relatório mecânica estrutural

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1

Relatorio do Trabalho

de

Mecanica Estrutural

Renato Severiano, 67867

20 de Dezembro de 2013

Conteudo

I Placa fina 2

1 Enunciado 31.1 Texto do enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Analise do Problema 42.1 Escolha dos Metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Metodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Equacoes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Vibracao natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Aproximacao de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Caso EEEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.5 Material ortotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.6 Fundacao elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Metodo das diferencas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Construcao das Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Codigo MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Resultados 83.1 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Elementos Finitos (ANSYS) 104.1 Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Conclusoes 135.1 Metodologias, simplificacoes e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.1.2 Simplificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2.1 Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Casca 15

6 Enunciado 16

1

Parte I

Placa fina

2

Captulo 1

Enunciado

1.1 Texto do enunciado

1. Considere a placa rectangular com geometria, material, carregamento e condicoes de fronteiraque se indicam. O tipo de analise (Estatica, Dinamica ou de Instabilidade) encontra-se tambemespecificado (E,D ou I).

2. Resolva o seu caso, recorrendo a dois metodos a` sua escolha. Indique as simplificacoes quefez para utilizar algum dos metodos e apresente sucintamente a formulacao necessaria para aresolucao do problema. Podera alterar a origem do referencial se achar conveniente.

3. Apresente na forma de tabelas e/ou graficos a distribuicao dos deslocamentos e tensoes naplaca para efeitos de comparacao das diferentes tecnicas (somente os resultados que achar maissignificativos). Se estiver a apresentar resultados de vibracoes (D) ou instabilidade (I) apresenteos resultados de frequencias naturais ou cargas crticas em tabelas e os modos na forma grafica(figuras).

4. Resolva o problema pelo metodo dos elementos finitos (recomenda-se o programa ANSYS dis-ponvel no LEMAC).

5. Discuta as varias metodologias, simplificacoes e resultados. Apresente conclusoes e referencias(bibliografia que consultou).

1.2 Dados

Tipo de analise: DinamicaModulo da fundacao elastica: K = 64N/m3.

Dimensoes

a = 0, 622m

b = 1, 466m

h = 0, 002m

Condicoes de fronteira:

Lado Condicao

AB ApoiadoBC EncastradoCD EncastradoDA Encastrado

Propriedades do material

E1(GPa) 209

E2(GPa) 19

G12(GPa) 6,4

G23(GPa) 2,5

12 6,4

(kg/m3) 1750

3

Captulo 2

Analise do Problema

Neste captulo faz-se uma breve analise teorica ao problema em estudo e como deve ser abordado. Oreferencial utilizado foi o mesmo para todos os metodos e e coerente com o do enunciado (origem doreferencial no ponto D, ponto A sobre o eixo dos yy e ponto D sobre o eixo dos xx.

2.1 Escolha dos Metodos

Tendo em conta as condicoes de fronteira do problema que possui um dos lados apoiado e os restanteslados encastrados e, logo a` partida, impossibilitada a aplicacao dos metodos de Levy e de Navier.Assim sendo avancou-se com a aplicacao dos metodos de Rayleigh-Ritz, doravante designado de Ritz,e o das diferencas finitas, o qual sera referido por MDF.

2.2 Metodo de Rayleigh-Ritz

Toda a informacao acerca da aplicacao do Ritz foi retirada do livro escrito por Reddy, tendo em contaque este apresenta o metodo de forma clara e bem estruturada para o problema de dinamica em placasortotropicas.

2.2.1 Equacoes governantes

Este metodo passa essencialmente pela resolucao da equacao diferencial seguinte:

D114w0x4

+ 2D124w0x2y2

+D224w0y4

+ I02w0t2

I2(4w0t2x2

+4w0t2y2

)= q (2.1)

onde D12 = 2(D12 + 2D66) e

I0 = 0h, I2 =0h

3

12(2.2)

2.2.2 Vibracao natural

Assume-se que a vibracao e periodica considerando

w0(x, y, t) = w(x, y)eit (2.3)

sendo a frequencia natural de vibracao associada ao modo de forma w. Associando as anteriorestemos: {

D114w

x4+ 2D12

4w

x2y2+D22

4w

y4 2

[I0w I2

(2w

x2+2w

y2

)]}eit = 0 (2.4)

Que deve permanecer constante para qualquer tempo t, portanto simplifica-se para:

D114w

x4+ 2D12

4w

x2y2+D22

4w

y4 2

[I0w I2

(2w

x2+2w

y2

)]= 0 (2.5)

Pretende-se encontrar os valores de para os quais a equacao anterior possui solucao nao trivial w.

