UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI ROBERTO DENIN LIU

RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS

SANTO ANDRÉ

2009

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI ROBERTO DENIN LIU

EXPERIÊNCIA 5 – MOMENTO LINEAR E COLISÕES

Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.

Orientador: Profº Pedro

SANTO ANDRÉ

2009

Sumário

1. RESUMO ...........................................................................................................................3 2. INTRODUÇÃO..................................................................................................................3 3. OBJETIVOS.......................................................................................................................6 4. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................6

4.1. Materiais .....................................................................................................................6 4.2. Métodos ......................................................................................................................6

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................8 6. CONCLUSÃO..................................................................................................................13 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................13

3

1. RESUMO

Quando se deseja conhecer o resultado da colisão de dois corpos após seu

choque, devem-se aplicar algumas leis de conservação para a correta visualização

do cenário.

Assim, foi aplicado neste experimento de colisões a cinemática de lançamento

horizontal para observar as conservações do momento linear e da energia cinética.

Com base nos dados, observou-se que a energia cinética praticamente se

conserva, pois uma parcela dela é transformada em outras formas de energia como

a energia sonora.

Na colisão entre corpos de massas diferentes, foi possível observar a

conservação do momento linear, todavia, quando as massas usadas foram iguais,

não foi possível obter um cenário nítido de conservação.

2. INTRODUÇÃO

O momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial que é definida

como:

.p m v=�� �

(1)

Na qual m é a massa da partícula e v é a sua velocidade. Como m é sempre

uma grandeza escalar positiva, a equação (1) nos diz que p e v têm o mesmo

sentido.

Em um sistema de n partículas, cada uma com a sua própria massa,

velocidade e momento linear, elas podem interagir umas com as outras e forças

externas também podem atuar sobre elas. O sistema como um todo tem um

momento linear total P, o qual é definido como a soma vetorial dos momentos

lineares individuais das partículas. Assim:

1 2 3

1 2 31 2 3

...

...

n

nn

P p p p p

P m v m v m v m v

= + + + +

= + + + +

�� �� �� �� ��

�� � � � �

(2)

O momento de qualquer corpo que se comporta como uma partícula não pode

variar, a menos que uma força externa resultante atue sobre o corpo. Por exemplo,

pode-se empurrar um corpo para mudar seu momento, ou pode-se fazer com que o

corpo colida com um taco de beisebol. Em tal colisão, a força sobre o corpo é breve,

tem grande intensidade e muda repentinamente o momento do corpo capaz de

desacelerar, parar e até mesmo reverter seu movimento.

4

Quando a força externa resultante atuando sobre um sistema de partículas é

zero, o momento linear total do sistema não pode variar, este resultado é chamado

de lei da conservação do momento linear.

No experimento, por não existir aceleração ao longo da direção horizontal, a

componente horizontal da velocidade da esfera permanece inalterada e igual ao seu

valor inicial durante todo o movimento e no movimento vertical há uma aceleração

constante, assim, as equações para um lançamento horizontal serão no Eixo Z:

2

0 0

0

.

2

0

z

bz

g tz z v t

h v t

= + +

= +

��

20

2

.

2

.

2

g t

g th

−

= (3)

Onde g é a aceleração da gravidade cujo módulo é 9,8 m/s2. A esfera pode se

deslocar no plano XY, formando uma parábola nestes dois eixos, no entanto, pode-

se decompor este curva como duas parábolas, uma ao longo do Eixo X e a outra ao

longo do Eixo Y. A equação para estes dois eixos será portanto: (Usando o Eixo X

como referência)

0 .

0 .

.

x

n nx

n n

x x v t

S v t

S v t

= +

= +

= (4)

Como o tempo de queda é o mesmo necessário para a esfera se deslocar Sn

então as equações são igualadas pelo tempo Usando o índice da esfera n=b. 2

2

22

2

..

2. 2.

b b

b b

bb b b

S Sgt h

v v

g S gv v S

h h

= ⇒ =

= ⇒ =

(5)

A esfera a é colocada no ponto de altura h e liberada do repouso, ou seja,

velocidade inicial é zero. A esfera rola pelo trilho até se chocar com a esfera b.

