, pois nunca via retorno nos trabalhos

de campo que a escola vinha a participar.

A busca por uma escola para ser aplicado a pesquisa parecia ter chegado ao

fim quando, na terceira escola visitada, tivemos um retorno positivo quanto a intensão

de analisar o corpo discente da instituição. O acolhimento por parte da coordenação

pedagógica foi exemplar, pois mesmo com a escola estando em período de provas e

ainda no período de término de semestre foi estabelecido um horário entre as aulas,

para que fossem aplicados o questionário e o teste diagnóstico.

E assim deu-se início a coleta de dados, no primeiro dia tivemos dois horários

de 45 minutos para auxiliar uma turma do 1º ano do ensino médio com 32 alunos, logo

de início os alunos não mostraram muito interesse seja pelo fato simplesmente de se

tratar de um pequeno teste matemático, ou por ser um teste que não valeria nota extra

para a matéria e talvez por isso não demonstraram grande interesse em interpretar e

resolver as 10 questões problematizadas com equações do segundo grau que

seguiam no questionário. Este caso nos levou a refletir sobre a forma de abordar a

próxima turma que teria contato no próximo dia, pois nesta teríamos que ser mais

envolvente e persuasivos com os alunos para que assim viessem a se dedicar ao

preenchimento de seus questionários e na resolução do teste.

Infelizmente sem nenhum aviso prévio e nem posterior justificativa,

simplesmente, fui proibido de dar continuidade a coleta de dados, neste momento foi

63

notório a falta de ética e de comprometimento com a pesquisa que poderia vir a trazer

um diagnóstico e juntamente a melhoria do ensino naquela escola e de outras que

pudessem sofrer de dificuldades semelhantes.

Tal situação fez com que a busca por uma escola fosse retomada, e por se

tratar de um período que antecedesse as férias e consequente término de bimestre

com aplicação de avaliações, foi necessário desenvolver a busca por novas escolas

fora da cidade de Belém, sendo possível a retomada da pesquisa de campo na cidade

de Barcarena – PA.

Figura 15: Aplicação do questionário diagnostico

Fonte: Autores (2018)

Durante a continuidade da coleta de dados, agora na segunda escola que pude

aplicar os instrumentos de pesquisa, foi usado uma abordagem mais persuasiva e

menos técnica para auxiliar os alunos no preenchimento e posterior resolução do

questionário, modo que foi bem acolhido por grande parte dos alunos, pois foi notório

o maior empenho durante suas participações na pesquisa. Vale ressaltar que entre os

112 questionários aplicados nesta escola foram autorizados 103 pelos pais enquanto

na escola anterior apenas 28 alunos devolveram a autorização assinada pelos

responsáveis.

Vale ressaltar que para desenvolver esta análise usou-se uma linha mais

homogênea. Quanto a realidade e espaço geográfico e social houve o descarte dos

dados recolhidos na primeira escola, e ainda, foram usados para posterior tabulação

e análise apenas 100 recolhidos da escola pertencente a cidade de Barcarena.

64

3.2.2 CONCEPÇÃO DOS DISCENTES

Nesta seção foi feita a exposição e discussão sobre a concepção discente a

respeito da abordagem curricular e de que forma vem sendo avaliado os problemas

do segundo grau com uma variável, a fim de diagnosticar onde nossa pesquisa deva

se enquadrar na realidade do aluno. Assim, com a coleta e posterior tabulação dos

dados recolhidos em campo, pôde-se estabelecer relações e obter análises

proveitosas para responder as hipóteses levantadas em relação a interação ou

dificuldades na forma em que o aluno interage com o conteúdo apontado no currículo

e a avaliação escolar.

A pesquisa abordou alunos entre 14 e 19 anos, com 58% do sexo feminino e

42% masculino, sendo alunos do primeiro ano regular do ensino médio da rede

estadual de Barcarena - Pará. A amostra foi escolhida pelo fato de já terem tido

contato com o assunto matemático, problemas com equações polinomiais do segundo

grau com uma variável, pré-estabelecido para ser investigado por intermédio de um

questionário e um teste.

Diante da análise amostral estudada, vale destacar que como professor de

matemática do ensino básico e agora pesquisador, certos dados serviram para

confirmar algumas hipóteses e percepções que podem ser observadas em sala de

aula, como o gosto pela matemática, onde se obteve um valor expressivo de 58% que

alegam gostar um pouco, fato que pode ser melhor aproveitado para uma ampliação

do aprendizado. Entretanto, este gosto tende a cair no decorrer das séries pela falta

de afetividade no ensino, Silva (2016).

E conforme os anos escolares passam e as muitas variáveis, dependentes ou

independentes ao aluno, se tornam mais complexas é indispensável o auxílio e

acompanhamento de alguém para que haja o aprendizado e troca de experiencias,

fundamentando a corrente Vygotskyana da Zona de Desenvolvimento Proximal –

ZDP, onde o aluno deve ser assistido e aprenda com o outro, (professor, adulto ou

qualquer outro ente próximo) estimulando a potencialidade.

Com a falta de incentivo e auxilio por parte dos pais e responsáveis causa uma

grande barreira na produção de conhecimento destes alunos, que pode se justificar

pela baixa escolaridade dos pais, pela falta de esclarecimentos básicos, acarretando

num grave prejuízo a vida estudantil do jovem, haja vista que por mais que a escola

através do ensino concretize sonhos, é papel da família dar início a estas metas,

65

sendo claramente demonstrado no gráfico abaixo, onde 62% dos alunos relatam não

haver ajuda nas tarefas de matemática e alarmantes 27,3% dos responsáveis do sexo

masculino e 17,2% do sexo feminino possuem o nível fundamental incompleto.

Gráfico 1:Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

Não ter com quem contar em qualquer momento estudantil pode ocasionar

severos danos ao decorrer da vida educacional, a começar pela construção de

conhecimento que se faz necessário mediante a frequência de estudo, que em

seguida se transformará em uma rotina produtiva, não só especificamente na

matemática. O hábito do não estabelecimento da rotina de estudos recai no erro

comum de estudar fora da escola somente na véspera de prova ou pior ainda no

período de prova, como contam 52% dos alunos abordados. Abaixo podemos

vislumbrar especificamente a frequência relata dos estudos extraescolares.

Gráfico 2: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

66

Pela disciplina necessitar de um alto grau de dedicação e prática dos conteúdos

vistos em sala, a não organização de um horário de estudo traz consigo alguns

obstáculos para a aprendizagem, tais como a dificuldade de entendimento e

assimilação das explicações dadas nas aulas de matemática, ações estas podem ser

encaixadas nos esquemas contínuos de tomada de consciência, que não se reduz a

um simples processo de iluminação, mas uma construção da relação sujeito e objeto

Piaget (1977). Desta forma, ressalta-se a importância da verificação do aprendizado,

que se pode ser concretizada pela destinação de um momento particular do aluno em

estudar e resolver as atividades destinadas para casa, por seu professor.

Quando questionados sobre este entendimento das explicações 39% dizem

entender quase sempre e 36% somente as vezes, destacando que nada adianta

entender o que foi dito em sala de aula, se não for compreendido posterior prática

para compreensão e fixação, reforçando que diversas vezes o aluno se torna um mero

expectador nas aulas, passivo a explicação tradicional do professor, como pode ser

observado a seguir.

Gráfico 3: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

A forma de avaliar a aprendizagem matemática também foi um dado importante

a se destacar, pois 50% dos alunos dizem que provas e simulados são as formas mais

utilizadas, sendo esta forma avaliativa discutível por diversos pesquisadores salvo a

subjetividade dos alunos além de por diversas vezes trazer a exclusão por parte da

classificação, de forma que visa primordialmente a aprovação. E ainda, causando

temor entre os 51% dos alunos, que serão avaliados somente em um processo pontual

67

e inflexível que não leva em consideração construção e do conhecimento para a

resolução das questões cobradas em teste, mas sim somente a resposta final.

Gráfico 4: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

Como é de conhecimento da classe docente, despertar a atenção dos alunos

não é uma tarefa fácil, o que é comprovado com o gráfico acima onde 67% dos alunos

relatam que as aulas de matemática não, ou somente as vezes despertam interesse

a eles, e se acentua ainda mais seja pela vaga construção curricular regional da

disciplina citada que não corresponde as suas realidades cotidianas, como

estabelecido na Nova Base Comum Curricular, BRASIL (2017), e que 66% somente

as vezes conseguem e 10% não conseguem relacionar os conteúdos matemáticos

ensinas em sala de aula em seu dia a dia.

Vale ressaltar que 90% dos alunos observam que o professor demonstra ter

domínio do conteúdo e 96% dizem que suas explicações são regular, boas ou

excelentes, fechando com um saldo positivo, fato que gratifica o trabalho do professor

em detrimento de reconhecimento ao conhecimento específico matemático e didático.

Em um cenário controverso, pois para Sfard (apud CABRAL, 2004, p. 9) o ato-

processo de ensinar e aprender Matemática se constitui numa verdadeira “armadilha”.

68

Gráfico 5: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

O gráfico acima reforça a apreciação sobre o currículo não está devidamente

direcionado as peculiaridades e subjetividades dos alunos pesquisados, pois

somando os alunos que não conseguem relacionar os conteúdos matemáticos

ensinados em sala de aula no dia a dia com aqueles que as vezes conseguem totalizar

76%. Percebe-se que os objetivos do ensino da matemática têm o intuito de capacitar

o aluno primordialmente para saber aplicar a matemática nas situações cotidianas

como Barreto (1995) traz em seu trabalho.

Gráfico 6: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

Especificamente quanto ao assunto matemático pesquisado fez-se necessário

indagar os alunos acerca do estudo de equações do segundo grau pelo fato dos

problemas do segundo grau ser uma aplicação das equações citadas, onde 100% dos

alunos entrevistados estudaram equações polinomiais do segundo grau, entretanto

69

quando perguntados se haviam visto a aplicação das equações na forma de

problemas apenas 78% destes disseram ter estudado e dentro destes, 69% afirmam

que estas aulas em sua maioria iniciaram pela definição do assunto, exemplo e

posteriormente foi lhe atribuído exercícios reforçando a corrente tradicionalista que

neste caso torna-se divergente com a premissa da Nova Base Nacional Curricular que

traz em seu texto o uso da aplicabilidade da matemática, tal como o uso de situação

problema.

Gráfico 7: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

Quanto a prática do conteúdo com finalidade de fixação, 46% dos alunos

expõem que o professor apresentava uma lista de exercícios, que é uma maneira

utilizada pelo professor para que o estudante possa exercitar o assunto recém visto

de uma forma mais direcionada, com questões no modelo daquelas abordadas em

provas de seleção em massa, entretanto o uso de técnicas lúdicas como jogos e

brincadeiras direcionadas pedagogicamente em sala de aula podem desenvolver a

construção do conteúdo matemático Schneider (2004), tornando-se uma forma

alternativa interessante para ser utilizada e abrindo precedente para o uso de novas

metodologias direcionadas para cada conteúdo matemático e suas especificidades.

O mais alarmante no gráfico acima foi que 41% dos alunos relataram que seu

professor solicitava que fossem resolvidos os exercícios contidos nos livros didáticos

utilizados, condizendo com certa acomodação de parte dos professores que se tornam

dependentes apenas do livro didático, não utilizando nada além para auxiliar o ensino.

70

Quando indagados a respeito dos conteúdos contidos no assunto de equações

polinomiais do segundo grau, sobre lembrar de ter estudado tópicos e subtópicos e

ainda seus respectivos graus de dificuldades, destacou-se que comumente os alunos

tiveram certa confusão ao responder as indagações estabelecidas no questionário

pela denominação formal dos conteúdos, a exemplo da fórmula de Bháskara que é

usada corriqueiramente na resolução prática de equações polinomiais do segundo

grau, ou seja, é indispensável no ensino e aprendizado deste assunto, mas 17% dos

entrevistados alegam não terem visto, entretanto, como este conteúdo é de suma

importância e pré-requisito para outros assuntos se tornando obrigatório o estudo, é

provável que o aluno apenas não tenha conseguido lembrar de ter estudado.

