RelLabFisII - Ressonância em um circuito RLC

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Ressonância em um circuito RLC

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Centro de Cincias Exatas - Departamento de FsicaRessonnciaem um circuito RLCProf.Dr. Jos Leonil DuarteEquipe: Daniel Gonalves Arajo Diego Palermo Garcia Humberto Vicentin Rafael BratifichLondrina21/09/20101SumrioResumo............................................................................................................................................031.0 Introduo...................................................................................................................................042.0 - Ressonncia em Circuito RLC...................................................................................................072.1 - Materiais usados para os experimentos..................................................................................072.2 - Montagem e procedimentos experimentais.............................................................................072.3 - Resultado da medida..................................................................................................................093.0 - Concluso....................................................................................................................................174.0 - Bibliografia..................................................................................................................................172ResumoO seguinte experimento realizado no Laboratrio de Fsica II da UniversidadeEstadual deLondrinatemcomoobjetivosestudararessonnciaemum circuito RLC e tambm determinar experimentalmente as curvas de ressonncia para qm , im e a potncia dissipada P.31.0 - IntroduoO fenmeno da Ressonncia num circuitos RLC ser estudado com o auxilio de um gerador de funes e um amplificador de udio, submetendo o circuito a uma tenso senoidal podemosverificarqueacorrentenocircuitoRLCoscilarcomafrequncia gerada pelo gerador de funes e em uma certa frequncia essa corrente ter o seu valormximo essa frequncia denominada frequncia de ressonncia.Figura 1 - Circuito RLC em srie alimentado por um gerador de tenso alternada.O circuito submetido uma tenso alterna, com dependncia no tempo, e respeita a seguinte equao V (t )=Vm. cos (o.t )onde Vm a amplitude mxima da tenso alternada e w a frequncia angular.Pelalei dasmalhas, avoltageminstantneaatravsdoscomponentes(crculos vazios na figura 1) igual voltagem da fonte em cada instante. O fasor que representa essa voltagem total dado pela soma vetorial dos fasores das trs voltagens individuais.Figura 2 Diagrama dos fasores para a tenso sobre cada componente do circuito RLC.O fasor que representa essa voltagem total dado pela soma vetorial dos fasores das trs voltagens individuais. Aplicando o teorema de Pitgoras figura 4, obtemosV2=V R2+(V LVC)2Sendo a reatncia do capacitorXC=1oC; a reatncia indutiva do indutor XL=oL.4SubstituindoosvaloresexpressosparaVR=R, VL= X LeVC= XC, teremos queV =I.R2+( X LXC)2Definimos a impedncia Z do circuito AC como a razo entre a voltagem aplicada e a amplitude da corrente atravs do circuito. Com isso, temos queZ=.R2+|oL(1oC)2Assim, para uma determinada tenso aplicada V, I=V/Z ser diferente para diferentes valores da frequncia w.Muitas aplicaes prticas dos circuitos RLC em srie se devem ao modo pelo qualtais circuitos respondem a diferentes fontes de frequncia angular w. Por exemplo, um circuito de sintonia tpico em um receptor