RESOLUÇAÕ Lista 7-

EXERCÍCIOS FEITOS : 1,2 , 5,7 , 8,9 , 11,13

② f : Pt → R2,

flxij ) = ( EJ ,2x g) = ( fixas

,táxis ) )

⇒ * .it?.:E;::tl::b) BOM

,

se 7k , g) EIRZ tq ,o DET ( d # " D ) # O ENTAÕ dtny , É INVERSÍVEL E Assim

PELO TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 7- U VIZINHANÇA DE 4,1 ) E N VIZINHANÇA DE THIJ )

TAL QUE fluiu → V É um DIFEOMORFISMO . Como det ( dtcx.gs/=4xi-4ft-okx,g)elRkol

ENTÃO lpflhoh É O CONJUNTO DE PONTOS .

c) SEJA A = 4 ( x, g) epi ; XX } VOU PRIMEIRO PROVAR QUE TIA É INJETORA :

De Fato se (a) b) e Imlfla ) ⇒ 7H , g) EA tq fcx, g) = la , b) VOU PROVAR QUE

( pg ) É ÚNICO PONTO EM A QUE SATISFAZ : tlx , g) = la , b).

Pois × > O

ASSIM SE Kyle A ENTÃO se HXIJ ) - la , b) ⇒

GÊ} [ * É { F-Ex

⇒E- II. = a

- XZTJ ? a

⇒ ×"

- axl _ bf = o ⇒ se XET ENTÃO t.ro#za2-b- .

OBSERVE QUE COMO ter ENTAÕ Como × > o,TEMOS QUE tso e como átb sado , o ⇒

plaztb > tal ⇒ a - taI e a - tal E O leão ta NAÕ É UMA SOLUÇAÕ possível logo f- attab2

É a Única solução .

E Assim como XET ENTAÕ X = µÀ E g-b-22 fatiaÉ A Única SOLUÇÃO ( pois xso ) DE * )

.2-

ASSIM TEMOS QUE TIA É INJETORA.

OBSERVE QUE AO DESCOBRIR X e y EM A COMO PRÉ - IMAGEM DE la , b), PODEMOS

ENCONTRAR A IMAGEM DE A POR f.

DE FATO,

OBSERVE QUE : ¢ , b) ÇTLA ) ⇐ XE y como FUNÇOÊ DE (a) b) ESTÃO BEM DEFINIDAS

-LOGO f- (A) = 4 ( a , b) C- IR} fatia 704 = 4 la , b) EIRZ; se b- o ENTÃO a > o }

Z

SOLUÇÃO ALTERNATIVA USANDO NÚMEROS COMPLEXOS :

A SOLUÇAÕ DO item c) PODE SER SIMPLIFICADA UTILIZANDO NÚMEROS complexos :

IDENTIFICANDO Pf com C ( ( RJ ) ↳ ⇐ XTÍJ ).

A FUNÇÃO f- pode SER ESCRITA como

f- f) = ZZ.

Assim : QUEREMOS PROVAR QUE t É INJETORA QUANDO RESTRITO À Heli REE ) > o }

MAS ISTO É CLARO Pois se w = f- E) = E ENTÃO 77,zz C- E COM Zizi = W

,TEMOS AINDA QUE Z

,= - zz

E ASSIM só Z , ou Zz PODE TER PARTE REAL POSITIVA.

LOGO se WE f- (A) ENTÃO Z ! ZEA tq flztw .

PARA ESTUDAR f- (A) BASTA OBSERVAR QUE se we E ZZ , , Zze C ( E SÃO AS ÚNICAS) SOLUÇOES

DE z?

- w =D.

Assim se Retes ) # O,como ZF - Zz ou RELZI ) > O

ou Relzz ) > o.LOGO OUZFA

OU ZZEA .

LOGO OS ÚNICOS PONTOS QUE PODEM NÃO ESTAR EM f- (A) SAÕ : 4 ÉJRE E) = 04=13

E DE FATO f- (A) AB = ¢,pois se WEB ENTÃO Zzyzz C- E soluções DE w = Z

"

E como ou RELZI ) =D ou Refzz ) = 0 ( pois WEB ) E Z,

=- Zz ENTÃO REED e- REED ⇒

E assim WEITLA ) .

PARA TERMINAR BASTA OBSERVAR QUE 13=4 ZECÍJREE ) ao EIME ) -04

E assim f- A) = CIB

d) dtiiz , - Gta, ")

"

e dta,"

= ( { Ê ) ⇒ fato , " )"

= ftp.%a1-dti.rs .

③ a) flx , g) = (ex - cosy , e"

SINY ) ,

A- = 4H21 ERÍJE Jqatl }

t f)aÉ INJETORA .

