Sérgio Haffner - Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos Em Regime Permanente - 2007

Modelagem e Anlise de

Sistemas Eltricos em

Regime Permanente

Srgio Haffner

http://slhaffner.phpnet.us/ [email protected]

[email protected]

Desenvolvido para ser utilizado como notas de aula para o primeiro curso na rea de Sistemas de Energia em nvel de graduao ou ps-graduao.

Setembro 2007

Modelagem e Anlise de Sistemas Eltricos em Regime Permanente

Introduo Srgio Haffner Verso: 10/9/2007 Pgina 2 de 4

Sumrio

Introduo [1 pgina] 4

I Fundamentos para soluo de circuitos eltricos [22 pginas] 1 I.1 Representao fasorial 1 I.2 Impedncia [] e admitncia [-1 ou siemens] 4 I.3 Associao de impedncias 5 I.4 Potncia complexa 6 I.5 Sentido do fluxo de potncia 9 I.6 Fonte trifsica ideal 10 I.7 Carga trifsica ideal 11 I.8 Potncia complexa em circuitos trifsicos equilibrados 11 I.9 Anlise por fase e diagrama unifilar 14 I.10 O sistema por unidade (pu) 17

II O balano de potncia [7 pginas] 1 II.1 Capacidade de transmisso 1 II.2 Dependncia da carga com a tenso e freqncia 3 II.3 O balano de potncia ativa e seus efeitos sobre a freqncia 5 II.4 O balano de potncia reativa e seus efeitos sobre a tenso 5

III A linha de transmisso [16 pginas] 1 III.1 Tipos de condutores 1 III.2 Resistncia srie 2 III.3 Indutncia srie 3 III.4 Capacitncia em derivao 6 III.5 O modelo da linha de transmisso 11

IV O transformador [27 pginas] 1 IV.1 Transformador ideal de dois enrolamentos 1 IV.1.1 Transformador ideal em regime permanente senoidal 3 IV.1.2 Modelo do transformador ideal em pu 4 IV.2 Circuito equivalente do transformador real de dois

enrolamentos 5

IV.3 Transformador com relao no-nominal 14 IV.4 Transformador de trs enrolamentos 16 IV.5 Autotransformador 17 IV.6 O modelo do transformador em fase 19 IV.7 O modelo do transformador defasador 25 IV.8 Expresses gerais dos fluxos de corrente e de potncia 26



V Geradores, reatores, capacitores e cargas [5 pginas] 1 V.1 Geradores 1 V.2 Reatores 1 V.3 Capacitores 2 V.4 Cargas 2

VI O estudo do fluxo de carga [12 pginas] 1 VI.1 Definio do problema do fluxo de carga 1 VI.2 As equaes das correntes dos ns 6 VI.3 Formulao matricial 8

VII Fluxo de carga no linear: algoritmos bsicos [47 pginas] 1 VII.1 Formulao do problema bsico 1 VII.2 Resoluo de sistemas algbricos no lineares pelo mtodo

de Newton-Raphson 10

VII.3 Fluxo de carga pelo mtodo de Newton-Raphson 15 VII.4 Mtodos desacoplados 24 VII.4.1 Mtodo de Newton desacoplado 24 VII.4.2 Desacoplado rpido 31 VII.4.3 Apresentao formal dos mtodos desacoplados 35 VII.5 Controles e limites 38

VIII Fluxo de carga linearizado [7 pginas] 1 VII.1 Linearizao 1 VIII.2 Formulao matricial 3 VIII.3 Representao das perdas no modelo linearizado 5

Bibliografia [1 pgina] 1



Introduo

Estas notas de aula tm como objetivo apresentar, de forma resumida, o contedo integral da disciplina introdutria na rea de Sistemas de Energia para um curso em nvel de graduao em Engenharia Eltrica (parcial para uma disciplina em nvel de ps-graduao em Engenharia Eltrica) que consiste na anlise de sistemas de energia eltrica em regime permanente senoidal. Estas notas no detalham em profundidade todos os aspectos relacionados com o tema, mas podem ser utilizadas para balizar estudos nesta rea, cuja bibliografia em portugus no muito abundante, em funo da retirada dos ttulos j esgotados dos catlogos das editoras.

A anlise de sistemas eltricos em regime permanente de extrema importncia, pois desta forma que as redes operam quase na totalidade do tempo. Nestas condies, busca-se que todos os equipamentos eltricos (geradores, transformadores, linhas de transmisso, alimentadores, motores, etc.) estejam operando dentro de seus limites (tenso, freqncia, potncia, etc.) e, se possvel, de forma tima (visando maximizar a segurana e minimizar o custo de gerao, as perdas de transmisso, etc.).

Para efetuar esta anlise, em cada condio de carga e gerao possvel para o sistema ou sub-sistema eltrico, deve-se conhecer:

O carregamento nas linhas de transmisso e nos transformadores, visando verificar se h sobrecarga ou elementos ociosos;

A potncia gerada em cada unidade de gerao, visando efetuar uma anlise de custos;

A potncia consumida em cada unidade, visando efetuar projees do crescimento do consumo; A tenso nos diversos pontos do sistema, para verificar se existem tenses muito acima ou abaixo

dos valores nominais;

As perdas de transmisso, visando compara alternativas de alimentao das cargas;

As conseqncias, em regime permanente, da perda de algum equipamento, visando verificar se o estado de operao seguro.

Desta forma, possvel verificar com objetividade a forma de operao que o sistema eltrico se encontra. A avaliao destes indicadores a base dos mtodos empregados na definio das alteraes necessrias para modificar o ponto de operao do sistema com o objetivo melhorar sua forma de funcionamento em regime permanente.

O contedo est dividido em oito captulos, da seguinte forma.

No Captulo I feita uma reviso dos conceitos necessrios da anlise de circuitos em regime permanente senoidal juntamente com a apresentao da notao empregada nos demais captulos. Adicionalmente, descrevem-se o sistema por unidade e a anlise por fase, muito freqente em sistemas de energia, quando o sistema pode ser considerado equilibrado.

No Captulo II feita uma breve anlise do balano de potncia e suas implicaes com a magnitude da tenso nas barras e com a abertura angular das linhas e dos transformadores.

Os Captulos III, IV e V so dedicados para apresentar a forma pela qual os elementos do sistema de energia eltrica so modelados para anlise por fase (aplicada para circuitos equilibrados).

Nos Captulos VI e VII o problema denominado Fluxo de Carga (ou Fluxo de Potncia) no-linear que consiste, basicamente, na determinao das tenses nodais (em mdulo e fase) formulado e resolvido.

No Captulo VIII descrito o modelo linearizado para o problema do Fluxo de Carga, que consiste em uma simplificao do modelo no-linear que muito utilizada em estudos de planejamento.


Bibliografia Srgio Haffner Verso: 10/9/2007 Pgina 1 de 1

Bibliografia

1. Alcir J. Monticelli (1983). Fluxo de carga em redes de energia eltrica. Edgar Blcher. 2. Alcir J. Monticelli, Ariovaldo V. Garcia (2003). Introduo a sistemas de energia eltrica. Editora da

Unicamp. 3. Alcir Monticelli, Ariovaldo Garcia, Osvaldo Saavedra (1990). Fast decoupled load flow: hypothesis,

derivations and testing, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 4, November, pp. 1425-1431. 4. Arthur R. Bergen, Vijay Vittal (2000). Power systems analysis. Prentice Hall. 5. Charles A. Gross (1986). Power system analysis. J. Wiley.

621.3191 G878p 6. Dorel Soares Ramos (1982). Sistemas eltricos de potncia: regime permanente. Guanabara Dois.

621.3191 R175s 7. IEEE recommended practice for industrial and commercial power systems analysis (1997). IEEE.

621.31042 I42i 8. John J. Grainger, William D. Stevenson Jr. (1994). Power system analysis. McGraw-Hill.

621.3191 G743 9. J. Arrillaga, N. R. Watson (2001) Computer modelling of electrical power systems. John Willey & Sons

Ltd. 10. Hadi Saadat (1999). Power system analysis. McGraw-Hill, New York, 697p. 11. O. I. Elgerd (1981). Introduo teoria de sistemas de energia eltrica. McGraw Hill do Brasil.

621.3191 E41ib (Edio 1981) 621.3191 E41ia (Edio 1978) 621.3191 E41i (Edio 1970)

12. Syed A. Nasar (1991). Sistemas elctricos de potencia. McGraw-Hill. 13. Turan Gonen (1988). Modern power system analysis. J. Wiley.