Outro assunto que demonstrou a confusão com a formalidade foi sobre o

estudo do discriminante, assunto necessário para o uso da fórmula de Bháskara, onde

40% alegam não terem estudado, sendo este mais um pré-requisito para a resolução

de problemas com as equações do segundo grau que foi dito ter estudado por 83%.

Quanto a dificuldade nos problemas contextualizados encontrada pelos alunos

25% relatam que o conteúdo foi difícil e 25% dizem ser muito difícil, sendo esta

dificuldade relatada, facilmente observada também nos outros tópicos do conteúdo

investigado anteriormente como pode ser observado no quadro do questionário e

posterior teste, em anexo, com as 10 questões elaboradas baseadas nos descritores

de problemas do segundo grau , preenchido por um aluno escolhido aleatoriamente.

Gráfico 8: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

As realidades descritas no decorrer do corpo desta seção, se somaram e

puderam ser vistas na prática durante a resolução da segunda parte do questionário,

71

que continha 10 questões abordando problemas com equações polinomiais do

segundo de forma direta e contextualizadas, como uma forma de avaliar, o domínio

dos conteúdos inerente a equações do segundo polinomiais do segundo com uma

variável aplicados em situações problemas.

Durante o momento de resolução das questões pelos alunos, pôde-se observar

que os mesmos mostraram ter um baixo domínio de uso da forma prática de resolução

de equações do segundo grau, a fórmula de Bháskara, como observado na imagem

a seguir, de quando foi cobrado de forma direta, a determinação do valor

discriminante, o famoso Delta 67% dos alunos erraram a questão, e ainda vale

destacar que nem todos alunos referente aos 33% que obtiveram sucesso ao

assinalar a alternativa, justificaram seu acerto.

Gráfico 9: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2019)

Reforçando o fato dos alunos saberem enunciar, e de certa forma usar a

fórmula de Bháskara, mas seguindo a linha Piagetiana, primeiramente aprendemos a

fazer e somente depois compreendemos efetivamente, isso se aplica na observação

das resoluções lineares dos problemas, pois como as questões foram dispostas de

forma gradativa de contextualizações, as três iniciais foram as que obtiveram um maior

número de acertos, por terem sido elaboras com o direcionamento de resolução

explicito.

72

Gráfico 10: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

Entretanto, como já observado, estas porcentagens de acertos tenderam a cair

no decorrer que as questões foram aumentando o nível de contextualização,

interpretação e atrelamento dos problemas quadráticos com geométricos, por

exemplo, destacando até mesmo a falta de vontade de ao menos tentar a interpreta-

las, como pode ser visto no questionário em anexo. Fato que pode se justificar pela

dificuldade em efetuar a tradução da linguagem materna para a linguagem matemática

ou ainda pela baixa experiencia que o aluno possui em resolver problemas, para

posterior armazenamento de estratégias resolutivas e analogias.

Gráfico 11: Percentual dos 100 alunos que responderam a alguma das respostas ilustradas

Fonte: Autores (2018)

73

Atribuindo a falta de regionalização e baixo nível de modelagem matemática

das questões que foram e são comumente aplicadas em exercícios contidos em livros

didáticos, seguem as bases curriculares e que são produzidas em polos distantes de

nossas realidades, além de serem cobradas em provas e simulados.

A pesquisa serviu para enriquecer as reflexões de que como professor da rede

pública tivemos oportunidade de presenciar várias situações, desta forma é notório o

papel da construção de um currículo envolvente levando em consideração as

peculiaridades do principal envolvido, o aluno, para fazer com que o aluno tenha

vontade e interesse no estudo de forma que seja proveitosa e desenvolva uma

aprendizagem concreta.

Para se iniciar o estudo do conteúdo em foco é indispensável o uso das

sugestões dadas pelos Parâmetros Curriculares, de fazer uso de situações

problemas, pois os 19% de alunos que relatam ter iniciado o estudo dessa forma é

bastante baixo, levando em consideração que a utilização de situações problemas que

despertem a interesse dos alunos nas aulas serve para que ele veja uma aplicação

do ramo da matemática, e posteriormente possa se amenizar a questão sempre

levantada durante as aulas, onde vou usar isso?

a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p. 40).

O entendimento das explicações dadas em sala de aula quanto a aplicação

desta estão diretamente relacionadas ao currículo que por sua vez são desenvolvidos

em centros de estudos que não comungam da mesma política, cultura e entre outros

fatores que norteiam o aluno. Desta forma, a não consideração desses fatores gera

conflitos nos interesses dos alunos que por diversas vezes causa um bloqueio no

aprendizado.

a concepção de resolução de problemas seja a mais tradicional possível, isto é, de fazer aplicação de algoritmos aprendidos para resolver uma classe específica de problemas, é a concepção de avaliação que faz a diferença, e não o tipo de problema a ser resolvido. (SILVA, 2016, p.49)

74

Contudo, quanto mais tempo se levar para persuadir o aluno para um ensino

atraente e diversificado de acordo com seu pluralismo, maior será o déficit causado

pelos conteúdos atrasados de outros anos, que pela falta de assimilação por conta do

pouco estudo fora das quatro paredes da sala de aula como é evidenciado na

tabulação dos dados desta pesquisa, 24% não estuda fora da escola, e assim estes

alunos podem futuramente aumentar o grau de estudo como pais de uma nova

geração.

Quanto ao processo avaliativo, o tradicionalismo inflexível com avaliações

somativas ainda causa a exclusão e comparação, causando pavor e preocupação

entre os alunos como 44% alunos relatam, contudo já é perceptível a avaliação

processual qualitativa por parte dos professores que mesmo dando maior importância

na prova, já desenvolve atividades extras para acompanhar o processo de construção

da aprendizagem como projetos e pesquisas.

O tema das dificuldades de aprendizagem especificamente em problemas do

segundo grau com uma varável é pouco abordado na literatura científica matemática,

abordado para se justificar o fracasso do mal desempenho dos alunos. Acontece que

sua reflexão acerca de como as dificuldades passam a fazer parte do processo de

assimilação do conteúdo ensinado onde sem uma fundamentação teórica consistente

acaba por se fazer uma pesquisa rasteira e por tabela desprovida.

Saber realmente resolver um problema matemático modelado com assuntos

que envolvam a realidade do aluno, faz-se necessário que o professor desenvolva

uma avaliação processual, pois deve se levar em consideração que a criança é um

ser ilimitado de conhecimento e por isso o professor não pode se limitar como defende

Silva (2016). Assim, a escola e órgãos educacionais também tem papel

imprescindíveis para com a aprendizagem, pois sem o auxílio adequado não se pode

chegar a lugar algum.

Contudo, desenvolver um currículo que atenda a subjetividade cultural e social

do aluno assim como pretendido na BNCC (2017) juntamente com metodologia

especifica para cada assunto explorado, é a base para despertar o interesse do aluno

ao estudo da matemática e que assim o processo e desfecho de aprendizagem seja

bem avaliado no processo em que o principal ator, o estudante, não seja relacionado

a um valor numérico baseado em uma prova, mas sim o relacione com o que aprendeu

e aplicou esse conhecimento para seu desenvolvimento autônomo intelectual.

75

3.3 ASPECTOS MATEMÁTICOS

Nesta seção trataremos dos aspectos matemáticos fundamentais presentes no

ensino de problemas do segundo grau, assim como a dedução da fórmula resolutiva

de equações quadráticas e as classificações estabelecidas por nós juntamente com

os passos resolutivos de problemas proposto por Polya (1978).

Podemos assegurar que os problemas surgem a todo momento em nossas

vidas de diferentes formas, locais, dimensões e áreas. Cotidianos ou não, as situações

em que desencadeiam no ser humano a necessidade de um pensamento inovador ou

melhor elaborado para solucioná-las, foi e ainda é, a fonte originaria da ciência, a

exemplo, de uma simples tomada de decisão do movimento necessário para sair da

cama a determinar o padrão de movimentos de nosso sistema solar. No ramo escolar,

os problemas, em sua essência geralmente não fazem uso de uma única área de

conhecimento, ou seja, dada uma situação problema, real ou fictícia podemos

estabelecer uma estratégia para solucioná-la que transcenda o campo de

conhecimento de onde se originou o problema.

Como já vimos anteriormente, o conceito de problemas está atrelado a várias

interpretações, entretanto, aqui utilizaremos o entendimento de problemas do

segundo grau com uma variável, como sendo situações em que para solucionarmos

seja necessário a utilização de equações polinomiais do segundo grau. Desta forma,

como nosso foco principal é a aplicação destas equações, se fez necessário o

conhecimento prévio da definição e inferência de um método resolutivo de equações

completas ou incompletas. Pais e Freitas (1999) a importância do método dedutivo

para o ensino matemático é fundamental tanto para o professor quanto para o aluno.

Sobre as equações do segundo grau, utilizamos a formalização de François

Viète (1540 – 1603) explanadas em Dias, Lima e Freitas (2015). Chamamos de

equação do segundo grau completa, as equações do tipo

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 ∈ ℝ, onde 𝑎 ≠ 0.

Sejam 𝑥 = 𝑢 + 𝑣 as raízes dessa equação.

Substituindo na equação, temos:

𝑎(𝑢 + 𝑣)2 + (𝑢 + 𝑣)𝑏 + 𝑐 = 0

76

𝑎𝑢2 + 2𝑎𝑢 + 𝑎𝑣2 + 𝑏𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐 = 0

Vamos resolver a equação em 𝑣

𝑎𝑣2 + (2𝑎𝑢 + 𝑏)𝑣 + 𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0

Eliminando o coeficiente de 𝑣

2𝑎𝑢 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑢 = − 𝑏

2𝑎

Substituindo na equação

𝑎𝑣2 + 𝑎 (−𝑏

2𝑎)

2

+ 𝑏 (−𝑏

2𝑎) + 𝑐 = 0

𝑎𝑣2 + 𝑏²

4𝑎−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐 = 0

Simplificando a equação

4𝑎2𝑣2 + 𝑏2 − 2𝑏2 + 4𝑎𝑐 = 0

4𝑎2𝑣2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐 = 0

4𝑎2𝑣2 − 𝑏2 = −4𝑎𝑐

𝑣2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎² ⇒ 𝑣 = ± √

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎²

Como afirmamos inicialmente

𝑥 = 𝑢 + 𝑣 ⇒ 𝑥 = − 𝑏

2𝑎 ± √

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎²

77

Então,

𝑥 = − 𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Polya (1978) traz em sua obra “A arte de resolver problemas” a metodologia de

procedimentos subsequentes necessários para a resolução eficaz de um problema

em qualquer área matemática por qualquer um que se interesse no estudo, seja pelo

professor ou aluno, fazendo uso da Heurística6 como ponto principal do aprendizado

em seus exemplos expostos. Além de destacar os quatro procedimentos básicos

colocados como listas de indagações, ou sugestões: compreensão do problema,

estabelecimento de um plano, execução do plano e por fim o retrospecto suas

respectivas elucidações para a resolução de problemas

Se o leitor ficar suficientemente familiarizado com essa lista e conseguir perceber, por detrás da sugestão, a ação sugerida, ele verá que a lista enumera, indiretamente operações mentais típicas, úteis para a resolução de problemas. Estas operações estão relacionadas na ordem em que é mais provável que ocorra. (POLYA, 1978, p.1)

Em seu estudo Polya (1978) ressalta que o solucionador de problemas

inteligente muitas vezes faz a si próprio indagações semelhantes às constantes na

lista já citada. Sendo essa lista advinda do bom senso e da familiarização com o

problema e a aplicação desta aos estudantes por quantas vezes for necessário até

que se torne natural a concepção da mesma sempre que analisado um problema,

torna o aluno autônomo na resolução do mesmo.

