REA.4.1.1-TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZAdaptado da apostila de Física IV – IFUSP – de autoria de Manoel R.

Robillota et al.

Evento:•Algo que realmente acontece num ponto do espaço e do tempo.•Dois observadores, em referenciais diferentes, nunca discordam quanto à ocorrência do evento.•Eles podem discordar quanto à descrição do evento.

•Maria, no referencial SM , vê um evento ocorrendo no ponto (xM , yM , zM ; tM ).

•João vê o mesmo evento ocorrendo no mesmo ponto do espaço tempo, que no referencial SJ , é descrito pelas coordenadas (xJ , yJ , zJ ; tJ ).

M

J

Fig.1-(a): evolução do pulso luminoso no referencial de Maria

x2 M + y2 M + z2 M - c2t2M = 0

Fig.2-(a): evolução do pulso luminoso no referencial de João

x2 J + y2 J + z2 J - c2t2J = 0

x2 M + y2 M + z2 M - c2t2M = 0 (1)

x2 J + y2 J + z2 J - c2t2J = 0 (2)

Suposição: as transformações são lineares. Essa suposição visa preservar a HOMOGENEIDADE DO ESPAÇO e a UNIFORMIDADE DO TEMPO nos dois referenciais.

Em outras palavras, a Física não pode depender da escolha das origens das coordenadas espaciais e temporais.

Em uma transformação linear as novas coordenadas são combinações lineares das antigas. Um exemplo de transformação linear seria:

xM = a.xJ + b.tJ

Na relatividade, uma mudança de referencial não pode alterar o paralelismo entre 2 planos. Por isso as coordenadas de um ponto não se alteram nas direções perpendiculares ao movimento relativo.

yM

z

x

yJ

z

x

v

xJ = xM (3)

zJ = zM (4)

Como não sabemos nada sobre as demais coordenadas, vamos representá-las por transformações lineares genéricas:

yJ = a1.yM + a2.tM (5)

tJ = a3.tM + a4.yM (6)

O problema é achar os coeficientes ai em função de v, já que é a velocidade relativa que diferencia os referencias SM e SJ.

Como temos 4 incógnitas a serem determinadas, temos a necessidade de igual nº de condições relacionando os pontos de SM e SJ.

Condição 1: Decorre do fato de que João,na origem de SJ ,move-se com velocidade “v” em relação a SM . Num instante t0

M, qualquer o origem de SJ será dada, em SM , por y0

M = v.t0M. Em SJ , por outro lado, essa posição é

sempre 0, já que João está fixo na origem do seu sistema. A (5) pode ser escrita:

0 = a1. v.t0M + a2.t0

M (7)

a2 = - v.a1 (8)

Condição 2: Maria está fixa no referencial SM enquanto que, no referencial SJ , sua posição é sempre y0

J = -v.t0J. Assim as equações (5) e (6) nos

fornecem:

-v.t0J = a2.t0

M (9)

t0J = a3.t0

M (10)

Dividindo (9) por (10) e usando a (8):

a3 = a1 (11)

Para determinar a condição 3, supomos que um grão de poeira seja iluminado pela passagem da frente de onda emitida por Maria. A descrição desse evento, que chamaremos de E, nos dois referenciais, permitirá que encontremos os coeficientes das transformações de Lorentz.

Evento E:

Maria: (xEM , yE

M , zEM ; tE

M )

João: (xEJ , yE

J , zEJ ; tE

J )

Estes pontos estão vinculados entre si pelo fato de pertencerem à frente de onda, portanto, obedecem às eq. (1) e (2):

(xEJ)2

+ (yEJ)2

+ (zEJ)2

– c2(tEJ)2

= (xEM)2

+ (yEM)2

+ (zEM)2

– c2(tEM)2

(12)

As equações (3) e (4) permitem escrever:

(yEJ)2

– c2(tEJ)2

= (yEM)2

– c2(tEM)2

(13)

Usando (5), (6), (8) e (11), obtemos:

a12(yE

M - v tEM )2 - c2(a1tE

M + a4yEM )2 = (yE

M)2 – c2(tE

M)2 (14)

ExemplosExemplo 1: A dilatação do tempo

Eventos:

Origem espaço temporal dos 2 referenciais: o acendimento dos pavios.

Evento de referência

Maria: (0, 0, 0; 0)

João : (0, 0, 0; 0)

J

M

J

Fig. 3: Sucessão de eventos no referencial da Maria

Tem

po n

o re

f.

da M

aria

J

My

Instante tM = 0

yJ

M

y

J

M

Sucessão de eventos no referencial de Maria

Sucessão de eventos no referencial de JoãoT

empo

no

ref.

de

Joã

o

J

My

Instante tJ = 0

y

J

M

y

J

M

Exemplo 2: mais dilatação do tempo

0 1 5

10

M1

000

M3

000

M2

000

M4

000

M1

000

J

câmaras

000

M1

000

J

Fig.-5: Foto dos relógios J e M, tirada por Maria; nesta foto não está representada a contração do relógio de João

Descrição dos eventos

• Evento a, de referência – foto dos relógios J e M1: Maria: (0, 0, 0; 0)

João : (0, 0, 0; 0)• Evento b, foto dos relógios J e M2:

Maria: (0, L, 0; tbM)

João : (0, 0, 0; tbJ )

• Evento c, foto dos relógios J e M3:

Maria: (0, 2L, 0; tcM)

João : (0, 0, 0; tcJ )

• Evento d, foto dos relógios J e M4:

Maria: (0, 3L, 0; tdM)

João : (0, 0, 0; tdJ )

060

M2

840

J

Fig.6: foto dos relógios J e M2 tirada por Maria

A uniformidade do tempo

foto 1 2 3 4

tJ(s) 0 48 96 144

tM(s) 0 60 120 180

A “velocidade” de passagem do tempo em cada um dos referenciais é sempre a mesma.