621.3191 G638m 14. W. D. Stevenson Jr. (1986). Elementos de anlise de sistemas de potncia. McGraw-Hill.

621.3191 S847eb (edio de 1981) 621.3191 S847ea (edio de 1978)


Fundamentos para soluo de circuitos eltricos Srgio Haffner Verso: 10/9/2007 Pgina 1 de 22

I Fundamentos para soluo de circuitos eltricos

I.1 Representao fasorial

Nos circuitos eltricos assintoticamente estveis1, a anlise do regime permanente senoidal pode ser realizada atravs da simples operao com nmeros complexos por intermdio da transformada fasorial. Na anlise fasorial, todas as correntes e tenses senoidais so representadas por nmeros complexos que quantificam a amplitude e o ngulo de fase das senides, sendo a freqncia destas considerada implicitamente.

Qualquer funo do tipo senoidal pode ser representada pela funo

( ) ( ) += tGtg cos

atravs da escolha dos valores adequados para:

G valor mximo (amplitude);

Tf pipi 22 ==

velocidade angular [rad/s]; f freqncia [Hz]; T perodo [s];

ngulo de fase [rad].

A Figura I.1 apresenta o grfico de uma funo senoidal genrica, indicando os valores de G e .

t [rad]

g(t)

G

-G

Figura I.1 Funo tipo senoidal.

Observar que quando o ngulo de fase igual a 2pi , a funo cosseno transforma-se em um seno, conforme mostra a Figura I.2, ou seja, so vlidas as seguintes relaes:

+=

2sencos

pi tt

=

2cossen

pi tt

1 Circuitos assintoticamente estveis so aqueles que no apresentam nenhuma das razes de sua equao

caracterstica no eixo imaginrio ou no semiplano direito do plano complexo. Neste caso, a resposta natural tende a zero:

( ) 0lim = tynt

e a resposta completa tende sua resposta forada: ( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= limlim



pi/2 t [rad]

cos sen

Figura I.2 Relao entre as funes seno e cosseno.

Define-se como defasagem a diferena entre os ngulos de fases de duas funes do tipo senoidal de mesma

velocidade angular . Sendo ( ) ( )111 cos += tGtg e ( )

+=876 2

122 cos

tGtg , a defasagem entre ( )tg1 e ( )tg 2 dada por ( ) == 1121 , conforme ilustra a Figura I.3.

g1(t) g2(t)

t [rad]

Figura I.3 Defasagem entre duas funes senoidais.

Assim, pode-se dizer que: ( )tg1 est adiantada em relao ( )tg 2 do ngulo e ( )tg 2 est atrasada em relao ( )tg1 do ngulo .

Considere a funo senoidal geral:

( ) ( ) += tYty cosmax (I.1)

Note que a funo tem trs parmetros: maxY amplitude velocidade angular

ngulo de fase

Observar que qualquer funo senoidal pode ser representada atravs da escolha adequada de maxY , e .

Utilizando a identidade de Euler: sencos je j +=



( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ]

=

===+++=

+=+=+

tj

Y

j

tjjtj

eeY

eeYeYtjYtYtYtYty

48476

2Re2

ReResencosRecosRecos

max

maxmaxmaxmax

maxmax

( ) ( )tjeYty Re2= (I.2) onde jeYY

2max

= definido como a representao fasorial de ( )ty ou a transformada fasorial da funo

senoidal ( )ty .

Observar que a transformada fasorial transfere a funo senoidal do domnio do tempo para o domnio dos nmeros complexos, que tambm chamada de domnio da freqncia, j que a resposta envolve implicitamente uma funo senoidal de freqncia .

Notar que Y contm 2/3 das informaes de ( )ty a saber, maxY e . Considerando 2maxYY = , o valor RMS2

de ( )ty , tem-se:

YYeY j == (I.3)

A representao grfica em um sistema coordenado de um fasor genrico encontra-se na Figura I.4.

cosY

senYYY =

Im

Re

Figura I.4 Representao grfica do fasor Y

Observar que o fasor diferente de um vetor porque a posio angular do fasor representa posio no tempo; no no espao.

Resumo:

( ) ( ) += tYty cosmax ou ( ) ( )tjeYty Re2= YYeY j == Forma polar

2maxYY =

sencos jYYY += Forma retangular 2

maxYY =

2 Root Mean Square ou valor quadrtico mdio (eficaz).



I.2 Impedncia [] e admitncia [-1 ou siemens] A impedncia Z de um componente ou circuito a relao entre os fasores tenso e corrente (vide conveno de sinais da Figura 1.5):

( )

=

=

+==

reatnciaaresistnci

XRjXR

IVjZ (I.4)

A admitncia Y de um componente ou circuito o inverso de sua impedncia:

( ) ( )

=

=

+===

iasusceptncacondutnci1

BGjBG

VI

jZjY

(I.5)

Circuito linear

invariante em regime

permanente senoidal

( ) [ ]tjeVtv Re2=+

( ) [ ]tjeIti Re2=

( )Y

jZ 1=

Figura I.5 Definio de impedncia e admitncia.

Um resumo das relaes entre tenso e corrente para os elementos simples encontra-se na Tabela I.1.

Tabela I.1 Relao tenso/corrente dos elementos simples.

Elemento Equaes Relao de fase

Forma fasorial: ( ) [ ]tjeIti Re2= ( ) [ ]tjeVtv Re2=

Diagrama fasorial

Relao no tempo

( )tv+

( )ti

R

( ) ( ) += tVtv cosmax

( ) ( ) += tIti cosmax ( )ti e ( )tv em fase IRV =

I

V

i(t)

v(t)

( )tv+

( )ti

L


( )

+=

2cosmax

pitIti ( )ti atrasada

de ( )tv de 90 ILjV =

LX L = I

V

i(t)

v(t)

( )tv+

( )ti

C


( )

++=

2cosmax

pitIti ( )ti adiantada de ( )tv de 90

ICjV

1=

CX C

1=

I

V

i(t) v(t)



I.3 Associao de impedncias

Para a associao srie de impedncias (vide Figura I.6), a impedncia equivalente dada pela soma das impedncias de cada um dos componentes, ou seja: neq ZZZZ +++= K21 (I.6)

V

+

1V+ I 2V+ nV +

1Z 2Z nZ

V

+

I

eqZ

Figura I.6 Diagrama para associao srie de impedncias.

A expresso (I.6) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Tenses, da forma como segue: n

nneq ZZZ

IV

IV

IV

IVVV

IVZ +++=+++=+++== KKK 212121

LKT

Sabendo que Y

Z 1= , pode-se determinar a expresso da admitncia equivalente da associao srie, a partir

da expresso (I.6):

n

eqneq

YYY

YYYYY 111

11111

21

21 +++=+++=

K

K

Para a associao paralela de impedncias (vide Figura I.7), a impedncia equivalente dada pelo inverso da soma dos inversos das impedncias de cada um dos componentes, ou seja:

n

eqneq

ZZZ

ZZZZZ 111

11111

21

21 +++=+++=

K

K (I.7)

V

+

I

1Z 2Z nZ V

+

I

eqZ

1I 2I nI

Figura I.7 Diagrama para associao em paralelo de impedncias.

A expresso (I.7) pode ser demonstrada utilizando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes, da forma como segue:

nn

n

eq

ZZZZV

ZV

ZV

VIII

VIVZ

1111

2121

21

LKC

+++=

+++

=

+++==

KKK

Novamente, sabendo que Y

Z 1= , pode-se determinar a expresso da admitncia equivalente da associao

srie, a partir da expresso (I.7): neq YYYY +++= K21



I.4 Potncia complexa

Considere o sistema da Figura I.8 que se encontra em regime permanente senoidal.

+

)cos()( max += tVtv)cos()( max += tIti

-

)(tv

)(ti

V

I

Re

Im

2

maxVV =

=2

maxII

SISTEMA

Figura I.8 Sistema em regime permanente senoidal.

A potncia instantnea fornecida para o sistema dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++== ttIVtitvtp coscosmaxmax (I.8)

mas ( ) bababa sensencoscoscos =+ , da ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sensencoscossensencoscoscos +++=++=+ ttttt (I.9)

Substituindo (I.9) em (I.8),

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

++++=

=++++=

ttIVtIVtttIVtp

sencossencoscos

sensencoscoscos

maxmax2

maxmax

maxmax (I.10)

Mas 2

2cos1cos2

aa

+=

e aaa cossen22sen = , logo:

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )

222sen

sencos

22cos121

cos2

+

=++

++=+

ttt

tt (I.11)

Aplicando (I.11) em (I.10), chega-se a:

( ) ( )[ ] ( ) 22sensen2

22cos1cos2

maxmaxmaxmax ++++= tIV

tIV

tp

Definindo 2

maxVV = e 2

maxII = como os valores eficazes da tenso e da corrente senoidais,

VIIVIV ==222

maxmaxmaxmax

chega-se seguinte expresso:

( ) ( )[ ] ( ) 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp (I.12)

A forma de onda da potncia instantnea dada por (I.12) apresenta uma parcela constante, igual a cosVI , e uma parcela varivel e alternada variante no tempo, igual a ( ) ( ) 22sensen22coscos +++ tVItVI , cuja freqncia corresponde exatamente ao dobro da freqncia da tenso e da corrente.

