RL - Aula 03

MÓDULO AFT Raciocínio Lógico

Antônio Geraldo

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RESUMO TEÓRICO ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. Introdução A Análise Combinatória nos ensina como contar a quantidade de agrupamentos feitos com os elementos de um conjunto. Os agrupamentos podem diferenciar pela quantidade, ordem e pela natureza, e os elementos do agrupamento podem ser distintos ou repetidos. 2. Princípio fundamental da contagem (PFC) Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de maneiras de realizar a ação, isto é, a primeira e a segunda etapa é m.n. 3. Princípio aditivo Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o número de maneiras de realizar a

primeira ou a segunda etapa é m n. Repare a diferença: Exemplos: E.1) Se você tem quatro camisas e seis calças

diferentes, então terá 4 6 24 maneiras distintas de trajar-se, usando camisa e calça. E.2) Se você tem quatro pares de sapatos e

seis pares de tênis diferentes, então terá 4 6 10 maneiras distintas de calçar-se, usando sapato ou tênis. 4. Arranjo Simples São agrupamentos de elementos distintos que diferem entre si pela ordem ou pela natureza. Representação:

Obs.: problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos com o Princípio Fundamental da Contagem. 5. Permutações São agrupamentos realizados com todos os elementos do conjunto. Se os elementos são distintos, então chamamos Permutação Simples, se existirem elementos repetidos no conjunto, então chamamos Permutação de Elementos Repetidos. Representação: 5.1. Permutações Simples Obs.: As permutações simples são casos

particulares de arranjos simples quando n p, daí o número de permutações simples de n elementos é:

5.2. Permutações de Elementos Repetidos lê-se permutação de n elementos com a elementos iguais, b elementos iguais e c elementos iguais.

6. Combinação Simples São agrupamentos de elementos distintos que diferem entre si pela natureza. Representação:


Antônio Geraldo

2

Observação: É Arranjo ou Combinação? Quando estamos resolvendo problema de análise combinatória devemos reconhecer quando envolve arranjos ou combinações. Vamos usar os seguintes passos: a) escolher um agrupamento qualquer que satisfaça as condições do problema; b) trocar as posições dos elementos desse agrupamento escolhido. Se o novo agrupamento for uma nova solução do problema, ou seja, se a ordem for importante, então trata-se de ARRANJO, caso contrário, trata-se de COMBINAÇÃO.

2. De quantas maneiras diferentes se pode dispor as letras da palavra CELIBATO? 3. Quantos anagramas apresenta a palavra ARAGUARI? 4. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 5.Considere a palavra VESTIBULAR: a) quantos anagramas podem ser formados? b) quantos anagramas iniciam pela letra E? c) quantos anagramas terminam por R? d) quantos anagramas iniciam por T e terminam por B? e) quantos anagramas começam pelas letras ATB, nessa ordem? f) quantos anagramas terminam pelas letras BAR, em qualquer ordem? g) quantos anagramas apresentam as letras LAR, juntas nessa ordem? h) quantos anagramas apresentam as letras VEST juntas, em qualquer ordem? 6. Quantos são os números com 3 algarismos diferentes que poderemos formar, empregando os caracteres {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? 7. Quantos são os números com 3 algarismos que poderemos formar, utilizando o sistema decimal de numeração? 8. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a: a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842 9.Uma empresa possui sete gestores, entre os quais, o presidente e o vice-presidente da empresa. Responda:

RACIOCÍNIO LÓGICO – ANÁLISE COMBINATÓRIA

Profs. Antonio Geraldo e José Carlos 72

e 3, que existe também em número de 5! cada tipo. Temos assim, um total de

3 5!× números que precedem o número proposto. Este é também precedido pe-

los números que iniciam por 41 e 42. Há 2 4!× números deste tipo. Também

precedido pelos números que iniciam por 431, em número de 3!. Ainda pelos

que começam por 4.321 e 4327 que são em número de 2!, para cada tipo.

Resumindo, antes do citado número há

3 5! 2 4! 3! 2 2! 418× + × + + × = números.

Ele ocupa, assim, o lugar de ordem 419.

8. Em uma sala há 9 moças e 16 rapazes. De quantos modos poderemos fazer

uma comissão composta por 4 moças e 7 rapazes?

Resolução:

As 4 moças poderão ser escolhidas dentre as 9, o que dá um total de

9,4C 126= modos diferentes. Os 7 rapazes poderão ser escolhidos dentre os 16,

o que dá um total de 16,7C 11.440= modos diferentes. Como a comissão é com-

posta pelos 4 rapazes e pelas 7 moças, o resultado pedido será:

E

126 11.440 1.441.440× =

SÉRIE REPETECO

1. Calcular:

a) 5!

b) 8!

7!

c) 16!

14!

d) 12!

9!3!


