Dimensionamento tração e compressão

- Achar ações

𝐹𝑑 = (𝐺 ∗ 𝛾𝑔 + 𝑄1 ∗ 𝛾𝑄1 + 𝜓0 ∗ 𝑄2 ∗ 𝛾𝑄2)

G – cargas permanentes;

Q – cargas variáveis;

𝛾𝑔 𝑒 𝛾𝑄 – pgs 12 e 13;

𝜓0 – Fatores de combinação e de utilização – pg 9

Quando o vento for a ação variável principal, multiplicar por 0,75, ficando:

𝐹𝑑 = (𝐺 ∗ 𝛾𝑔 + 0,75 ∗ 𝑉 ∗ 𝛾𝑉 + 𝜓0 ∗ 𝑄2 ∗ 𝛾𝑄2)

- Analisar propriedades da madeira

𝑓𝑘 = 0,7 ∗ 𝑓𝑚

𝑓𝑘 – resistência característica

𝑓𝑚 – resistência média

𝑓𝑡0,𝑘 =𝑓𝑐0,𝑘

0,77

𝑓𝑐0,𝑘 – resistência característica à compressão paralela às fibras (coníferas e dicotiledôneas

– pg 16);

𝑓𝑡0,𝑘 – resistência característica à tração paralela às fibras.

𝑓𝑐0,𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 ∗𝑓𝑐0,𝑘

𝛾𝑤𝑐

𝑘𝑚𝑜𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 ∗ 𝑘𝑚𝑜𝑑2 ∗ 𝑘𝑚𝑜𝑑3

𝑘𝑚𝑜𝑑1 - classe de carregamento – pg 18 e pg 8;

𝑘𝑚𝑜𝑑2 - classe de umidade – pg 18 e pg 14 (para madeira serrada submersa 𝑘𝑚𝑜𝑑2 = 0,65);

𝑘𝑚𝑜𝑑3 - categoria da madeira (1ª cat = 1,0; 2ª cat = 0,8);

𝛾𝑤𝑐 = 1,4 ; 𝛾𝑤𝑡 = 1,8 – pg 21.

𝐸𝑐0,𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 ∗ 𝐸𝑐0,𝑚

𝐸𝑐0,𝑚 - classe de resistência (coníferas e dicotiledôneas) – pg 16

- Dimensionamento a tração

Dimensionamento a tração paralela

𝑓𝑡0,𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 ∗𝑓𝑡0,𝑑

𝛾𝑤𝑡

𝜎𝑡𝑑 =𝑁𝑑

𝐴𝑒

𝜎𝑡𝑑 ≤ 𝑓𝑡0,𝑑

𝐴𝑒 = 𝐴𝑔 − 𝐴𝑒𝑛𝑓𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

𝐴𝑒𝑛𝑓𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴𝑓𝑢𝑟𝑜𝑠 + 𝐴𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙ℎ𝑒𝑠

𝐷𝑓𝑢𝑟𝑜 = 𝐷𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 + 0,5𝑚𝑚 𝑜𝑢 𝐷𝑓𝑢𝑟𝑜 = 𝐷𝑝𝑟𝑒𝑔𝑜

𝐴𝑒𝑛𝑓𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑛 ∗ 𝑏 ∗ 𝐷𝑓𝑢𝑟𝑜 (𝑠𝑒çã𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑎)

𝐴𝑒𝑛𝑓𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑏 ∗ 𝐷𝑓𝑢𝑟𝑜 {1 + (𝑛 − 1) [4

3−

𝑠

𝑔]} (𝑠𝑒çã𝑜 𝑧𝑖𝑔𝑢𝑒𝑧𝑎𝑔𝑢𝑒)

s – distância horizontal entre os furos

g – distância vertical entre os furos

Caso 𝑨𝒆𝒏𝒇𝒓𝒂𝒒𝒖𝒆𝒄𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 seja desconhecida, pode-se adotar 𝑨𝒆 = 𝟎, 𝟕𝟎 ∗ 𝑨𝒈

- Dimensionamento a compressão

Inércia da peça

𝐼 =𝑏 ∗ ℎ3

12

Raio de giração

𝑖 = √𝐼𝑚𝑖𝑛

𝐴

Definir esbeltez da peça (𝜆)

