SEQUNCIA DE NMEROS REAISUma sequncia de nmeros reais uma funo , que associa a cada nmero natural um nmero real , chamado de ensimo termo da sequncia. Denotamos por .Dada uma sequncia de nmeros reais, uma subsequncia de a restrio da funo que define a um subconjunto infinito de . Denotamos por .Uma sequncia dita limitada superiormente quando existe tal que . Analogamente uma sequncia dita limitada inferiormente quando existe tal que . Agora a sequncia dita limitada quando ela limitada superiormente e inferiormente, ou seja, existe tal que para todo . Quando uma sequncia no limitada dizemos que ela ilimitada.Uma sequncia dita crescente quando para todo . Agora se vale para todo a sequncia dita no-decrescente. Analogamente quando para todo a sequncia decrescente e se vale para todo a sequncia dita no-crescente. As sequncias crescentes, no-decrescentes, decrescentes e no-crescentes so chamadas de sequncias montonas. Uma sequncia no-decrescente sempre limitada inferiormente e uma sequncia no-crescente sempre limitada superiormente.Exemplos: A sequncia para todo , ou seja, obtm-se a sequncia limitada inferiormente, ilimitada superiormente, montona crescente. J a sequncia para todo , ou seja, obtm-se a sequncia montona decrescente e limitada.Definio de limite de uma sequncia Um nmero real limite de uma sequncia de nmeros reais , quando para cada nmero real , dado arbitrariamente, for possvel obter um inteiro tal que , sempre que . Ou seja,

Exemplo: Seja a sequncia tal que , temos que pois , tomando ; , tem-se que , resulta que:

Uma sequncia que possui limite chamada de convergente, caso contrrio, ela se chama divergente.Teoremas sobre limites de sequncias de nmeros reaisTeorema 1) (unicidade do limite) Se e ento .Demonstrao: Seja . Dado podemos tomar tal que os intervalos abertos e sejam disjuntos. Existe tal que implica em . Ento, para todo , temos . Logo no . Teorema 2) Se ento toda subsequncia de converge para o limite .Demonstrao: Seja uma sub\ sequncia. Dado qualquer intervalo aberto de centro , existe tal que todos os termos de , com , pertencem a . Em particular, todos os termos , com tambm pertencem a . Logo .Teorema 3) Toda sequncia convergente limitada.Demonstrao:Se . Tomando , vemos que existe tal que . Seja o menor e o o maior elemento do conjunto finito . Todos os termos da sequncia esto contidos no intervalo , logo ela limitada.Teorema 4) Toda sequncia montona limitada convergente.Demonstrao: Seja montona, digamos no decrescente, limitada. Seja e , podemos afirmar que . Com efeito, dado , o nmero no cota superior de . Logo existe tal que . Assim, e da que .Semelhantemente, se no crescente, limitada ento o nfimo do conjunto dos valores de .Corolrio (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequncia limitada de nmeros reais possui subsequncia convergente.Demonstrao: Com efeito, basta mostrar que toda sequncia possui uma subsequncia montona.Dada uma sequncia um termo chamado de termo destacado quando para todo . Seja o conjunto dos ndices tais que um termo destacado. Se for um conjunto infinito ento a subsequncia ser montona no crescente. Se entretanto, for um conjunto finito, seja maior do que todos os . Ento no destacado, logo existe com . Por sua vez, no destacado, logo existe com . Prosseguindo obtemos uma subsequncia crescente Teorema 5) Seja . Se ento, para todo suficientemente grande, tem-se . Analogamente, se ento para todo suficientemente grande.Demonstrao: Sendo , tomando , temos que e . Pela definio de limite, existe tal que .Agora se , tomando , temos que e . Pela definio de limite, existe tal que .Corolrio 1) Seja . Se ento, para todo suficientemente grande, tem-se . Analogamente, se ento para todo suficientemente grande.Corolrio 2) Sejam e . Se para todo suficientemente grande ento . Em particular se para todo suficientemente grande ento .Teorema 6) (Teorema do sanduche) Se e para todo suficientemente grande ento .Demonstrao: Dado arbitrariamente , existem tais que e . Seja . Ento , logo .Teorema 7) Se e uma sequncia limitada (convergente ou no) ento .Demonstrao: Como uma sequncia limitada, ento existe um , tal que para todo . Dado arbitrariamente , existe tal que . Ento , logo .Teorema 8) Se e ento:1) 2) 3) se Demonstrao:1) Dado arbitrariamente , exitem tais que e . Seja . Ento , logo . Portanto, . De maneira anloga demonstra-se que .2) Temos que . Como toda sequncia convergente limitada ento limitada. Alm disso tem-se . Portanto pelo teorema 7) temos que , donde .3) Temos que . Como . Portanto, basta mostrar que uma sequncia limitada para concluir que e portanto que . Pondo temos . Como , segue do teorema 5) que, para todo suficientemente grande, tem-se e portanto completando a demonstrao.Teorema 9) 1) Se e limitada inferiormente ento 2) Se e existe tal que para todo ento 3) Se , para todo e ento 4) Se limitada e ento Demonstrao.1) Como limitada inferiormente ento existe tal que para todo . Dado arbitrariamente , existe tal que . Segue-se que , logo .2) Dado arbitrariamente , existe tal que . Logo , donde 3) Dado , existe tal que . Ento e da .4) Existe tal que para todo . Dado arbitrariamente , existe tal que . Ento , logo .