4

2.2.3 Aproximacao de Ritz

A formulacao fraca estabelecida para a resolucao do problema apresentado e a seguir apresentada.

0 =

b0

a0

{D11

2w

x22w

x2+D12

(2w

y22w

x2+2w

x22w

y2

)+ 4D66

2w

xy

2w

xy+D22

2w

y22w

2y 2

[I0ww + I2

(w

x

w

x+w

y

w

y

)]}dxdy (2.6)

A aproximacao de Ritz para placas rectangulares pode-se expressar desta forma:

w(x, y) Wmn(x, y) =Mi=1

Nj=1

cijXi(x)Yj(y) (2.7)

Sendo Xi e Yj as funcoes de forma do problema e cij o vector com o modo de vibracao. As funcoes deforma sao estabelecidas de maneira a verificar as condicoes de fronteira do problema em particular.Os modos de vibracao sao obtidos resolvendo(

[R] 2[B]) {c} = {0} (2.8)Sendo assim o problema consiste em determinar os valores e vectores proprios onde cada valor proprioe um 2 que e solucao com o seu respectivo vector proprio que corresponde a um modo de vibracaodado pelo vector {c}. As matrizes [B] e [R] sao construidas calculando as seguintes equacoes paracada elemento (ij)(kl).

B(ij)(kl) =

b0

a0

[I0XiXkYjYl + I2

(dXidx

dXkdx

YjYl +XiXkdYjdy

dYldy

)]dxdy (2.9)

R(ij)(kl) =

b0

a0

[D11

d2Xidx2

d2Xkdx2

YjYl +D22XiXkd2Yjdy2

d2Yld2y

+D12

(Xid2Xkdx2

d2Yjdy2

Yl +d2Xidx2

XkYjd2Yldy2

)+4D66

dXidx

dXkdx

dYjdy

dYldy

]dxdy (2.10)

2.2.4 Caso EEEA

Para o caso EEEA (simplesmente apoiado em y=b) as funcoes de forma utilizadas sao as seguintes:

Xi =(xa

)i+1 2(xa

)i+2+(xa

)i+3(2.11)

Yj =(yb

)j+1 (yb

)j+2(2.12)

A equacao 2.12 foi corrigida relativamente a` que se encontrava no Reddy.

2.2.5 Material ortotropico

Para placas de material ortotropico as constantes Dmn dependentes das propriedades mecanicas domaterial calculam-se assim:

D11 =E1h

3

12(1 1221) , D12 = 21D11, D22 =E2E1D11, D66 =

G12h3

12(2.13)

5

2.2.6 Fundacao elastica

Para se tomar em consideracao os efeitos da fundacao elastica considera-se

q = kw (2.14)

Para considerar o seu efeito foi adicionado a` matriz [R] de rigidez a influencia de Kw resultando em:

R(ij)(kl) =

b0

a0

[D11

d2Xidx2

d2Xkdx2

YjYl +D22XiXkd2Yjdy2

d2Yld2y

+D12

(Xid2Xkdx2

d2Yjdy2

Yl +d2Xidx2

XkYjd2Yldy2

)+4D66

dXidx

dXkdx

dYjdy

dYldy

+KXiXjYkYl

]dxdy (2.15)

2.3 Metodo das diferencas finitas

Para a resolucao do problema pelo MDF foram consultados os apontamentos das aulas de MecanicaEstrutural e os respectivos diapositivos apresentados nas aulas.

A proximidade do calculo depende da quantidade de pontos utilizados para tal. Deve-se escolherum numero de pontos adequado de forma a reduzir o erro e simultaneamente nao exceder a capacidadede memoria do computador onde estiver a ser processado. Para uma quantidade de pontos exageradapode-se chegar a um limite computacional que comecara a propagar o erro. O MDF, tal como o Ritz,consiste na resolucao de um problema de valores e vectores proprios. No entanto os vectores propriospossuem significado diferente correspondendo directamente ao deslocamento em cada ponto.(

[K] 2[M ]) {w} = {0} (2.16)Tambem o metodo de construcao das matrizes requer uma abordagem diferente.

