UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETOCENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Introdução à Teoria dos Números

Resolução de Exercícios dos fascículos

Fascículo: Introdução à Criptografia (Págs. 53 e 54)

R1

É reflexiva, pois: (x, x) R1 para todo x S.È simétrica, pois: se (x, y) R1 então x = y, ou seja y = x. Logo (y, x) R1.É transitiva, pois: Se (x, y) R1 e (y, z) R1, então x = y e y = z. Logo x = z e portanto (x, z) R1.

R2

Não é reflexiva, pois, por exemplo, (1, 1) R2.

Não é simétrica, pois , por exemplo, (1, 2) R2, mas (2, 1) R2.

É transitiva, pois: (1, 2) R2, (2, 3) R2 e (1, 3) R2.

R3

É reflexiva, pois: (x, x) R3 para todo x S.Não é simétrica, pois, por exemplo, (1, 2) R3, mas (2, 1) R3.

Não é transitiva, pois, por exemplo, (1, 2) R3, (2, 3) R3, mas (1, 3) R3.

R4

Não é reflexiva, pois (4, 4) R4.É simétrica, pois: (1, 2) R4 e (2, 1) R4. Além disso (1, 3) R4 e (3, 1)

R4.Não é transitiva, pois, por exemplo: (3, 1) R4 e (1, 2) R4, mas (3, 2) R4.

R5

É reflexiva, pois (x, x) R3 para todo x S.Não é simétrica, pois, por exemplo, (1, 2) R5, mas (2, 1) R5.É transitiva, pois (1, 2) R5, (2, 3) R5 (1, 3) R5.

(1, 2) R5 e (2, 4) R5 (1, 4) R5.

(2, 3) R5 e (3, 4) R5 (2, 4) R5.

Temos então:São reflexivas: R1, R3 e R5.São Simétricas: R1 e R4.São Transitivas: R1, R2 e R5.

E portanto apenas R1 é relação de equivalência.

Fascículo: Álgebra 1, vol.1 (Pág. 22)

OBS: Exercício errado, pois A relação não é relação de equivalência, já que não vale a transitividade. Um contra exemplo: x = -1, y = 0 e z = 6,7.

a) Não é reflexiva, pois, por exemplo, (3, 3) .Não é simétrica, pois: Se x ~ y, então x 0 e y 0 e para que y ~x teríamos que ter y e x 0.É transitiva, pois: Se x~y e y~z, então (x 0 e y 0) e (que ter y e z 0). Então x 0 e z 0, ou seja x~z.

b) Não é reflexiva, pois x.x = x² 0.É simétrica, pois se x~y então xy 0, ou seja, yx 0. Logo y~x.Não é transitiva: Um contra-exemplo: x = -2,3, y = 0 e z = -9 xz > 0. Basta tomar y = 0 e x e z com mesmo sinal.

c) Não é reflexiva, pois se x = 1, por exemplo, x²+x²=2 > 1.É simétrica, pois se x~y então x²+y² 1 y²+x² 1.Não é transitiva: Um contra-exemplo: x = 1, y = 0 e z = 1.