de rdio simplesmente um circuito RLC em srie. Umsinal derdiocomqualquer frequnciaproduzuma correntecomamesma frequncianocircuitodoreceptor, pormaamplitudedacorrenteatingeoseuvalormximo quando a frequncia do sinal iguala uma frequncia partcula para o qualo circuito receptor se encontra sintonizado. Esse efeito chamado de ressonncia.O valor mnimo de Z ocorre quando o termo entre colchetes na equaofor igual a zero. A frequncia deste ponto, wo, dada poroo=1. LCA frequncia wo denominada frequncia de ressonncia.A Figura 3 apresentada a curva de ressonncia para a corrente em funo da frequncia angular.5Figura 3 - Ressonncia de im em num circuito RLC em srie.Nafrequnciaderessonncia, aamplitudemximadatensonoindutor ouno capacitor escrita como:VLM=V CM=Q. VMSendo VLm e VCm o valor mximo da tenso entre os terminais do indutor e do capacitor, respectivamente, na frequncia de ressonncia. Assim, quando a frequncia aplicadaaocircuitoRLCforigual frequnciaderessonncia,podemocorrervalores elevados de tenso, bem maiores que o aplicado ao circuito pelo gerador.62.0 - Ressonncia em Circuito RLC2.1 -Materiais usados para o experimentoPara a montagem experimental foram utilizados os materiais abaixo listados.- 1Gerador deFunes(MinipaMFG-4202FunctionSignal Generator) com amplificador (Amplificador Estreo de udio FISUEL) para casamento de baixa impedncia entre o gerador e o circuito RLC;- 2 Multmetros Digitais (Minipa ET-2080 e ET-2701);- 1 Capacitor (1 F);- 1 Resistor (10 );- 1 Indutor (100 mH);- Cabos de Conexo;2.2 - Montagem e procedimentos experimentaisFigura 4 Circuito empregado para determinao da ressonncia em circuito RLC.7Figura 5 Diagrama da montagem experimental para determinar a ressonncia no circuito RLC.A - Amplificador Estreo de udio FISUEL;B - Gerador de Funes (MinipaMFG-4202 Function Signal Generator);C - Indutor (100 mH);D - Resistor (10 );E - Capacitor (1 F);F - Multmetro em funo de Voltmetro (ET-2701);G - Multmetro em funo de Voltmetro (ET-2080);H - Cabos de Conexo;Ligou-se o gerador de funo a entrada do canal 1 do amplificador a fase da sada foi ligada ao resistor que foi ligado ao indutor e este ao capacitor sendo ligado ao neutro da sada fechando o circuito. Ao resistor e ao capacitor foram associados em paralelo um multmetro em escala de tenso. A tenso Vp empregada no gerador foi de 250mV e a tensodesadanoamplificadorfoi de(1,4870,042)V. Mediu-seentoastensesno capacitor e no resistor em funo da variao da frequncia, mapeando-se os ponto para 8encontrar afrequnciaderessonncia; aps omapeamentomediu-seatensono gerador em aberto na frequncia de ressonncia. Obs.: Para o clculo da incerteza na medida com o multmetro utilizaremos a frmula descrita dos manuais dos aparelhos conforme as escalas utilizadas, para a medida de tenso da sada do amplificadorutilizou-se o multmetro minipa ET-2701 a escala utilizada foi a de 20V AC, o clculo para a incerteza nessa escala dado por V x 1,5%+20D.Obs.:Ovalor doresistor empregadofoi deR1=(11,510,13); paraoclculodaincerteza utilizaremos a frmula descrita do manual do aparelho conforme as escalas utilizadas, para a medida do resistor utilizou-se o multmetro minipa ET-2701 a escala foi a de 200,o clculo para a incerteza nessa escala dado por R x 0,25%+10D.Obs.: O valor do capacitor empregado foi de C=(1,050,15)F;para a medida do capacitor utilizou-se o multmetro minipa ET-2080 a escala foi a de 4F , o clculo para a incerteza nessa escala dado por C x 5%+10D.Obs.:O valor do indutor empregado foi deL=(128,36,5)mHe sua resistncia