Resolução Prova PROFMAT 2011

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    30-Jun-2015

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<p>PROFM AT SBM 2011:RESOLUO DA PROVA DO CONCURSO AO M ESTRADO PROFISSONAL EMM ATEM TICA EMREDE NACIONAL- 2011:QUESTES OBJETIVAS:QUESTO 01: O nmer o 2/327 i guala:(A)1/ 18 (B) 1/ 81 (C)1/ 9 (D)-18 (E)9Resol uo:( )( )( )22233 2 333127 3 3 39= = = =ALTERNATIVA CQUESTO02: Umpacot edebi scoi t ost em10bi scoit osepesaepesa85gr amas.dadaa i nf or mao de que 15gr amas do bi scoit ocor r espondem a 90kcal . Quant as cal or i as t m cada bi scoi t o?(A)38 kcal (B) 43 kcal (C)46 kcal (D)51 kcal (E)56 kcalResol uo:15 gramas__________90 kcal85 gramas__________ x kcal85 90 85 = = 15x x 17390153017 903x= 17 30 510 kcalAssim 10 biscoitos tm510 kcal ento:Um biscoito tem51 kcal.x x = =ALTERNATIVA DQUESTO03: Nodi adoani ver sr iodeJooem2010,umapessoaper gunt ouai dadedel e. Joor espondeu: Seeunocont asseossbadoseosdomi ngosdami nhavi da,eut er i a40 anos de i dade . Joo nasceu no ano de:Resol uo:Um ano tem 365 dias ou 366 se for bissexto.Comocadasemanatem7 dias 365 7 = 52 semanas e 1 dia (2 dias se for bissexto).Logo um ano ter 52 sbadose52 domingos (poder ter no mximo 53) .Como Joo descartou os sbados e domingos na contagem da sua idade e considerando queum ano tenha364 dias , temos:364 40 = 14560 diasComo Joo s considerou na contagem de sua idade os dias de segunda a sexta, ento:364 104 260 dias, isto , somente 260 dias so computados a cada ano, real.Seja X uma unidade de tempo (u.t) igual a 52 dias, assim em um ano teremos 7X u.t,___________52 dias___XkX =________14560 dias14560280 280 ,observe que Joo considerou que:5228040,mas na verdade como a cada ano NO foi considerado 2X u.t, temos:728056 5,2010-56 1954,observemk X k XXanosXXanosXDa= = == ==que Joo poderia ter nascido entre os anos de 1955 e 1953, pois no foi dado maiores informaes a respeito da data CORRETA do nascimento de Joo.ALTERNATIVA BQUESTO04: Numapapel ar ia,pacot escont endo500f ol hasdepapel soar mazenadosem pi l has.Cadaf ol hat emespessur ade0,1mm.Ignor andoaespessur adopapel ut i l i zadopar a embr ul har ospacot es,podemosaf i r mar queaal t ur adeumapi l hade60pacot es apr oxi madament e i gual al t ur a de(A) um gat o (B) uma mesa comum (c) uma pessoa adul t a(D) uma sal a de aul a (E) um pr di o de t r s andar esResol uo:500 0,1 50 mm50 60 = 3000 mm 3000 mm = 3 metros = ALTERNATIVA DQUESTO 05: O val orexat o de 2 2666666 333334 :(A)6333332 10 (B) 9333334 10 (c) 8333332 10 (D) 8333334 10 (E) 10333332 10 Resol uo:2 22 22 22 2 6Usando o produto notvel ( ) ( ) , :666666 333334 (666666 333334) (666666 333334)666666 333334 100000 333332666666 333334 333332 10a b a b a b temos = + = + = = ALTERNATIVA AQUESTO 06: Na f i gur a abai xo, as r et as re s so par al el as a uma di st nci a 2 uma da o ut r a. Ab umsegment ouni t r i ocont i doems,Xumpont oder com5 AX = ePopdaper pendi cul arbai xada de B sobr e AX.O compr i ment o de BP :(A)2/ 3 (B)1/ 5 (C) 2/ 5 (D) 3/ 4 (E) 2/ 3Tr aandopel opont oAumar et at per pendi cul ar ar et ar nopont oQ,podemosmont ar a f i gur a abai xo:Obser vandoaf i gur aaci mapodemosver i f i car queost r i ngul osAPB eXQAso semel hant es, assim:1 25 2 5PBPB = =ALTERNATIVA CQUESTO 07:O gr f i co aci mamost r aaquant i dadedeapar el hosdear condi ci onadovendi dospor semana numa l oj a do Ri o de Janei r o ent r e j anei r o de 1991 e dezembr o de 1993.O gr f i co i ndi ca que, nesse per odo:(A) A venda de aparel hos de arcondi ci onado cr esceu const ant ement e.(B) A venda de apar el hos de arcondi ci onado per maneceu const ant e.(C) A venda de apar el hos de arcondi ci onado f oimai orem j ul ho de 93 do que em j ul ho de 91.(D) A venda de apar el ho de arcondi ci onado f oimai orem out ubr o de 92 doque em j anei r o de92.(E) A venda de apar el hos de arcondi ci onado f oimenor no ver o de 93 do que no ver o de 92.Resol uo:Asal t er nat i vasAe B: So cl ar ament eFALSAS, poi s, ogr f i comost r a exat ament eocont r r io, i st o , que houve sempr e uma const ant e var i ao de vendas.Aal t er nat i va C: CORRETA, poi s,emJULHOde1993amdi adasvendasdeapar el hosdearcondi ci onado f oipr xi ma de 60 apar el hos vendi dos porsemana, cont r a a mdi a de vendas de JULHO de 1991 que f oipr xi ma de 20 apar el hos vendi dos porsemana.Aal t er nat i va D: FALSA, poi s,em OUTUBRO de 1992 a mdi adas vendas de apar el hos de arcondi ci onado f oipr xi ma de 40 apar el hos vendi dos porsemana, cont r a a mdi a de vendas de JANEIRO de 1992 que f oipr xi ma de 80 apar el hos vendi dos porsemana.Aal t er nat i va E: FALSA,poi s,no ver ode1993 (O ver ocomea emmeados deDEZEM BRO at meadosdeM ARO) a mdi adasvendasdeapar el hosdear condi ci onadof oi pr xi made 100 110 apar el hos vendidos porsemana, cont r a a mdi a de vendas no ver o de 1992 que f oipr xi ma de 80 90 apar el hos vendi dos porsemana.ALTERNATIVA CQUESTO 08: Um gr upo de j ovens al uga por342 r eai s uma van par a um passeio,f i ndo oqualt r s del es sar am sem pagar . Os out r os t i ver am que compl et ar o t ot alpagando, cada um del es, 19 r eai s a mai s. O nmer o de j ovens er a de:(A)5 (B)9 (C)10 (D)12 (E)19Resol uo:Sej amxonmer odej ovenseyoval or emr eai s,assi mdeacor docomoenunci ado podemos mont aro si st ema abai xo:( )3423 ( 19) 342342 342 OBS: encarar a resoluo desse sistema d trabalho19 3 57 342 19 3 57Observem que 342 = 2 3 3 19Logo o nmero de jovens NO pode ser igual a8, x yx yx y x yxy x y x y = + = = = + = = 10 e 12.Da, s nos resta as alternativas (B) 9e (E) 19.342Se9 38 (nunca vi uma van com 38 lugares, nem em So Paulo, onde9algumas pessoas costumam viajar em p nas vans), mas essa a resposx y = = =ta correta, pois, substituindo9em19 3 57 19 9 3 57 171 3 57 3 11438ok!342Por outro lado se19 18,mas essa resposta NO correta, pois, 19substituindo19em19 3 57 19 19 3x x y y y yyx yx x y y= = = = = == = == = = 57 361 3 57 3 304101NO um valor inteiro.y yy = = ~ALTERNATIVA BQUESTO 09: Um campeonat o com 25 cl ubes di sput ado num ano, com um ni co