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3

Quantas comissões diferentes, com 3 membros, poderemos constituir empregando os sete gestores dessa empresa? a) Em quantas comissões não figura o presidente da empresa? b) Em quantas aparecem juntos, o presidente e o vice-presidente da empresa? 10. (ESAF) Uma comissão de três membros vai ser escolhida ao acaso dentre um grupo de quinze pessoas, entre as quais estão Alice e Bárbara. Calcular o número de diferentes comissões que poderão ser formadas, de tal forma que Alice e Bárbara participem dessas comissões. a) 13 b) 39 c) 420 d) 210 e) 840 11. Considera-se um conjunto de 4 rapazes e 7 moças. Responda: a) Quantas comissões de 4 elementos podem ser formadas? b) Quantas destas comissões conterão 2 rapazes e 2 moças? 12. (ESAF) Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. O número de comissões em que participa o aluno X e não participa a aluna Y é: a) 1260 b) 2100 c) 840 d) 504 e) 336 13. (ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Con- tudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o

número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: a) 286 b) 756 c) 468 d) 371 e) 752 14. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45

EXERCÍCIOS PROPOSTOS ANÁLISE COMBINATÓRIA

Nas questões de 1 a 4 calcule o que se pede. 1.(UFPA) Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L? a)24 b)120 c)720 d)240 e)1.440 2.Quantas são as permutações distintas das letras da palavra ARARUTA? 3.Encontrar o número de números diferentes que obteremos permutando os algarismos do número 2.718.281.828.


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4

4.Quantos números diferentes acharemos, permutando de todos os modos possíveis, os algarismos do número 37.774.373? 5.Quantos números com 5 algarismos poderemos formar empregando os algarismos ímpares 1, 3, 5, 7 e 9? Em quantos aparecem os algarismos 5 e 7 juntos? Em quantos deles comparece o agrupamento 357, nessa ordem? 6.De quantos modos podemos sentar-se 6 pessoas em linha, admitindo-se que dois indivíduos A e B estejam sempre juntos? 7.Num determinado setor de um hospital trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor? a) 210 b) 1.050 c) 5.050 d) 10.080 e) 25.200 8.(VUNESP) Um certo número de garrafas distinguíveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as maneiras possíveis. O número desses arranjos foi 120. Então, o número de garrafas era: a)12 b)10 c)6 d)5 e)4 9.(FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a)24 b)48 c)96 d)120 e)144 10.(PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco

símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é: a)10 b)24 c)30 d)60 e)120 11.Dadas as letras A, B, C, p, q e r determinar o número de permutações das mesmas que: a)começam por maiúscula; b)começam e finalizam por maiúscula. 12.(FGV) Um viajante, partindo da cidade A, deve chegar à cidade D, passando obrigatoriamente pelas cidades B e C. Para viajar de A e B existem 3 meios de transporte: avião, navio e trem; de B para C, 2 meios; táxi e ônibus; e de C para D, 3 meios: carroça, moto e bicicleta. Quantas maneiras diferentes existem para viajar de A para D? a)8 b)3 c)mais de 15 d)menos de 10 e)n.r.a 13.(PUC) Com os algarismos do sistema decimal formam-se todos os números de 4 algarismos distintos, sendo que “x” deles possuem um algarismo ímpar na ordem das centenas. O Valor de “x” é: a)336 b)567 c)2.240 d)3.335 e)3.403 14.(UFRN) A quantidade de números pares de 5 algarismos, sem repetição, que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 é igual a: a)720


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5

b)1.440 c)2.160 d)2.880 e)3.600 15.(MACK) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, e sem repeti-los, podemos formar: a)1.080 números pares; b)2.160 números pares; c)2.520 números pares; d)5.040 números pares; e)360 números pares. 16.Um grupo de 10 pessoas revolve jogar na MEGA SENA, formando todos os cartões possíveis, cada um com seis dezenas, usando 10 dezenas distintas, previamente escolhidas pelos mesmos. Depois de efetuado o jogo, dividiu-se o número de cartões igualmente pelo jogadores. Quantos cartões coube a cada um deles? 17.De quantas formas diversas podemos escolher um romance, uma revista e um jornal entre 7 romances, 5 revistas e 10 jornais? 18.(FGV) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? a)120 b)144 c)14 d)60 e)12 19.(CESPE) Uma pessoa faz uma relação de nomes de 9 pessoas amigas. De quantas maneiras distintas ela poderá convidar 5 dessas pessoas, sabendo que na relação há um único casal inseparável?