Quando a tenso est em fase com a corrente, os grficos das funes tenso, corrente e potncia instantneas so de acordo com a Figura a seguir. Observar que a funo potncia instantnea oscilante e apresenta sempre valores positivos.



0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Corrente em fase com a tenso

wt

v(t)

, i(t)

, p(t

)

v(t)i(t)p(t)

Figura I.9 Grfico da potncia no tempo corrente em fase com a tenso.

Quando a corrente est atrasada de 90 em relao tenso, os grficos das funes tenso, corrente e potncia instantneas so de acordo com a Figura a seguir. Observar que a funo potncia oscilante e apresenta valor mdio nulo.

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5Corrente atrasada de 90 graus

wt

v(t)

, i(t)

, p(t

)

v(t)i(t)p(t)

Figura I.10 Grfico da potncia no tempo corrente atrasada de 90o em relao tenso.

Quando a corrente est adiantada de 90 em relao tenso, os grficos das funes tenso, corrente e potncia instantneas so de acordo com a Figura a seguir. Novamente, observar que a funo potncia oscilante e apresenta valor mdio nulo.

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5Corrente adiantada de 90 graus

wt

v(t)

, i(t)

, p(t

)

v(t)i(t)p(t)

Figura I.11 Grfico da potncia no tempo corrente adiantada de 90o em relao tenso.



Uma situao intermediria aquela na qual a corrente est atrasada de um ngulo qualquer (por exemplo, 30, conforme Figura a seguir). Neste caso a potncia apresenta valores positivos e negativos, sendo a predominncia dos positivos.

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Corrente atrasada de 30 graus

wt

v(t)

, i(t)

, p(t

)

v(t)i(t)p(t)

Figura I.12 Grfico da potncia no tempo corrente atrasada de 30o em relao tenso.

A partir da expresso (I.12) fcil determinar o valor da potncia ativa (eficaz ou til, que produz trabalho) que igual ao valor mdio da potncia instantnea fornecida ao sistema:

( )[ ] ( )[ ] ++++=TT

dttVItVIT

dttpT

P00

22sensen22cos1cos1)(1

cos VIP = [W] (I.13)

A potncia reativa corresponde ao valor mximo da parcela em ( ) 22sen +t da potncia instantnea: sensenI VIVQ = [var] (I.14)

para a qual adota-se a seguinte conveno3: INDUTOR: consome potncia reativa CAPACITOR: gera potncia reativa

A potncia aparente obtida pela combinao das potncias ativa e reativa P e Q:

22 QPVIS +== [VA] (I.15)

As expresses (I.13), (I.14) e (I.15) sugerem uma relao de tringulo retngulo (similar ao tringulo das impedncias) na qual a potncia aparente S a hipotenusa, conforme ilustra a Figura I.13.

S

P

jQ

IV =

S

P

jQ

IV =

Caracterstica INDUTIVA Caracterstica CAPACITIVA

Figura I.13 Tringulo das potncias.

3 Observar que para qualquer elemento ou combinao de elementos, a parcela representada pela potncia reativa

apresenta valor mdio nulo, ou seja, no existe gerao nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve energia que ser devolvida na metade seguinte do ciclo. A conveno adequada porque na metade do ciclo em que o indutor est absorvendo energia o capacitor est devolvendo e vice-versa.



O fator de potncia obtido pela relao entre as potncias ativa e aparente:

coscos ===VI

VISPFP

Utilizando-se os fasores tenso e corrente,

=

=

II

VV

pode-se definir a potncia complexa atravs do produto do fasor tenso pelo conjugado do fasor corrente:

jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+== sencos* (I.16)

Notar que desta forma, o ngulo da potncia s depende do ngulo entre a tenso e a corrente (), conforme ocorre nas expresses (I.13), (I.14) e (I.15).

I.5 Sentido do fluxo de potncia

Considere os dois sistemas eltricos interligados mostrados na Figura I.14.

+

-

V

I

VV =

II =SISTEMA

A SISTEMA

B

Figura I.14 Situao geral do fluxo de potncia em circuitos CA.

De acordo com a notao da Figura I.14, a potncia complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A dada por:

( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=+==== sencos*

O sentido do fluxo de potncia ativa P e reativa Q entre os dois sistemas para = variando de 0 a 360o est mostrado na Figura I.15.

oo 900

:

:



Na Figura I.15, observar que quando o ngulo de abertura igual a 100o ( o100= ), o valor de cos negativo e, portanto, o fluxo de potncia ativa de A para B tambm pois cosVIP = . Isto significa que o fluxo de potncia ativa neste caso de B para A. Por outro lado, o valor de sen positivo e, portanto, o fluxo de potncia reativa de A para B tambm pois senVIQ = . Isto significa que o fluxo de potncia reativa neste caso de A para B. Observar que dependendo do ngulo de abertura existente entre os fasores tenso e corrente, possvel qualquer combinao de fluxo de potncias ativa e reativa entre os dois sistemas.

I.6 Fonte trifsica ideal

Uma fonte trifsica ideal constituda por trs fontes de tenso em conexo estrela ou tringulo, conforme ilustra a Figura I.16.

BNV

ANV+

+

N

CNV+

ABV

BCV

CAV

+

+

+

(opcional)

A

B

C

ABV

BCV

CAV

+

+ +

ABV

BCV

CAV

+

+

+

N

(a) Conexo estrela (b) Conexo tringulo. Figura I.16 Fonte trifsica, ligao estrela.

As diferenas de potencial entre as fases e o neutro (referncia) so denominadas tenses de fase; as diferenas de potencial entre as fases 2 a dois so denominadas tenses de linha. Na seqncia ABC, o sistema formado pelas seguintes tenses de fase ( )CNBNAN VVV ,, e de linha ( )ACCACBBCBAAB VVVVVV === ,, , ilustradas na Figura I.17:

0VV AN = oo 30303 LBNANAB VVVVV ===

o120= VV BN oo 90903 === LCNBNBC VVVVV

o120VV CN = oo 1501503 LANCNCA VVVVV ===

Tenses de Fase ():

ANV

CNV

BNV

CNBNAN VVV ;;

ABVBCV

CAV

ANV

CNV

BNV

ABV

BCV

CAV

Tenses de Linha (L): CABCAB VVV ;;CACBBA VVV ;;

BAV

CBV

ACV

Figura I.17 Tenso de fase e de linha em um sistema trifsico simtrico (seqncia ABC).



A constante que relaciona a magnitude da tenso de fase com a de linha ( )VVL 3= pode ser obtida, conforme mostrado na Figura I.18.

ANV

BNV

BNANAB VVV =

o120

o30

o30 VV

VVVV

L

ANANABL

3

330cos2

=

===o

BNV

o60

Figura I.18 Relao entre as tenses de fase e de linha.

I.7 Carga trifsica ideal

A carga trifsica ideal constituda por trs impedncias de igual valor conectadas em estrela ou tringulo, conforme mostra a Figura I.19.

N

YZ

YZ

YZ

A

B

C

N

Z

Z

Z

A

B

C

(a) Ligao estrela. (b) Ligao malha ou tringulo. Figura I.19 Carga trifsica equilibrada.

A equivalncia entre uma carga equilibrada conectada em estrela com outra em tringulo : YZZ 3= (I.17)

I.8 Potncia complexa em circuitos trifsicos equilibrados

Para um sistema trifsico qualquer (a trs ou quatro fios, ou seja, com ou sem condutor neutro), conforme o ilustrado na Figura I.20, a potncia complexa fornecida pelo Sistema A para o Sistema B dada por:

333322221111*

33*

22*

113 ++=++= IVIVIVIVIVIVS NNNNNN Substituindo iii = e separando a parte real da imaginria, chega-se a:

( ) 33322211133 coscoscosRe IVIVIVSP NNN ++==

( ) 33322211133 sensensenIm IVIVIVSQ NNN ++== 333 jQPS +=



1

2

3

1I

2I

3I

NI

NV 1+

NV 2+

NV 3+

N

Sistema A

Sistema B

333

222

111

333

222

111

II

II

II

VV

VV

VV

NN

NN

NN

=

=

=

=

=

=

333

222

111

=

=

=

Figura I.20 Sistema trifsico para a determinao da potncia complexa.