t ur no, pelo si st emadepont oscor r i dos(cadacl ubej ogaumavezcomcadaumdosout r os).Emcada semana hsempr e omesmo nmer o de j ogos eno hj ogos nasemana do Nat alnemna do Car naval . O nmero de j ogos que devem serdi sput ados em cada semana :(A)5 (B)4 (C)8 (D)6 (E)10Resol uo:{ }{ }: 1, 2, 3,..., 25 ,onde ci, com 1 i 25, so os clubes.Configurao:C ={X1, X2}/ Xi O e X1 X2, representam as partidas.Objetos O c c c c = s se =22525 24CalculandoC | | 3002 1C C = = =Como em um ano t emos 52 semanas, t i r ando-se duas (a do Nat ale a do Car naval ) t er emos 50 semanas par a ocor r eros j ogos, assi m:300O nmero de jogos por semana ser =6 jogos50 =ALTERNATIVA DQUESTO 10: Umf azendei ropossuir aosuf i ci ent e par aal i ment arsuas16vacas dur ant e62 di as. Aps 14 di as, el e vende 4 vacas. Passados mai s 15di as el e compr a 9 vacas. Depoi s dest a l t i ma compr a, a r eser va de r ao f oisuf i ci ent e par a al i ment aras pormai s:(A) 40 di as (B) 36 di as(C)32 di as (D) 30 di as (E) 28 di as Resol uo:Suponha que uma vaca consome em um dia uma quantidade de rao (QR); isto :1 vaca_________1 dia___________1QRLogo:16 vacas_________62 dias___________992 QRs: Aps 14 dias, ele vende 4 vacas 16 vacaD s_________14 dias___________224 QRsLogo restou992224 768 QRsD: Passados mais 15 dias ele compra 9 vacas12 vacas_________15 dias___________180 QRsLogo restou768180 588 QRs21 vacas_________X = = dias___________588 QRs588LogoX =28 dias21 =ALTERNATIVA EQUESTO 11: Quando x e y assumem quai squerval or es posi t i vos, das expr esses abai xo, a ni ca que no muda de si nal:( )2 2A 2 x y y + ( )2B 5 x x ( ) Cx x ( )2 2Dx xy y + ( )2 2E 3 x xy y +Resol uo:( )( )2 22 2 2 22 2 2 222 2A 2Contra-exemplo :fazendo13( , ) 2 (1, 3) 1 2 3 3 1 6 9 2fazendo21( , ) 2 (2,1) 2 2 1 1 4 2 1 5B 5Contra-exemplo :fazendo1( ) 5 (1) 1x y yx e y f xy x y y fx e y f xy x y y fx xx f x x x f+ = = = + = + = + = = = = + = + = + == = = ( )( )2 22 2 2 2 2 25 1 1 5 3fazendo6( ) 5 (6) 6 5 6 36 30 6CContra-exemplo :1 1 1 1 1 1 1 2 1fazendo( ) ( )4 4 4 4 4 2 4 4 4fazendo4( ) (4) 4 4 4 2 2D ( , ) ( , )x f x x x fx xx f x x x fx f x x x fx xy y f xy x xy y f xy x xy y= = = = = = == = = = = = = = = = = + = + = + ( )22 22 2 2 2 2 2 222( )Logo ( , ) ( ) sempre positiva, pois, ( ) 0 e 0E 3 ( , ) 3 2 ( )( , ) ( )Contra-exemplo :fazendo22( , ) ( )xy xy x y xyf xy x y xy x y xyx xy y f xy x xy y x xy y xy x y xyf xy x y xyx e y f xy x y x+ = += + &gt; &gt; + = + = + = = = = = 22 2(2, 2) (2 2) 2 2 0 4 4fazendo31( , ) ( ) (3,1) (3 1) 3 1 4 3 1y fx e y f xy x y xy f = = = = = = = = =ALTERNATIVA DQUESTO12: AbaseAB dot r i ngul oABCmede8cmeest si t uadasobr ear et ar .O segment o DE, t ambm sobr e r , m ede 5 cm. Pel os po nt os D e E t r aamos par al el as a AC e a BC r espect i vament e, as quais se cor t am no pont o P f or mando o t r i ngul o DEF.A r azo (ABC) (DEF)reareaval e:(A)1,25 (B)1,60 (C)3,20 (D)2,32 (E)2,56Deacor docom oenunci adopodemos ver i f i carqueost r i ngul osACBeDFEso semel hant es, assi m:2 2 2 (ABC)(ABC) 8(ABC) 16 2562, 56 (DEF)(DEF) 5(DEF) 10 100rea AB rea rearea DE rea rea| | | | | |= = = = = |||\ . \ . \ .ALTERNATIVA EQUESTO 13: Na l o j a A, um apar el ho cust a 3800 r eai s mai s t axa de manut eno mensalde 20 r eai s.Nal oj aB,omesmoapar el hocust a2500r eai s,por mat axademanut enode50 r eai spor ms.Apar t i r dequant osmesesdeusoacompr anal oj aAset or namai svant aj osa que na l oj a B?