Assim pela conservação da energia mecânica, a velocidade de a partindo do

repouso é:

22. 2

2

m v mmgh v= ⇒ =

gh

m2

2

gh

v gh

=

= (6)

5

Esta velocidade é a velocidade imediatamente antes da colisão com a esfera b.

O momento linear se conserva, assim o momento antes da colisão deve ser

igual ao momento depois da colisão. Antes da colisão a esfera b encontra-se parada

e a esfera a terá velocidade igual à velocidade dada pela eq.(6). O esquema da

colisão encontra-se na Figura 1.

Figura 1 – Esquema de uma colisão com componentes finais bidimensionais.

a i f a f b fp p p p= = +�� �� �� ��

(7)

Analisando cada eixo. Eixo X:

( )ai afxa

ai afx bfx bfxa a b

b

m v v

m v m v m v vm

−

= + ⇒ =

� �

� � � �

(8)

No eixo Y:

0a f ya

a f y b f y b f ya b

b

m vm v m v v

m

−= + ⇒ =

�

� � �

(9)

O módulo do vetor pode ser calculado a partir de suas componentes extraindo

a raiz da soma dos quadrados de cada componente:

2 2x y

r r r= +�

(10)

Para analisar a energia cinética antes e após a colisão, será comparada a

energia potencial da esfera a em relação à diferença de altura entre as esferas e a

soma das energias cinéticas calculadas com base nas velocidades de cada esfera

após a colisão.

6

3. OBJETIVOS

O objetivo deste experimento é estudar a conservação da grandeza física

conhecida como momento linear através de colisões de corpos rígidos que não

sofrem deformação. Também é objetivo verificar o comportamento da energia

cinética numa colisão.

4. PARTE EXPERIMENTAL

4.1. Materiais

Os materiais utilizados neste experimento foram:

- 2 Macacos mecânicos.

- Réguas.

- Trilho de madeira.

- Bloco de madeira

- Esferas de aço inoxidável.

- Papel sulfite.

- Papel carbono.

- Fita crepe.

4.2. Métodos

Para o estudo das colisões, foram colocadas duas esferas de massas ma e mb

em diferentes alturas relativas entre si e acima da altura da mesa com uso de dois

macacos. Sobre a mesa, colocou-se uma folha de sulfite com uma folha de papel

carbono por cima para que as esferas marcassem os pontos em que atingissem a

mesa. A folha foi presa na mesa com uso da fita crepe e o papel carbono colocado

apenas para que as esferas pudessem deixar uma marca no sulfite.

Convencionando a esfera que fica no topo da montagem por “a” e a que sofrerá

a colisão por “b”, a esfera a encontra-se a uma altura h2 do referencial mesa e a

esfera b encontra-se a h1 da mesma mesa. Sendo h3 a diferença de altura (eixo Z)

entre as esferas.

A distância ao longo do eixo X entre o ponto em que a esfera toca a mesa é Sa

e Sb, sendo c o comprimento do bloco de madeira que distanciava a esfera b do fim

do trilho inclinado para o rolamento da esfera a, conforme Figura 2.

7

Figura 2 – Vista lateral da queda das esferas, eixos X e Z.

A esfera b foi colocada na extremidade do bloco de madeira de comprimento c

e mantida numa posição fixa devido a uma pequena concavidade feita no bloco. O

bloco foi alinhado com o trilho e sua face alinhada em Z com a folha de papel

abaixo. O trilho e o bloco foram fixados com a fita crepe para que não se

movimentassem durante o experimento.

A marcação da altura h2 da qual a esfera seria lançada, também foi garantida

com a marcação com a fita crepe.

Para garantir que o eixo X fosse exatamente o eixo paralelo ao eixo imaginado

como prolongado do trilho, após todos os elementos terem sido fixados, lançou-se a

esfera a de alturas diferentes e sem colisão para que ela marcasse o papel sulfite.

Foram feitas 3 marcas e baseando-se nestas marcas deixadas, foi traçada a reta

que ligava estes 3 pontos e assim foi definido o eixo X.