2.3.1 Construcao das Matrizes

Apesar de tambem serem simetricas, as matrizes [K] e [M ] do MDF sao diferentes das do Ritz.A matriz [K] e construida aplicando os coeficientes encontrados na figura 2.1 que correspondem a`

aplicacao em diferencas finitas de 4. Estes coeficientes devem ser multiplicados por x1. O stencil

2D22

D11

4 (H+D22)

4( H+D11)

2 H

6D11+8 H+62D22

4 (H+D22) 2 H

4( H+D11)

2 H

2 H

2D22

D11

Figura 2.1: Stencil utilizado para placas ortotropicas com x 6= y

deve ser aplicado para todos os pontos do interior da placa sendo que se utilizam pontos fictciosaquando da sua aplicacao tais como os pontos na fronteira da placa, que possuem deslocamento nulo(lados encastrados/ apoiados), e um conjunto de pontos do lado de fora da placa que tomam o valordo deslocamento do respectivo ponto interior (nos lados encastrados) ou o seu simetrico (em lados

6

apoiados).A matriz [M ] e mais simples, tendo a mesma dimensao que a matriz [K] e simplesmente uma matrizdiagonal com o valor de h na sua diagonal:

[M ] =

h 0 . . . 00 h . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . h

(2.17)

2.4 Codigo MatLab

Segue nas folhas em anexo no final deste documento.

7

Captulo 3

Resultados

Apos varias iteracoes experimentando diferentes parametros de entrada tanto para o Ritz como para oMDF decidi, para o Ritz, utilizar N=5 e M=16 apos ter verificado que os primeiros modos de vibracaoapenas adicionam ondulacoes na direccao de yy e, para o MDF, Nx = 90 e Ny = 220 para manteruma relacao x/y proxima de 1.

Modo Ritz [Hz] MDF [Hz]

1 58,459 57,1562 59,480 58,1733 61,867 60,5544 66,435 65,1135 73,964 72,621

3.1 Graficos

De seguida apresentam-se os graficos obtidos no MatLab para os primeiros 5 modos de vibracao.

00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

1 = 58.4589Hz

y [m]

Figura 3.1: 1o modo de vibracao pelo Ritz

00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

1 = 57.1561Hz

y [m]

Figura 3.2: 1o modo de vibracao pelo MDF

8

00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

2 = 59.4807Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

2 = 58.1734Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

3 = 61.8668Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

3 = 60.5535Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

4 = 66.4356Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

4 = 65.1128Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

5 = 73.9658Hz

y [m]


00.2

0.40.6

0.8

0

0.5

1

1.5

x [m]

5 = 72.6206Hz

y [m]


9

Captulo 4

Elementos Finitos (ANSYS)

O codigo do ANSYS encontra-se em anexo no final deste documento.

4.1 Analise

Apos conceber um codigo base para modelar a placa em ANSYS utilizando elementos do tipo shell63procedi a` refinacao da malha ate decidir que uma malha com 125 nos em x e 296 em y seria suficiente.Desta forma os elementos possuem uma relacao de lados aproximadamente quadrada como e desejavel.