interna RL=(1,510,10) para o clculo da incerteza utilizaremos a frmula descrita dos manuais dos aparelhos conforme as escalas utilizadas, para a medida do indutor utilizou-se o multmetro minipa ET-2080a escala foia de 400mH,o clculo para a incerteza nessa escala dado porL x 5%+10D e para a medida da resistncia internautilizou-se o multmetro minipa ET-2701 na escala de 200, o clculo para a incerteza nessa escala dado por R x 0,25%+10D.2.3 - Resultado da medidaTabela 1 Valores medidos para a tenso no resistor (VR) e no capacitor (VC) em funo da frequncia.Frequncia (Hz)Frequncia Angular (rad/s)VR (V) VC (V)(350,00)Hz (2.199,11)rad/s (0,2530,023)V (10,470,15)V(360,00)Hz (2.261,95)rad/s (0,3100,024)V (12,540,18)V(370,00)Hz (2.324,78)rad/s (0,3630,025)V (14,230,21)V(380,00)Hz (2.387,61)rad/s (0,4060,026)V (15,480,23)V(390,00)Hz (2.450,44)rad/s (0,4430,026)V (16,450,24)V(400,00)Hz (2.513,27)rad/s (0,4780,027)V (17,280,26)V(410,00)Hz (2.576,11)rad/s (0,5120,027)V (17,980,27)V(420,00)Hz (2.638,94)rad/s (0,5470,028)V (18,630,28)V(425,00)Hz (2.670,35)rad/s (0,5620,028)V (18,900,28)V(430,00)Hz (2.701,77)rad/s (0,5780,028)V (19,210,28)V(435,00)Hz (2.733,18)rad/s (0,5940,028)V (19,430,29)V(440,00)Hz (2.764,60)rad/s (0,6050,029)V (19,500,29)V(442,00)Hz (2.777,17)rad/s (0,6110,029)V (19,540,29)V9(444,00)Hz (2.789,73)rad/s (0,6170,029)V (19,600,29)V(446,00)Hz (2.802,30)rad/s (0,6190,029)V (19,630,29)V(448,00)Hz (2.814,86)rad/s (0,6210,029)V (19,610,29)V(450,00)Hz (2.827,43)rad/s (0,1460,022)V (4,800,07)V(455,00)Hz (2.858,84)rad/s (0,1380,022)V (4,530,06)V(460,00)Hz (2.890,26)rad/s (0,1300,022)V (4,210,06)V(470,00)Hz (2.953,09)rad/s (0,1190,022)V (3,660,05)V(480,00)Hz (3.015,93)rad/s (0,1080,022)V (3,400,05)V(490,00)Hz (3.078,76)rad/s (0,0990,021)V (3,070,04)V(500,00)Hz (3.141,59)rad/s (0,0920,021)V (2,800,04)VObs.: Para o clculo da incerteza na medida com os multmetros utilizaremos a frmula descrita dos manuaisdosaparelhos conformeas escalas utilizadas, paraasmedidas detenso VRutilizou-seo multmetro minipa ET-2701,a escala utilizada foia de 4V AC,o clculo para a incerteza nessa escala dado por V x 1,5%+10D. Para a tenso VC utilizou-se o multmetro minipa ET-2080 a escala utilizada foi a de 4V AC, o clculo para a incerteza nessa escala dado por V x 1,5%+4D.Temos que o valor medido pelos multmetros compreende os valores eficazes de tenso (VR e VC) assim o valor de tenso mxima pode ser obtido por VRM=.2VR ouVCM=.2VCTabela 2 Valores para a tenso mxima no resistor (VRM) e no capacitor (VCM) em funo da frequncia.Frequncia (Hz)Frequncia Angular (rad/s)VRM (V) VCM (V)(350,00)Hz (2.199,11)rad/s (0,3570,033)V (14,800,22)V(360,00)Hz (2.261,95)rad/s (0,4380,034)V (17,730,26)V(370,00)Hz (2.324,78)rad/s (0,5130,035)V (20,120,30)V(380,00)Hz (2.387,61)rad/s (0,5740,036)V (21,890,32)V(390,00)Hz (2.450,44)rad/s (0,6260,037)V (23,260,35)V(400,00)Hz (2.513,27)rad/s (0,6750,038)V (24,430,36)V(410,00)Hz (2.576,11)rad/s (0,7240,039)V (25,420,38)V(420,00)Hz (2.638,94)rad/s (0,7730,039)V (26,340,39)V(425,00)Hz (2.670,35)rad/s (0,7940,040)V (26,720,40)V(430,00)Hz (2.701,77)rad/s (0,8170,040)V (27,160,40)V(435,00)Hz (2.733,18)rad/s (0,8400,041)V (27,470,41)V(440,00)Hz (2.764,60)rad/s (0,8550,041)V (27,570,41)V(442,00)Hz (2.777,17)rad/s (0,8640,041)V (27,630,42)V10(444,00)Hz (2.789,73)rad/s (0,8720,041)V (27,710,42)V(446,00)Hz (2.802,30)rad/s (0,8750,041)V (27,760,42)V(448,00)Hz (2.814,86)rad/s (0,8780,041)V (27,730,42)V(450,00)Hz (2.827,43)rad/s (0,2060,031)V (6,780,10)V(455,00)Hz (2.858,84)rad/s (0,1950,031)V (6,400,09)V(460,00)Hz (2.890,26)rad/s (0,1830,031)V (5,950,09)V(470,00)Hz (2.953,09)rad/s (0,1680,031)V (5,170,08)V(480,00)Hz (3.015,93)rad/s (0,1520,030)V (4,800,07)V(490,00)Hz (3.078,76)rad/s (0,1400,030)V (4,340,07)V(500,00)Hz (3.141,59)rad/s (0,1300,030)V (3,950,06)VObs.:Paraoclculodasincertezasutilizou-seaformulaencontradaviapropagaodeerros cKM=.2cKonde K R ou C.Tabela 3 Valores para a corrente mxima no resistor (iM) e a carga mxima no capacitor (qM) em funo da frequncia.Frequncia (Hz)Frequncia Angular (rad/s)iM (A) qM (C)(350,00)Hz (2.199,11)rad/s (0,0310,003)A (1,550,22)x10-5C(360,00)Hz (2.261,95)rad/s (0,0380,003)A (1,860,26)x10-5C(370,00)Hz (2.324,78)rad/s (0,0440,003)A (2,110,30)x10-5C(380,00)Hz (2.387,61)rad/s (0,0490,003)A (2,290,32)x10-5C(390,00)Hz (2.450,44)rad/s (0,0540,003)A (2,440,34)x10-5C(400,00)Hz (2.513,27)rad/s (0,0580,003)A (2,560,36)x10-5C(410,00)Hz (2.576,11)rad/s (0,0620,004)A (2,660,38)x10-5C(420,00)Hz (2.638,94)rad/s (0,0670,004)A (2,760,39)x10-5C(425,00)Hz (2.670,35)rad/s (0,0690,004)A (2,800,40)x10-5C(430,00)Hz (2.701,77)rad/s (0,0710,004)A (2,850,40)x10-5C(435,00)Hz (2.733,18)rad/s (0,0720,004)A (2,880,41)x10-5C(440,00)Hz (2.764,60)rad/s (0,0740,004)A (2,890,41)x10-5C(442,00)Hz (2.777,17)rad/s (0,0750,004)A (2,900,41)x10-5C(444,00)Hz (2.789,73)rad/s (0,0750,004)A (2,910,41)x10-5C(446,00)Hz (2.802,30)rad/s (0,0760,004)A (2,920,41)x10-5C(448,00)Hz (2.814,86)rad/s (0,0760,004)A (2,900,41)x10-5C(450,00)Hz (2.827,43)rad/s (0,0170,002)A (0,710,10)x10-5C(455,00)Hz (2.858,84)rad/s (0,0160,002)A (0,670,09)x10-5C(460,00)Hz (2.890,26)rad/s (0,0150,002)A (0,620,09)x10-5C11(470,00)Hz (2.953,09)rad/s (0,0140,002)A (0,540,08)x10-5C(480,00)Hz (3.015,93)rad/s (0,0130,002)A (0,510,07)x10-5C(490,00)Hz (3.078,76)rad/s (0,0120,002)A (0,450,06)x10-5C(500,00)Hz (3.141,59)rad/s (0,0110,002)A (0,410,06)x10-5CA corrente mxima obtidaiM=VRMRe seu erro calculador porci M=.(cVRMR )2+(VRMR2 )2(cR)2.A caga mxima no capacitor serQ=VCM Ce seu erro calculador porcQ=.(VCM)2(cC)2+(C)2(cVCM)2Tabela 4 Valor medido para a tenso no gerador em aberto (VM) na frequncia de ressonncia.Frequncia (Hz) Frequncia Angular (rad/s) VM (V)(448,00)Hz (2.814,86)rad/s (1,900,13)VObs.:Para o clculo da incerteza na medida com o multmetro utilizaremos a frmula descrita do manual do aparelho conforme as escalas utilizadas, para as medidas de tenso VM utilizou-se o multmetro minipa ET-2701, a escala utilizada foi a de 4V AC, o clculo para a incerteza nessa escala dado por V x 1,5%+10D.Calculando a resistncia totalNa frequncia de ressonncia a tenso no capacitor e no indutor se cancelam e a corrente no circuito RLC ser a mesma de uma associao de resistncias em srie.Assim, pode-se usar a relaoim=V RMR =V MRTEsta relao permite calcular a resistncia RT(total) e determinar a resistncia interna RG, cujo valor desconhecido.im=VRMR =VMRT -RT=VM RV RM =1,90. 11,510,878=(24,90!2,67)D12e seu errocRT=.(RVRM)2cVM2+(VMVRM)2cR2+(VM RVRM2 )2cVRM2Como RT=R+RL+RGtemos que RG=RT RRLlogo,RG=24,90 11,51 1,51=(11,88!2,67) De seu errocRG=.cRT2+cRL2+cR2Figura 6 Grfico da corrente mxima no resistor em funo da frequncia angularClculo da frequncia de ressonncia ( oo)A frequncia de ressonncia pode ser obtida poroo=1.LCmas oo=2n f o; logof o=12n. LC - f o=12n.128,3 x10-3.1,05 x10-6C=433,62 Hz e oo=2.724,5rad / sPode-seserobservadonogrficoqueafrequnciaderessonnciaencontrada 13experimentalmente emtorno deoo=2.814,86rad / s, enquanto a calculada via componentes se apresenta em oo=2.724,5rad / s.Figura 7 Grfico da carga no capacitor em funo da frequncia angularClculo da frequncia angular para qM ( o1)A frequncia pode ser obtida poro1=.oo2RT22 L2-o1=.