O eixo Y ficou definido como o eixo perpendicular a X na folha de sulfite e seu

ponto inicial igual ao ponto do qual as esferas iniciavam sua queda (Figura 3).

Figura 3 – Vista superior da queda das esferas, eixos X e Y.

8

Inicialmente, a esfera a foi lançada da altura h2 sem colisão com a esfera b de

forma a poder comparar a velocidade que ela deveria ter em h1 calculada usando a

conservação de energia ao longo de h3 com a velocidade inicial do lançamento

horizontal que propiciou a esfera atingir a Sa.

As precauções de se fixar os elementos e traçar uma reta que fosse a real

projeção de trilho para ter o eixo X foram tomadas após um conjunto preliminar de

medições cuja análise dos dados mostrou que algum erro de procedimento foi

cometido pois todos os valores calculados apresentavam um erro constante e na

mesma direção.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A primeira série de medições foi feita com a esfera de massa igual a 16g e

anotadas as distâncias alcançadas pela esfera a quando esta não colidia com a

esfera b. Em todas as descidas a distância atingida pela esfera a fio a mesma. Os

dados e resultados dos cálculos estão na Tabela 1.

Tabela 1 – Esfera a sem colisão.

Sa no eixo X [mm] (5 vezes) Sa no eixo Y [mm] (5 vezes)

140 0

vafx [m/s]

1,139

vai [m/s] 1,2043

pai [g.m/s] 19,2692

E = m.g.h3 [mJ] 11,6032

Ea = 0,5.m.vafx2 [mJ] 10,3827

E – Ea [mJ] 1,2205

Onde vai é a velocidade de a inicial, pai é o momento da a inicial, E é a energia

em calculada em relação a altura h3 e Ea é a energia calculada com base na

velocidade vafx – velocidade de a final no eixo x – necessária para que a esfera

percorresse Sa pela equação (5).

A velocidade vai é aproximadamente 0,06 m/s maior que a velocidade vafx, o

que significa que as perdas de velocidade no sistema são muito pequenas, portanto,

nos cálculos posteriores de conservação de momento e de energia será usado no

valor inicial (antes da colisão) esta velocidade e por consequência, momentos e

energias referentes a ela.

9

Agora que se conhecem os valores das grandezas antes da colisão, pode-se

fazer o estudo de conservação de momento linear e energia nos casos de colisões

de mesmas massas e massas diferentes.

O próximo conjunto de medições foi realizado com a colisão da esfera a com a

esfera b, neste conjunto a esfera a possui massa de 66g e a esfera b massa de 16g.

Todas as alturas foram mantidas em relação à Tabela 1. Os valores das distâncias

alcançadas por cada esfera após a colisão estão na Tabela 2.

Tabela 2 – Esfera a de massa maior colide com b.

Sa eixo X [mm] Sa eixo Y [mm] Sb eixo X [mm] Sb eixo Y [mm]

98 0 210 0

99 0 215 0

100 4 215 -14

93 4 210 -14

97 6 209 -28

Usando a equação (5) tem-se as velocidades das esferas.

Tabela 3 – Velocidades das esferas a e b em m/s a partir da Tabela 2.

vafx vafy vbfx vbfy

0,797 0,000 1,709 0,000

0,806 0,000 1,750 0,000

0,814 0,033 1,750 -0,114

0,757 0,033 1,709 -0,114

0,789 0,049 1,701 -0,228

média 0,793 0,023 1,723 -0,091

desvio padrão 0,022 0,022 0,024 0,095

As velocidades de a em x e em y são respectivamente: 0,793 ± 0,022 m/s e

0,023 ± 0,022 m/s. E as velocidades b em x e em y são respectivamente: 1,723 ±

0,024 m/s e -0,091 ± 0,095 m/s (Sinal negativo pela orientação dos eixos).

Com base nas médias destas velocidades, os momentos finais de cada esfera

após a colisão em cada eixo, o momento total usando a equação (10) para a soma

das componentes e a diferença entre o momento total final e o inicial são

apresentados na Tabela 4.