Quanto a classificação e análise dos problemas para Polya (1978) há duas

grandes classes paralelas: problemas de determinação e problemas de

demonstração, o autor faz o alerta para a aplicação da lista apresentada por ele com

as etapas sequenciadas em que o aluno deverá seguir para fim de resolver um

problema, pois a mesma, apresenta restrição de aplicação somente aos problemas

de determinação algébricos, que é exatamente a aplicação dos problemas do segundo

6 é a arte de descobrir e inventar, uma característica típica dos seres humanos, principalmente

quando estes estão em busca de respostas para questões complexas.

78

grau com uma variável. Assim, neste trabalho estabeleceremos duas subclasses dos

problemas específicos de nosso tema, o texto e o contexto em que são apresentados.

Quadro 4: Classificação da exposição dos problemas

Texto Contexto

Problemas diretos

É apresentado de forma

concisa, direto e com os

dados necessários para

solução expostos de

forma explicitas.

Possui natureza teórica,

concreta, e puramente

matemático.

Problemas indiretos

É apresentado de forma

ampla, com os dados

para solução

estabelecido através de

análise sobre as

sentenças expostas.

Possui natureza prática

abstrata e reflexivo,

pode ter suas variáveis

relacionadas a mais de

um conteúdo

matemático ou área do

conhecimento.

Fonte: Autores (2018)

Ainda sobre o trabalho de Polya (1978), até hoje é um dos mais difundido, sobre

a resolução de problemas matemáticos, pela forma bem fundamentada e direta de

destacar os principais pontos indicativos para a resolução de uma problemática, com

comentários bem pertinentes a realidade de sala de aula, indicando esquemas e

analogia trazida de outros trabalhos publicados. Se transformando em um trabalho

rico para novas pesquisas com a utilização de práticas hábeis para compor a

competência do estudante em resolver o que o autor chamou de problemas rotineiros

e não rotineiros, que podemos ter como.

[...] mesmo que a equação quadrática não tenha sido resolvida genericamente sob a forma “literal”, mas se meia dúzia de equações desse tipo, com coeficientes numéricos, o tenham sido pouco antes, o problema poderá ser chamado “rotineiro”. De modo geral, um problema ser rotineiro se ele puder ser solucionado pela substituição de dados específicos no problema genérico resolvido antes, ou pelo seguimento, passo a passo, de um exemplo muito batido. (POLYA, 1978, p.124)

79

Sobre os aspectos matemáticos discutidos aqui a respeito dos problemas de

segundo grau com uma variável, podemos destacar a finalidade de discutir estes

aspectos para servirem de apoio básico para ser conhecido e seguido pelo professor

em sala de aula no processo de ensino, tendo em vista a importância dos esquemas

cognitivos construídos pelos alunos para utilizar na resolução dos problemas em

questão, partindo da definição das equações polinomiais do segundo grau,

conhecimento de uma forma resolutiva da mesma e por fim a construção e resolução

de etapas para entender e solucionar problemas.

Contudo, vale ressaltar que os trabalhos expostos neste capítulo, serviram de

suporte essencial para a construção de nossa sequência didática, pois foi possível

aprofundar o entendimento tanto do conteúdo foco desta pesquisa, quanto ao público

que será pesquisado. No qual, com o conhecimento dos estudos teóricos,

diagnósticos e experimentais, foi possível estabelecer uma estrutura fundamentada

em teorias testadas e difundidas cientificamente e em seguida foi constituído uma

análise e diagnóstico do ambiente em que o aluno está inserido, como: currículo e

avaliação segundo os discentes.

O capítulo seguinte traz nossa sequência didática, de problemas do segundo

grau com uma variável, para atingir os objetivos desse trabalho, junto com a

caracterização da escola e dos sujeitos da pesquisa, as Análises A Priori e A

Posteriori, culminado com uma Análise Geral e as Considerações Finais no último

capítulo, onde essas duas últimas seções descrevem o resultado que alcançamos

após a aplicação do nosso experimento junto aos sujeitos participantes.

80

4. SEQUÊNCIA DIDÁTICA

4.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A forma como se ensina a Matemática deve ser desenvolvida com a finalidade

explicita do aluno se apropriar no conhecimento novo. Assim, segundo Junqueira

(2018) os professores devem oferecer aos estudantes, atividades que possam

desenvolver suas habilidades cognitivas e psicomotoras7, em seguida este aluno,

deve desenvolver o domínio cognitivo, concretizando o ato de interpretar, manusear e

resolver problemas.

Tomando a definição de que Sequência Didática parte de um conjunto de

atividades preestabelecidas, com base nos estudos prévios sobre as peculiaridades

do conteúdo matemático e com o entendimento das especificidades dos alunos, em

nossa pesquisa, do 9º ano do ensino fundamental II da rede pública do estado do

Pará. Nossa Sequência Didática – SD tem a finalidade de desempenhar um ensino e

aprendizado mais eficiente e adequado aos problemas do segundo grau com uma

variável.

As pesquisas em Educação Matemática têm se desenvolvido segundo metodologias diversas, em abordagens quantitativas ou qualitativas. Entre as qualitativas, vários esforços podem ser percebidos na construção de seqüências didáticas e materiais didáticos em ambientes específicos, computacionais ou não, visando seja o estudo de sua aplicabilidade como o diagnóstico de concepções, dificuldades, obstáculos, níveis de desenvolvimento do raciocínio envolvido, entre outros. (ALMOULOUD E COUTINHO, 2008, p. 63)

Neste capítulo iremos expor análises prévias do teste diagnóstico e aulas de

nivelamento básico de equações do segundo grau para assim darmos início as SD

referente ao nosso tema central com seus detalhes de execução e planejamento,

como carga horária, material necessário, objetivos e suas respectivas expectativas

em relação a interação e ao desempenho, caracterizando a analise a priori de cada

atividade que irá compor a Sequência Didática.

A Sequência Didática foi dividida em quatro atividades, no qual a primeira foi

estabelecida para aprofundamento do conhecimentos prévios, as duas seguintes

foram fundamentadas nas teorias de ensino por atividades, tecnologia de informação

e comunicação com a utilização de App produzido pelos autores, que serviram de

7 Psicomotor se configura como a integração entre aspectos importantes ao corpo e à cognição do

aluno.

81

suporte para a culminância da execução da quarta atividade que, de uma forma geral

para ampla assimilação, será embasada na resolução de uma situação problema.

A organização da turma será feita de forma distinta, de acordo com cada

atividade trabalhada. Para as três primeiras atividades não será necessário a divisão

em grupos, pois entende-se que nestas atividades será abordado conceitos e

propriedades básicas de detenção individual que posteriormente entrará em

compartilhamento e aplicação modeladora.

A primeira atividade foi desenvolvida para suprir dificuldades acumuladas das

séries anteriores e ainda sobre a forma resolutiva das equações quadrática, haja visto

que nossa pesquisa atentou especificamente ao ensino de problemas destas

equações polinomiais. Essas dificuldades, algébricas e geométricas, podem ser

barreiras para a obtenção do objetivo da aplicação da Sequência Didática. Por isso,

para minimizar as possíveis dificuldades durante o processo da aplicação da

sequência didática, optamos por utilizar esta primeira atividade.

Na segunda atividade consistiu na exposição da importância e aplicação da

linguagem matemática e sua interação com a linguagem materna, nesta atividade o

aluno receberá um texto no qual aborda alguns exemplos de transição de sentenças

entre as duas linguagens, e ao fim desta elucidação o aluno poderá treinar sua

tradução pela utilização de um aplicativo no formato de jogo, produzido previamente

na plataforma MIT App Inventor 2, a viabilidade da utilização deste jogo se dá pelo

levantamento de que todos os alunos possuíam um aparelho celular de tecnologia

Android capaz de reproduzir o jogo que será disponibilizado pelo professor

pesquisador por um QR Code, mas em caso de falta de aparelhos, poderemos efetuar

o compartilhamento de aparelhos celulares ou tablets.

Na terceira atividade trabalharemos a classificação e distinção de problemas

do segundo grau por observação e descoberta de padrões na exposição de problemas

diretos, e posteriormente o aluno deverá, fundamentado nas teorias de resolução de

problemas de Polya (1978), formular uma estratégia e por em prática a resolução.

A quarta atividade foi estabelecida usando como base o trabalho de Fanti et al

(2006), e para isso será estabelecido a divisão dos alunos em grupos de no máximo

quatro integrantes. Nesta atividade os alunos serão instigados a resolver uma situação

problema de cálculo de área da quadra de esportes da escola, onde será

desconhecido uma das medidas necessárias e a outra estará em função desta

primeira, recaindo num modelo matemático polinomial do segundo grau. Vale ressaltar

82

que a todo momento os grupos serão auxiliados pelo professor/pesquisador e os

alunos terão que desempenhar o papel de pesquisador ao ter que estabelecer as

medidas necessárias para pôr em seus modelos e solução. Após as fases de

investigação, modelagem e resolução, cada grupo irá socializar suas linhas de

raciocínio e solução para o problema inicial.

Após cada atividade, exceto a atividade 1, pois se trata de uma atividade

destinada aos conhecimentos prévios, é feita uma intervenção expositiva, no qual será

dado o teor formal da Matemática ao tema abordado.

A divisão das atividades será proposta de acordo com o quadro abaixo, o qual

exemplifica quais serão os momentos da sequência didática, o tempo aproximado

para a realização de cada atividade e os objetivos específicos de cada atividade.

Quadro 5: Quadro explicativo das aulas da Sequência didática

Aula Descrição da aula Tempo (minutos) Objetivo

1 Atividade 1 100 Relembrar

conhecimentos prévios

dos alunos.

2 Atividade 2 150 Tradução da linguagem

materna para

matemática.

3 Atividade 3 100 Estabelecer estratégias

e resolver problemas do

segundo grau com uma

variável.

4 Atividade 4 100 Abstrair e resolver

situação problema.

Fonte: Autores (2019)

83

4.2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA COM A ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES

Atividade 1

Título: Pré Sequência Didática.

Objetivo: Restabelecer e alcançar conteúdos básicos de equação do segundo grau e

áreas do quadrado e retângulo.

Material: Apostila com exercícios preestabelecidos.

Procedimento a serem realizados: Entregar a cada aluno uma lista com o texto

sobre questões que foram escolhidas por direcionarem procedimentos de revisão de

conteúdos passados de forma direta.

Carga horaria: 100 minutos.

1- Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

a) 5x2 - 3x - 2 = 0

b) 3x2 + 55 = 0

c) - 6x + x² = 0

d) - 10x + 25 + x² = 0

2- Calcule o discriminante de cada equação:

a) x² + 9x + 8 = 0

b) 9x² - 24x + 16 = 0

c) x² - 2x + 4 = 0

3- Resolva a equação:

a) 4x² + 8x + 6 = 0

b) x² - 4x – 5 = 0

c) 1 + 2x = - x²

4- Os números -2 e 4 são raízes da equação:

a) 2x + 4 = 0

b) 2x² - 9x – 16 = 0

c) x² - 2x – 8 = 0

d) x² - 2x + 1 = 0

84

5- Calcule a área de um retângulo com base de 8 m e altura de 2 m. Use a figura

abaixo como suporte para a resolução da questão.

6- Um campo de futebol tem o formato de um retângulo de comprimento (2x+20)

metros e largura (x+45) metros, conforme a figura ao lado. Sabendo que a área

desse campo é de 8500 m2, assinale a alternativa que

indica CORRETAMENTE a medida do raio do círculo central:

a) 10 m

b) 15 m

c) 20 m

d) 25 m

e) 30 m

Análise a priori: Nesta atividade pretende-se lembrar os assuntos prévios e

necessários para entender os problemas do segundo grau com uma variável que será

explorado nas atividades seguintes de nossa sequência didática. O aluno irá aplicar

em cada questão proposta, um subtópico da equação quadrática, tais como: definição,

discriminante, raízes. Foi lembrado conceitos básicos dos cálculos de áreas dos

quadrados, retângulos e triângulos. Espera-se que o aluno não demonstre

dificuldades, pois estes conteúdos são ministrados, geralmente, no término do 8º e

início do 9º ano, mas pode ter dificuldades na interpretação do que for solicitado.