𝜆 =𝐿0

𝑖𝑚𝑖𝑛

𝜆 ≤ 40 – Peça curta

40 < 𝜆 < 80 – Peça medianamente esbelta

80 ≤ 𝜆 ≤ 140 – Peça esbelta

𝜆 > 140 – Peça esbelta, mas de uso proibido

Dimensionamento para compressão de peças curtas

Sendo Nd = Fd, temos:

𝜎𝑁𝑑 =𝑁𝑑

𝐴 → 𝜎𝑁𝑑 ≤ 𝑓𝑐0,𝑑

Dimensionamento para compressão de peças medianamente esbeltas

Calcula-se a excentricidade da peça, dada pela fórmula:

𝑒1 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎

𝑒𝑖 =𝑀1𝑑

𝑁𝑑=

𝑀1𝑔𝑑 + 𝑀1𝑞𝑑

𝑁𝑑 ≥

ℎ

30 → 𝑒𝑖 =

ℎ

30 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎)

Sendo h a altura da seção transversal referente ao plano de verificação.

Onde M1gd e M1qd são os valores de cálculo, na situação de projeto, dos momentos devidos

às cargas permanentes e as cargas variáveis, respectivamente.

𝑒𝑎 =𝐿0

300≥

ℎ

30

Sendo L0 = L, exceto em peças engastadas em uma extremidade e livre na outra, adotando-se, L0 = 2L.

𝐹𝐸 =𝜋2 ∗ 𝐸𝑐0,𝑒𝑓 ∗ 𝐼

𝐿02

𝑒𝑑 = 𝑒1 ∗ (𝐹𝐸

𝐹𝐸 − 𝑁𝑑)

𝑀𝑑 = 𝑁𝑑 ∗ 𝑒𝑑

𝜎𝑀𝑑 =𝑀𝑑 ∗ 𝑦

𝐼

Sendo y a distância da linha neutra à fibra mais afastada.

𝜎𝑁𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+

𝜎𝑀𝑑

𝑓𝑐0,𝑑≤ 1

Dimensionamento para compressão de peças esbeltas

Calcula-se a excentricidade da peça, dada pela fórmula:

𝑒1,𝑒𝑓 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎 + 𝑒𝑐

𝑒𝑖 =𝑀1𝑑

𝑁𝑑=

𝑀1𝑔𝑑 + 𝑀1𝑞𝑑

𝑁𝑑 ≥

ℎ

30 → 𝑒𝑖 =

ℎ

30 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎)

Sendo h a altura da seção transversal referente ao plano de verificação.

Onde M1gd e M1qd são os valores de cálculo, na situação de projeto, dos momentos devidos

às cargas permanentes e as cargas variáveis, respectivamente.

𝑒𝑎 =𝐿0

300≥

ℎ

30

Sendo L0 = L, exceto em peças engastadas em uma extremidade e livre na outra, adotando-se, L0 = 2L.

𝑒𝑐 = (𝑒𝑖𝑔 + 𝑒𝑎) ∗ {𝑒[

ϕ∗[𝑁𝑔𝑘+(𝜓1+𝜓2)∗𝑁𝑞𝑘]

𝐹𝐸−[𝑁𝑔𝑘+(𝜓1+𝜓2)∗𝑁𝑞𝑘]]

− 1}

𝜙 = coeficiente de fluência – pg 26

Com 𝜓1 𝑒 𝜓2 ≤ 1 – pg 9

Onde Ngk e Nqk são os valores característicos da força normal devido às cargas permanentes

e variáveis, respectivamente, e

𝑒𝑖𝑔 =𝑀1𝑔,𝑑

𝑁𝑔𝑑

Onde M1gd é o valor de cálculo do momento fletor devido apenas às ações permanentes.

𝐹𝐸 =𝜋2 ∗ 𝐸𝑐0,𝑒𝑓 ∗ 𝐼

𝐿02

𝑒𝑑 = 𝑒1,𝑒𝑓 ∗ (𝐹𝐸

𝐹𝐸 − 𝑁𝑑)

𝑀𝑑 = 𝑁𝑑 ∗ 𝑒𝑑

𝜎𝑀𝑑 =𝑀𝑑 ∗ 𝑦

𝐼

Sendo y a distância da linha neutra à fibra mais afastada.