( 2.814,86)2(24,90)22(128,3 x10-3)2=2811,51rad / sPode-se ser observado no grfico que a frequncia encontrada experimentalmente em torno de o1=2.802,30rad / s, enquanto a calculada viacomponentes se apresenta em o1=2.811,51rad / s.Tabela 5 Potncia calculada em funo da frequncia Frequncia (Hz) Frequncia Angular (rad/s) Potncia (J)(350,00)Hz (2.199,11)rad/s (0,01200,0026)J(360,00)Hz (2.261,95)rad/s (0,01800,0034)J(370,00)Hz (2.324,78)rad/s (0,02470,0044)J(380,00)Hz (2.387,61)rad/s (0,03090,0052)J14(390,00)Hz (2.450,44)rad/s (0,03680,0060)J(400,00)Hz (2.513,27)rad/s (0,04290,0069)J(410,00)Hz (2.576,11)rad/s (0,04920,0076)J(420,00)Hz (2.638,94)rad/s (0,05620,0084)J(425,00)Hz (2.670,35)rad/s (0,05930,0088)J(430,00)Hz (2.701,77)rad/s (0,06270,0093)J(435,00)Hz (2.733,18)rad/s (0,06630,0097)J(440,00)Hz (2.764,60)rad/s (0,06870,0100)J(442,00)Hz (2.777,17)rad/s (0,07010,0102)J(444,00)Hz (2.789,73)rad/s (0,07150,0103)J(446,00)Hz (2.802,30)rad/s (0,07200,0104)J(448,00)Hz (2.814,86)rad/s (0,07240,0105)J(450,00)Hz (2.827,43)rad/s (0,00400,0013)J(455,00)Hz (2.858,84)rad/s (0,00350,0012)J(460,00)Hz (2.890,26)rad/s (0,00310,0011)J(470,00)Hz (2.953,09)rad/s (0,00260,0010)J(480,00)Hz (3.015,93)rad/s (0,00210,0009)J(490,00)Hz (3.078,76)rad/s (0,00180,0008)J(500,00)Hz (3.141,59)rad/s (0,00150,0007)JA Potncia calculada porP=RiM22 e na frequncia de ressonnciaPM=VM22Re seus erros serocP=.(im22)2cRT2+(Rim)2ci M2 e cPM=.(Vm22 RT2)2cRT2+(VmRT)2cVM215Figura 8 Grfico da potncia em funo da frequncia angularCalculando a larguraAoa meia alturaAo=oaob=(2449,372821,36)=| 371,99|Ao tambm pode ser obtido comoAo=RTL -Ao=24,90128,3 x10- 3=194,07Os valores obtidos via os dados do grfico apresenta-se cerca de 2 vezes maior ao calculador pela razo entre a resistncia total e a indutncia.Calculando o fator de QualidadeO fator de qualidade pode ser obtido porQ=oo LR = ooAo=VCMVMLogo o fator de qualidade serQ=oo LR =2814,86 x(128,3 x10-3)24,90=14,5Q= ooAo=2.414,86371,99 =6,516Q=VCMVM =19,611,90 =10,3Os valores do fator de qualidade calculados de trs formas diferentes apresentam resultadosdistintossendoqueosvalorescalculadoviamediesapresentamvalores prximos (14,5 e 10,3) enquanto que ao calculado a partir da variao deo no ponto mdio apresenta-se abaixo dos valores citados; considerando-se que os pontos aps a frequnciaderessonnciaapresentamerrosequeocomprimentode Ao tomado tambm apresentar este desvio.3 ConclusoOs objetivos de se estudar o funcionamento da ressonncia em um circuito RLC, e a anlise da frequncia angular em relao a carga mxima, corrente mxima e potncia foi alcanado; observa-se erros quanto aos grficos gerados segundo os dados medidos no laboratrio. Conclui-se que ocorreu erro tcnico ou por parte de algum equipamento de medio ou de algum componente do circuito, assim no foi possvel uma melhor anlise do circuito aps a frequncia de ressonncia. 4 Bibliografia1. Duarte, J.L., Appoloni, C.R., Toginho Filho, D.O., Zapparoli, F.V.D.,Roteiros de Laboratrio Laboratrio de Fsica Geral IIB 2a Parte, Londrina, 2010.2. Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.,FundamentosdeFsicaElectromagnetismo, Livros Tcnicos e Cientficos Editora SA, 4a Edio, Rio de Janeiro, 1991.3. J. H. Vuolo,Complementos de Fsica Experimental 2 Parte, Apostila IFUSP, So Paulo, 1995.4. P. A. Tipler, Fsica 2, Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1978.17