O fator de potncia mdio da potncia fornecida pelo Sistema A para o Sistema B dado por:

3

3mdio S

PFP =

As potncias aparentes fornecidas pelas fases so dadas por: 11

21

211 IVQPS N=+=

2222

222 IVQPS N=+=

3323

233 IVQPS N=+=

e os fatores de potncia desenvolvidos em cada uma das fases so dados por:

11

11 cos== S

PFP

22

22 cos== S

PFP

33

33 cos== S

PFP

Quando o sistema trifsico simtrico e alimenta uma carga equilibrada, os ngulos de defasagem entre os fasores tenso e corrente das fases so iguais ( ) === 321 e as potncias ativa, reativa e aparente totais so dadas por:

cos3cos33 LLL IVIVP ==

sen3sen33 LLL IVIVQ == LLL IVIVS 333 ==

sendo o fator de potncia expresso por:

cos

3

33 == S

PFP



Ainda, para um sistema trifsico simtrico alimentando uma carga equilibrada, tem-se4:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=++=

+=+=

+=+=

oo

oo

120cos120cos120cos120cos

coscos

maxmax

maxmax

maxmax

tItitVtvtItitVtvtItitVtv

CC

BB

AA

Utilizando a definio de potncia instantnea, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++== ttIVtitvtp AAA coscosmaxmax (I.18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp BBB (I.19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++== oo 120cos120cosmaxmax ttIVtitvtp CCC (I.20)

sendo a potncia total dada por:

( ) ( ) ( ) ( )tptptptp CBA ++=3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( )]

+++++

++++++=

oo

oo

120cos120cos

120cos120coscoscos3tt

ttttIVtp mm (I.21)

Das expresses (I.18), (I.19) e (I.20), tm-se5:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ]oooo

o

ooo

12022coscos21

24022coscos21120cos120cos

12022coscos21

24022coscos21120cos120cos

22coscos21

coscos

++=

=+++=++++

+++=

=++=++

++=++

t

ttt

t

ttt

ttt

Substituindo as expresses anteriores na expresso (I.21), chega-se a:

( ) ( ) ( ) ( )

cos33cos2

3cos321

12022cos12022cos22coscos321

1

0

3

VIPIVIV

tttIVtp

mmmm

mm

====

=

+++++++=

= 4444444444444 84444444444444 76oo

Deste modo, a potncia trifsica instantnea fornecida para um sistema equilibrado6, atravs de tenses simtricas, constante. Assim, embora a potncia instantnea fornecida por intermdio de cada uma das fases seja varivel, o somatrio de todas as contribuies constante.

4 Foi utilizada a seqncia ABC mas o resultado permanece vlido para a seqncia ACB.

5 Lembrar que: ( ) ( )[ ]bababa ++= coscos

21

coscos

6 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifsico simtrico que alimente cargas

equilibradas, ou seja, a potncia polifsica instantnea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tenses simtricas, constante.



I.9 Anlise por fase e diagrama unifilar

No estudo do regime permanente do sistema de energia eltrica, utiliza-se a anlise por fase pois o sistema considerado equilibrado, da gerao ao consumo, ou seja: a) as fontes do sistema so consideradas simtricas; b) as impedncias das fases so consideradas iguais e c) as cargas so consideradas equilibradas.

Desta forma, o resultado (tenso, corrente, etc.) de uma fase pode ser utilizado para as demais desde que se faam os ajustes de fase necessrios.

Exemplo I.1 Uma fonte trifsica, 2400 V, seqncia ABC, alimenta duas cargas conectadas em paralelo: Carga 1: 300 kVA, fator de potncia igual a 0,8 indutivo e

Carga 2: 144 kW, fator de potncia igual a 0,6 capacitivo.

Se a Fase A utilizada como referncia angular (ou seja o ngulo de fase de ANV igual a zero), determinar: a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedncia). b) As correntes de linha das Fases A, B e C.

Soluo Exemplo I.1:

a) Inicialmente, determina-se o fasor potncia complexa referente a cada uma das cargas:

Carga 1: kVA 3001 carga3 =S

kW 2403008,01 carga311 carga

3 === SFPP

( ) ( ) kvar 180240300 2221 carga321 carga31 carga3 === PSQ ( ) kVA 36,9300kVA 1802401 carga3 o=+= jS Carga 2: kW 1442 carga3 =P

kVA 2406,0

1442

2 carga32 carga

3 === FPP

S

( ) ( ) kvar 192144240 2222 carga322 carga32 carga3 === PSQ ( ) kVA 53,1240kVA 1921442 carga3 o== jS

Para a Fase A, tem-se:

Carga 1: ( ) kVA 36,9100kVA 60803

1 carga31 o

=+== jSS A

Carga 2: ( ) kVA 15380kVA 64483

2 carga32 o

,jSS A ===



Soluo Exemplo I.1 (continuao): Conhecendo o valor da tenso de fase da Fase A, V 0

324000

3oo

==L

ANVV , e a expresso da potncia

desenvolvida na Fase A:

*

*

==

AN

AAAANA

VSIIVS

pode-se determinar a corrente desenvolvida nas Cargas 1 e 2, como segue:

( ) A 30,437457A 36,92,72036,9100000

*

32400

*11 j,

VSI

AN

AA ==

=

=

o

o

o

( ) A 19,4664,34A 3,157,570

1,5380000*

32400

*22 j

VSI

AN

AA +==

=

=

o

o

o

Para o equivalente em estrela,

( ) +==

== 52,1136,15 36,92,1936,92,72

03

2400

1

1 jI

VZA

ANY

o

o

o

( ) ==

== 2,194,14 3,15243,157,57

03

2400

2

2 jI

VZA

ANY

o

o

o

O circuito equivalente para a Fase A encontra-se na Figura I.21.

V 03

2400 o

AI

+

2AI

1AI

36,15

52,11j

4,14

2,19j

Figura I.21 Circuito equivalente para a Fase A.

b) De acordo com o diagrama da Figura I.21, a corrente de linha da Fase A dada por: ( ) A 8,14,92A 89,238,9219,4664,3430,43745721 o=+=++=+= jjj,III AAA Levando em conta a simetria do sistema trifsico e a seqncia ABC, tem-se:

A 2,11892,4A 1208,14,92 ooo ==BI

A 8,12192,4A 1208,14,92 ooo =+=CI

Observar que quando se realiza anlise por fase melhor empregar o circuito equivalente em estrela; se a conexo do equipamento em tringulo, pode-se converter para o seu circuito equivalente em estrela. Como conseqncia, as linhas de baixo dos circuitos equivalentes por fase representam o neutro, as tenses so as de fase e as correntes so de linhas (na conexo estrela, a corrente de fase igual a corrente de linha).



Na Figura I.22, observa-se a representao de um sistema de energia eltrica atravs do diagrama unifilar, do diagrama trifsico (trifilar) de impedncias e do diagrama de impedncia por fase. No diagrama unifilar possvel representar a topologia do sistema (ligaes), os valores das grandezas eltricas dos componentes e sua forma de conexo. O diagrama trifilar de impedncias representa o circuito eltrico equivalente ao sistema de energia eltrica. O diagrama de impedncia por fase representa uma simplificao do diagrama trifsico sendo utilizado para determinar os valores das grandezas eltricas do sistema para uma fase (posteriormente, este resultado estendido para as demais fases).

G1

G2

1 2 3 4

T1 T2

Y-Y Y-Y

(a) Diagrama unifilar.

(b) Diagrama trifilar de impedncia.

(c) Diagrama de impedncia por fase (em pu).

Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e Gerador 2

G1

G1

G1

G1

G2

G2

G2

G2

Linha de Transmisso

Figura I.22 Representao do sistema de energia eltrica.



Exerccio I.1 Uma fonte trifsica, 13,8 kV, seqncia ABC, alimenta por intermdio de uma linha com impedncia srie de ( )+ 44 j , duas cargas conectadas em paralelo: Carga 1: 500 kVA, fator de potncia igual a 0,8 indutivo e

Carga 2: 150 kvar, capacitivo. Se a Fase A utilizada como referncia angular (ou seja, o ngulo de fase de ANV igual a zero), determinar: a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedncia). b) As correntes de linha das Fases A, B e C.