20.(PUC) O número de anagramas da palavra ALUNO que têm as vogais em ordem alfabética é: a)20 b)30 c)60 d)80 e)100 21.(FGV) As placas de automóveis constam de duas letras e quatro algarismos. O número de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 é: a)2.412 b)2.304 c)144 d)216 e)1.536 22.(CESPE) Em uma empresa existem 9 diretores, sendo 3 desses de uma mesma família. Quantas comissões de 3 diretores podem ser formadas contendo cada uma, no máximo, 2 diretores da mesma família? 23.(CESPE) Sete pessoas trabalham num setor de uma fábrica que funciona em três turnos diários. No primeiro turno trabalham 2 pessoas, no segundo trabalham 2 e no terceiro 3. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer a escala do dia, sabendo-se que as duas únicas mulheres da equipe não podem trabalhar no terceiro turno. 24. (CESPE) Ao final de uma festa, ocorrem 28 apertos de mão para as despedidas. Considere que cada participante despediu-se de todos os demais. Calcule o número de pessoas que estavam presentes.


Antônio Geraldo

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GABARITO EXERCICIOS DE ANALISE COMBINATÓRIA 1.A 2.420 3.12.600 4.280 5.120, 48 E 6 6.240 7.B 8.C 9.B 10.C 11.360 E 144 12.C 13.C 14.B 15.A 16.21 17.350 18.A 19.56 20.A 21.B 22.83 23.60 24.8 GABARITO COMENTADO

01.São 6 letras distintas e duas destas estão

presas em certas posições, então sobram 4 letras

livres para trocarem (permutação simples)

4P 4! 24

Letra A

02.ARARUTA

A R

3 2

7

7!PR 420

3! 2!

03.O raciocínio dessa questão é idêntico ao de se perguntar: Quantos anagramas tem a palavra ARARA? Só que nesta questão ao invés de letras na composição da palavra, temos algarismos na

composição do número. E como os elementos (algarismos) repetem, trata-se de uma permutação com repetição:

2 3 4

10

10!PR 12.600

2!3!4!

1 2 8

04. 37.774.373 (mesmo raciocínio da anterior)

3 4

8

8!PR 280

3! 4!

3 7

05.Observe que são pedidas 3 coisas: (1ª Parte) Cada troca entre algarismos na composição do número, forma-se um novo número. Como é pedido o total de números, então tem de se fazer o total de trocas

(permutações): 5P 5! 120

(2ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra (f). Entende-se 5 e 7 como um único algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, então, 4 algarismos para permutar (permutação externa). Lembrando também que eles podem trocar entre si (permutação interna).

P4

permutaçãoexterna

× P

2

permutaçãoint erna

= 24 × 2 = 48

(3ª Parte) Vê raciocínio da questão 3 de aula, letra (e). Entende-se 3, 5 e 7 como um único algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, então, 3 algarismos para permutar (permutação externa). Nesse caso esses 3 algarismos não podem trocar entre si, pela restrição do problema, já que eles devem ficar nessa ordem.

P3

permutaçãoexterna

= 6

06.São 6 pessoas, mas como A e B devem ficar juntos, imagina-se que AB ocupa apenas um lugar, ficando, então, uma permutação de 5 elementos (permutação externa). Observe ainda que se A e B trocarem entre si, muda-se a composição da fila (permutação interna)


Antônio Geraldo

7

P5

permutaçãoexterna

× P

2

permutaçãoint erna

=120 × 2 = 240

07.Precisa-se escolher 1 médico, dentre 5; e 4

enfermeiros dentre 10

E

5,1 10,4C C 5 210 1.050

Letra B

08. n,3A 120 n (n 1) (n 2) 120

Testando as alternativas, temos:

a) n 12 12 11 10 1.320 120

b) n 10 10 9 8 720 120

c) n 6 6 5 4 120 120 (funcionou!)

Letra C

09.Nesse caso vale a pena montar aquele

esquema, sempre lembrando de começar o

preenchimento pela(s) restrição(ões):

Restrições

vogal vogal

Total de

opções

2 4 3 2 1 1 = 48

Letra B

10.A sigla é, então, formada pelas letras:

A,A,R,R,E , portanto o total de siglas diferentes

é igual ao total de possíveis trocas (permutação

com elementos repetidos):

A R

2 2

5

5!PR 30

2! 2!

Letra C

11.a) Restrição: Começar por maiúscula.

Restrição

A,B,C

Total de

opções

3 5 4 3 2 1 = 360

b) Restrição: Começar e terminar por maiúscula.

Restrição

A,B,C A,B,C

Total de

opções

3 4 3 2 1 2 = 144

12. A 3 B 2 C 3 D

3 2 3 18

Letra C

13.Formar números de 4 algarismos distintos,

escolhidos do sistema decimal

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e com a restrição de o

algarismo das centenas ser ímpar:

Restrições

0 não

Ímpar

Total de

opções

8 5 8 7 = 2.240

Obs. O primeiro algarismo nunca pode ser 0.

Letra C

14.Formar números pares de 5 algarismos

distintos, escolhidos do conjunto 2,3,4,5,6,7,8 .


