Resistência dos Materiais 2003/2004 - web.fe.up.ptldinis/aula12.pdf · Flexão Pura de Vigas - Tensões Axiais 4/22 Figura 12.2: Viga em Flexão Pura ... materiais da viga e das

Flexão Pura de Vigas - Tensões Axiais 1/22

Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

12ª Aula Duração - 2 Horas Data - 10 de Novembro de 2003 Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia. Objectivos da Aula: Apreender a forma como se distribuem as tensões Axiais nas Secções das Vigas por forma a conduzirem ao momento resultante na Secção. Resumo do Conteúdo da Aula 1.Introdução Uma viga sujeita à acção de forças exteriores, acções contidas no plano de solicitação, desenvolve esforços transversos e momentos flectores como foi visto no capítulo anterior, os quais resultam de tensões distribuídas ao longo da secção da viga. Neste capítulo a atenção é dirigida para as tensões longitudinais ou axiais cuja resultante é o momento flector. A existência deste tipo de tensões é facilmente percepcionada observando o modo como uma viga em consola se deforma como resultado da aplicação de uma força exterior concentrada no extremo, ou observando o modo como se deforma uma viga simplesmente apoiada, sujeita a momentos flectores nos extremos, como se representa na figura 12.1.

No caso da viga encastrada as fibras superiores ficam traccionadas e as fibras inferiores ficam comprimidas havendo em consequência uma diminuição da largura da secção nas fibras superiores e um aumento da largura da secção nas fibras inferiores, estas tensões de tracção e compressão são longitudinais ou axiais e têm como resultante o momento flector actuante na secção. Além das tensões longitudinais vão existir tensões de corte. Neste capítulo vamos estudar o modo como se distribuem as tensões longitudinais na Secção e para esse efeito começa-se por estudar uma aproximação ao comportamento de uma viga sujeita somente a momentos flectores.


Figura 12.1: Vigas Sujeitas à Flexão

As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos a elementos lineares curvos com um certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura 12.2 a curvatura da curva deformada num ponto pode ser definida como sendo:

Figura 12.2: Curva Plana

OCDOsdsdk

ss

1´1limlim

00==

∆∆

==→∆→∆

θθ

Fibras ComprimidasP

Fibras Traccionadas

Fibras Traccionadas

M M

Distorção da Secção

O

y

x

O

O´

∆θ

θ

∆θθ

∆s

Curvaturadsdk θ

=


que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/R, como se representa na figura 12.2, e tem de dimensão o 1/unidade de comprimento.

2.Flexão Pura de Vigas de Secção Simétrica 2.1. Geometria da Deformação O caso mais simples de flexão de vigas é o caso da flexão de uma viga sujeita à acção de momentos flectores nos extremos, por exemplo a viga simplesmente apoiada representada na figura 12.1. No caso de se considerar uma secção com um eixo de simetria, o eixo Oy pode considerar-se coincidente com o eixo de simetria da secção, sendo Ox o eixo da viga que é considerado coincidente com o lugar geométrico dos centros de Gravidade da secção recta da viga e Oz perpendicular ao plano Oxy coincidente com o plano de solicitação como se representa na figura 12.2. No que se segue considera-se que o eixo dos yy é um eixo de simetria da secção, podendo portanto considerar-se a teoria que se vai desenvolver neste parágrafo como aplicável a vigas cuja secção recta tem um eixo de simetria. Considere-se sobre a viga um elemento típico abcd, como se representa na referida figura, o qual após deformação ocupa a posição a´b´c´d´, e admita-se que durante o processo de deformação, secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo flectido da viga. Esta hipótese é devida a Bernoulli (1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria clássica das vigas à flexão, válida no caso de se tratarem de vigas finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga. A chamada hipótese de Bernoulli, pode demonstrar-se que é completamente verdadeira para elementos em flexão pura, no entanto se também existirem esforços de corte um pequeno erro é introduzido ao considera-la válida, no entanto vai considerar-se válida esta hipótese em qualquer circunstância desde que as dimensões da secção recta sejam significativamente menores que a dimensão da viga segundo o eixo.