(A) 30 (B) 72 (C)39 (D) 63 (E) 44De acor do com enunci ado podemos escr everas f unes abai xo:Loja A: ( ) 3800 20 Loja B:( ) 2500 50.Queremos determinar ( ) ( ) 2500 50 3800 20 30 1300130043, 333...30Como inteiro 44 f x xgx xOnde f e g so funes degx f x x x xxx x meses= + = + &gt; + &gt; + &gt;&gt; ~= ALTERNATIVA EQUESTO14: Di vi di ndo 6por 7,o100 al gar i smodaexpansodeci mal queapar eceapsa vr gul a :(A) 1 (B)2 (C)4 (D)5 (E) 7Obser vao t er i ca:1A dzima peridica simples0,142857... (possui seis casas decimais no perodo) 7 conhecida como um nmero mgico, pois para um numerador diferente de um mltiplode 7, esses algarismos se repetiro =ciclicamente, basta saber o primeiro que os demais serepetem ciclicamente na ordem 142857.6Como67 0,8 0,857142...7Como queremos o 100 algarismo basta dividir 100 por 6, assim:100 6 = 16 inteiros ~ =96 algarismos e sobram 46Logo0,857142857142...85714285717 =ALTERNATIVA AQUESTO15: Segundoi nf or maesdol t i mocensodoIBGE,apopul aobr asi l ei r acr esceu cer cade12%, ent r e osanos de2000a2010. Nomesmo per odo,apopul ao ur bana passou de cer ca de 81% par a cer ca de 84% da popul ao t ot al . Apar t i rdessas i nf or maes, podemos concl ui rque a popul ao no ur bana no per odo:(A) decr esceu apr oxi madament e 8% (B) decr esceu apr oximadament e 6%(C) per maneceu apr oxi madament e a mesma (D) cr esceu apr oxi madament e 9%(E) cr esceu apr oximadament e 12%Sem perda de generalidade, suponha que a populao brasileira seja de 10.000 pessoas.Com o crescimente de 12% (entre 2000 e 2010), passou a ser igual a 11.200 pessoas.Como a populao urbana antes desse perodo era de 81% de (10.000), ou seja, era umapopulao de 8.100 pessoas ( a NO urbana era de 1900 pessoas), como houve um crescimento de 3%, ento passou a ser igual a 11.200 0,84 = 9.408 pesso as,assim a populao NO urbana, nesse perodo, de 11.200 - 9.408 = 1.792 pessoas.Como a populao NO urbana era de 1900 pessoas e passou a ser de1792 pessoas, ento:1900______100%1792______XX 1792 100= 19 00 94,3 %decresceu aproximadamente 6%. ~ </p> <p>ALTERNATIVA BQUESTO 16: Umasequnci adenmer osnat ur ai s def i ni dapor12 3n na a+ = par at odo 00e 5. n a &gt; = O val orde 9a :(A)612 (B)825 (C)1027 (D)1286 (E) 2048Resol uo:11 1 0 11 2 21 3 2 3Fazendo0em 2 3 2 3 2 5 3 10 3 7 7 ;Fazendo1em 2 3 2 3 2 7 3 14 3 11 11;Fazendo2em 2 3 2 3 2 11 3 22 3 19 19 ;Fazendo3emn nn nn nn a a a a an a a a a an a a a a an+++= = = = = === = = = = === = = = = ===4 1 4 32 3 2 3 2 19 3 38 3 35 35 ;OBS: o problema pode ser resolvido continuando o processo, mas observando a sequncia podemos comprovar que umaP.A de terceira ordem, assim:7____11_n na a a a a+ = = = = ==5 6 7 8 9___19____35____ ____ ____ ____ ____ +4 +8 +16 +x1 +x2 +x3 +x4 +x5Essas diferenas abaixo formam um P.A de 2 ordem, isto :8 4 4,16 8 8,32 16 16,...4____8__a a a a a = = =__16____.... (P.A de 2 ordem); isto , 4___8___16___28___44____...Essas diferenas abaixo formam um P.A de 1 ordem, isto :8 4 4,16 8 8,...4____8____....