𝜎𝑁𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+

𝜎𝑀𝑑

𝑓𝑐0,𝑑≤ 1

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Dimensionamento flexão

Flexão simples reta: N = 0

- Verificação da tensão normal

𝜎𝑐,𝑑 =𝑀𝑑

𝐼∗ 𝑦𝑐 ≤ 𝑓𝑐0,𝑑

𝜎𝑡,𝑑 =𝑀𝑑

𝐼∗ 𝑦𝑡 ≤ 𝑓𝑡0,𝑑

- Vão teórico

𝑙 = {

𝑙1

𝑙2 = 𝑙𝑜 + ℎ𝑙3 = 𝑙𝑜 + 10𝑐𝑚

(ℎ < 10𝑐𝑚)

- Estabilidade lateral

𝑙1

𝑏≤

𝐸𝑐𝑜,𝑒𝑓

𝛽𝑀 ∗ 𝑓𝑐𝑜,𝑑

𝜎𝑐,𝑑 ≤ 𝜎𝑙𝑖𝑚 = 𝐸𝑐𝑜,𝑒𝑓𝑙1𝑏

∗𝛽𝑀

Se 𝜎𝑐,𝑑 > 𝜎𝑙𝑖𝑚 a viga perde estabilidade lateral e deve-se aumentar a seção da viga (especialmente

b) ou aumentar o número de pontos de contraventamentos diminuindo o valor de 𝑙1 (travamentos).

- Verificação da deflexão – flecha (estado limite de deformação)

Fd,uti = ∑ Fg + ∑ ψ2 ∗ Fq

𝑢𝑒𝑓 = 𝑢𝑑,𝑢𝑡𝑖 ≤ 𝑢𝑙𝑖𝑚

𝑢𝑒𝑓 = 𝑢𝑑,𝑢𝑡𝑖 = ∑ 𝑢g + ∑ ψ2 ∗ uq → ψ2 = 0,6 𝑝𝑖𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎çã𝑜

𝑢𝑙𝑖𝑚 =𝑙

200 (𝑣ã𝑜) ; 𝑢𝑙𝑖𝑚 =

𝑙

100 (𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜)

Flecha (𝑢𝑔): 5∗𝑞∗𝑙4

384𝐸𝐼

𝑞∗𝑙3

48𝐸𝐼

Momento: 𝑞𝑑∗𝑙2

8

𝑞𝑑∗𝑙

4

𝑞𝑑 = 1.4 ∗ 𝑞𝑘

- Verificação da tensão de cisalhamento (cortante)

Fora da região dos apoios (a > 2h)

Qualquer seção

𝜏𝑑 = 𝑉𝑑 ∗ 𝑆

𝑏 ∗ 𝐼 ≤ 𝑓𝑣𝑜,𝑑 𝑆 = 𝑥 ∗

𝑦

2∗ 𝑐 (𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜)

Seção retangular

𝜏𝑑 =3

2∗

𝑉𝑑

𝑏 ∗ ℎ ≤ 𝑓𝑣𝑜,𝑑

Quando não disponível: 𝑓𝑣0,𝑑 = 0,12 ∗ 𝑓𝑐0,𝑑 (conífera)

𝑓𝑣0,𝑑 = 0,10 ∗ 𝑓𝑐0,𝑑 (dicotiledônea)

Na região dos apoios (a < 2h)

𝑉𝑟𝑒𝑑 = 𝑉𝑑 ∗𝑎

2ℎ

𝜏𝑑 = 𝑉𝑑 ∗ 𝑆

𝑏 ∗ 𝐼∗

𝑎

2ℎ ≤ 𝑓𝑣𝑜,𝑑

Vigas entalhadas

ℎ1 > 0,75ℎ

𝜏𝑑 =3

2∗

𝑉𝑑

𝑏 ∗ ℎ1∗ (

ℎ

ℎ1)

ℎ1 < 0,5ℎ → 𝑛ã𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡á𝑣𝑒𝑙

0,5ℎ ≤ ℎ1 ≤ 0,75ℎ → 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜𝑠

- Peças compostas

𝐼𝑒𝑓 = 𝛼𝑟 ∗ 𝐼𝑡ℎ; 𝛼𝑟 = 0,95 (seção T) ou 𝛼𝑟 = 0,85 (Seção I ou caixão)