10

Tabela 4 – Momentos lineares das esferas a e b a partir da Tabela 3 em [g.m/s].

pafx pafy pbfx pbfy

52,3100 0,6445 27,5758 -1,4582

pai 79,4855

pfx 79,886

pfy -0,814

pf 79,890

pf – pai 0,4045

A diferença dos momentos calculados em g.m/s é de 0,4045, percentualmente

esta diferença é 0,50%, o que permite dizer que o momento linear se conservou no

sistema e estas diferenças são decorrentes de pequenas variações no experimento.

É interessante notar que o valor do momento final calculado a partir do

momento final de cada esfera e estes por sua vez com base na média das

velocidades de cada esfera é ligeiramente superior ao momento inicial. Todavia, se

a altura h1 fosse de 192 mm, ou seja, 1 mm acima, o momento final seria menor que

o inicial e a diferença seria de 0,67 g.m/s, isto significa que uma pequena diferença

na medição é suficiente para dar a impressão de que houve um ganho de momento

no sistema.

Utilizando-se a equação (10) para obter o vetor velocidade total das esferas

após a colisão e usando os valores das velocidades finais médias, pode-se obter os

valores da energia cinética após a colisão, conforme mostra a Tabela 5

Tabela 5 – Velocidades finais e energia das esferas a e b a partir da Tabela 3.

vaf 0,7926

vbf 1,7259

E= ma.g.h3 [mJ] 47,8632

Ea = 0,5.ma.vaf2 [mJ] 20,747

Eb = 0,5.mb.vbf2 [mJ] 23,830

Ea + Eb [mJ] 44,577

E – (Ea + Eb) [mJ] 3,2865

A energia antes da colisão é de 47,86 mJ, energia correspondente à diferença

de alturas entre as esferas. Após a colisão, a velocidade que cada esfera possui

permite calcular e energia após a colisão e chegar no valor de 44,58 mJ. A diferença

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de energia é de 3,29 mJ, uma perda pequena em valores absolutos mas que

representa uma porcentagem de 6,87% da energia inicial do sistema.

O conjunto de medições seguinte foi realizado com esfera a com massa de 16g

e a esfera b massa de 16g. Todas as alturas foram mantidas em relação à Tabela 1.

Os valores das distâncias alcançadas por cada esfera após a colisão estão na

Tabela 6.

Tabela 6 – Esfera a colide com b de mesma massa.

Sa eixo X [mm] Sa eixo Y [mm] Sb eixo X [mm] Sb eixo Y [mm]

37 10 140 -7

36 5 138 -4

35 13 137 -10

35 27 134 -24

Usando as equações (5) tem-se as velocidades das esferas.

Tabela 7 – Velocidades das esferas a e b em m/s a partir da Tabela 6.

vafx vafy vbfx vbfy

0,301 0,081 1,139 -0,057

0,293 0,041 1,123 -0,033

0,285 0,106 1,115 -0,081

0,285 0,220 1,090 -0,195

média 0,291 0,112 1,117 -0,092

desvio padrão 0,008 0,077 0,020 0,072

As velocidades de a em x e em y são respectivamente: 0,291 ± 0,008 m/s e

0,112 ± 0,077 m/s. E as velocidades b em x e em y são respectivamente: 1,717 ±

0,020 m/s e -0,092 ± 0,072 m/s (Sinal negativo pela orientação dos eixos).

Com base nas médias destas velocidades, repete-se os procedimentos usados

para confeccionar a Tabela 4. Os resultados estão na Tabela 8.