(P.A de 1 ordem); isto , 4___8___12___16_ = =56 57 68 79 8678__20____24...Podemos concluir quex1=3267;De modo anlogo temos:x2=642 67 64 131; 131;x3=1283 131 128 259; 259 ;x4=2564 259 256 515; 515 ;x5=5125aa a x aa a x aa a x aa a x = = + = + == = + = + == = + = + == = +9515 512 1027; 1027 ;Observem que a resposta NO poderia ser PAR!a = + ==ALTERNATIVA CQUESTO17: Sea expr esso 24 y ax bx = + + ,comxe,assumeummxi mo12 y = no pont o2, x = ent o o mdul o de a i guala:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5Resol uo:( )( ) ( )22Como2 4 4 012Do mesmo como2 ,pondo esse valor em4,temos :12 2 2 4 8 4 2 4 2 82 2 424 0Da, de (1) e (2) 2 4 2 22 4vrticevrticebx b a a bax y ax bxa b a b a b a ba ba a aa b= = = + == = + += + + = + + = + =+ = = = =+ =ALTERNATIVA BQUESTO 18: A soma das razes da equao3 2 2 x x = + i guala:(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10Sol uo:( ) ( )( )( )( )2 222Para resolver essa equao irracional, temos que ter:3 2 0e 0,na verdade, alm disso, temos que testar os valores encontrados, ento:3 2 2 3 2 2 3 2 4 4 2 6 4 23 2 3 2x xx x x x x x x x xx x x x &gt; &gt; = + = + = + + = = = 22 21 216 9 4 10 9 01ou9,pondo 1 em3 2 2 3 1 2 1 2 1 3 NO serve!pondo 9em3 2 2 3 9 2 9 2 25 3 2 5 5 ok!x x x x xx xMasx x xx x x + = + = = == = + = + == = + = + = + =ALTERNATIVA DQUESTO 19: M ar i a f oit r abal hare dei xou di nhei r o par a os seus t r s f i l hos, com o est e bi l het e: Di vi dami gual ment eodi nhei r o.Bei j os .Opr i mei r of i l hochegou,pegouat er apar t edo di nhei r o e sai u.Osegundochegoue novi uni ngum.Pensandoqueer aopr i mei r opegouat er apar t edo di nhei r oquet i nhaesai u.Ot er cei r oencont r ou4not asde5r eai s.Achouqueer aol t i mo, pegou t udo e sai u. Quant o em di nhei r o me dei xou?(A)25 r eai s (B)35 r eai s (C)45 r eai s (D)48 r eai s (E) 55 r eai sVamosr esol ver usandoummt odo mui t ol egal queer aconheci dopel osant i gos Egpci os, que A REGRA DA FALSA POSIO. Essepr ocessoumaapl i caodar egr adet r s,queconsi st eem chut ar umval orconveni ent eesubmet er ,esseval or ,aopr obl ema.Sevocl ei t or t i ver sor t eno chut e vaiacer t ar , mas no preci so t ersor t e, poi s esse mt odo nos l eva a sol uo.Vamos suporque a me t enha dei xado R$ 36,00, assi m, de acor do com o pr obl ema:O 1f i l ho pegou a t er a par t e, i st o 36/ 3 = 12, l ogo r est ou R$ 24,00;O 2f i l ho pegou a t er a par t e, i st o 24/ 3 = 8, logo r est ou R$ 16,00;O 3f i l ho pegou o que sobr ou, i st o , R$ 16,00.Vamosr esol ver asegui nt er egr adet r s: Oval or chut ado i ni ci al ment eest par aoval orencont r adoaoser submet i dosc...</p>

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