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S R I E S E E Q U A E S D I F E R E N C I A I S O R D I N R I A
S
2 a L i s t a d e Ex e r c c i o s R E S P O S T A S , S U G E S
T E S E S O L U E S
Na resoluo dos Exerccios 01 a 04, lembre -se de que conhecido o
termo gera l da sequncia de somas parcia is de uma sr ie , para de
terminar a sr ie resp ect iva basta notar que
= 1 + 2 + + 1 + = 1 + = 1.
Mas cu idado: obt ido o dese jado , no de ixe de ver i f icar
sua resposta. c laro que dado , voc poder dizer se a sri e converge
e, quando isso ocorrer, fornecer o valor da soma.
As respostas seguem abaixo:
01.
1 )13)(23(
2
nn, que converge e tem soma 2/3.
02.
1
2
)1(
1
nn
nn, que uma sr ie divergente.
03.
2
)2
1(
2
1n
, que converge com soma 0.
04.
2
13.23 n , que no converge.
Aps as respostas dos exerccios 05 a 37 , um comentrio apresenta
sugesto de proced imento
para obteno da so luo.
05. Convergente , com soma 1/2 .
A sr ie de encaixe .
06. Convergente .
Faa comparao dire ta c om uma srie geomtr ica adequada .
07. Divergente .
Faa comparao no l imite com a sr ie harmnica .
08. Convergente , com soma 1.
Tem-se, aqu i , uma sr ie geomtr ica .
09. Convergente , com soma 1.
Procure determinar a e b , de modo que 2+1
2(+1)2 =
2+
(+1)2 .
10. Convergente , com soma 1/2 .
A sr ie de encaixe : !
(+2)! =
1
(+1)(+2) .
11. Convergente , com soma 1.
Tem-se, mais uma vez, uma srie de encaixe .
De fato ,
-
1 + 1 . ( + 1 + ) =
1
+ 1 . ( + 1 + ) .
+ 1
+ 1
= + 1
+ 1 . =
+ 1
+ 1 .
+ 1 .
= 1
1
+ 1 .
12. Divergente .
Pode-se fazer uma comparao d ireta com a sr ie divergen t e
1 1
1
n .
13. Divergente .
As somas parc iais dessa srie correspondem sequncia (1, 0, 1, 0,
), que, evidentemente,
diverge .
14. Divergente .
Basta notar que 2
3 =
2
3
1
.
15. Convergente , com soma 3/2 .
A sr ie dada corresponde soma de duas sr ies geomtr icas
convergentes .
16. Convergente , com soma zero .
Todos os termos da srie so nu los .
17. Divergente .
O l imite do termo gera l da sr ie no nulo .
18. Divergente .
Faa uma comparao no l imi te com a sr ie harmnica .
19. Convergente (Convergncia Absoluta) .
Use o Teste da Razo .
20. Convergente .
Use o Teste da Ra iz .
21. Divergente .
Note que , 1. Assim, + + = 2 e, portan to, 1
+
1
2 =
1
2
1
.
22. Convergente (Convergncia Condic ional) .
Convergncia absolu ta no ocorre , pois vemos que a sr ie dos va
lores abso lutos d iverge
quando comparada no l imite com a srie harmnica. Por ou tro
lado, como log (n + 1) > log n,
para > 0, segue que
1
( + 1) <
1
, > 0,
e, alm d isso, como
1
= 0, tem-se comprovada a convergncia condicional da sr ie .
23. Convergente .
Faa uma comparao no l imi te com a sr ie convergente
12 1
1
n.
-
24. Divergente .
Faa uma comparao no l imi te com a sr ie harmnica .
25. Convergente .
Use o Teste da Razo .
26. Convergente .
Use o Teste da Integral .
27. Divergente .
Observe que || 1 1
|| 1 || 1
||
1
.
28. Divergente .
Use o Teste da Razo .
29. Convergente , com soma 7/8 .
A sr ie dada quase de enca ixe .
30. Convergente .
Faa uma comparao no l imi te com a sr ie
12
1
n.
31. Divergente .
Faa uma comparao no l imi te com a sr ie
1 1
1
n.
32. Convergente .
Faa uma comparao no l imi te com a sr ie
1 3
1n
.
33. Convergente ( Convergncia Condic ional) .
Repi ta o p roced imento apresen tado para o Exerc cio 22 .
34. Divergente .
O l imite do termo gera l da sr ie no nulo .
35. Divergente .
Use o Teste da Razo e lembre-se do l imite fundamenta l que tem
como resultado o nmero e .
36. Convergente (Convergncia Absoluta) .
Note que
| (1)2 + 3
22 | =
| 2 + 3 |
4
| 2 | + 3||
4
1 + 3.1
4 =
1
41 .
37. Convergente , com soma 1/2 .
Note que 2
162 8 3 =
2
(4 3)(4 + 1) .
38. O percurso percorr ido pelo a t leta A fo i de
1
2 +
1
4 +
1
8 + +
1
210=
1
2(
1
2)
1
= 1
2
1 (1/2)10
1 1/2 =
1023
1024 ,
10
1
-
enquanto que o percorr ido pelo a t leta B vale
1
2 +
2!
2.3! +
3!
3.4! + +
10!
10.11! =
1
1.2 +
1
2.3 +
1
3.4+ +
1
10.11
= 1
( + 1)= (
1
1
+ 1 ) = 1
1
11
10
1
= 10
11 ,
10
1
o que demonst ra a vi t r ia do pr imeiro, j que 1023
1024 >
10
11 .
39. a) 0,272727 = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + = 27
100 +
27
10.000 +
27
1.000.000 +
= 27
100 ( 1 +
1
100 +
1
1002+ ) =
27
100 (
1
100)
1
= 27/100
1 1/100 = 3/11 .
1
b) 2,0454545 = 2 + 0,045 + 0,00045 + 0,0000045 +
= 2 + 45
1000 +
45
100.000 +
45
10.000.000 + = 2 +
45
103 +
45
105 +
45
107 +
45
109 +
= 2 + 45
103 +
45
103(
1
102) +
45
103(
1
102)
2
+ 45
103(
1
102)
3
+ = 2 + 45
103 (
1
102)
1
1
= 2 + 45/103
1 1/102 =
2025
990 .
40 . A distncia procurada de 84 m, calculada a par t ir d a
soma
12 + 2 3
4 12 + 2 (
3
4)
2
12 + 2 (3
4)
3
12 + = 12 + 24 (3
4)
1
= 12 + 24 3
4 (
3
4)
1
= 12 + 18 (3
4)
= 12 + 18
1 3/4 = 84 .
1
41. Lembre-se de que toda sequncia mo ntona e l imi tada
convergente .
42. Determine a e b sat i s fazendo
1
( + 1)( + 2)( + 3) =
( + 1)( + 2)+
( + 2)( + 3) ,
para concluir que a sr ie dada de encaixe e tem soma igual a
1/12 .
43. Use propriedades do logar i tmo para ob ter o da sr ie e ,
da , ver i f icar que o somatrio vale log2.
44. O somatr io va le 81/11, pois
1226
4
4
3
2
2
0
1
02
0
22 3
2)1(9
3
2)1(
3
2
3
2)1(
3
2
3
2
3
22
n
nn
n
n nsen
-
1111
112 9
)2(99
9/9
)2(9
9
)2(9
)3(
)2(9
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
1
1 9
2)2(9
9
2
9
299
9
299
nnn
11
81
11
189
9/21
29
.
45. Fazendo = 1 + e usando a teor ia re ferente s sr ies geomtr
icas, conclui -se que
=3 1
2 .