85

Vale ressaltar que anterior a resolução desta atividade, os alunos terão uma

oficina expositiva dialogada sobre equações quadráticas e áreas de quadrados,

retângulos. O conteúdo visto está disponível em anexo A.

Atividade 2

Título: Linguagem Matemática

Objetivo: Perceber a matemática como uma linguagem.

Material: Apostila com texto e Qr code para instalação de um aplicativo.

Procedimento a serem realizados: Entregar a cada aluno uma apostila com o texto

sobre a importância de se comunicar e linguagem matemática, analisar e discutir a

importância e aplicação dos símbolos matemáticos e solicitar aos alunos que joguem

no aplicativo tradutor pré-produzido.

Carga horaria: 150 minutos.

“Quem não se comunica se trumbica!”, já dizia o saudoso apresentador da Tv

brasileira Chacrinha quando queria enaltecer a principal função da linguagem que é

entender e ser compreendido.

Toda linguagem presente em nosso mundo nada mais é que a utilização de

códigos e símbolos, para expressar algo, tanto escritos quanto falados, e nesse

contexto pode encaixar a Matemática como sendo mais uma linguagem, uma

linguagem que une diversas peculiaridades como a lógica de padrões que regem o

mundo, entretanto, por muitas vezes a matemática faz uso de códigos emprestados

de outros idiomas por não possuir uma sonoridade própria, mas possui símbolos

próprios.

Na matemática, chamamos de incógnita ou variável quando queremos

expressar um ou mais valores que são desconhecidos naquele momento e

comumente substituímos esse valor desconhecido por uma letra ou qualquer outro

símbolo que o represente.

Desta forma, podemos traduzir várias situações de nosso dia a dia, de nosso

idioma oficial português para o idioma matemático, assim como as proposições

abaixo:

86

- Um número. (Idioma oficial)

Traduzindo esta sentença para a linguagem matemática, devemos estabelecer

o símbolo que representará este número de forma geral, podendo ser um (triangulo),

um (quadrado), um (coração), ou uma letra de nosso alfabeto como é mais usual

(A, B, X, etc).

- O dobro de um número é igual a dez. (Idioma oficial)

Nesta sentença acima no idioma matemático temos que: o número poderá ser

representado pela letra X, portanto o seu dobro será 2.X (duas vezes o X) que deverá

ser = (igual) a 10 dez.

Ou seja,

2.X = 10

- A metade de um número é igual a seis. (Idioma oficial)

Tomaremos o número sendo ∆ (triângulo), logo ∆

2 (metade do número) que

deverá ser = (igual) a 6 (seis).

Ou seja,

∆

2= 6

Desta forma, podemos concluir que a fluência no idioma matemático só se dará

assim como nas outras línguas faladas no mundo, com a prática. Vale ressaltar que a

matemática assim como o inglês, francês, espanhol e entre outros, além de um

diferencial, já é uma necessidade para se destacar em qualquer caminho que

queiramos seguir.

Aplicativo de assimilação

Para facilitar e potencializar a tradução de sentenças que estejam inicialmente

na língua materna e que deverão ser expressas com os símbolos da linguagem

matemática. O uso do aplicativo no formato de jogo se torna uma ferramenta

metodológica eficaz no processo de ensino com maior descontração e empenho dos

87

alunos, pois estes se sentirão envolvidos pelo desafio de avançar e pontuar com o

número de acertos a cada questão respondida de forma correta.

Desta forma, podemos acompanhar abaixo o design e as instruções de

funcionamento do jogo que os alunos terão de manusear como parte ainda da primeira

atividade.

Figura 16: Designer do aplicativo de tradução para linguagem matemática

Fonte: Autores (2018)

O aplicativo foi programado de forma simples e direta, na plataforma MIT App

Inventor 2, o aluno deverá ler as sentenças que estão em sua língua materna e

posteriormente selecionar uma entre as quatro opções que seguem abaixo de cada

sentença. Caso o aluno acerte a tradução, será aberta uma tela com o sinal positivo

em verde, caso contrário a tela que será aberta terá o sinal de negativo em vermelho,

como podemos ver a seguir.

88

Figura 18: Telas para confirmação de acerto ou erro

Fonte: Autores (2018)

Análise a priori: No primeiro momento de leitura e análise do texto é esperado que

os alunos tenham interesse em participar contribuindo com os símbolos usados na

linguagem matemática, pois com a leitura do texto, irão ter o esclarecimento de alguns

termos matemáticos e poderão observar passo-a-passo da construção de uma

equação a partir de uma sentença escrita na língua materna e traduzida para a

linguagem matemática.

Com o uso do aplicativo os alunos de forma dinâmica e descontraída irão poder

relacionar a equação matemática que corresponde à sentença inicial proposta. A

nossa hipótese é que com o aplicativo os alunos consigam traduzir para linguagem

matemática usando tentativa e erro no decorrer das sentenças, ou seja, irão escolher

uma das equações propostas de forma aleatória, pois as sentenças foram dispostas

com gradativo nível de complexidade.

Esta atividade é importante para familiarizar e criar a habilidade em observar a

formalidade matemática em outras linguagens, que será fundamental para as demais

atividades que seguem.

89

Atividade 2 (parte2)

Título: Tradução e classificação de sentenças e problemas.

Objetivo: Traduzir da linguagem materna para linguagem matemática e classificar

tipos de problemas.

Material: Lista com “exercícios”, papel, lápis ou caneta.

Procedimento a serem realizados: Entregar a cada aluno uma lista com exercícios

e solicitar que resolva o que lhe é solicitado.

Carga horária: 100 minutos.

Crie uma incógnita e escreva na linguagem matemática cada afirmação abaixo:

1- Um número.

2- O dobro de um número.

3- O triplo de um número.

4- A metade de um número.

5- O quinto de uma quantia.

6- Um número somado com seu dobro.

7- A diferença entre o dobro de um número e a quinta

parte deste mesmo número.

8- O produto de um número com ele mesmo.

9- A quinta parte do quadrado de um número menos

vinte.

10- O quíntuplo da soma entre um número e seu

quadrado é igual a trinta.

11- O dobro de um número menos cinco, ao quadrado

equivale a zero.

12- Um número ao quadrado adicionado com sua oitava

parte.

90

13- O dobro do quadrado de um número é igual a trinta

e dois.

14- O dobro da multiplicação de um número com ele

mesmo somado com ele próprio.

15- O dobro de um número adicionado com o quadrado

deste número é igual a menos um.

16- Um número menos seis, vezes este número é igual

a dezesseis.

17- Quatorze menos um número, dividido por este

mesmo número é igual ao triplo deste número.

18- Se após quatro anos multiplicar a idade que tenho

hoje pela idade que terei daqui com seis anos, terei

trezentos e sessenta anos.

Análise a priori: Os alunos irão confundir tradução para linguagem matemática com

a resolução dos problemas, pois não sessarão o exercício apenas com a tradução e

tentarão resolver as equações formadas. Como na atividade anterior se foi trabalhado

especificamente a tradução, se espera que os alunos não tenham dificuldade na

segunda atividade. A partir do momento que os estudantes reconhecerem o padrão

em relacionar os valores desconhecidos e suas representações algébricas esperamos

formalizar o entendimento de problemas do segundo grau com uma variável.

- De acordo com o que você realizou em cada uma das sentenças acima, preencha o

quadro abaixo e diga se podemos classificar as equações encontradas em dois

grandes grupos.

SITUAÇÃO INCOGNITA USADA A QUE SE REFERE A INCOGNITA

01

02

03

04

05

91

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

GRUPO 1 GRUPO 2

- O que você pode concluir quanto as equações que ficaram no grupo 1 ou grupo 2?

92

Formalização: Os problemas observados nesta atividade podem ser classificadas de

duas formas: problemas do primeiro grau, nos quais após tradução da linguagem

materna para matemática recaem em expressões algébricas do tipo ax¹ + b = 0; e

problemas do segundo grau, nos quais após a tradução da linguagem materna para

matemática recaem em expressões algébricas do tipo ax² + bx + c = 0.

Análise a priori: Os alunos perceberão que existem equações em que expoente da

incógnita equivale a 1 ou 2. Fazendo com que os alunos classifiquem as em equações

do primeiro grau ou do segundo grau. Os alunos podem apresentar dificuldade ao

observar as equações quadráticas quando não apresentadas de forma direta (ax² +

bx + c).

Nesta atividade, os alunos poderão melhor entender e relacionar as incógnitas

utilizada no texto e contexto da questão.

Atividade 3

Título: Ensino de problemas do segundo grau com uma variável

Objetivo: Resolver os problemas propostos.

Material: Lista com “exercícios”, papel, lápis ou caneta.

Procedimento a serem realizados: Entregar a cada aluno uma lista com exercícios

e solicitar que resolva o que lhe é solicitado.

Carga Horária: 100 minutos

Traduza para a linguagem matemática, monte a equação que corresponde cada

problema abaixo e resolva as equações:

1- O produto de um número com ele mesmo é igual a sessenta e quatro. Qual o

valor deste número?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação da

questão?

93

Resolução:

2- A quinta parte do quadrado de um número, menos vinte e cinco é igual ao

quíntuplo deste número. Qual é este número?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

3- O quíntuplo da soma entre um número e seu quadrado é igual a trinta.

Determine o valor deste número.

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

4- O dobro de um número menos cinco, ao quadrado equivale a zero. Então qual

é este número?

94

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

5- Um número ao quadrado adicionado com sua quinta parte é igual a zero. Qual

número é este?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

6- O dobro do quadrado de um número é igual a trinta e dois. De que número

estamos falando?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

95

Resolução:

7- O dobro da multiplicação de um número com ele mesmo somado com ele

próprio é igual a trinta e dois. Diga qual é o valor para que isso seja verdade.

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

8- O dobro de um número adicionado com o quadrado deste número é igual a

menos um. Qual é este número?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

9- Um número menos seis, vezes este número é igual a dezesseis. Quanto vale

este número?

96

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

10- Quatorze menos um número, dividido por este mesmo número é igual ao triplo

deste número. Qual é este número?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

11- João pertence a uma família de 4 filhos. Se após quatro anos multiplicar a idade

que João tem hoje pela idade que terá daqui com seis anos, terá trezentos e

sessenta anos. Quantos anos João tem hoje?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

97

Resolução:

12- Em uma sala de reunião, localizada no andar de número 12 de um prédio, todos

os participantes desta reunião se cumprimentam uma única vez. Houve 45

apertos de mão. Quantas pessoas haviam nesta sala?

Quais são os dados

fornecidos?

Qual a incógnita?

Faça um símbolo

para representá-

la.

Quais os dados

para a resolução

do problema?

Qual a equação

da questão?

Resolução:

- O que você pode concluir quanto as equações as etapas para se resolver um

problema do segundo grau com uma variável?

Formalização: A utilização das quatro etapas prévias à resolução de problemas

matemáticos é indispensável para o sucesso em encontrar sua solução. Desta forma,

antes de tentarmos resolver qualquer problema matemático devemos responder a

quatro indagações fundamentais: Quais são os dados fornecidos? Qual a incógnita?

Quais os dados para a resolução do problema? Qual a equação da questão?

98

Análise a priori: Como os alunos já tiveram contato com a tradução para linguagem

matemática nas atividades anteriores, espera-se que nesta atividade os alunos

tenham dificuldades na montagem das equações finais e tentarão resolvê-las por

tentativa e erro, ou seja, irão estipular um valor numérico para o valor desconhecido e

efetuarão as operações propostas.

Para esta atividade o professor/pesquisador deverá exercer um maior auxílio

com as ações dos alunos, baseando-se nas fases de resolução desenvolvidas por

Polya (1977) em sua “lista”.