- Flexão oblíqua

𝑞𝑥 = 𝑞𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑞𝑥 = 𝑞𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑤𝑑+ 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑤𝑑≤ 1 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑤𝑑+

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑤𝑑≤ 1

𝜎𝑀𝑥 =𝑀𝑥

𝐼∗ 𝑐𝑦 𝜎𝑀𝑦 =

𝑀𝑦

𝐼∗ 𝑐𝑥

𝑘𝑀 = 0,5 seção retangular

𝑘𝑀 = 1,0 outras seções

𝑓𝑤𝑑 - resistência de cálculo de tração ou compressão

- Flexotração

𝜎𝑁𝑡,𝑑

𝑓𝑡0,𝑑+

𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑡0,𝑑+ 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑡0,𝑑≤ 1

𝜎𝑁𝑡,𝑑

𝑓𝑡0,𝑑+ 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑡0,𝑑+

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑡0,𝑑≤ 1

𝜎𝑁𝑡,𝑑 =𝑁𝑑

𝐴𝑒𝑓

- Flexocompressão

(𝜎𝑁𝑐,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑)

2

+𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+ 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑≤ 1

(𝜎𝑁𝑐,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑)

2

+ 𝑘𝑀𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑≤ 1

𝜎𝑁𝑐,𝑑 =𝑁𝑑

𝐴

- Estabilidade

𝜎𝑁𝑐,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+

𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+ 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑≤ 1

𝜎𝑁𝑐,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+ 𝑘𝑀

𝜎𝑀𝑥,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑+

𝜎𝑀𝑦,𝑑

𝑓𝑐0,𝑑≤ 1

Verificar também cisalhamento, estabilidade (no caso da flexocompressão) e flecha.

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Dimensionamento ligações

- Ligações com entalhes

Tensões de cisalhamento paralelo em fibras

Altura do entalhe

he = AB ∗ cos α

𝜎𝑐𝛼,𝑑 =𝑁𝑑

𝐴𝐵 ∗ 𝑏

𝜎𝑐𝛼,𝑑 =𝑁𝑑 ∗ cos 𝛼

ℎ𝑒 ∗ 𝑏 ≤ 𝑓𝑐𝛼,𝑑

𝑓𝑐𝛼,𝑑 =𝑓𝑐𝑜,𝑑 ∗ 𝑓𝑐90,𝑑

𝑓𝑐𝑜,𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑓𝑐9𝑜,𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠2𝛼