4.2 Figuras

Figura 4.1: 1o modo de vibracao obtido no ANSYS

10



11



12

Captulo 5

Conclusoes

5.1 Metodologias, simplificacoes e resultados

5.1.1 Metodologia

Apos ter efectuado uma primeira analise acerca do modo de funcionamento do Ritz e do MDF procedia` sua implementacao em codigo de MatLab tendo em atencao a eficiencia computacional das diversasformas de programacao dos metodos.Assim verificou-se que, pelo menos na minha maquina de trabalho, a integracao simbolica mostrou-semais rapida que a numerica. Ainda assim uma grande fatia do tempo de processamento encontra-sena integracao. Aproveitando o facto de as matrizes [B] e [R] possurem simetria optei pela construcaoda parte triangular superior antes de proceder efectuar as funcoes de integracao para a totalidade dasmatrizes e entao somar os valores a` parte triangular inferior das matrizes poupando assim tempo deprocessamento na integracao.No caso da implementacao do MDF ajustou-se a metodologia de construcao da matriz [K] de tal formaque as condicoes de fronteira sao aplicadas no final da sua construcao juntamente com a fundacaoelastica. Desta forma a limitacao computacional do MDF prende-se na quantidade memoria RAMexistente na maquina de trabalho dado que para se obter bons resultados requere-se uma grandequantidade de pontos, alem disso para se utilizar a funcao eigs do MatLab este requer que as suasentradas sejam do tipo double impossibilitando assim que se que se possa reduzir o impacto no sistemana manipulacao de matrizes de enormes dimensoes ao reduzir o tamanho dos dados em memoria pelautilizacao de variaveis do tipo single.

5.1.2 Simplificacoes

Nao foram efectuadas quais simplificacoes alem das inerentes a` natureza de cada metodo.

5.2 Conclusoes

Tendo por base o facto de os valores resultantes do ANSYS se considerarem os mais fiaveis (ou maisproximos da realidade) pode-se concluir que o Ritz e um metodo de aproximacao mais correcto que oMDF por nao exigir tanto poder computacional para se chegar a`s primeiras frequencias de vibracao.No entanto o uso do MDF pode ser mais indicado para a determinacao aproximada de modos devibracao com frequencias mais elevadas com pouco esforco e um erro consideravel.

ANSYS Ritz [Hz] MDF [Hz]

58,576 58,459 57,15659,848 59,480 58,17362.717 61,867 60,55468,020 66,435 65,11376,487 73,964 72,621

13

5.2.1 Referencias Bibliograficas

1. J.N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, Taylor and Francis, 2nd Ed., 2006

2. Diapositivos e apontamentos das aulas de Mecanica estrutural

14

Parte II

Casca

15

Captulo 6

Enunciado

1. Considere o reservatorio representado na figura, o qual consiste num corpo cilndrico AB e umtopo constitudo por uma casca hemisferica BC. O reservatorio contem lquido de peso especfico ate ao nvel do ponto D e encontra-se pressurizado com uma pressao p0 . O material doreservatorio e isotropico.

2. Determine expressoes para o andamento das tensoes e deslocamentos de membrana ao longodo corpo cilndrico. Calcule o valor da espessura desse elemento de casca, para uma tensaoadmissvel de membrana de 200 MPa.

3. Determine os esforcos internos de compatibilizacao nas juncoes A e B.

4. Calcule as tensoes de flexao e represente graficamente o andamento das tensoes totais ao longodo troco AB.

5. Modele o reservatorio em elementos finitos e faca uma analise usando elementos de casca axi-simetrica e outra com elementos placa-casca. Compare e comente os resultados obtidos com asolucao analtica.

6. Calcule a espessura que o reservatorio deve ter para uma tensao admissvel de 250 MPa.

H1 = 2, 675 m H2 = 0, 846 m a = 2, 258 m

p0 = 0, 35 MPa = 7779 N/m3

E = 188 GPa = 0.35

16

Analise do Problema

Neste captulo trata-se dos calculos referentes ao ponto 2, 3 e 4 do enunciado do problema.

Consideracoes iniciais

Tome-se em consideracao para a resolucao deste problema que o eixo dos xx tem direccao positivapara cima estando o plano xy no plano do encastramento. Seja (1) a regiao que contem o lquido (entreA e D), (2) a regiao entre D e B e (e) a semiesfera. Em analise como membrana acrescenta-se m e

As forcas aplicadas na casca consideradas neste problema resumem-se a`s pressoes envolvidas nointerior do reservatorio em questao, assim sendo toma-se:

pz = (H1 x) para 0 x H1Considerando a tambem a pressao p0 obtem-se:

N0 = a(H1 x) + p0a0 =a2((H1 x) po)

Et= W 0 (6.1)

com validade entre A e D. E as equacoes

N1 = p0a (6.2)

N1x =p0a

2(6.3)

validas entre D e B.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

InteriorExterior

Figura 6.1: Andamento de tensoes entre os pontos A e D

17

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