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Escola Secundária com 3º ceb de Albergaria-a-Velha

Nome do(a) aluno(a):___________________________

Ficha de Trabalho – Sequências

Nº |_|_| Ano |_|_| Turma |_|

Recordar e aprender… Teoria:

Sequência numérica Sequência numérica é um conjunto de números escritos de uma determinada ordem. Cada número de uma sequência chama-se termo.

Sequência finita: 3, 5, 7, 9, 11 Uma sequência diz-se finita se é formada por um número finito de termos

termotermo .º5 .º1

11 , 9 , 7 , 5 ,3

3 é o primeiro termo ou termo de ordem 1, pois ocupa a 1.ª posição. 11 é o quinto termo ou termo de ordem 5, pois ocupa a 5.ªposição.

Sequência infinita 3, 5, 7, 9, 11, 13, … »» os pontos (…) indicam um número infinito de termos Uma sequência diz-se infinita se tem um número infinito de termos.

Lei de formação Definir uma lei de formação de uma sequência infinita consiste em definir um processo que permita construir cada um dos termos.

Lei de formação da sequência: O primeiro termo é 3 e cada termo depois do primeiro obtém-se adicionando 2 ao termo anterior.

Termo geral (ou termo de ordem n) Termo geral (ou termo de ordem n) de uma sequência infinita é uma expressão que permite calcular qualquer termo da sequência, conhecida a ordem n que ocupa nessa sequência. Nota: A ordem de um termo é a posição que esse termo ocupa na sequência e é sempre um número natural.

Como descobrir uma lei de formação de uma sequência a partir de uns quantos termos dados? Deves começar por procurar padrões, isto é, procurar relações e repetições, descobrir regularidades. Há algumas estratégias que podes usar para descobrir uma relação entre os termos de uma sequência numérica:

o Determinar a diferença entre dois termos consecutivos. Por exemplo, na sequência infinita 16, 18, 20, 22, 24, … a diferença entre qualquer termo e o anterior é sempre igual a 2. Então, basta adicionar 2 a qualquer termo para obter o termo seguinte:

Uma lei de formação desta sequência é: O primeiro termo é 16 e cada termo depois do primeiro obtém-se adicionando 2 ao termo anterior.

o Determinar o quociente entre cada termo e o anterior. Por exemplo, 5, 10, 20, 40, 80, … 10:5=2 ; 20:10=2 ; 40:20=2 ; 80:40=2 ; … Nesta sequência, o quociente entre cada termo e o anterior é constante e igual a 2. Então basta multiplicar cada termo por 2, para obter o termo seguinte:

Uma lei de formação desta sequência é: O primeiro termo é 5 e cada termo depois do primeiro é igual ao anterior multiplicado por 2.

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Por vezes, nem a diferença, nem o quociente entre um termo e o anterior são constantes. Nestes casos, é preciso estar muito atento e tentar descobrir outro tipo de regularidade, que nos permita enunciar uma lei de formação.

Por exemplo, a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Conhecida por sequência de Fibonacci, tem a seguinte lei de formação: o 1.º termo é 1, o 2.º termo é 1 e cada termo, depois do 2.º, é obtido somando-se os dois anteriores. Repara: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 e assim por diante.

Descoberto o padrão, podes enunciar uma lei de formação indicando o termo inicial, ou termos iniciais, definindo uma regra para calcular os termos seguintes. Diz-se neste cado que a sequência é definida por recorrência.

Nota: - O conceito de padrão é utilizado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de números, formas, cores ou sons, onde se verificam regularidades.

Dado o termo geral, como escrever a sequência? O termo geral de uma sequência infinita relaciona cada termo com a sua ordem. Exemplo: Considera a sequência de termo geral 3n e determina o termo de ordem 120. Para determinar o termo de ordem 120 basta substituir n por 120 na expressão 3xn e fazer os cálculos: 3x120=360, logo, o termo de ordem 120 é 360.

Dada uma sequência infinita, como determinar o seu termo geral?

o Qual será o termo geral da sequência 5, 10, 15, 20, 25, … ? Para determinar o termo geral devemos analisar a sequência e tentar descobrir alguma regularidade. É fácil! É a sequência dos múltiplos naturais de 5. Cada termo é igual ao quíntuplo da sua ordem.

Logo, o termo geral da sequência é 5xn. o Com quadrados iguais azuis e amarelos, o Vasco construiu a seguinte sequência de figuras que

seguem a mesma lei de formação. Imagina que a sequência se prolonga.

A sequência 10, 14, 18, 22, 26, … representa o número de quadrados azuis de cada figura. Quantos quadrados azuis existem na 30.ª figura e na 100.ª? Ou seja, quais são os termos de ordem 30 e de ordem 100? Para determinar o termo geral da sequência devemos analisar a sequência e tentar descobrir alguma regularidade:

Neste caso, cada termo obtém-se somando 4 unidades ao termo anterior. Uma sequência que obedece a este padrão de formação, mas que começa em 4 e não em 10:

Compara os termos das duas sequências:

Repara que, se adicionares 6 a cada um dos termos da sequência (A) obténs os termos da sequência (B).

Logo, o termo geral da sequência 10, 14, 18, 22, 26, … é 4n+6.

Para determinar o 30.º e o 100.º termos, basta substituir n por 30 e por 100, respetivamente, na

expressão do termo geral 4n+6:

Para n=30 vem 4x30+6=126

Para n=100 vem 4x100+6=406

Então, na 30ª figura existem 126 quadrados azuis e na 100.ª figura existem 406 quadrados azuis.

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Prática:

1. Os meses do ano seguem uma sequência indicada nos calendários. 1.1. Qual é o terceiro mês do ano? E o oitavo? 1.2. Qual é a ordem do mês de Dezembro?

2. Numa estação, de 20 em 20 minutos, há um comboio a partir. Partiu um comboio às 13h00. Escreve a sequência das horas de partida dos seis comboios seguintes.

3. Em cada uma das sequências descobre uma regra para a formação dos quatro números apresentados e, de acordo com a regra, determina os três números seguintes: 3.1. 2, 3, 5, 8, …

3.2. 4, 8, 12, 16, …

3.3. 35, 31, 27, 23, …

4. A maneira como a avó da Carolina põe toalhas a secar no estendal, obedece a um padrão.

4.1. O número de molas necessárias para pendurar as toalhas da avó da Carolina origina uma sequência

numérica. Escreve os sete primeiros números desta sequência.

4.2. Continuando a pendurar toalhas pelo mesmo processo, quantas molas são precisas para pendurar 25

toalhas?

4.3. Que relação existe entre o número de molas e o número de toalhas penduradas?

5. Escreve uma lei de formação para as seguintes sequências e indica os números que as letras representam:

5.1. 13, 17, 21, a, 29, b, …

5.2. 300, 200, 100, c, d, …

5.3. 1, 4, 9, 16, 25, e, f, …

6. Observa as figuras:

Com 100 mesas, quantas cadeiras dispostas do mesmo modo terias?

7. Escreve os quatro primeiros termos da sequência cujo termo geral é:

7.1. 105 n

7.2. 2

n

7.3. n1

Adaptado do manual escolar Matemática em ação 7, de Iolanda Centeno Passos e Olga Flora Correia. Lisboa Editora 2010.