Atividade 4

Título: Resolução da situação problema.

Objetivo: Traduzir a situação problema, modelar matematicamente e solucionar o

problema.

Material: Apostila com a situação problema exposta, fita métrica, calculadora, papel,

lápis ou caneta.

Procedimento a serem realizados: Entregar a cada grupo de alunos o material

disposto acima, passar as instruções básicas sobre o problema que deverão

solucionar. Neste momento o professor/pesquisador deverá interferir o mínimo

possível na autonomia do aluno, o professor será um auxiliador do aluno com os

aspectos matemáticos e na coleta de dados. Em certos momentos quando perceber

a fuga exagerada do caminho de solução do problema, o professor deve reconduzi-

los ao raciocínio adequado.

Carga horária: 100 minutos

A quadra poliesportiva da Escola Estadual de Ensino Fundamental Cônego Batista

Campos passará por uma reforma para aumentar a segurança daqueles que a

utilizam, será ampliado a área de escape da quadra. Sendo assim, analise a situação

abaixo.

“Qual é a largura da área de escape para que a área total da quadra (área útil mais

área de escape) seja 682m² , observando-se que a região útil da quadra tem a forma

retangular com 26 m de largura e 17 m de comprimento, que a área de escape é a

área da região que forma uma “moldura”, a qual era de 0,80, em torno da área útil da

quadra distando igualmente de cada um dos lados e que 682m² é a área de uma

99

quadra tendo área de escape dentro dos padrões de segurança desejado

(considerando a área útil)?”

A seguir podemos acompanhar o croqui da quadra.

Formalização: Há situações problemas cotidianas em que podemos relacionar

equações polinomiais do segundo grau ax² + bx + c = 0 para solucioná-las e para isso

utilizamos sequencialmente as atividades vistas até aqui.

Analise a priori: Os alunos irão relacionar a área da quadra total ao cálculo de área

de um retângulo, assim como abordado nas questões 5 e 6 da primeira atividade de

nossa sequência didática, mas pode haver dificuldade quando relacionarem as

medidas da área de escape com a útil e somente assim poderão utilizar o dado da

área total, disponível no comando da questão.

Todavia, em determinados momentos será necessário o direcionamento por

parte do professor/pesquisador para que o aluno relacione a situação com um

problema quadrático. Contudo, acreditamos que a atividade será bem assimilada

pelos alunos.

100

5. EXPERIMENTAÇÃO, ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS

Neste capítulo, caracterizamos o lócus, os sujeitos e o desenvolvimento do

experimento, seguidos da análise posteriori das atividades de nossa sequência

didática segundo preceitos da semiótica.

5.1 CARACTERIZAÇÃO DA ESCOLA E DOS SUJEITOS

5.1.1 A ESCOLA

A experimentação da Sequência Didática – SD foi realizada em uma escola

pública, escolhida por possuir poucos estudos direcionados ao ensino e aprendizado

dos alunos desta instituição ou das pertencentes a região, localizada na cidade de

Barcarena, Estado do Pará.

Nosso primeiro contato com a escola ocorreu no dia 5 de abril de 2019.

Conversamos com o diretor, para que ele permitisse a realização do experimento no

período matutino. Onde por autorização da direção foi liberado a divulgação do nome

da escola e os dados nela coletados.

A Escola Estadual de Ensino Fundamental, já desenvolveu, ao longo de sua

história, vários projetos educacionais beneficiando milhares de alunos matriculados e

atendidos nesses 54 anos de serviços prestados à comunidade. Já se ofertou nesta

escola Educação Infantil, Educação Especial para alunos com deficiências auditivas,

visuais e mentais, projeto CEBS, Aceleração da Aprendizagem (1º ao 5º ano),

Aceleração da aprendizagem de 6º ao 9º ano e um Salto para o Futuro

Hoje, alguns destes programas não são mais ofertados, mas novos desafios

surgiram e novas metas estão sendo alcançadas, como: a reformulação da Educação

Especial em um projeto de inclusão, Programa Mais Educação, Atleta na Escola,

Projeto Sala de Leitura. Atualmente a escola possui 700 alunos divididos em 27

turmas, sendo 19 turmas do Ensino Fundamental de 6º ao 9º ano, 4 turmas de EJA

fundamental de 1ª à 4ª Etapa e 4 turmas de Educação Especial. A direção solicitou e

a SEDUC autorizou no ano letivo de 2019 a escola matricular no máximo 30 alunos

por turma devido às condições estruturais. Possui um quadro de 65 funcionários

envolvendo corpo técnico Administrativo, Docente e Operacional.

A escola tem hoje uma quadra poliesportiva (atualmente sem condições de uso)

que foi inaugurada no dia (09/09/2001) para melhor promover eventos culturais como:

101

Jogos Internos, Festas Juninas, Semana de Arte e outros, objetivando o

desenvolvimento sociocultural e lazer aos alunos.

Para a realização do experimento, a direção da escola disponibilizou os

primeiros horários de três dias consecutivos e o último após quatro dias, pois a

aplicação da sequência didática coincidiu com o feriado de Corpus Christi (20/06). A

etapa do experimento foi desenvolvida durante quatro encontros nas datas de 17, 18

,19 e 24 de junho de 2019, totalizando 500 minutos de contato entre

professor/pesquisador e aluno.

Quanto ao fator estrutural, encontramos mesas, cadeiras e quadros (lousas)

deteriorados, além de salas quentes, com pouca ventilação e com paredes mal

estruturadas, com infiltrações, construídas dando acesso visual ao ambiente externo

da sala de aula. Assim, a união destes fatores pode comprometer o bom

desenvolvimento do ensino e aprendizado, pois os alunos não encontram no âmbito

escolar o mínimo de conforto.

5.1.2 OS SUJEITOS DA PESQUISA

Este trabalho trata de uma pesquisa de cunho qualitativa, de natureza aplicada,

na qual será usada uma sequência didática à resolução de problemas do segundo

grau com uma variável aos alunos do 9º ano do ensino fundamental pertencentes a

uma escola pública do Pará.

Segundo o que consta nos registros da escola, a turma do 9º ano era composta

por 36 alunos em situação regular. Porém, durante os dias de experimentação,

participaram um total de 24 alunos. Todavia, nem todos os alunos eram assíduos, por

este motivo utilizamos para analise apenas dezessete alunos, os quais participaram

de todas as atividades de nossa sequência didática. Para preservarmos a identidade

destes alunos, expusemos em código (Quadro 6), organizados e selecionados em

forma aleatória.

Quadro 6: Codificação da identificação dos estudantes

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Aluno A B C D E F G H I J K L M N O P Q

Fonte: Autores (2019)

102

Além dos estudantes, participou do experimento um colega mestrando do

Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Universidade do

Estado do Pará – UEPA, como observador e contribuiu com a gravação de áudios e

anotações em diário de campo.

O desenvolvimento da experimentação foi realizado em 10 aulas de 50 minutos

cada, conforme o cronograma a seguir.

Quadro 7: Cronograma das aulas de ensino

Aula Data Atividade Tempo de duração Alunos presentes

1ª 17/06/19 Oficina para relembrar

conhecimentos prévios

dos alunos

50 minutos 17

2ª 17/06/19 Oficina para relembrar

conhecimentos prévios

dos alunos

50 minutos 17

3ª 18/06/19 Tradução da linguagem

materna para matemática

50 minutos 24

4ª 18/06/19 Tradução da linguagem

materna para matemática

50 minutos 24

5ª 18/06/19 Tradução da linguagem

materna para matemática

50 minutos 20

6ª 19/06/19 Resolução de problemas

do segundo grau com uma

variável.

50 minutos 18

7ª 19/06/19 Resolução de problemas

do segundo grau com uma

variável.

50 minutos 18

8ª 19/06/19 Resolução de problemas

do segundo grau com uma

variável.

50 minutos 18

9ª 24/06/19 Traduzir a situação

problema, modelar

matematicamente e

solucionar o problema.

50 minutos 17

10ª 24/06/19 Traduzir a situação

problema, modelar

50 minutos 17

103

matematicamente e

solucionar o problema.

Fonte: Autores (2019)

A seguir faremos a exposição detalhada e analisada de nossa experimentação

em cada dia, com o auxílio de trechos dos registros de voz e escritos recolhidos, de

acordo com cada ação diária executada.

5.2 PRIMEIRO DIA DE EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE

Na primeira aula de ensino, ocorrida no dia 17/06/2019 (segunda-feira) no

horário de 7h30min às 8h12min, apresentamo-nos aos alunos como um professor

pesquisador e informamos a eles que a turma havia sido escolhida para participar de

uma pesquisa científica, a qual fazia parte do trabalho de dissertação do mestrado em

Ensino de Matemática.

Além disso, ressaltamos a importância da participação dos alunos na pesquisa

tanto para eles quanto para o pesquisador, portanto, precisaríamos estabelecer um

contrato didático em que eles se comprometessem em participar de forma adequada,

evitando conversas paralelas e entre outros comportamentos que viessem a

comprometer a obtenção do objetivo de cada aula. Ainda sobre o contrato didático

Brousseau (apud, Ricardo, 2016, p. 155) parte da ideia, inicialmente utilizada no

âmbito da Didática da Matemática, de que há um conhecimento de referência que ao

ser socializado configura uma relação didática, a qual se coloca principalmente a

serviço do aprendizado do aluno.

Explicamos aos alunos que suas identidades seriam mantidas sobre sigilo e

por isso não precisavam se preocupar com suas tentativas de resolução e que

resolvem as questões contidas nas atividades da maneira que sabiam.

No decorrer dos esclarecimentos prévios para a resolução da atividade 1, havia

17 alunos em sala de aula, os quais estavam perfilados tradicionalmente e puderam

relembrar definições e propriedades básicas sobre equação do segundo grau e

cálculo de área do quadrado e retângulo. A aula expositiva ministrada, seguindo o

roteiro (Anexo A), ocorreu de forma dialogada, com a finalidade de diagnosticar e

sanar as lacunas que pudessem existir no aprendizado mediante o ensino do

professor responsável pela turma. Neste momento, era solicitado a resposta de

104

algumas indagações direcionadas a turma ou específico a um aluno aleatório, com

uma linguagem de fácil entendimento, para construir as definições e propriedades,

pois assim os alunos poderiam se sentir importantes para a construção do

conhecimento, como visto no quadro 8, com o recorte de alguns momentos.

Quadro 8: Diálogo professor/pesquisador – aluno durante primeira aula

Fonte: Autores (2019)

Acima, podemos observar a interação entre professor/pesquisador com os

alunos. As ações que não fazem parte do discurso oral foram postas entre os agentes

envolvidos foram representadas entre parênteses, foi possível constatar que

inicialmente tinham receio em expor suas opiniões. É importante frisar que durante a

aula 1 foi necessário intervenções com exemplos possivelmente estudados em séries

anteriores, como “jogo de sinal” (operações com números Inteiros), potenciação e

radiação. Com isso, os alunos puderam constatar a linha continua entre os conteúdos

matemáticos vistos em diferentes séries, reforçando a ideia de aquisição

conhecimento, segundo Piajet (1975) que segue o processo de Assimilação,

Acomodação e Equilibração.

Professor/pesquisador: O que vocês lembram sobre equações do segundo grau?

Turma: (A turma permaneceu em silêncio)

Professor/pesquisador: Como podemos escrever uma equação do segundo grau?

Turma: (A turma permaneceu em silêncio)

Aluno A1: não sei.

Aluno B2: é o negócio do delta.

Professor/pesquisador: Eu sei que vocês sabem. “Bora lá, toda equação do segundo grau tem a

forma ax² (a x ao quadrado)...

Aluno A1: bx + c é igual a 0 (b, x mais c é igual a zero)

Professor/pesquisador: E a fórmula do discriminante, que vocês conhecem como delta?

Lembram?

Aluno C3: já vi, mas nem lembro mais.