Tabela 8 – Momentos lineares das esferas a e b a partir da Tabela 7 em [g.m/s].

pafx pafy pbfx pbfy

4,6546 1,7902 17,8696 -1,4647

pai 19,2692

pfx 22,5241

pfy 0,3255

pf 22,5265

pf – pai 3,2573

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A diferença dos momentos calculados em g.m/s é de 3,2573, percentualmente

esta diferença é de 16,90%, este valor é aproximadamente 32 vezes maior que a

diferença percentual da colisão entre as massas de 66g e 16g. Percebe-se que este

resultado é incoerente em relação ao obtido com as massas diferentes. No entanto,

de acordo com Halliday et al numa colisão elástica unidimensional entre dois corpos

de mesma massa a velocidade final do corpo que atinge o outro (esfera a) deve ser

zero, e esta velocidade é totalmente transferida para o outro corpo. Partindo disto, o

novo cálculo da diferença entre o momento inicial e o final sendo este o momento

final de b ao longo de X é:

Tabela 9 – Diferença do momento inicial em relação ao final de b em X.

pai 19,2692

pbfx 17,8696

pai – pbfxf 1,3996

Pela Tabela 9, a diferença é de 1,40 g.m/s, percentualmente esta diferença

representa 7,26%. Valor menor que o obtido a partir da Tabela 8, todavia, esta

diferença pode se interpretada como a parcela de momento remanescente do fato

dessa colisão não ter sido unidimensional.

No cálculo das energias deste sistema, serão usadas as velocidades finais das

esferas, pois enxerga-se que o comportamento da energia independe do eixo

adotado ou da colisão ser uni ou bidimensional, logo, utilizando-se a equação (10)

para obter o vetor velocidade total das esferas após a colisão e usando os valores

das velocidades finais médias, os valores da energia cinética após a colisão, são

exibidos na Tabela 10.

Tabela 10 – Velocidades finais e energia das esferas a e b a partir da Tabela 7.

vaf 0,3117

vbf 1,1206

E= ma.g.h3 [mJ] 11,6032

Ea = 0,5.ma.vaf2 [mJ] 0,777

Eb = 0,5.mb.vbf2 [mJ] 10,046

Ea + Eb [mJ] 10,823

E – (Ea + Eb) [mJ] 0,7802

A energia antes da colisão é de 11,60 mJ. Após a colisão, a energia é igual a

10,82 mJ. A diferença de energia é de 0,78 mJ, uma perda pequena em valores

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absolutos que representa porém uma porcentagem de 6,72% da energia inicial do

sistema. Esta porcentagem é muito próxima da porcentagem da diferença de

energia na colisão entre as massas diferentes, o que significa que ambos os

sistemas tiveram suas perdas de energia relacionadas a fatores comuns, dentre

eles, cita-se a audível produção de energia sonora no momento do choque entre as

esferas, e a diferença é 0,5% menor que a porcentagem da diferença entre o

momento inicial e o final de b em X, sendo este valor é o mesmo da diferença dos

momentos no choque com massas diferentes.

6. CONCLUSÃO

Conclui-se que num choque mecânico elástico, em um sistema isolado, tanto o

momento linear quanto a energia do sistema devem se conservar. Como no

momento da colisão é produzido som, conclui-se que uma das formas de energia

para a qual é desviada a energia inicial do sistema é para a produção desse som.

Isto foi verificado pela porcentagem da diferença das energias nos casos de colisões

estudados, em ambos os caso está porcentagem ficou ao redor de 6,8%.

O momento linear também deve ser conservado como visto na colisão entre

corpos de massas diferentes. No entanto, não na colisão de corpos de mesma

massa, não ficou evidente este comportamento. De acordo com os dados, não

houve nenhum choque perfeitamente unidimensional, desta forma, a esfera a não

ficou imobilizada após colidir com b, isto é uma consequência da dificuldade de duas

esferas de mesmo diâmetro colidirem perfeitamente sobre suas linhas de centro,

assim, nesta colisão a esfera a sempre pode manter parte de sua velocidade, rolar

pela beirada do bloco de madeira e cair sobre o papel sulfite, o que contribuiu para

que o momento final parecesse muito diferente do inicial.

Contudo, mesmo perante as dificuldades que ocorreram quando as massas

foram iguais, a energia do sistema permaneceu conservada, incluindo a parcela

transformada em som.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FENDT, Walter. Colisões Elástica e Inelásticas. Disponível em <http://www.walter-fendt.de/ph11br/collision_br.htm>. Acesso em 07 de set. 2009

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Fundamentos de Física, 7.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2005. V.2. p.227-233, 239-241.