Figura 12.2: Viga em Flexão Pura O elemento sobre o eixo da viga ef, deforma-se e ocupa na posição deformada a posição e´f´ que corresponde a um arco de círculo com raio de curvatura R, sendo o comprimento do arco de círculo ds e dθ o ângulo ao centro do referido arco, pode dizer-se que ds =Rdθ , ou seja que a curvatura do eixo da viga flectida é:

R1

dsdk ==θ

12.1 sendo k e R constantes no caso de uma viga sujeita a flexão pura. As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura 12.2. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´ , designada por du , pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)dθ, ou seja

du =(R-y)dθ-Rdθ=-ydθ 12.2 No caso de se considerar que o deslocamento e rotações sofridas pela secção da viga são muito pequenos, os cosenos dos ângulos envolvidos nas projecções de du e ds na direcção do eixo dos xx, são praticamente iguais à unidade. Nestas condições pode considerar-se du igual du, alongamento segundo x e ds igual dx, consequentemente

ykdsdy

dsud

−=−=θ ou yk

dxdy

dxdu

−=−=θ

12.3 Tendo em conta que a extensão segundo x é dxduxx /=ε , conclui-se que a equação 12.3 é equivalente a:

Ryykxx −=−=ε

12.4

y

dx

xMM

M M

dθ

a b

c d

a´ b´

c´ d´

e´ f´g´ h´

RR-y

Centro de Gravidade

Eixo de Simetria

y

z

Secção Simétrica

e fg h

Eixo Neutro


onde R é o raio de curvatura do eixo da viga. Donde se conclui que a deformação axial varia linearmente com y, mas a localização do eixo ou seja da localização da origem do sistema de eixos permanece indefinida, para se localizar na secção o ponto que corresponde a y=0, há necessidade de recorrer à lei de Hooke e às equações de equilíbrio Estático. Exemplo 12.1 Considere a viga representada na figura 12.3 e sujeita a momentos nos extremos, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 2×10 3− , determine o raio de curvatura da superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os extremos da viga deformada. Resolução A viga está sujeita a flexão pura e consequentemente pode considerar-se que:

Figura 12.3:Viga em Flexão Pura com Secção Rectangular

Ryykxx −=−=ε

Nestas condições se se tiver em conta que as deformações máximas ocorrem nas fibras mais afastadas da origem, ou seja para y=40mm de acordo com a figura, o raio de curvatura é:

mmyR xx 1020)102/(40/ 33 ×=×== −ε Tendo em conta que

Rs /1=∆∆θ

obtém-se para a variação angular ∆θ, o valor seguinte:

2.0m

xy

Secção Recta

∆θR80mm

50mm


1 1s 2 0.1radR 20

∆θ = ∆ = =

2.2. Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio Considerando a Lei de Hooke e a equação 12.4 obtém-se a tensão longitudinal σ xx com a seguinte forma:

EkyE xxxx −== εσ 12.5

sendo σ xx positivo para valores negativos de y e positivos da curvatura. As tensões σ xx estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja:

0=∑ F x ou 0=∫ dAA xxσ

12.6 sendo o integral estendido à área da Secção para que se possa obter a resultante das tensões distribuída na secção. Tendo em conta a equação 12.5, a equação 12.6 toma a forma

∫ ∫ =−=−A A

ydAEkEkydA 0

12.7 Onde o ∫ ydA por definição é igual dAy , onde y representa a distância da origem ao centro de gravidade, como este integral deve ser igual a zero para que exista equilíbrio de forças segundo x, o valor de y deve ser igual a zero, ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção. Uma vez que a origem passa pelo centro de gravidade da secção, ao longo do eixo dos zz as tensões e as deformações são nulas para y=0, constituindo o chamado Eixo Neutro da Secção. Nestas condições tendo em conta que as deformações e as tensões variam linearmente ao longo do eixo dos yy de acordo com as equações 12.4 e 12.5, sendo nulas no plano neutro como se representa na figura 12.4. Nesta figura consideram-se formas alternativas de representar as distribuições de tensões ao longo da Secção.


Figura 12.4: Distribuição de Tensões

O problema é de facto tridimensional, mas como se considera que a distribuição de deformações e tensões no plano de solicitação se repete nos planos que lhe são paralelos pode reduzir-se o problema a um problema bidimensional e considerar para efeitos de representação das tensões e deformações só o que se passa no plano de solicitação. Além do equilíbrio de forças já considerado é necessário considerar o equilíbrio de momentos, obtendo-se a equação

12.8

O sinal negativo é necessário, uma vez que o momento aplicado provoca uma rotação no sentido dos ponteiros do relógio e o momento que resulta da distribuição de tensões na secção produz uma rotação no sentido contrário ao dos ponteiros de relógio. A equação 12.8 pode ser rescrita com a seguinte forma:

∫=A

z dAyEkM 2

12.9 O dAy

A∫ 2 só depende das propriedades geométricas da Secção Recta da viga e

costuma ser designado em Mecânica por Momento de Inércia da Secção ou Segundo Momento de Área da Secção. É usualmente representado por I z , ou seja:

dAyIA

Z ∫= 2

12.10 Substituindo 12.10 na equação 12.9, obtém-se:

IEkM zz = 12.11

ε max

ymax

εσ E=

σ max

Eixo Neutro

σ max

{0=−= ∫∑

BraçoA

Forca

ÁreaTensãoz ydAEkyMM

43421


ou seja

IEMk

z

z=

12.12 A curvatura pode ser calculada a partir do momento aplicado, das propriedades materiais da viga e das características geométricas da Secção. Se se considerar a equação 12.5 que relaciona as tensões com a curvatura e se considerar que esta é definida pela equação 12.12, obtém-se uma relação, entre as tensões longitudinais ou axiais e o momento aplicado, com a forma:

yI

Mz

zx −=σ

12.13 O sistema de eixos considerado na obtenção desta formula, também conhecida por fórmula de flexão, foi um sistema de eixos constituído pelo eixo dos xx, coincidente com o lugar geométrico dos centros de gravidade das secções rectas da viga, o eixo dos yy contido no plano de flexão e perpendicular ao eixo Ox e o eixo dos zz perpendicular ao plano de flexão Oxy, como se representa na figura 12.4. Os sentidos positivos dos momentos são os sentidos representados na figura no caso da flexão ocorrer no plano Oxy. A flexão no plano Oxz é tratada de modo análogo sendo nesse caso os sentidos positivos dos momentos representados também na figura. As tensões longitudinais neste caso são calculadas pela fórmula:

zI

My

yx =σ

12.14 A diferença de sinais entre a fórmula 12.13 e 12.14 resulta necessária para haver consistência entre a convenção considerada na figura 12.5 e as tensões calculadas pelas fórmulas referidas. O valor máximo das tensões ocorre para os valores máximos de y ou z, ou seja nas fibras ditas superiores ou inferiores da viga e serão de tracção quando forem positivas e de compressão quando forem negativas. A zona à compressão sofre uma expansão lateral e a zona em tracção sofre uma contracção lateral sendo as deformações resultantes, ενεε xzy −== , onde

Exx /σε = . Em consequência destas deformações laterais a superfície neutra deforma-se nas duas direcções ao contrário do pressuposto inicial de que a superfície neutra tinha só um raio de curvatura, mas este efeito das deformações laterais não é tido em conta nas formulações subsequentes.


Figura 12.5: Momentos e Sistema de Eixos Exemplo 12.2 Considere a viga simplesmente apoiada de secção rectangular e vão 4m representada na figura 12.6 e determine a tensão longitudinal máxima a que a viga está sujeita. O peso da viga é de 1kN/m e a secção rectangular tem dimensões 500×400mm, como se representa na figura. Solução Começa por determinar-se as reacções de apoio, para esse efeito consideram-se as equações de equilíbrio estático de forças e momentos, ou seja:

48244040

240

=×+=⇒=

=+⇒=

∑∑

RM

kNRRF

Cz

CAy

Resolvendo este sistema de equações obtém-se:

ymax

σ max

Eixo Neutro

x

y

z

x

y

z

y

zx

M z

M y


Figura 12.6:Viga Simplesmente Apoiada

kNRekNR CA 1212 ==

Conhecidas as reacções existem condições para determinar os momentos e traçar o diagrama de momentos. Os momentos são obtidos considerando dois troços da viga e integrando a equação:

)(2

2

xpxdMd −=

No Troço AB, 0<x<2 obtém-se:

xxM 122

2

+−=

No Troço BC, 2<x<4 obtém-se:

4082

2

+−−= xxM

O momento máximo ocorre para x=2 e é M=22kN.m. O momento de Inércia da Secção é:

mmhbI Z

4833

10)6(6.4112

50040012

×=×

==

A tensão longitudinal máxima ocorre na secção que corresponde ao momento máximo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para x=2m e y=250mm, sendo:

MPammNyI

Mz

32.1/32.110)6(6.412501022 2

8

6

maxmax

max ±==×××

==σ

As fibras superiores estão comprimidas e correspondem a tensões de compressão a que se associa o sinal – e as fibras inferiores estão traccionadas e correspondem a valores positivos das tensões. O problema poderia ter sido resolvido considerando separadamente o peso da viga e a carga pontual considerando o Princípio da Sobreposição de Efeitos e notar-se-ia