I.10 O sistema por unidade (pu) Freqentemente, na anlise de sistemas de energia eltrica ao invs de serem utilizadas as unidades originais para as grandezas envolvidas (tenso, corrente, potncia, etc.) so utilizadas unidades relativas (por unidade ou, simplesmente, pu), obtidas atravs da normalizao dos valores originais destas grandezas (em V, A, W, etc.) por valores pr-estabelecidos para cada grandeza, denominados valores de base. Realizando esta normalizao em todas as grandezas do sistema, possvel:

Manter os parmetros do sistema eltrico dentro de uma faixa de valores conhecidos evitando, portanto, erros grosseiros. Por exemplo, quando se utiliza o valor nominal da tenso como valor de referncia (valor de base), pode-se verificar a partir do valor normalizado da tenso (em pu) sua distncia do valor desejado (nominal). Valores em pu prximos a unidade significam proximidades do valor nominal; valores de tenso muito abaixo ou acima de 1 pu representam condies anormais de operao.

Eliminar todos os transformadores ideais do sistema eltrico.

A tenso de operao do sistema permanece sempre prxima da unidade.

Todas as grandezas possuem a mesma unidade ou pu (embora os valores de base sejam diferentes para cada uma das grandezas).

Para realizar a transformao das grandezas para pu basta dividir o valor destas pelo seu valor de base, ou seja:

basevalor atualvalor pu emvalor = (I.22)

O valor de base deve ser um nmero real; o valor atual pode ser um nmero complexo (se for utilizada a forma polar, transforma-se apenas a magnitude da grandeza, mantendo-se o ngulo na unidade original). A grandeza de base definida para todo o sistema de energia eltrica a potncia eltrica, base3S (geralmente 100 MVA):

basebase3base3

base 33

SSS

S == [MVA] (I.23)

A tenso base, baseV , geralmente corresponde tenso nominal do sistema na regio de interesse:

base base base

base 33 VVVV LL == [kV] (I.24)

A corrente base, baseI , e a impedncia base, baseZ , so obtidas a partir da potncia e da tenso de base:

base

base 3

base

base 3

base

base base base 3

3

3LL

YL V

SV

S

VS

II

====

[kA] (I.25)



base

base 3base base 33 L

L

VSI

I == [kA] (I.26)

base 3

2base

base

base base

SV

IV

Z LY

Y == [] (I.27)

base 3

2base

base

base base base 333

SV

IV

ZZ LY

Y === [] (I.28)

Tm-se, assim, duas classes de grandezas de base:

Primrias Nesta classe se incluem a potncia base, definida para todo o sistema, e a tenso base, que varia em funo da tenso nominal da regio em anlise.

Secundrias Nesta classe se incluem a corrente base e a impedncia base que so calculadas em funo da potncia base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tenso, utilizados como tenso base na regio em anlise.

Existem outras formas de normalizao possvel, com definies diversas de grandezas nas classes grandezas primrias e secundrias, entretanto esta a forma usual na anlise de sistemas de energia eltrica.

Uma operao bastante freqente na modelagem de sistemas eltricos a mudana de base de valores de impedncias. Um exemplo clssico da necessidade de mudana de base a compatibilizao do valor das impedncias dos transformadores, usualmente fornecidos em seu valor percentual, tendo como potncia base a potncia nominal do equipamento e como tenses base as tenses terminais dos enrolamentos.

Para realizar a mudana de base de uma impedncia na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z , deve-se proceder como segue:

( ) ( )2 base

1 base1 basepu 2 basepu

ZZ

ZZ = (I.29)

( ) ( )1 base 3

2 base 32

2 base

1 base 1 basepu 2 basepu

SS

VV

ZZL

L

= (I.30)

Exemplo I.2 Considere o sistema do Exemplo I.1. Supondo que kVA 300base3 =S e kV 4,2base =LV , determinar: a) As bases do sistema por unidade. b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampres. Soluo Exemplo I.2: a) Utilizando as expresses (I.23), (I.24), (I.25) e (I.27) tem-se: kVA 100

3300000

3base3

base ===

S

S

V 13863

24003base

base ===LVV

A 2,721386

100000base

base base ===

VS

IY

=== 2,192,72

1386base

base base

YY I

VZ



Soluo Exemplo I.2 (continuao): b) De acordo com os valores obtidos no Exemplo I.1, tem-se:

( ) pu 6,08,0pu 36,912,19

36,92,19

base

11

pu jZ

ZZY

YY +==== o

o

( ) pu 00,175,0pu 3,1525,12,193,1524

base

22

pu jZ

ZZY

YY ==

==o

o

( ) pu 01pu 011386

03

2400

base pu j

VVV ANAN +==== o

o

O circuito equivalente por fase em valores por unidade encontra-se na Figura I.23.

pu 01 o

pu AI

+

2pu AI

1pu AI

pu 8,0

pu 6,0j

pu 75,0

pu 00,1j

Figura I.23 Circuito equivalente para a Fase A em pu.

c) Do circuito da Figura I.23, tem-se:

( ) pu 6,08,0pu 87,3616,08,0

011pu jjI A ==+=

o

o

( ) pu 64,048,0pu 13,538,000,175,0

012pu jjI A +===

o

o

( ) pu 04,028,1pu 8,128,164,048,06,08,02 pu 1 pu pu jjIII AAA +==++=+= o ( ) A 89,238,92A 8,192,472,28,128,1base pu jIII YAA +==== oo Observar que o valor obtido em ampres o mesmo calculado no Exemplo I.1.

Exemplo I.3 A Figura I.24 mostra o diagrama unifilar de um sistema eltrico trifsico.

G1

1 2 3 4 T1: 12 : NN

Y-Y Y-Y

T2:

21 : NN

2,4 kV 24 kV 12 kV

1000 A

Figura I.24 Diagrama unifilar do Exemplo I.3.

Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores desprezvel, que a capacidade do gerador 3 de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condio nominal ( )A 1000=LI alimentando uma carga puramente indutiva. A potncia nominal do transformador trifsico T1 6000 kVA (2,4/24 kV Y/Y) com reatncia de 0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constitudo por um banco de trs transformadores monofsicos (24/12 kV Y/Y) com reatncia de 4% cada. Determinar:



a) A potncia base. b) A tenso de linha base. c) A impedncia base. d) A corrente base. e) Resuma os valores base em uma tabela. f) Os valores das correntes em A. g) A corrente em pu. h) O novo valor das reatncias dos transformadores considerando sua nova base. i) O valor pu das tenses das Barras 1,2 e 4. j) A potncia aparente nas Barras 1,2 e 4.

Soluo Exemplo I.3: a) A potncia base selecionada arbitrariamente como: kVA 2080base 3 =S .

b) Para o circuito em 2,4 kV arbitra-se o valor de kV 5,2base =LV . As demais tenses de base so calculadas utilizando as relaes de transformao de T1 e T2:

2102

1

2

1=

=

N

NNN

Assim, para os demais circuitos: Circuito em 24 kV: kV 25base =LV Circuito em 12 kV: kV 5,12base =LV

c) As impedncias de base so calculadas a partir dos valores base da potncia e da tenso: Circuito em 2,4 kV: === 005,3

208000025002

base 3

2base

base S

VZ LY

Circuito em 24 kV: === 5,3002080000250002

base 3

2base

base S

VZ LY

Circuito em 12 kV: === 1,752080000125002

base 3

2base

base S

VZ LY

d) As correntes de base so calculadas a partir dos valores base da potncia e da tenso: Circuito em 2,4 kV: A 480

250032080000

3 base base 3

base ===

LL V

SI

Circuito em 24 kV: A 48250003

20800003 base

base 3base ===

LL V

SI

Circuito em 12 kV: A 96125003

20800003 base

base 3base ===

LL V

SI

Caso fossem escolhidos outros valores base nos itens (a) e (b), os valores calculados para a impedncia e corrente base poderiam ser diferentes dos valores obtidos nos itens (c) e (d).



Soluo Exemplo I.3 (continuao): e) Os valores base esto sumarizados na Tabela I.2.