105

Vale ressaltar que a primeira aula foi inteiramente exposta na lousa para que o

aluno pudesse copiar em seu caderno, como forma de fixação do conteúdo, após a

explicação, pois durante a elucidação os alunos foram instruídos a somente prestar

atenção, e como forma de fixação do conteúdo.

Desta forma, direcionamos discussões com o objetivo de provocar interações

entre professor/pesquisador-aluno e aluno-aluno, para que na resolução da atividade

1 fosse utilizado a mínima intervenção possível do professor/pesquisador.

Depois do término das elucidações da primeira aula, demos início a segunda

aula, no horário das 8h13 às 9h20, com a entrega do roteiro impresso em papel A4

com a atividade 1. Em seguida, socializamos com os alunos o objetivo geral daquela

atividade e após a execução dos registros escritos, organizamos e tratamos o

desenvolvimento do aprendizado de cada aluno na interação com as questões

propostas, sempre com o foco semiótico.

Como previsto na análise a priori e em relatos de Sá (2009) os alunos não

mostraram dificuldades na utilização das fórmulas, mas precisam de raciocínios

melhor elaborados para os problemas, pois tiveram uma barreira na análise do

comando de cada questão, querendo resolver além do que era solicitado ou até

mesmo sem ler os enunciados, como podemos observar na figura 18.

Figura 18: Questão para identificar coeficientes e classificar a equação quadrática (Aluno A1)

Fonte: Autores (2019)

Na figura acima, exemplifica o que já foi relatado, ou seja, a dificuldade com o

tratamento das informações. Por este motivo, alertei a turma para que fosse realizado

somente o que lhe fosse solicitado nos enunciados.

Para análise e destaque, com o objetivo de ilustrar a evolução da aprendizagem

de um modo geral da turma, faremos a amostra de alguns registros escritos. Tomamos

106

como metodologia de escolha, para a exposição, a aleatoriedade para

acompanharmos a evolução de aprendizado e alguns registros recorrentes dos alunos

que demonstrem dificuldades comuns. Os registros escritos mostrados nas figuras 19

e 20 são do aluno A1. Para sua análise consideramos o tratamento e conversão

semióticos em cada questão da atividade, destacando e discutindo os possíveis erros

e acertos, perpassando pelas etapas do tratamento, representação e a conversão da

Semiótica.

Figura 19: Registro escrito do aluno A1 na atividade 1 (Parte 1/2)

Fonte: Autores (2019)

107

Neste primeiro momento, o aluno A1 realizou a análise e tratamento das

equações do segundo grau, aplicando e resolvendo pelo método resolutivo.

Demonstrou um tratamento comum aos colegas de turma ao resolver mais que o

necessário na primeira questão. Todavia, evidenciou mais atenção aos comandos no

decorrer da atividade 1 (Parte 1/2), caracterizando domínio na utilização das fórmulas

e domínio das operações básicas que serão necessárias nas próximas atividades da

sequência didática.

Ainda sobre a resolução impulsiva da primeira questão, podemos afirmar que

alguns alunos estavam resolvendo sem a leitura do comando, pela observação do

quadro a seguir.

Quadro 9: Diálogo professor/pesquisador – aluno durante atividade 1

Fonte: Autores (2019)

No decorrer da primeira parte da atividade 1, exposta na figura 19, constatamos

como principal dificuldade dos alunos as operações envolvendo números Inteiros com

sinal contrário, durante o processo de resolução para se obter o discriminante das

equações polinomiais do segundo grau com uma variável e posteriormente ao cálculo

de suas raízes, como podemos constatar na figura abaixo.

Figura 20: Resposta para o cálculo do discriminante do aluno E5

Fonte: Autores (2019)

Aluno L11: Professor, o que é “pra” fazer aqui?

Professor/pesquisador: Já lestes o comando?

Aluno L11: (Silêncio)

Professor/pesquisador: Me diz o que “ta” pedindo aí?

Aluno L11: “Pra” dizer o a, b e c e depois diz se é completa?

108

Este fato foi observado em outros 8 registros escritos, portanto, decidimos

chamar a atenção da turma, no início da atividade 2, para este diagnóstico, pois

poderia vir a comprometer a obtenção do sucesso de nossa sequência didática.

Figura 21: Registro escrito do aluno A1 na atividade 1 (Parte 2/2)

Fonte: Autores (2019)

109

Na figura 21 acima, verificamos o desempenho do aluno A1 na parte 2/2 da

atividade 1, com questões direcionadas às equações polinomiais do segundo grau

com uma variável aos conhecimentos geométricos, com os comandos mais

complexos e entrelaçados a uma situação real, na questão de número 6.

Podemos observar no registro escrito a melhora no tratamento, pois o aluno já

foi capaz em tratar o que é solicitado no enunciado da questão. Entretanto, foi possível

observar a dificuldade em solucionar o problema proposto devido esquecimento da

aplicação de algumas propriedades básicas, como visto na figura abaixo.

Figura 22: Reprodução da tentativa de solução da questão 6 do aluno I9

Fonte: Autores (2019)

A figura 22, mostra o sucesso no tratamento do problema, porém esbarrou na

dificuldade em aplicar a propriedade distributiva a fim de encontrar a equação

110

quadrática que representaria a área do campo de futebol em função da medida

desconhecida x. Vale ressaltar, de forma desorganizada, a conversão da linguagem

materna para algébrica que o aluno desenvolveu.

Ao final da atividade 1 verificamos o aumento de interação entre

professor/pesquisador – aluno e aluno – aluno, juntamente com o entusiasmo por

conseguir obter resultados conscientes nas questões propostas. Os dados coletados

no registro de voz e escrito evidenciaram grandes indícios de aprendizagem, além de

uma iniciativa maior na participação oral para relatar os procedimentos da

experimentação. Portanto, os resultados obtidos na aplicação da atividade 1 no

primeiro dia de experimentação foram satisfatórios para evidenciarmos a

aprendizagem dos alunos.

Apresentaremos as demais atividades feitas por esse aluno para que possamos

exemplificar de modo qualitativo a evolução do tratamento, representação e

conversão em relação aos problemas propostos.

5.3 SEGUNDO DIA DE EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE

As aulas de número 3, 4 e 5 foram ministradas no dia 18/06/2019, no horário

de 7h30min às 10h. Estavam presentes 24 alunos, os quais foram organizados em

duplas para realizarem a atividade 2 de nossa sequência didática com o objetivo de

entender a matemática como linguagem e posteriormente trabalhar a tradução da

linguagem materna para matemática, ou seja, o tratamento e representação de com

conversão de linguagens.

Antes das duplas terem contato com o material da atividade 2, foi realizado um

feedback da atividade 1, realizada no dia anterior, pela importância em trabalhar com

os erros comuns dos alunos, diagnosticando e sanando as dificuldades, pois desta

forma minimizaremos os erros com os tratamentos nas atividades seguintes que

poderiam surgir. Entre as principais dificuldades, elucidamos a resolução da questão

de número 6, que necessitava da utilização do cálculo para determinar a área total do

campo de futebol, que foi fornecido, levando em consideração o comprimento e

largura, fornecido no enunciado do problema, que com a aplicação da propriedade

distributiva resultaria em uma equação polinomial do segundo grau.

111

A atividade 2 era constituída inicialmente por um texto reflexivo e instrutivo

sobre a construção e estrutura das linguagens, assim como suas importâncias,

direcionando à tradução da língua materna para a linguagem matemática.

Em seguida, foi utilizado o aplicativo produzido por nós, na plataforma de

programação em códigos abertos MIT APP Inventor II, para praticar a tradução de

sentenças escritas no idioma oficial para as expressões algébricas matemáticas. Por

fim, a atividade 2, expunha uma lista de atividades contendo afirmativas,

progressivamente contextualizadas, que foram traduzidas e classificadas na

linguagem matemática. Demos início ao experimento com o diálogo a seguir:

Quadro 10: Diálogo professor/pesquisador – aluno durante atividade 2

Fonte: Autores (2019)

Acima podemos constatar a falta do direcionamento de aulas para tratar do

ensino de tradução e interpretação dos problemas matemáticos, fato que já havíamos

constatado com a pesquisa de campo diagnóstica e por isso direcionamos esta

atividade 2 a este objetivo.

Percebemos uma maior interação entre professor/pesquisador e aluno-aluno,

com a leitura e discussão do texto pôde-se observar constantemente as discussões

entre os alunos de mesma dupla ou não, mostrando suas percepções de tratamento

sobre cada passagem do texto8, foi solicitado de forma espontânea que alguns alunos

pudessem fazer a leitura de alguns parágrafos e ao término de algumas passagens

fez-se algumas ponderações a fim de fixar e ampliar as percepções sobre o que foi

lido e em seguida pudesse ser utilizado para melhorar as conversões para a

linguagem matemática por expressões algébricas.

8 Encontrado no capítulo 4, seção 4.2, página 87.

Professor/pesquisador: O professor de Matemática da turma de vocês, alguma vez trabalhou a

interpretação e tradução dos enunciados de problemas?

Aluno L12: Não.

Aluno A1: Não, Ele ainda não viu com a gente.

Aluno I9: Não.

112

Após trabalharmos o texto, foi disponibilizado o Qr Code para que os alunos

pudessem fazer o dowloading do jogo que contém 5 (cinco) afirmativas que deveriam

ser convertidas da linguagem escrita no idioma oficial para a linguagem matemática

com símbolos que formavam uma única expressão algébrica para representar casa

sentença.

O uso da tecnologia, informação e comunicação – TIC foi utilizada no decorrer

da atividade o usando o pressuposto de Silva (2019) ressaltando que softwares e

aplicativos para smartphones veem sendo utilizados como ferramentas para

solucionar situações do dia a dia e por isso devem ser utilizados também em sala de

aula.

Foi notável o entusiasmo dos alunos ao manusear o aplicativo produzido no

formato de jogo, o qual podermos observar o processo de construção no produto

gerado a partir desta dissertação. É importante frisar o espírito de competição e

empenho dos alunos em acertar mais que seus colegas e por este motivo escolhiam

a alternativa para cada questionamento, após minuciosa análise.

No último momento da atividade 2 os alunos trabalharam o tratamento,

representação e conversão dos objetos de estudo encontrado em cada sentença

contida na lista de atividades. Cada dupla, assim como nas outras etapas, tinha

liberdade em interagir com as demais, proporcionando o desenvolvimento de um

aprendizado participativo reforçado pelas teorias de Vygotsky (1989) sobre o

compartilhamento de conhecimentos, interação social, favorecendo a aprendizado a

partir da Zona de Desenvolvimento Proximal – ZDP.

Os registros escritos mostrados nas figuras 23 e 24 são do aluno A1 na

realização da atividade 2, tido como representação evolutiva da maior parte dos

alunos pertencentes a turma, na observação de seus registros escritos no tratamento,

representação e conversão dos objetos trabalhados.

113

Figura 23: Registro escrito do aluno A1 na atividade 2 (parte1/3)

Fonte: Autores (2019)

Percebemos que os alunos gradativamente obtiveram êxito no tratamento dos

enunciados das questões, mas como esperado na análise a priori parte dos alunos

tiveram dificuldade para observar as equações quadráticas apresentadas de forma

indireta, porém, constatamos evolução na aplicação da propriedade distributiva para

obtenção das equações quadráticas diretas, completas ou incompletas. Quanto aos

equívocos observados nas questões 10, 11 e 16, foi devido a não utilização dos

símbolos (), para melhor organizar seus registros e ser feito a distinção dos termos

que seriam multiplicados.

114

De posse de uma análise mais abrangente por meio dos registros do aluno A1,

foi possível observar um melhor tratamento dos enunciados, assim como a

representação e conversão com a utilização de símbolos para representar valores

desconhecidos. Todavia, ainda foi observado alunos não se dando ao trabalho de ler

o enunciado da questão para saber do que se tratava, foi apresentado ainda,

dificuldades por uma parte dos alunos ao não conseguirem atender o que era

solicitado por motivos que não competem diretamente ao assunto estudado, mas pelo

não entendimento do que se lê.