DE FATO SE TLXIJ ) = ttçv ) ,com lx

, y ) , cu ,v ) C- A ⇒ HFLYYSII = IIHUNII ) = E- e

"⇒ eu .

E COMO J ↳ (cosg , siniy ) É INJETORA PARA JEJO , ZITL .Então ffa É INJETORA .

b) Bom,

como tlxiy ) = é lcosy , SINJ) ENTÃO se xe-loglta.IT ) e jolaib ) ONDE

QEJO ,ZITL E Ola , b) É O ANGULO QUE O VETOR ( a , b) FAZ COM (0

,dcítb ) NO SENTIDO

ANTI-HORARIO.

ENTÃO TEREMOS QUE flxiy ) = la , b).

Assim PARA (a) b) ESTAR NA

IMAGEM DE A por f. ENTAÕ TEMOS QUE taI > o ⇒ (Ceb) # 0,0 ) e flaps ) ¥40,24 LOGO

se b. = o ⇒ ALO.

LOGO FIA ) - lylxigtetpi ; ou # ou a- o e- gaal

c) Como dt : " , = ( totais , )"ENTAÕ dtio

, # a)= ( j

-

j ) ⇒

afinal : :)

③ Smim,

DE FATO SEJA TLYJ) = ãtxytji ENTÃOffjcx , g) = 3ft - x

.

AGORA OBSERVE QUE Y Kyle f-" (4) ftp.lqy ) #

o pois SUPONHA POR ABSURDO Que 7H HER"

t.at .

ntylx , g)⇒ EHYJKLI

.

ENTÃO offjlx , g) ⇒ = xtssyz ⇒ e -3yd Assim tlx , g) = xsstytxy-

.

= l-zjp-y-3y-styb-zy-4-y-4-t4-16.am ¢ IR ABSURDO !

54

AGORA NOS RESTA PROVAR QUE f- ' (4) ¥0.DE FATO SE DEFINIRMOS Mt ) - ITA)

TEMOS QUE HAITI ) = Zttt,LOGO TIMO ) ) = e E tirçsotl Mt ) ) = tdo ASSIM PELO

TEOREMADO VALOR INTERMEDIARIO ZSEIR . t.at thls ) ) e- 4 ,E Assim (Sp ) e f-

'

(4)

LOGO SEJA Cç,a) C- FIM TEMOS PELO TEOREMA DA FUNÇAO IMPLICITA TEMOS QUE

COMO jtyfç , G) # O ENTÃO ZI INTERVALO ABERTO QUE CONTEM ↳ e J INTERVALO ABERTO QUE CONTÉM

Cz E fitas TAL QUE SE xe I ⇒ tcxilcx ) ) -4.

ENTÃO y - ycx) : = YLX ) E ASSIM COMO Xstxcflx ) -141×13=4 ⇒ 3kt x. YYX) -1×-41×1+34 YYX)

= = yicx ) ( x -134k ) ' ) -13×4×9 ⇒ 9kt= 1¥ =

-3*-7×-1322

Ht

⑦ a) SEJA fcx , y , #= e

" J "+ XJZ .

ENTAÕ ftp.yz ) = ÉS # xy

-

SEJA p - lo , 1 , -1 ) ,SEGUE QUE tlp ) =L E Como ¥ ( p ) = 170 ENTÃO PELO TEOREMA DA FUNÇÃO

IMPLICITA.

] UE V VIZINHANÇAS DE (pa , # = 191 ) E DE p , = -1 RESPECTIVAMENTE E f : U → V E E

t-fkx.ytehtlxipycx.gl ) = 1.

ENTÃO 9 É uma TAL FUNÇÃO Zlxij ) .

Bom como exttt " " ' '

+ xypcx , g) = z ÊI ÉS " " 's! ( t -12¥ His ) ) # gycçy ) # xy -2¥ = o

⇒ 2¥ ( xy +É " " "

) = - yq g) - É " " "⇒ 2£

,

# g) a-yqyys-extmkhxy-exty-ee.gs

ANALOGAMENTE : 29ojylx ,g)

=- rxplx , g) - ÉS 9H , y )

JÉb) SEJA flx

, yf ) = ãtyt É -7J - t.

Temos Que ¥424 = SE -1

TOME f- 10,0 , 1) .SEGUE QUE flp ) = O E Ez ( P ) = 270

.

LOGO PELO TEOREMA DA FUNÇÃO

IMPLICITA TEMOS QUE ZUEV VIZINHANÇAS DE Cps, patto ) E p , =L RESPECTIVAMENTE E

9. U → Ve c 't.at ffx , g) EU flx , y , 9H , y ) ) = o

_

tão zcx, g) ÷ 914g ) E Assim

Como xstystylxig ) ' - x - y - ylx , g) = oÉÊ 3xi-34lx.gl ' - filha , -1 - # Cx , 2) = o ⇒

2¥ lx, g) =IÉ

.

