-
MA22 - Unidade 1 - Resumo 1
Luiz Manoel Figueiredo
Mrio Olivero
PROFMAT - SBM
-
Sequncias de Nmeros Reais
Denio (Sequncia)
Uma sequncia de nmeros reais uma funo x : N R que acada nmero
natural n associa um nmero real x
n
= x(n),chamado o n-simo termo da sequncia.
Denotamos por (x1
, x2
, x3
, . . . , xn
, . . .), ou por (xn
)nN, ousimplesmente por (xn
), a sequncia x : N R.Exemplos
1 (n);
2
(1
2
n
);
3
( (1)nn
);
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 2/10
-
Operaes com sequncias
Como as sequncias so funes reais, elas podem ser somadas,
subtradas e multiplicadas.
Dadas as sequncias (xn
) e (yn
), podemos formar as sequncias(xn
yn
), (xn
y
n
) e(x
n
y
n
), desde que, nesta ltima, y
n
6= 0 para todon N.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 3/10
-
Sequncias Limitadas
Denies (Sequncia Limitadas)
1
Uma sequncia (xn
) dita limitada superiormente(respectivamente, inferiormente),
se existe c > 0 tal quex
n
c (respectivamente, xn
c), para todo n N.2
Dizemos que x
n
limitada quando limitada inferiormente e
superiormente, isto , se existe c > 0 tal que |xn
| < c , paratodo n N.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 4/10
-
Sequncias crescentes e decrescentes
Denies
1
Uma sequncia (xn
) ser dita decrescente se xn+1 < xn paratodo n N.2
Diremos que a sequncia no crescente, se x
n+1 xn paratodo n N.3
Uma sequncia (xn
) ser dita crescente se xn+1 > xn para todon N.4
Diremos que a sequncia no decrescente, se x
n+1 xn paratodo n N.As sequncias crescentes, no decrescentes,
decrescentes ou no
crescentes so chamadas de sequncias montonas.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 5/10
-
Subsequncias
Denio (Subsequncia)
Dada uma sequncia (xn
)nN de nmeros reais, uma subsequnciade (xn
) a restrio da funo x a um subconjunto innitoN1
= {n1
< n2
< n3
< < nk
< }.Denotamos a subsequncia por (xn
)nN1
, ou (xn
i
)iN ou ainda
(xn
1
, xn
2
, xn
3
, , xn
k
, ).Exemplos
As sequncias (xn
) =( (1)n+1n
)e (yn
) =(n
(1)n)admitem as
seguintes subsequncias:
1 (x2n
) =(12
, 14
, 12n
, );2 (y2n1) =
(1, 13
, 15
, 17
, , 12n1 ,
);
3 (xn
2
) =(1, 14
, 19
, 116
, ).PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 6/10
-
Sries
Dada uma sequncia (xn
), podemos considerar uma novasequncia, denotada por (sn
), cujo termo geral a soma dos nprimeiros termos da sequncia
original (xn
):
s
n
= x1
+ x2
+ x3
+ . . .+ xn
=ni=1
x
i
.
A sequncia s
n
o que chamamos uma srie.
Exemplo
Se x
n
= 12
n
, temos
s
1
=1
2
, s2
=1
2
+1
4
, s3
=1
2
+1
4
+1
8
, . . .
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 7/10
-
Exerccio
Descubra o termo geral da srie associada as sequncias(x
n
= sen(npi2
))e (yn
= 2n 1).
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 8/10
-
Denio Educada de Subsequncia
Pode-se denir a noo de subsequncia de uma sequncia como a
composio de duas sequncias. De fato, suponha dada uma
sequncia x : N R e uma sequncia crescente n : N N. Asubsequncia
(xn
i
) =(x
n
1
, xn
2
, . . .) precisamente x n : N R.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 9/10
-
Exerccio
Seja (xn
= (1)n
n
) e n : N N a funo denida por n 7 2n + 1.Descreva as
subsequncias obtidas por x n e x n n.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 1 - Resumo 1 slide 10/10