Na segunda etapa da atividade 2, os alunos retomavam a tradução das

sentenças com análise somente do símbolo que foi usado para representar um valor

desconhecido.

Figura 24: Registro escrito do aluno A1 na atividade 2 (parte 2/3)

Fonte: Autores (2019)

115

As Conclusões apresentadas após o preenchimento da lista de material com

as respectivas traduções, foram satisfatórias por já conseguirem contornar as

dificuldades com os conteúdos prévios estudados na atividade 1, tratar e converter os

enunciados construídos em seu idioma oficial para linguagem matemática e

consequentemente identificar equações do segundo grau, entre os demais tipos já

estudados. Como podemos constatar na figura 25,

Figura 25: Registro escrito do aluno A1 na atividade 2 (parte 3/3)

Fonte: Autores (2019)

De posse de uma análise mais abrangente por meio dos registros do aluno A1,

embora ocorrido alguns equívocos nas traduções, expostos na figura 23, foi

perceptível a tomada correta no tratamento e conversão quando foi solicitado a

classificação entre dois grupos de equações.

Nessa sessão de experimento, percebemos que alguns alunos estavam

participando pela primeira vez e isso ocasionou muitas discussões, pois eles não

haviam participado do primeiro encontro e por isso detinham algumas lacunas quanto

a habilidade despertada por aqueles que estavam presentes no primeiro encontro.

Alguns dos alunos que estavam ali pela primeira vez demonstraram má vontade em

116

participar da pesquisa, fazendo com que por mais de uma vez tivéssemos que avisar

e lembrar do contrato didático estabelecido no início do experimento.

Por fim, podemos considerar após análise dos registros escritos, que a

atividade 2 alcançou seu objetivo em traduzir sentenças em língua portuguesa para

expressões algébricas da linguagem matemática. O que poderemos concretizar em

nossa próxima atividade, na qual os alunos além de traduzir, terão que resolver os

problemas do segundo grau com uma variável.

5.4 TERCEIRO DIA DE EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE

O terceiro dia de experimentação (aulas 6 e 7) ocorreu no dia 19/06/2019

(quarta-feira), no horário de 7h30min às 10h. Estavam presentes 18 alunos, os quais

foram organizados em trios para realizarem a atividade 3 de nossa sequência didática.

Assim como no início de nosso segundo dia de experimentação, houve uma

explanação sobre as observações dos desempenhos, dificuldades e sucessos

recorrentes na atividade 2.

O entusiasmo dos alunos ao nos recepcionarem, demonstrando interesse em

adquirir novos conhecimentos, indagando sobre o que seria estudado neste próximo

encontro, despertou o sentimento de entusiasmo do professor/pesquisador em dar

continuidade a pesquisa.

Podemos considerar que a atividade 3 consolidou a interpretação e tradução

da língua oficial para linguagem matemática (linguagem algébrica) de sentenças, ou

seja, o aluno foi capaz de pôr em prática suas habilidades em tratar, representar,

converter e posteriormente ser direcionado ao objetivo central desta etapa de nossa

sequência, em resolver problemas do segundo grau com uma variável, com a

utilização dos passos determinado por Polya.

Como já relatado, para a realização da atividade 3 foi solicitado que formassem

grupos com três alunos para compartilharem informações com maior facilidade, onde

cada grupo recebeu uma calculadora e um material impresso para aluno integrante

do trio contendo os exercícios da atividade 3. Abaixo podemos observar o registro do

aluno A1.

117

Figura 26: Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 1/4)

Fonte: Autores (2019)

Na figura 26 acima verificamos a evolução na interpretação dos enunciados,

caracterizando um indício de aprendizagem quanto ao tratamento, assim como, na

representação e conversão das linguagens. Verificamos ainda a falta de domínio na

representação de números fracionários. Todavia, tal dificuldade fora contornada pela

utilização da calculadora para efetuar os cálculos, porém constatamos equívocos ao

118

fim da resolução da questão 2, no processo de radiciação, o qual acreditávamos ser

conteúdo pré-requisito, não comprometendo o objetivo desta atividade.

Figura 27: Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 2/4)

Fonte: Autores (2019)

Nos registros do aluno A1 é possível identificar a demonstração da evolução

de aprendizagem em converter objetos da linguagem materna para matemática sem

119

cometer erros e representam conscientemente o valor desconhecido por um símbolo,

aplicando conhecimentos prévios da maneira correta, como fórmula resolutiva da

equação quadrática e a propriedade distributiva da multiplicação.

Figura 28: Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 3/4)

Fonte: Autores (2019)

Como já elucidamos anteriormente, é nítida a aquisição de conhecimento no

tratamento dos enunciados na medida em que segue o processo de experimentação.

120

Na figura 28 o aluno A1 já mostrou competência para julgar o valor encontrado na

solução do problema do segundo grau com uma variável, averiguando se os valores

encontrados satisfazem a situação proposta, como podemos observar na questão de

número 11.

Figura 29: Registro escrito do aluno A1 na atividade 3 (parte 4/4)

Fonte: Autores (2019)

De posse de uma análise mais abrangente, por meio dos registros do aluno A1

na atividade 3, é observado além da concretização do tratamento, representação e

conversão de registros, o aluno já demonstra notável capacidade e habilidade na

resolução de problemas do segundo grau com uma variável, assim como a

assimilação das etapas necessárias indicadas por Polya (1978) para a resolução de

problemas, como podemos observar na resposta obtida quanto a formalização das

121

etapas que foram necessárias para se resolver os problemas da atividade 3 além do

preenchimento correto dos espaços que era destinados para a organização das

ideias, anterior a resolução matemática do problema.

Vale ressaltar que a turma, embora em diferentes ritmos de aprendizagem,

demonstra melhoria significativa no tratamento e conversão, apesar de haver falta de

uma melhor organização. Embora ainda seja possível encontrarmos alunos utilizando

o processo de tentativas lógicas para obter a solução do problema. Como podemos

observar abaixo.

Figura 30: Registro escrito do aluno I9 na atividade 3 (4/4) questão 12

Fonte: Autores (2019)

Na figura 30 constatamos que o aluno I9 demonstrou aprendizagem no

tratamento do enunciado da questão 12, interpretando corretamente os dados

fornecidos e os que eram necessários para a resolução do problema e notória

satisfatória conversão dos dados em linguagem matemática (expressão algébrica),

respondendo corretamente os espaços destinados ao preenchimento dos passos

estipulados por Polya. Entretanto, utilizou o esquema lógico de tentativas para

resolver a questão, não chegando à solução do problema, este procedimento foi

utilizado outras vezes por outros alunos. Todavia, foi possível concluir que o objetivo

principal da atividade 3 foi alcançado com satisfação.

122

5.5 QUARTO DIA DE EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE

O quarto e último dia de experimentação (aulas 8 e 9) ocorreu no dia

24/06/2019 (segunda-feira) das 7h30min às 9h10min. Estavam presentes 17 alunos,

os quais foram organizados em trios, resultando em 5 trios e uma dupla, para

realizarem a atividade 4 de nossa sequência didática. Em seguida, assim como no

início das atividades 2 e 3, houve uma explanação sobre as observações dos

desempenhos, dificuldades e sucessos recorrentes na atividade 3, mediante análise

de seus registros escritos.

Como relatado anteriormente, a atividade 4 foi fundamentada nos princípios da

resolução de situação problema, a fim do aluno conseguir aplicar todos os

procedimentos estudados nas atividades anteriores em uma situação problema que

não remete diretamente ao uso de problemas do segundo grau com uma variável,

mas que após análise da situação o aluno possa ser capaz de relacioná-la.

Entretanto, esperávamos contar com o uso da quadra da escola para os alunos

coletarem os dados necessários para modelarem a problemática que lhe seria

imposta, porém como a quadra poliesportiva da escola estava sem condições de uso,

optamos somente pela utilização da imagem que consta no material impresso da

atividade 4.

O experimento com a atividade 4 se deu início com a distribuição do material

impresso contendo uma situação problema juntamente com uma calculadora e uma

folha de papel A4 extra para servir de rascunho, foi alertado que o trabalho seria em

grupo, mas cada aluno deveria, assim como nas atividades passadas, entregar seus

registros escritos.

Como forma de mostrar a evolução e concretização da aquisição de

aprendizagem iremos analisar novamente o registro do aluno A1, na figura 31 abaixo.

123

Figura 31: Registro escrito do aluno A1 na atividade 4

Fonte: Autores (2019)

Como nossa pesquisa possuía caráter qualitativo, observamos no registro

escrito da figura 31 que o aluno A1 obteve sucesso no tratamento, representação e

conversão dos objetos tratados no problema, que foram relevantes para o alcance do

objetivo desta atividade. O desempenho do aluno acima, representou o que ele foi

capaz de interpretar e traduzir a problemática apresentada em linguagem verbal e

124

geométrica, a seguir converteu a situação proposta em uma equação algébrica do

segundo grau e, após a resolução desta, validou corretamente as soluções

encontradas.

Para nossa agradável surpresa a maior parte dos alunos realizaram a atividade

4 em um curto período e com pouca intervenção do professor/pesquisador,

demonstrando notório aprendizado, utilizando com eficácia o que foi estudado nas

atividades anteriores, agora de forma aplicada. A turma mostrou domínio das

propriedades necessárias para se resolver os problemas do segundo grau com uma

variável e o uso da calculadora pôde contornar as dificuldades que alguns alunos

ainda possuíam com a resolução de operações básicas, como potenciação e

radiciação. Assim foi possível avaliar somente o desempenho na resolução do

problema proposto.

Figura 32: Registro escrito da validação dos alunos A1, I9 e K11, na atividade 4

Fonte: Autores (2019)

Acima podemos observar a validação da solução encontrada pelo grupo

composto pelos alunos A1, I9 e K11. Após encontrarem duas soluções, observaram

que uma das raízes (x”) era negativa e como o problema trabalhava com valores

destinados a medidas, apenas o valor positivo seria utilizado. Após esta conclusão,

os alunos realizaram a validação do resultado, fazendo a substituição da solução

encontrada para ter a certeza de que aquele valor satisfaria os dados fornecidos no

comando do problema, ou seja, tiveram total compreensão da situação problema. A

socialização dos modelos e soluções, foram feitas por cada grupo, que

ordenadamente foram a frente da turma fazer a exposição.

125

A seguir mostraremos, de uma forma geral, as considerações acerca de nosso

experimento e percepções dos registros escritos da turma direcionando ao objetivo

específico de cada atividade e ao objetivo geral de nossa sequência didática, para dar

um suporte com mais afinco às nossas conclusões e considerações finais.

5.6 CONSIDERAÇÕES ACERCA DA EXPERIMENTAÇÃO

Nossa sequência didática foi composta por 4 atividades, na qual tiveram como

objetivo, respectivamente: lembrar conhecimentos prévios necessários para as

demais atividades, perceber a matemática como uma linguagem (tratando e

representando sentenças da linguagem materna para linguagem Matemática),

resolver problemas do segundo grau com uma variável e por fim identificar e

solucionar um problema cotidiano que recai em um polinômio de grau dois.

No decorrer da experimentação de nossa sequência de atividades, podemos

constatar positivamente as mudanças comportamentais e de desempenho, segundo

observações comportamentais e de acompanhamento dos registros escritos, dos

alunos que participavam dos encontros para o ensino dos procedimentos necessários

da resolução de problemas do segundo grau com uma variável. Vale ressaltar que os

procedimentos de ensino utilizados durante nossos encontros foram planejados de

forma diferenciada aos que eram presenciados por estes alunos antes de nossos

encontros, oportunizando a redescoberta ou descoberta do conteúdo estudado. As

metodologias ativas de ensino utilizadas por nós, proporcionou um ensino

aprendizado mais interativo e dinâmico, a fim se opor a metodologia tradicional.

