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GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano
Secções por Planos ProjectantesCones
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES – Cones
Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário identificar o tipo de secção.
Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do cone, a figura de secção é uma circunferência.
O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante conter o vértice de superfície:1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone;2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;
a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto;
b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta;
c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo.
O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o plano secante não conter o vértice de superfície:1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante; 2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone;3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;
a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse;
b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola;
c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante Paralelo à Base
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ1 num cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.
x
(hφ)
O2
O1
≡ V2
V1
A2
A1
B2
B1
(hφ1)
C2
C1
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Exterior à BaseUma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.
x
(hφ)
O2
O1
≡ V2
V1
A2
A1
B2
B1
hα
fα
A recta vertical de intersecção v entre o plano secante e o plano da base do cone, passa pelo exterior da base.O ponto V é a figura de secção.
(v1)
v2
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Tangente à BaseUma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.
x
(hφ)
O2
O1
≡ V2
V1
A2
A1
B2
B1
hα
fα
≡ (v1)
v2
A recta vertical de intersecção v entre entre o plano secante e o plano da base do cone, é tangente à base. A recta r é a figura de secção. ≡ r1
r2
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Secante à BaseUm sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção..
xA2
A1
O2
O1
B2
B1
V2
V1
hδ
fδ
C1
C2
D1
≡ D2
O hδ é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base do cone. A recta é secante à base. O triângulo [CDV] é a figura de secção.
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de
Superfície com a Recta de Intersecção Exterior à Base
Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção.
x
O2
O1
≡ V2
V1
A2
A1
B2
B1
hα
fα
hθ
Um plano auxiliar vertical θ, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz fθ
que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.
fθ
C2
C1
D2
D1
Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse:1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base;2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido;3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência.
(hφ)
R2
R1
Q1
(i1)
i2
E2
≡ E1
F2
≡ F1
A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse.
≡ M1
M2
(hφ1)
S2
S1 (i’1)
i’2
G2
≡ G1
H2
≡ H1
(hφ2)
T2
T1
i’’2
I2
(i’’1)≡ I1
J2
≡ J1
≡ Q2
É dado um cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida num plano horizontal. O ponto O (-2; 4; 2) é o centro da circunferência que limita a base, cujo raio é de 3,5 cm. O ponto V (-4; 4; 10) é o vértice do cone. Determina as projecções da figura da secção produzida no cone por um plano de topo θ, sabendo que o plano θ corta o eixo x num ponto com 5 cm de abcissa, e faz um ângulo de 40º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção.
x
y ≡ z
O2
O1
V2
V1
(fν)
A2
A1
B2
B1
hθ
fθ
Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.
fθ1
hθ1
Utilizar o método dos planos paralelos à base para obter a elipse:1 – Plano auxiliar paralelo ao plano da base;2 – A figura de secção (circunferência) do plano auxiliar sobre superfície lateral do sólido;3 – Recta de intersecção entre plano secante e plano auxiliar; 4 – Pontos de intersecção da recta de intersecção com a circunferência.
(fν1)R2
R1
C2
C1
D2
D1
Q2
(i2)
i1
E1
≡ E2
F1
≡ F2
M1
≡ M2
A seguir, construir o eixo menor da elipse, com o ponto M a ser o ponto de concorrência dos dois eixos da elipse. Depois é obtido mais quatro pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os oito pontos é possível construir a elipse.
(fν2)S2
S1
i’1
Q1
(i’2)
G1
≡ G2
H1
≡ H2
(fν3)T2
T1
i’’1
(i’’2)
I1
≡ I2
J1
≡ J2
(r2)
r1
Q’2
Q’1
Q’’2
Q’’1
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de
Superfície com a Recta de Intersecção Tangente à Base
Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.
x
A2
A1
O2
O1
B2
B1
V2
V1
hθ
fθ
C1
C2
D1
≡ D2
Um plano auxiliar vertical θ1, paralelo ao plano secante θ e que contém o vértice, produzfθ1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola.
fθ1
hθ1
Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E.Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.
g1
g2
E2
E1
(fν)Q2
Q1
R2
R1
(i2)
i1
F1
≡ F2
G1
≡ G2
(fν1)Q’2
Q’1
S2
S1
(i’2)
i’1
H1
≡ H2
I1
(fν2)T2
T1
Q’’2
Q’’1
(i’’2)
i’’1
J1
≡ J2
K1
≡ K2
≡ I2
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a Recta de Intersecção Secante à
BasePretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.
xO2
O1 ≡ V1
V2
A2
A1
B2
B1
hα
fα Um plano auxiliar vertical α1, paralelo ao plano α e que contém o vértice, produz hα
que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é secante à base, sendo a figura de secção uma hipérbole.
hα1
fα1
Para obter a hipérbole, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C e D.O ponto E é o ponto que o plano secante corta a geratriz mais á direita do contorno aparente frontal do cone.Para determinar o espaço útil para os planos auxiliares, é necessário determinar o ponto de maior cota da secção (o ponto F), através de ponto T e recta tangente à base (recta t) e da geratriz que contém o ponto T.No espaço útil entre os pontos F, C e D, será obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.
C2
C1
D2
D1
E2
E1
t1
≡ t2
g1
T2
T1
g2
F2
F1
É dado um cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de Projecção e tangente ao Plano Horizontal de Projecção. O centro da base é o ponto O (1; 0; 4). As geratrizes do cone medem 8 cm. O cone é cortado por um plano vertical α, que corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções do sólido resultante da secção produzida no cone pelo plano α. Considera a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano de base. Determina a V.G. da figura de secção.
x
y ≡ z
O2
O1
≡ V2
V1
hα
fα
Um plano auxiliar vertical α1, paralelo ao plano secante α e que contém o vértice, produzfα1 que é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é tangente à base, sendo a figura de secção uma parábola.
hα1
fα1
Para obter a parábola, primeiro determinar os pontos da figura de secção: C, D e E.Depois é obtido mais seis pontos via o método dos planos paralelos à base. Com os nove pontos é possível construir a parábola.
C2
C1
D2
≡ D1
E2
E1
Para obter a V.G. da parábola, é necessário rebater o plano secante para o Plano Frontal de Projecção, sendo a charneira fα.
≡ (e)1
≡ e1
V.G.