Tabela I.2 Valores base do Exemplo I.3. [ ]kV NOMINAL LV [ ]kV base LV [ ] base YZ [ ]A base LI

2,4 2,5 3,005 480 24 25 300,5 48 12 12,5 75,1 96

kVA 2080base 3 =S

f) Conhecendo-se a corrente que sai do gerador A 1000kV 4,2 =LI , pode-se determinar os valores das correntes que circulam na linha e na carga:

Circuito em 24 kV: A 1001000101kV 4,2

1

2kV 24=== LL IN

NI

Circuito em 12 kV: A 20010012kV 24

2

1kV 5,12==

= LL IN

NI

g) A corrente por unidade a mesma para todos os circuitos:

Circuito em 2,4 kV: pu 08,2480

1000kV 4,2

base

kV 4,2

pu ===

L

LL I

II

Circuito em 24 kV: pu 08,248

100kV 24

base

kV 24

pu ===

L

LL I

II

Circuito em 12 kV: pu 08,296200

kV 5,12base

kV 5,12

pu ===

L

LL I

II

Observar que o valor em pu obtido neste item poderia ser outro caso fossem escolhidos outros valores de base nos itens (a) e (b).

h) Utilizando a expresso de converso de base, considerando que os dados do transformador se encontram na base deste (base 1: valores nominais de potncia e tenso), tem-se:

( ) ( ) pu 0128,060000002080000

2500240004,0

2

1 base 3

2 base 32

2 base

1 base 1 basepu T1pu jj

SS

VV

ZZL

L=

=

=

( ) ( ) pu 0192,040000002080000

125001200004,0

2

1 base 3

2 base 32

2 base

1 base 1 basepu T2pu jj

SS

VV

ZZL

L=

=

=

Verificar que o resultado o mesmo para o lado de alta tenso.

i) A Figura I.25 apresenta o diagrama de impedncia por fase do sistema da Figura I.24, indicando os fasores tenso de interesse.

+

+

+

+

G1 pu 0128,0T1 jZ = pu 0192,0T2 jZ =

pu 08,2=I

1 2 3 4

1V 2V 3V 4V

Figura I.25 Diagrama de impedncia por fase (em pu) do sistema da Figura I.24.



Soluo Exemplo I.3 (continuao):

Para o gerador, que opera em tenso nominal, tem-se:

pu 096,02500

02400

base

NOMINAL 1

o

o

===

L

L

VVV

Considerando que a corrente que circula no circuito est atrasada de 90o em relao tenso (pois o circuito constitudo exclusivamente por reatncias indutivas): pu 093,09008,20128,0096,01132 ooo ==== jIZVVV T ( ) ( ) pu 089,09008,20192,00128,0096,0211224 ooo =+=+== jjIZZVIZVV TTT

j) A potncia complexa pode ser obtida a partir dos fasores tenso e corrente:

[ ][ ]

[ ] pu 85,1pu 9085,19008,2089,0pu 93,1pu 9093,19008,2093,0

pu 00,2pu 9000,29008,2096,0

4**

444

2**

2232

1**

111

====

=====

====

SIVS

SIVSS

SIVS

ooo

ooo

ooo

Observar que a potncia aparente entregue pelo gerador de 2,00 pu e que na carga chega de 1,85 pu, sendo a diferena consumida7 pelas reatncias dos transformadores.

Exerccio I.2 Considere o sistema do Exerccio I.1. Supondo que kVA 100base3 =S e kV 8,13base =LV , determinar: a) As bases do sistema por unidade. b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. c) Determinar o fasor corrente da Fase A em valores por unidade e em ampres.

7 De acordo com a conveno de sinais para potncia reativa, os indutores consomem e os capacitores geram.


O balano de potncia Srgio Haffner Verso: 10/9/2007 Pgina 1 de 7

II O balano de potncia

O objetivo fundamental de um sistema de energia eltrica fornecer energia para as cargas existentes em uma determinada regio geogrfica. Quando o sistema adequadamente planejado e operado, deve atender aos seguintes requisitos:

Fornecer energia nos locais exigidos pelos consumidores.

Como a carga demandada pelos consumidores varia ao longo do tempo (horas do dia, dias da semana e meses do ano), o sistema deve estar apto a fornecer potncias ativa e reativa variveis, conforme esta demanda.

A energia fornecida deve obedecer a certas condies mnimas, relacionadas com a qualidade. Entre os fatores que determinam esta qualidade se destacam: freqncia, magnitude da tenso, forma de onda e confiabilidade.

O sistema deve buscar custos mnimos (econmicos e ambientais).

Neste captulo, sero descritos os mecanismos que atuam no controle das potncias ativa e reativa do sistema de energia eltrica.

II.1 Capacidade de transmisso

Considere uma linha de transmisso do sistema eltrico, representada pela sua reatncia srie kmx , conectada entre duas barras, conforme mostrado na Figura II.1.

k kmI kmkm jxZ = m kkk VV = mmm VV =

kmS

Figura II.1 Linha de transmisso do sistema eltrico.

Os fluxos de corrente kmI e potncia kmS podem ser obtidos a partir dos fasores tenso das barras k e m ( kkk VV = e mmm VV = , respectivamente):

km

mk

km

mkkm jx

VVZ

VVI ==

( ) ( ) ( )( )[ ]

km

kmkmmkk

km

kmmkk

km

mkmkk

km

mmkkk

km

mkkjj

km

mk

VV

kk

km

mkk

km

mkkkmkkm

x

jVVVjx

VVVjx

VVVjx

VVVjxj

VVVjjx

VVVVjx

VVVjxVVVIVS

kk

sencos2

222

2

*2*****

*

22

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

==

==

876

( )km

kmmkkkmmkkm

x

VVVjVVS

cossen 2 += (II.1)



Quando todas as tenses das expresses anteriores correspondem aos valores de linha em kV e reatncia estiver em , todas as potncias obtidas sero os valores trifsicos dados em MW e Mvar. Obviamente, por outro lado, quando todas as grandezas esto representadas em pu, os resultados das expresses anteriores tambm estaro em pu (neste caso no h distino entre valores de fase/linha e por fase/trifsico).

Definindo mkkm == , como a abertura angular da linha de transmisso, e separando as partes real e imaginria, chega-se a:

{ } sensenRekm

mkkm

km

mkkmkm

x

VVx

VVSP === (II.2)

{ }km

mkk

km

kmmkkkmkm

x

VVVx

VVVSQ coscosIm22

=

== (II.3)

As equaes (II.2) e (II.3) descrevem a forma pela qual as potncias ativa e reativa so transferidas entre duas barras de um sistema. De acordo com (II.2), pode-se observar que para valores constantes1 de tenses terminais kV e mV o fluxo de potncia ativa obedece seguinte expresso:

senmaxkmkm PP =

sendo km

mkkm

x

VVP =max o maior valor de potncia ativa transmitida pela linha de transmisso km (capacidade de

transmisso esttica) ou seu limite de estabilidade esttica, somente atingido quando 1sen = , ou seja, quando o90= . Assim, a potncia ativa transmitida por uma linha de transmisso est intimamente relacionada com sua abertura angular , conforme ilustra a Figura II.2.

-150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150

-100

-50

0

50

100

[ ]max de % kmkm PP

][ okm =Potncia

transmitida de maneira estvel

de m para k

Potncia transmitida de

maneira estvel de k para m

Regio de instabilidade

Regio de instabilidade

Figura II.2 Potncia ativa em uma linha de transmisso em funo de sua abertura angular.

1 Observar que as tenses de operao em regime permanente dos sistemas de energia eltrica, usualmente, no sofrem

variaes acentuadas e permanecem prximas aos seus valores nominais.



A capacidade de transmisso de uma linha proporcional ao quadrado da tenso de operao e inversamente proporcional sua reatncia. Tais caractersticas so muito importantes na especificao das linhas de transmisso, ou seja, na definio de suas caractersticas nominais (nvel de tenso, geometria das torres e condutores). Entretanto, na prtica, o sistema opera longe do limite de estabilidade esttica, pois medida que nos aproximamos deste limite o sistema torna-se eletricamente fraco, ou seja, cada vez so necessrios maiores incrementos no ngulo de abertura para um mesmo incremento na potncia transmitida. Assim, raramente as linhas operam com ngulos superiores a 30 ou 45.

Exemplo II.1 Determinar a capacidade de transmisso esttica de duas linhas de transmisso cujo comprimento de 200 km:

Linha 1: 230 kV, 1 condutor por fase com reatncia 0,5 /km.

Linha 2: 765 kV, 4 condutores por fase com reatncia 0,35 /km.

Soluo Exemplo II.1: Para ambas as linhas, consideram-se que as tenses terminais so iguais aos seus valores nominais. Para a Linha 1, cuja reatncia total igual a == 100km 2005,0 km1x , a capacidade de transmisso trifsica de:

( ) MW 529 100kV 230 2

1

11max1 =

==

x

VVP mk

Para a Linha 2, cuja reatncia total igual a == 70km 20035,0 km2x , a capacidade de transmisso trifsica de:

( ) MW 8360 70kV 765 2

2

22max2 =

==

x

VVP mk

Desta forma, a linha de 765 kV capaz de transportar o equivalente a mais de 15 linhas de 230 kV.