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8

Restrição: terminar com algarismo par (para o

numero ser par)

Restrições

par

Total de

opções

6 5 4 3 4 = 1.440

Letra B

15.Formar números pares (observar as

alternativas) de 5 algarismos distintos, escolhidos

do conjunto 1,2,3,4,5,6,7 . Restrição: terminar

com algarismo par (para o numero ser par)

Restrições

par

Total de

opções

6 5 4 3 3 = 1.080

Letra A

16.Das 10 dezenas, escolhem-se 6 para montar

um cartão da mega-sena, então o total de

diferentes cartões é dado por:

10,6C 210

Como há 10 pessoas para dividirem os 210

cartões, então sobram-se 21 cartões para cada

pessoa.

17.Dos 7 romances, escolhe-se um e das 5 revistas, escolhe-se uma e dos 10 jornais, escolhe-se uma:

E E

7,1 5,1 10,1C C C 7 5 10 350

18.Das 2 saladas, escolhe-se uma e dos 4 tipos

de carne, escolhe-se um e das 5 bebidas,

escolhe-se uma e das 3 sobremesas, escolhe-se

uma:

E E E

2,1 4,1 5,1 3,1C C C C 2 4 5 3 120

Letra A

19.Tem-se 9 pessoas, 2 inseparáveis e 7 outras

que não têm restrição. Como o referido casal é

inseparável, então ou o casal é convidado (das 5

pessoas convidadas, sobram-se 3 vagas,

disputadas entre as 7 pessoas), ou o casal não é

convidado (as 5 vagas são disputadas entre as 7

pessoas).

OU

7,3 7,5C C 35 21 56

20.Anagramas da palavra ALUNO com as vogais

em ordem alfabética. Uma vez que essa ordem

for estabelecida elas (as vogais) não podem

trocar entre si. Entenda, não é que as vogais não

possam permutar, mas é que elas não podem

trocar entre si.

É como se fosse pedido para calcular os

anagramas da palavra ALANA, pois nesse caso,

trata-se de uma permutação com repetição da

letra A, uma vez que mesmo que esses A’s

troquem entre si a palavra continua a mesma, ou

seja, para calcular esse anagrama de 5 letras,

calcula-se 5! e divide o resultado por 3!,

originando a formula que já se conhece para

permutação com repetição:

A

3

5

5!PR 20

3!

A divisão por 3! deve ser entendida como uma

correção que se faz, pois àqueles A’s não podem

trocar entre si (da mesma maneira que àquelas

vogais não podiam trocar entre si), uma vez que

essa troca não altera o anagrama.


Antônio Geraldo

9

Letra A

21.Note que é um problema de arranjo, pois ao

se mudar a ordem das letras ou números, muda-

se a placa do carro. Note também que se pode

repetir os elementos. Observe o esquema:

P, Q, R

0, 1, 7, 8

Total de

opções

3 3 4 4 4 4 = 2.304

Letra B

22.Tem-se 9 diretores, sendo 3 de uma família A

e 6 outros. Quer-se montar comissões de 3

diretores com, no máximo, 2 diretores da família

A, isto é, dos 3 escolhidos, pode-se 2 ser da

família A ou 1 ser da família A ou não ter diretor

da família A, observe:

C3,2

dos 3 de A,escolhe-se 2

×E

C6,1

dos 6 outros,escolhe-se 1

+

OU

C3,1

dos 3 de A,escolhe-se 1

×E

C6,2


+

OU

C6,3


=

= 3×6+3×15+ 20 = 83

23.Das 7 pessoas, 5 são homens e 2 são

mulheres. Temos 3 turnos de trabalho (com 2

pessoas trabalhando no 1º turno; 2 no 2º e 3 no

3º) e no 3º as mulheres não podem trabalhar.

Iniciemos o trabalho montando a equipe para o 3º

turno (dos 5 homens, escolhem-se 3 para esse

turno), pois é o único que tem restrição, e depois

para o 2º (dos 4 funcionários, 2 mulheres e os 2

homens não escolhidos, escolhem-se 3 para

esse turno) e para o 1º (dos 2 funcionários

restantes, escolhem-se 2 para esse turno).

Observe:

C5,2

dos 5 homens,escolhem-se 2

×E

C4,2

dos 4 funcionários,escolhem-se 2

×E

C2,2

dos 2 funcionários,escolhem-se 2

=

=10 ×6 ×1= 60

24.Cada aperto de mão é dado entre duas

pessoas, ou seja, escolhe-se duas pessoas da

festa e elas se cumprimentam. Como na festa há

n pessoas e todos os apertos de mãos possíveis

são dados totalizando 28, faz-se o seguinte:

n,2

das n pessoas, escolhem se 2para darem um aperto de mão

2 2

n n 1C 28 28

2

n n 56 n n 56 0

n 8

ou

n 7 não serve

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