A partir de nosso segundo encontro, já foi possível observar o entusiasmo dos

alunos em começar o experimento. Todavia, não foi possível afirmar que a

aprendizagem ocorreu de forma padronizada a todos os alunos. Há exemplo da

atividade 3, em que uma parcela considerável de alunos terminou a atividade faltando

15 minutos para o término de nosso encontro, enquanto o restante concluiu a atividade

praticamente no exato momento em que soou a campa de término de nossa aula.

Porém, a turma como um todo, não apresentou dificuldades que viessem a

comprometer a obtenção dos objetivos de nossas atividades, fazendo com que

tivéssemos uma validação positiva do rendimento dos alunos pelo aspecto qualitativo.

Contudo, durante todo o experimento, foi constatado a sequência de

aprendizado, pois os alunos puderam utilizar o conteúdo da atividade anterior durante

126

a atividade em exercício, principalmente em nossa atividade 4, a qual foi construída

seguindo os moldes da resolução de situação problemas, fazendo com que o aluno

tomasse a vanguarda na resolução do problema, com uso das habilidades

desenvolvidas nas atividades anteriores e desenvolvendo o protagonismo discente

como também verificado em Fanti (2008).

Portanto, verificamos que o resultado de nosso experimento como satisfatório,

pois foi notório a mudança o progresso dos registros escritos de nossos sujeitos de

pesquisa sob nosso assunto central de estudo, aplicando o Tratamento e Conversão

dos objetos de forma correta e precisa, verificando a aquisição de aprendizagem,

conforme sugere Duval (2009).

127

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

As observações, relações e reflexões resultantes de nossa prática docente em

ensino básico despertaram nosso interesse de ampliar conhecimentos a respeito do

processo de ensino e aprendizado, a fim de desenvolver e contribuir de forma positiva

com o âmbito técnico e prático do ensino da matemática, para amenizar ou até mesmo

solucionar as barreiras que surgem no decorrer do processo de ensino gerando

dificuldades ao aprendizado do aluno.

Então, mediante a pergunta norteadora de nossa pesquisa: quais os efeitos de

uma sequência didática, com embasamento nas teorias da Engenharia Didática, no

ensino de problemas do segundo grau com uma variável? direcionamos nosso estudo

ao objetivo geral de investigar os efeitos causados no processo de ensino e

aprendizado de problemas do 2º grau com uma variável, a utilização como recurso

uma sequência didática, de forma opositora ao ensino tradicional. E para alcançarmos

este objetivo geral, perpassamos pelos seguintes objetivos específicos: investigar

pesquisas que tratam sobre problemas do 2º grau com uma variável; desenvolver uma

sequência didática elaborada para uma turma do 9º ano do ensino fundamental II;

analisar o desenvolvimento e aquisição da aprendizagem durante a aplicação da

sequência didática, baseada na teoria da Semiótica.

Assim, nossa pesquisa foi construída de acordo com os fundamentos da

metodologia de pesquisa da Engenharia Didática - ED, na qual com as fases iniciais

pode-se constituir uma visão da realidade do ensino e aprendizado de problemas do

segundo grau com uma variável, dos baixos índices de rendimento por parte dos

alunos e algumas barreiras enfrentadas no contexto de currículo e avaliação.

Desenvolvido estas investigações sobre os trabalhos que englobam nosso tema, foi

possível nortear nossa pesquisa.

Em seguida, foi desenvolvida uma sequência didática com 4 atividades de

metodologia híbrida, visto que ela possui mais de uma metodologia de ensino. Cada

atividade possuía suas respectivas análises a priori baseadas em nossas experiências

docentes, a análise em questão fora devidamente comprovada e apresentou um

resultado melhor que o esperado. Visto que a melhora do desempenho dos alunos foi

claramente perceptível a partir da aplicação da sequência didática fundamentada na

128

engenharia didática, a qual possibilitou a autonomia do aluno em resolver problemas

do segundo grau com uma variável.

Nossa metodologia de ensino foi embasada no ensino por atividades de Sá

(2006) e (2009), na linha construtivista da resolução de problemas, por Polya (1978)

e ainda com a utilização da Tecnologia de Informação e Comunicação - TIC, as quais

após aplicadas foram analisadas segundo a observação dos registros escritos nas

teorias da Análise Semiótica de Duval (2009), de modo que fosse comprovado a

evolução de aprendizado de nossos sujeitos.

Quanto a etapa de experimentação, fomos bem recepcionados e acolhidos

pelos alunos, que demonstraram comprometimento com a pesquisa científica.

Durante nosso primeiro dia de experimentação, foi desenvolvido uma aula expositiva

dialogada seguido de nossa primeira atividade, com o objetivo relembrar e sanar

algumas lacunas sobre equações quadráticas e outros conteúdos que seriam

necessários para a resolução de problemas do segundo grau. No decorrer do

encontro, foi questionado e averiguado o aprendizado do aluno e dado a oportunidade

do discente se posicionar quanto ao que estava sendo estudado, motivo este que

gerou uma maior interação entre professor/pesquisador-aluno. Ao final, pode-se

constatar e solucionar, dificuldades em operações básicas e cálculos geométricos de

área por parte dos alunos, evidenciando a importância desta primeira atividade para

alcançarmos os objetivos das demais.

Em nossas atividades 2 e 3, foi perceptível o aumento do entusiasmo, da

motivação e da autonomia dos alunos em conseguir entender e traduzir comandos

expostos em suas linguagens maternas verbais para a linguagem matemática

algébrica, observando ligações e padrões com problemas outrora impossíveis de

serem respondidos sem a instrução do professor, caracterizando o processo de

ensino com o foco no desenvolvimento autônomo do aluno, para que ele seja capaz

de usar suas habilidades em situações de diferentes linguagens, como proposto na

Base Nacional Comum Curricular (2016).

Na conclusão de nossa SD os alunos puderam, de forma interativa e

colaborativa, expressar o aprendizado resultante das atividades anteriores para

determinar um valor desconhecido envolvido em uma situação real, validar e socializar

a solução da problemática. Atividade esta, que pôde comprovar a notória destreza dos

alunos em resolver problemas do segundo grau com uma variável.

129

Os resultados obtidos em nossa pesquisa foram similares aos encontrados nas

dissertações de Junqueira (2018) em que comprovou-se a eficácia do uso de

atividades para a construção do conhecimento, Modesto (2019) com a verificação de

um considerável desenvolvimento da autonomia e desempenho, desenvolvido em um

ambiente colaborativo e participativo, Silva (2018) comprovando os efeitos positivos

de uma sequência didática norteada pela engenharia didática e Silva (2019) constatou

que a metodologia auxiliada pelo uso da tecnologia acarretou em uma melhoria

significativa no desempenho dos discentes. Contudo, nosso objetivo foi alcançado,

pois foi possível potencializar e consolidar o ensino aprendizado de forma significativa,

sanando inquietações a respeito de onde e quando as equações polinomiais de grau

2 podem ser usada, como traduzir sentenças da linguagem materna para matemática

e quais etapas podem ser utilizadas para se resolver um problema do segundo grau

com uma variável.

Portanto, concluímos que com o uso de nossa sequência didática os alunos

passaram a ser protagonistas do processo de ensino. Desenvolveram um

conhecimento sólido e proveitoso, com o Tratamento, Representação e Conversão

em pelo menos duas linguagens (Verbal e Algébrica), o que segundo Duval (2009)

caracteriza a aprendizagem. Contudo, esperamos que nossa sequência didática sirva

como produto que possa contribuir com o enriquecimento qualitativo do processo

educativo e que os colegas da profissão docente utilizem e adequem de acordo com

a realidade do estudante, como objeto para despertar o interesse, entusiasmo e a

vanguarda em sala de aula.

130

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135

APENDICE

136

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138

139

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Você está sendo convidado (a) para participar da pesquisa intitulada Diagnóstico do ensino de

problemas do segundo grau com uma variável, sob a responsabilidade dos (as) pesquisadores Maria

de Lourdes Silva Santos, Ana Kely Martins da Silva e orientando Ramon Gabriel Santos de Brito,

vinculados a Universidade do Estado do Pará.

Nesta pesquisa pretendemos traçar um diagnóstico do Ensino de Problemas do Segundo Grau

com uma Variável, a partir da opinião dos estudantes. A sua colaboração na pesquisa será preencher

o questionário com as perguntas norteadoras para a realização dela.

Ressaltamos que em nenhum momento você será identificado. Os resultados da pesquisa

serão publicados e ainda assim a sua identidade será preservada. Você não terá gasto ou ganho

financeiro por sua participação. Não há riscos. Os benefícios serão de natureza acadêmica com um

estudo estatístico dos resultados obtidos sobre o ensino de problemas do segundo grau com uma

variável.

Você é livre para deixar de participar da pesquisa a qualquer momento sem nenhum prejuízo

ou coação.

Uma via original deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com você.

Qualquer dúvida a respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com: Maria de

Lourdes Silva Santos e/ ou Ana Kely Martins da Silva e Ramon Gabriel Santos de Brito por meio da

Coordenação do Mestrado Profissional em Ensino de Matemática (PMPEM) do Centro de Ciências

Sociais e Educação(CCSE) da Universidade do Estado do Pará(UEPA): Tv. Djalma Dutra s/n.Telegrafo.

Belém-Pará- CEP: 66113-010; fone: (91) 4009-9501

_________________, ____de _______________ de 2017.

______________________________________________________________

Assinatura do pesquisador

Eu, _______________________________________________________________ aceito participar do

projeto citado acima, voluntariamente, após ter sido devidamente esclarecido.

________________________________________

Participante da pesquisa

140

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Senhor (a) responsável você está sendo consultado sobre a possibilidade de seu filho (a), para

participar da pesquisa intitulada: Diagnóstico do Ensino de problemas do segundo grau com uma

variável, sob a responsabilidade dos pesquisadores Maria de Lourdes Silva Santos, Ana Kely Martins

da Silva, Ramon Gabriel Santos de Brito, vinculados a Universidade do Estado do Pará.

Com esse trabalho estamos buscando diagnosticar o ensino de problemas do segundo grau

com uma varável a partir da opinião dos estudantes. A colaboração do aluno (a) será preencher o

questionário com as perguntas norteadoras para a realização da pesquisa e essa atividade ocorrerá

nas dependências da escola, sob a supervisão de um professor.

Em nenhum momento o aluno (a) será identificado. Os resultados da pesquisa serão

publicados e ainda assim a identidade do discente será preservada.

Você e o aluno não terão gasto ou ganho financeiro por participar da pesquisa.

Não há riscos. Os benefícios serão de natureza acadêmica gerando um estudo estatístico dos

resultados obtidos sobre o ensino de problemas do segundo grau com uma variável.

Você é livre para decidir se seu filho (a) colaborará com a pesquisa sem nenhum prejuízo ou

coação.

Uma via original deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com você.

Qualquer dúvida a respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com: Maria de Lourdes Silva

Santos, Ana Kely Martins da Silva e Ramon Gabriel Santos de Brito por meio da Coordenação do

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática (PMPEM) do Centro de Ciências Sociais e

Educação(CCSE) da Universidade do Estado do Pará(UEPA) : Tv. Djalma Dutra s/n.Telegrafo. Belém-

Pará- CEP: 66113-010; fone: (91) 4009-9501

_____________________, ____ de _________________ de 2017.

______________________________________________________________

Assinatura do pesquisador

Eu,_______________________________________________________________ autorizo que

meu/minha filho(a)____________________________________________ a participar do projeto

citado acima, voluntariamente, após ter sido devidamente esclarecido.

________________________________________

Assinatura do responsável

141

ANEXO A

ROTEIRO DE AULA 1

Objetivo: Recuperar conhecimentos prévios de Equação Quadrática, operações

básicas e cálculo de área do quadrado e retângulo.

- Definição de equação quadrática

- Equações quadráticas completas e incompletas.

- Discriminante.

- Fórmula resolutiva de equações quadráticas.

- Definição e propriedades do quadrado e retângulo.

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Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo

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