II.2 Dependncia da carga com a tenso e freqncia

Embora, individualmente, as cargas existentes no sistema eltrico sejam altamente aleatrias, quando concentradas por conjuntos de consumidores apresentam carter previsvel. Quanto maior o nmero de cargas agrupado, maior ser a possibilidade de realizar tal previso. Alm disto, as cargas concentradas variam com o tempo de maneira tambm previsvel, em funo da hora do dia (horrio de maior consumo e horrio de menor consumo), do dia da semana (dia til, final de semana e feriados) e das estaes do ano, conforme ilustrado na Figura II.3 que representa a curva de carga diria de um alimentador.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

00:00 01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 09:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

Alimentador RS--P 16/10/2002 (quarta-feira) kWAlimentador RS--Q 16/10/2002 (quarta-feira) kvar

Figura II.3 Curva de carga de um alimentador.



Na curva de carga de potncia ativa da Figura II.3 observa-se um baixo consumo at as 7:00 horas, quando se inicia um processo de crescimento at o horrio do almoo, por volta das 12:00 horas. A partir deste intervalo o consumo quase se estabiliza em um patamar para iniciar um novo processo de crescimento a partir das 18:00 horas. O processo de reduo inicia-se perto das 21:00 horas, sendo contnuo at as 24:00 horas. A curva de potncia reativa segue de forma aproximada a curva de potncia ativa, sendo seu valor inferior metade do anterior. Pode-se notar o carter industrial/comercial da carga, em funo do elevado consumo durante o horrio comercial e tambm a presena de residncias, em funo do aumento de consumo no horrio da ponta (freqentemente evitado pelas indstrias em funo da tarifa maior).

Outra caracterstica importante das cargas de uma maneira geral seu carter indutivo, ou seja, a carga tpica consome potncia reativa pois a participao das cargas motoras significativa. Desta forma, pode-se dizer que a carga tpica de um sistema de energia eltrica pode ser representada de forma simplificada pela associao srie RL da Figura II.4.

L

I

+

V

R

SISTEMA Fonte

Figura II.4 Carga RL srie.

Sendo fpi 2= a velocidade angular da fonte, a potncia complexa consumida pela carga RL dada por:

( ) ( )LjRLRVZ

Z

V

Z

V

ZVVIVS

ZZ

++

===

==

22

2

2

2

*

2*

*

Isolando as partes real e imaginria, tem-se:

{ } ( ) ( ) 222,Re VLRRVfSP

+

=== (II.4)

{ } ( ) ( ) 222,Im VLRLVgSQ

+=== (II.5)

Assim, conclui-se que:

P e Q crescem com o quadrado da tenso, caracterstica tpica de cargas constitudas por impedncias e P diminui e Q aumenta com o aumento da freqncia. Uma carga tpica deve possuir um fator de

potncia perto da unidade para evitar penalizaes, logo o valor da resistncia deve ser muito maior do que o da reatncia indutiva, ou seja, ( ) 222 RLRLR +>> .

Para cargas compostas, uma relao funcional do tipo (II.4) e (II.5), via de regra, no possvel de ser determinada. Neste caso, para pequenas variaes na velocidade angular, , ou na magnitude da tenso, V, tem-se:

VVPPP

+

(II.6)

VVQQQ

+

(II.7)



sendo as quatro derivadas parciais

VQQ

VPP

e , ,

obtidas empiricamente. Estas derivadas fazem o

papel dos parmetros da carga, descrevendo a natureza desta em torno dos nveis nominais de freqncia e tenso. Um exemplo de uma carga tpica pode apresentar a seguinte composio:

Motores de induo: 60% Motores sncronos 20% Outras: 20%

Neste caso, os parmetros correspondentes seriam:

( )

3,11

disponvel no1

VQ

VP

QP

II.3 O balano de potncia ativa e seus efeitos sobre a freqncia

A freqncia em um sistema de energia eltrica deve ser mantida dentro de limites rigorosos pois:

A maioria dos motores de corrente alternada gira com velocidades diretamente relacionadas com a freqncia e

O sistema pode ser mais efetivamente controlado se a freqncia for mantida dentro de limites estreitos.

O mecanismo carga-freqncia opera da seguinte maneira, envolvendo tempos da ordem de segundos:

Sob condies normais, os geradores operam em sincronismo, gerando a potncia que a cada instante est sendo consumida mais as perdas ativas de transmisso.

Para um aumento de carga o sistema eltrico estaria, momentaneamente, com suas mquinas motrizes gerando pouca energia mecnica, o que provocaria uma reduo na velocidade dos geradores, inversamente proporcional a sua inrcia. Isto produziria uma reduo na freqncia do sistema.

Para uma reduo de carga o sistema eltrico estaria, momentaneamente, com suas mquinas motrizes gerando muita energia mecnica, o que provocaria um aumento na velocidade dos geradores, inversamente proporcional a sua inrcia. Isto produziria um aumento na freqncia do sistema.

Desta forma, o controle da velocidade dos geradores pode ser utilizado a cada instante de tempo para ajustar a quantidade de energia produzida demanda do momento. Tal controle realizado pelo regulador de velocidade das mquinas motrizes dos geradores (constitudas, principalmente, por turbinas hidrulicas e trmicas) que regulam a potncia mecnica fornecida ao eixo do gerador de modo a manter sua velocidade constante (por intermdio do controle do fluxo de gua ou vapor). Este controle empregado para corrigir pequenos dficits ou supervits de potencia ativa no sistema; o despacho dos geradores, ou seja, a definio de quanto cada unidade ir produzir em cada hora do dia, estabelecida a priori, considerando a carga prevista, a disponibilidade dos geradores, o melhor uso da gua e o custo de gerao.

II.4 O balano de potncia reativa e seus efeitos sobre a tenso

De forma anloga ao caso anterior, no qual a manuteno da freqncia no sistema a melhor garantia de que o balano da potncia ativa est sendo mantido no sistema, um perfil constante de tenso em todo sistema garante que o equilbrio entre a potncia reativa produzida e consumida est sendo mantido.



Considere o seguinte sistema, sem perdas ativas, no qual a tenso da barra k mantida constante e igual a kV , a impedncia da linha kmkm jxZ = , conforme mostrado na Figura II.5.

k kmI kmkm jxZ = m

o0kk VV = mmm VV =

jQPS +=

Figura II.5 Sistema de duas barras.

Para o sistema da Figura II.5, a tenso na barra m pode ser obtida por:

kmkmkkmkmkm IjxVZIVV == (II.8)

Supondo que as perdas de potncia reativa na linha sejam desprezveis, a potncia entregue para a carga a mesma que est sendo transmitida de k para m e a corrente pela linha dada por:

==*

kmkkm IVSSkkkk

kmV

jQPV

jQPV

jQPVSI ===

o0*

*

(II.9)

Substituindo (II.9) em (II.8), tem-se a seguinte expresso, cujo diagrama fasorial encontra-se na Figura II.6:

}

PVxjQ

VxV

VjQPjxVV

k

km

k

kmk

I

kkm

V

km

kmk

=

=

48476o0

kmkm Ijx

o0kk VV =

QVx

k

km

kmI

mmm VV =

PVxj

k

km

Figura II.6 Diagrama fasorial do sistema de duas barras.

Conclui-se, da, que:

Uma variao na potncia ativa P afeta o fasor queda de tenso que perpendicular a kV , afetando significativamente a fase do fasor mV .

Uma variao na potncia reativa Q afeta o fasor queda de tenso que est em fase com kV , afetando significativamente o mdulo do fasor mV .

Exerccio II.1 Considerando o sistema de duas barras da Figura II.5, completar a Tabela II.1 com o diagrama fasorial correspondente a cada uma das situaes de carga (P e Q podendo ser positivos ou negativos) e sinal da reatncia da linha de transmisso (indutiva, com 0>kmx , ou capacitiva, com 0



Tabela II.1 Diagramas fasoriais do Exerccio II.1.

0>kmx 0Q

o0kk VV =

o0kk VV =

0>P

0Q

o0kk VV =

o0kk VV =

0 , kmkm xr e kmkm rx >> .


A linha de transmisso Srgio Haffner Verso: 10/9/2007 Pgina 1 de 16

III A linha de transmisso

As linhas de transmisso so os equipamentos empregados para transportar grandes blocos de energia por grandes distncias, entre os centros consumidores e os centros geradores. No Brasil, em funo do parque gerador ser baseado na energia hidreltrica, o sistema de transmisso desempenha um papel muito importante pois as distncias entre os centros consumidores e geradores so elevadas.