𝛾 = 𝛼 → ℎ𝑒 ≥𝑁𝑑 ∗ cos 𝛼

𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝛼,𝑑

𝛾 ≠ 𝛼 → ℎ𝑒 ≥𝑁𝑑 ∗ cos (𝛾 − 𝛼) ∗ cos 𝛼

𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝛼,𝑑

(1)ℎ𝑒 ≤ ℎ4⁄ , utilizar um dente de altura ℎ𝑒

(2)ℎ 4⁄ < ℎ𝑒 ≤ ℎ2⁄ utilizar dois dentes

ℎ𝑒2

⁄

(3) ℎ𝑒 > ℎ2⁄ dois dentes mais parafuso

- Folga necessária ao cisalhamento

𝜏 = 𝑁𝑑 ∗ cos 𝛾

𝑏 ∗ 𝑙≤ 𝑓𝑣𝑜,𝑑

𝑙 ≥𝑁𝑑 ∗ cos 𝛾

𝑏 ∗ 𝑓𝑣𝑜,𝑑

A partir do seg. dente 𝑙2 = 𝑙 ≥𝑁𝑑∗cos 𝛾

𝑏∗𝑓𝑣0,𝑑

A partir do prim. dente 𝑙1 ≥(𝑁𝑑 2⁄ )∗cos 𝛾

𝑏∗𝑓𝑣0,𝑑=

𝑙

2

- Ligações

Parafusada: 10𝑚𝑚 ≤ 𝑑 ≤ 𝑡2⁄

Pregada: 3𝑚𝑚 ≤ 𝑑 ≤ 𝑡5⁄

E.L.U.→ 𝑆𝑑 ≤ 𝑅𝑑

Resistência de cálculo de embutimento da madeira

𝑓𝑒0,𝑑 = 𝑓𝑐0,𝑑

𝑓𝑒90,𝑑 = 0,25 ∗ 𝑓𝑐0,𝑑 ∗ 𝛼𝑒 ; 𝛼𝑒 – pg. 21

Para placas de ligação usar usualmente 𝑓𝑒0,𝑑 = 𝑓𝑐0,𝑑

Embutimento da madeira

𝛽 ≤ 𝛽lim → 𝑅𝑣𝑑,1 = 0,40 ∗𝑡2

𝛽∗ 𝑓𝑒𝛼,𝑑

Flexão do pino

𝛽 > 𝛽𝑙𝑖𝑚 → 𝑅𝑣𝑑,1 = 0,625 ∗𝑑2

𝛽𝑙𝑖𝑚∗ 𝑓𝑦𝑑

𝑓𝑦𝑑 – pregos 545MPa, parafusos 218Mpa

Resistência do Pino Metálico

𝛽 = 𝑡𝑑⁄

𝛽𝑙𝑖𝑚 = 1,25√𝑓𝑦𝑑

𝑓𝑒𝛼,𝑑

Parafusos: 𝑡 ≥ 2∅

Pregos: 𝑡 ≥ 5∅

Comprimento de penetração: 𝑡4 ≥ 12∅ 𝑜𝑢 𝑡4 = 𝑡2

Resistência de ligação com vários pinos

𝑅𝑣𝑑 = 𝑛𝑐𝑠 ∗ 𝑅𝑣𝑑,1 𝑛𝑐𝑠 = núm. de cortes simples

𝑛𝑝 ≥𝐹𝑑

𝑅𝑣𝑑 𝑛𝑝 = número de parafusos necessários

Para 𝑛𝑝 > 8 𝑛0 = 8 +2

3∗ (𝑛 − 8)

Espaçamento mínimo

Resistência de ligação em corte duplo

𝑅𝑑,𝑃𝐼𝑁𝑂 = 𝑅𝑉𝑑,1 1 seção de corte

𝑅𝑑,𝑃𝐼𝑁𝑂 = 𝑅𝑉𝑑,2 = 2 ∗ 𝑅𝑉𝑑,1 2 seção de corte

Ruptura por tração normal às fibras

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝐹 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ≤2 ∗ 𝑓𝑣0,𝑑 ∗ 𝑏𝑒 ∗ 𝑡

3

𝑏𝑒 – distância do eixo do pino mais afastado a borda do lado da solicitação 𝑏𝑒 ≥ℎ

2

Resistência da Cavilha

Embutimento na madeira, quando 𝛽 ≤ 𝛽𝑙𝑖𝑚: 𝑅𝑣𝑑,1 = 0,40 ∗𝑡2

𝛽∗ 𝑓𝑐90𝑑,𝑐𝑎𝑣

Flexão do pino, quando 𝛽 > 𝛽𝑙𝑖𝑚: 𝑅𝑣𝑑,1 = 0,40 ∗𝑑2

𝛽𝑙𝑖𝑚∗ 𝑓𝑐0𝑑,𝑐𝑎𝑣 (com 𝛽 = 𝛽𝑙𝑖𝑚)

Neste caso, fc0d,cav é o valor de cálculo da resistência à compressão paralela e, fc90d,cav

é o valor de cálculo da resistência normal da madeira da cavilha.

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SEÇÃO CIRCULAR

I = πd

4

64 ; A =

πd2

4

SEÇÃO RETANGULAR

Ix = bh

3

12 ; Iy =

hb3

12

1 cm4 = 104 mm4

1 kN/m = 0,01 kN/cm

1 kgf/m = 10 N/m

1 daN = 10 N

1 daN/m = 10-2 N/mm

1 Mpa = 10 daN/cm²

1 Mpa = 0,1 kN/cm²

Pa = N/m2

Mpa = N/mm² (106 Pa)

GPa = (109 Pa ou 103 Mpa)

INTERPOLAÇÃO

2 — 8,8

X — 9,75

3 — 12,3

2 − 𝑥

8,8 − 9,75=

𝑥 − 3

9,75 − 12,3

M+ {Tração embaixo

Compressão em cima

M− {Tração em cima

Compressão embaixo

𝑃𝑝 = 𝑑𝑒𝑛𝑠.∗ á𝑟𝑒𝑎