2.0m 2.0m

20kN

A B C

kNRR CA 12==

Secção Recta

500mm

400mm

Diagrama de Momentos

+

Momento em AB xxM 122

2

+−=

Momento em BC 4082

2

+−−= xxM

x

1kN/my y

z


que o efeito do peso da viga corresponde a um valor ligeiramente inferior a 10% da tensão total instalada como se pode facilmente verificar. Exemplo 12.3 Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é de 77.0 kN/ m3 . A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 10kN. A secção da viga é uma secção em I como se representa na figura 12.7. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga. Solução Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre. No caso da viga estar sujeita somente ao peso próprio a viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída cuja intensidade por unidade de comprimento se obtém considerando o produto do peso específico pela área da secção, ou seja: p=77.0×A=77.0×(0.008×0.14×2+0.184×0.006) = 0.2575kN/m O momento máximo ocorre no encastramento e é:

22

maxp 6L 0.2575 4.635kN.mM 2 2

= − = − = −

O momento de Inércia da Secção é:

1 13 3 2 7 4z 12 12

Teorema de Steiner

(6 ) 2 (140 ) 140 8 2.377184 8 96 10I mm = × + × + × × = × 1444442444443

A tensão longitudinal máxima resultante do peso próprio é:

( ) max 1max max 51

z

4.635M 19.499MPay 102.377 10I−

−= = ± =σ

×

Esta tensão ocorre no encastramento e é de tracção nas fibras superiores correspondentes a valores de y positivos e de compressão nas fibras inferiores correspondente a valores de y negativos.


Figura 12.7: Viga Encastrada O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento e é: M=PL=42kN.m Nestas condições a tensão longitudinal resultante é:

( ) maxmax max2

z

M 176.69MPayI

−−

= = ± =σ×

15

42102.377 10

A tensão longitudinal total instalada é:

( ) ( )max max max1 2(19.499 176.69)MPa 196.2MPa= + = + =σ σ σ

Exemplo 12.4 Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em ⊥ como se representa na figura 12.8. Um extensómetro localizado em B indica que este ponto está sujeito a uma extensão de compressão de 8×10 4− . Determine a intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=210GPa.

Secção Recta

140mm

200mm

-

-

8mm6mm

Momentos resultantes da Carga Pontual

Momentos Resultantes do peso Próprio

6m

mkNLp .66.426259.0

2

22

−=−=−

7kN


Figura 12.8:Viga Simplesmente Apoiada com tramo em Consola Solução As reacções de Apoio são obtidas fazendo uso das equações de equilíbrio Estático e são:

pRpR

C

A

)6(26.0)3(13.0

==

O momento flector no troço AC é:

pxxpM )3(13.02

2

+−=

O momento para x=0.2m é: 20.2M p 0.13(3) p 0.2 0.0067p

2= − × + × × = −

A posição do centro de gravidade da Secção obtém-se através da equação:

115142414)514414( ××+××=×+× y ou seja

1077 3−×== mmy m O momento de Inércia da Secção é:

3 32 2

94 4

14 54 14I ( 14 4 ) ( 14 5 )5 412 123738 3.738 10mm m−

× ×= + × × + + × × =

= = ×

A tensão no ponto obtém-se por aplicação da Lei de Hooke e é:

9 4 6 2210 8 168 N /10 10 10 m−σ = − × × × = − × Tendo em conta a relação entre momentos e tensões obtém-se:

6 329

0.0067p168 N /10 7 10m 3.738 10−

−

−σ = − × = − × ×

×

AB C D

200mm300mm 100mm

5mm

18mm

14mm4mm

4mmB

p


ou seja: p 13.39kN / m= Exemplo 12.5 Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura 12.9, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que as tensões longitudinais máximas instaladas sejam de 150Mpa.

Figura 12.9: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Cargas Distribuídas Solução: As reacções de Apoio são obtidas a partir das equações de equilíbrio estático,

pRpRR

B

BA

375.2795.6

==+

ou seja resolvendo o sistema de equações

pRpR

B

A

04.346.3

==

Conhecidas as reacções existem condições para traçar os diagramas de esforços, obtendo-se os diagramas representados na figura 12.10. O momento máximo tem o valor de 6.0 p e ocorre a uma distância da origem de 3.46m, como se representa na figura.