ANALOGAMENTE ãalglx , g) = JÉ3414212 - 1414212 - 1

⑧ a) PRIMEIRO VAMOS OBSERVAR QUE se p = ( 30,1 ) ENTÃO FIP ) =3 E

EIE fçy ,z ) = SZ " -13×2422 ⇒ IILP ) = 11*0

. Assim pelo TEOREMA DA FUNÇAÕ IMPLICITA ZU UM

ABERTO DE IR?

CONTENDO 1ps ,= 12,0)

,I UM INTERVALO ABERTO CONTENDO p, =L E Y : U → I e Cd

t.q.tk , g) EU Flx , y ,49g ) ) =3

,ftp.pz ) = 412,01=1 E ALÉM Disso QUE ttlx

, JF ) e UXI

se Flx, y , 7) =3 ⇒ E- 9H

, y ) .

QUE É o QUE QUERIAMOS PROVAR.

b) Como Flx, y , ycx , y ) ) =3 = Ylx

, g)5+ XYIX , g)

'

+229941Fax⇒ ¥

," 45414214 + x - 3- YLX , y )

'+ 2g ) + Ylx

, g) 3=0 ⇒ 7×12,0) - 111 ) + 1 = e ⇒

2¥ ( 2,0 ) = - YII.

ANALOGAMENTE2µA ,y )

- EE lxiy ,4h48 ) ) + 29k

, g) ⇒

Efeso )- 111 ) -12 - e ⇒ ¥y Go )

-

\

TENHO A IMPRESSÃO QUE NA PRÓXIMA QUESTÃO DEVERIA SER ?

ao

SE FOSSE ASSIM A RESOLUÇÃO SERIA :

⑨ a) PRIMEIRO OBSERVE QUE SE p- Cbi , a) ENTÃO

Flp ) = O e como 3¥ cx , y , z ) = ×- ⇒ FÉ lp ) = 170.

ENTAÕ PELO

XJTZTEOREMA DA FUNÇÃO IMPLICITA Z U UM ABERTO DE IRZ CONTENDO 1ps , B) = ( 1,1 ),

I UM INTERVALO

ABERTO CONTENDO pz =L E Y : U → I e Cd t.q.tk/,z-U-F(x,ylx,z ),Z ) = 0

,

PÍYCP ,= 44,0) =L E ALÉM Disso QUE ttlx

, JF ) e UXI se Flx, y , 7) = o ⇒ y = 9H

,z )

.

QUE É o QUE QUERIAMOS PROVAR.

µIv

b) como Flx , 947,7 ) = o ⇒ 2¥ cxiecx, # Ht ¥ Hz ) " ( Ej CXMIYH ,z ) ) = o

⇒ 2£ ( 1,0 ) =- 2¥11 , 1,01

- = -1E ANALOGAMENTE :

DFTaglyyo )

2¥ ( x,# = - FIZ lx

, eu , z ) ,z )

ÊI⇒ ¥ " " .

⇒

110 SEJA Fip → IPÍEC suponha Ffs , -1,21=10,0 ) E

drama , -

- AI !)a) Glgnz ) = FB.kz ) tem d.Gaga, =L? ;) e der ( dcrfyz ) ) =3 # 0

,ENTAÕ

Pelo TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA SEGUE QUE ZI INTERVALO ABERTO CONTENDO 3,

U

ABERTO DEITE CONTENDO ( -1,2 ) E 9 : I → UEC ?Com 413) =L -1,2 ) E ttxet

Flx,91×11=10,0 )

.

b) Como Flx , ) ⇐ oÉÉ

o = FIAM " ) ) tdcrlgz ) - dlx ASSIM

0=2713-1,2 ) + DGE, "

- DY,

= (1) + ( Ii ) dy ,⇒ dps = II ) - ( II ) -

- lo 1)

④ SEJA f. PAR com Alx ) # o HXER.ENTÃO SE x.ge/R com y > x

TEMOS PELO TEOREMA DO VALOR MÉDIO QUE flx ) - HY ) = Flw ) - CKJ) ONDE we Jxsyl

ASSIM como × -

y # O E TYW ) # O ENTÃO flx ) - fly ) # O ⇒ tlx ) # fly ).

LOGO f- É INJETORA

DE FATO O MESMO NAÕ VALE PARA f. IRMD com M > 1 :

NO EX 2 TEMOS QUE SE flx , 4) = É ilosu, sim g) NÃO só tem dtag , # O

MAS COMO dfcqy ) É BIJETORALINVERSÍVELIISOMORFISMO ) ttlçylepi,

mesmo f NAÕ

SENDO INJETORA .