4m 2.5m 2.5m

p p

160mm

300mm15mm


Figura 12.10: Diagrama de Esforços

O momento de Inércia da secção é:

mm6146.7675e0212

270152142.51601512

15160I 4

32

3

z =××

+×

××+

×=

A relação tensões- momentos aplicados é:

146.77kN.mM1015010146.7675

M10150yI

Mσ z3

6z6

z

zx =⇒××

×=×⇒−= −

−

Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é: p=24.46kN/m

3 - Problemas Propostos para Resolução 1. Considere uma viga de Secção Rectangular, cuja secção tem 10cm de altura e 5cm

de profundidade como se representa na figura 1. O plano de flexão é o plano Oxy. Determine o valor máximo do momento flector para o qual a tensão axial σx

não

excede 180MPa em tracção ou compressão.

Diagrama de Esforços Transversos

2.5m4m

p

2.5m

p

Diagrama de Momentos Flectores

+-

3.46

3.5p -3.0p

0.5p

4.5p

5.8p6.0p


Figura 1: Secção Rectangular

Resposta: m.kN15Mz ≅ 2. Uma viga com secção recta em forma de I, como se representa na figura 2, tem

uma altura global igual a 10 cm. No caso das tensões devidas à flexão não poderem exceder 150 MPA em tracção e compressão determine o valor máximo dos momentos aplicados. Considere possíveis planos de flexão o plano Oxy e o plano Oxz.

Figura 2: Secção em I Resposta: m.kN8334.4Mz =

10cm

5cm

z

y

10cmz

y

5cm

t=0.60cm

t=0.60cmt=0.50cm

17/22

3. Um tubo metálico oco de raio 3.0cm e espessura 0.5cm está sujeito a um estado de

flexão pura. No caso da tensão máxima admissível ser 100MN/ 2m determine o momento máximo aplicado.

Figura 3:Secção circular Oca Resposta : m.kN098.1Mz = 4. Uma viga com secção em T como se representa na figura 4, com espessura 1cm e

altura global 10cm está sujeita a momentos flectores em relação aos eixos principais. Determine os momentos flectores máximos permissíveis no caso das tensões máximas admissíveis serem 170 MPa.

Figura 4: Secção em T Resposta : m.kN29.4Mz ≈

z

y

10cm

10cm

1cm

z

y

σmax

18/22

5. Considere uma viga de secção em I como se representa na figura 5, sujeita a momentos flectores segundo z e y. Determine a tensão máxima na secção e determine a intersepção do plano de solicitação com o plano da secção.

Figura 5: Secção em I

Resposta:( )

52.2zy

mm25zemm50yparaMPa754.142x max

=

=−==σ

6. Determine o modulo elástico da secção de uma viga que está solicitada por um

momento M=100kNm e cuja tensão máxima não excede 180MPa. Resposta : w= )5(0005.0yI maxz = 7. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 6. Determine a carga máxima P a aplicar de tal modo que as tensões normais não excedam 150MN/ 2m . Considere que a secção recta é em I com as dimensões do I do problema 5.

10cm

5cm

z

y

0.6cm0.45cm

Nm400My =

Nm2000Mz =

19/22

P

P/2 P/2

P

2.0m 2.0m

10cm

5cm

Figura 6: Viga Simplesmente Apoiada

Resposta:P=4.748kN 8. Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras 7a e 7b e determine os momentos máximos que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal máxima admissível ser de 140MPa.

200mm

40mm50mm

150mm

140mm

80mm

(a)

40mm

80mm

2.5mm

5mm

(b)

Figura 7

9.Considere a viga representada na figura 8, cuja secção é uma secção em T invertido, como se representa. O vão da viga é de 4 m, o módulo de Young é 200GPa e as cargas aplicadas são em grandeza multiplos de P. No ponto A da viga foi medida a deformação de compressão instalada e verificou-se ser de 50× −310 , determine o valor da carga P aplicada. O eixo de flexão é horizontal para a secção da figura.

20/22

30mm

100cm 100cm 100cm

P P

3P

50cm

20mm

120mm

100mm

20mm

z

y

Extensómetro A

A

Figura 8

10. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular oca, considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições representadas na figura 9, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da flexão ocorrer no plano Oxy e das tensões máximas na viga serem de igual valor nas duas secções.

y

z

y

z

h1h2 h1

h2

Figura 9

11.Considere uma viga de Secção em I não simétrica, como se representa na figura 10. Numa Secção da viga está aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão.

21/22

y

z

120mm

25mm

80mm

120mm

30mm

20mm10mm

Figura 10

12. Considere a viga representada na figura 11 cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à tracção de 30MPa e uma tensão de cedência à compressão de 60MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos yy ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é o que se representa na figura.

2.0m 1.0m

P

30mm

30mm

120mm

220mm

y

z

y

x

Figura 11

22/22

4- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995. , Páginas 167-173 - Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989, Páginas 123-127 - J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.

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