Os dados do setor eltrico brasileiro podem ser obtidos nos boletins do Sistema de Informaes Empresariais do Setor de Energia Eltrica (SIESE) que parte do Sistema Integrado de Informaes Energticas (SIE) da Secretaria Geral do Ministrio das Minas e Energia (MME). Um extrato do relatrio, referente s linhas de transmisso encontra-se no Quadro III.1.

Quadro III.1 Extenso das linhas de transmisso do setor eltrico brasileiro.

EXTENSO DE LINHAS DE TRANSMISSO - km Em 31.12 2001

1999 2000 2001 Entradas Retiradas69 kV 40.023,0 39.973,0 39.973,0 0,0 0,088 kV 3.290,7 3.290,7 3.290,7 0,0 0,0138 kV 55.723,2 56.080,1 56.080,1 0,0 0,0230 kV 33.869,9 34.040,7 34.072,7 32,0 0,0345 kV 8.952,3 8.952,3 8.952,3 0,0 0,0440 kV 6.384,4 6.497,6 7.002,6 505,0 0,0500 kV 16.952,7 18.617,2 18.721,5 104,3 0,0600 kV (corrente contnua) 1.612,0 1.612,0 1.612,0 0,0 0,0750 kV 2.114,0 2.379,0 2.683,0 304,0 0,0

Fonte: Boletim Semestral do SIESE Sntese 2001 (disponvel em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/).

Uma linha de transmisso de energia eltrica possui quatro parmetros bsicos: resistncia srie, indutncia srie, capacitncia em derivao e condutncia em derivao. Estes parmetros influem diretamente no seu comportamento como componente de um sistema de energia eltrica mas, a condutncia em derivao (utilizada para representar a fuga pelos isoladores e corona de linhas areas ou isolao dos cabos subterrneos) geralmente desprezada por ser muito pequena.

Assim, para a anlise do regime permanente de uma linha de transmisso sero considerados apenas trs parmetros: resistncia srie, indutncia srie e capacitncia em derivao.

III.1 Tipos de condutores

Na construo de linhas de transmisso so empregados largamente os condutores de alumnio devido aos seguintes fatores:

Menor custo e peso;

Maior dimetro que equivalente em cobre (portanto menor densidade de fluxo eltrico na superfcie proporcionando um menor gradiente de potencial e menor tendncia ionizao do ar efeito corona).

Os tipos mais comuns de condutores de alumnio so: CA Condutor de Alumnio AAC All Aluminium Conductor

CAA Condutor de Alumnio com alma de Ao ACSR Aluminium Conductor Steel Reinforced

Os nomes cdigo dos cabos CA so nomes de flores (por exemplo: 4 AWG Rose; 266,8 MCM Daisy; 636 Orchid) e dos cabos CAA so nomes de aves (por exemplo: 1 AWG Robin; 636 MCM Grosbeak; 1590 Falcon).



III.2 Resistncia srie

A resistncia srie a principal causa das perdas de energia nas linhas de transmisso.

Em corrente contnua (CC) a resistncia de um condutor dada por:

AlRCC = [] (III.1)

onde:

Resistividade do condutor1 [m] l Comprimento [m]

A rea da seo transversal [m2]

Na determinao da resistncia dos condutores devem ser levados em conta os seguintes aspectos:

Para a faixa normal de operao, a variao da resistncia de um condutor metlico praticamente linear, ou seja:

10

2012 TT

TTRR

+

+= (III.2)

onde: 1R Resistncia temperatura 1T [] 2R Resistncia temperatura 2T [] 0T Constante do material

2 [o C]

Em cabos encordoados, o comprimento dos fios perifricos maior que o comprimento do cabo (devido ao encordoamento helicoidal). Isto acresce resistncia efetiva em 1 a 2%.

Em corrente alternada (CA), devido ao efeito pelicular (skin), a corrente tende a concentrar-se na superfcie do condutor. Isto provoca um acrscimo na resistncia efetiva (proporcional freqncia) observvel a 60 Hz (em torno de 3%).

Exemplo III.1 Para o cabo de alumnio Marigold 1113 MCM ( mm 432,361 ), a resistncia em CC a 20oC igual a 0,05112 /km e a resistncia CA-60 Hz a 50oC 0,05940 /km. Determinar: a) O acrscimo percentual na resistncia devido ao encordoamento. b) O acrscimo percentual na resistncia devido ao efeito pelicular.

Soluo Exemplo III.1: a) A rea da seo transversal do condutor :

2423

2 m 10643,52

10432,361

=

== pipirNA

Utilizando a expresso (III.1), tem-se: km24

kmm8

05015,0m10643,5

1000m1083,2

=

==

AlRCC

Portanto, o acrscimo devido ao encordoamento , enc , :

% 9,1019,1 05015,0 05112,0

enc

km

km===

CC

efCC

RR

1 Para o alumnio tmpera dura a 20o C, m 1083,2 8 = .

2 Para o alumnio tmpera dura a 20o C, C 2280

o=T .



Soluo Exemplo III.1 (continuao):

b) Utilizando a expresso (III.2), tem-se: km

0

02050 05730,0

202285022805112,0

2050

=

+

+=

+

+=

TT

RR CCCC

Portanto, o acrscimo devido ao efeito pelicular, pel , :

% 7,3037,105730,005940,0

pel50

50===

CC

CA

RR

III.3 Indutncia srie

Um condutor constitudo de dois ou mais elementos ou fios em paralelo chamado condutor composto observar que isto inclui os condutores encordoados e tambm os feixes (bundles) de condutores.

Sejam os dois condutores compostos arranjados conforme a Figura III.1. O condutor x formado por n fios cilndricos idnticos, cada um transportando a corrente nI e o condutor de retorno Y formado por M fios cilndricos idnticos, cada um transportando a corrente MI .

a

Condutor x

b

c

n

A B

C

M

Condutor Y

bnD bCD

Figura III.1 Seo transversal de uma linha monofsica constituda por dois condutores compostos.

Considerando as distncias indicadas na Figura III.1, a indutncia dos fios a e b que fazem parte do condutor x so dadas por:

nanacaba

MaMaCaBaA

a DDDrDDDD

nLL

L

= ln2pi

[H/m]

nbnbcbab

MbMbCbBbA

b DDDrDDDD

nLL

L

= ln2pi

[H/m]

onde: 0 r= Permeabilidade do meio3 (para o vcuo, kmH4mH70 104 104 == pipi ) [H/m]

D Distncia entre os fios e [m] r Raio de um condutor fictcio (sem fluxo interno) porm com a mesma indutncia que o

condutor , cujo raio r (para condutores cilndricos, 41

= err ) [m]

Nas expresses anteriores, imprescindvel que D e r estejam na mesma unidade (em metros, por exemplo).

3 Geralmente utilizada a permeabilidade do vcuo pois, para o ar, a permeabilidade relativa unitria: 1r .



A indutncia do condutor composto x igual ao valor mdio da indutncia dos fios dividido pelo nmero de fios (associao em paralelo), ou seja:

2mdio

n

LLLLn

n

LLLL

n

LL ncba

ncba

xx

++++=

++++

==

K

K

[H/m] Segue da que:

( )( ) ( )( )( ) ( )2ln2 n nnnbnabnbbbaanabaa

MnnMnBnAbMbBbAaMaBaA

x DDDDDDDDDDDDDDDDDD

LLLLL

LLLL

pi

= [H/m] (III.3)

onde rD = . O numerador da expresso (III.3) chamado de Distncia Mdia Geomtrica (DMG) e notado por mD ; o denominador chamado de Raio Mdio Geomtrico (RMG) e notado por sD . Assim,

s

mx D

DL ln2pi

= [H/m] (III.4)

com:

mD Distncia Mdia Geomtrica (DMG): ( )( ) ( )Mn nMnBnAbMbBbAaMaBaAm DDDDDDDDDD LLLL= [m] sD Raio Mdio Geomtrico (RMG): ( )( ) ( )2n nnnbnabnbbbaanabaas DDDDDDDDDD LLLL= [m]

Sendo f a freqncia de operao da linha, a reatncia indutiva dada por: xL fLX pi2= [/m] Em uma linha trifsica, com espaamento assimtrico, a indutncia das fases diferente e o circuito desequilibrado. Por intermdio da transposio da linha, possvel restaurar o equilbrio das fases, do ponto de vista dos terminais da linha. A transposio consiste em fazer com que cada fase ocupe cada uma das posies nas torres por igual distncia (para uma linha trifsica, trs so as posies possveis e deve-se fazer com que cada fase ocupe 1/3 do comprimento da linha em cada uma das trs posies).

Considere a linha trifsica transposta com espaamento assimtrico mostrada na Figura III.2.

3

1

2

Condutor A

13D

12D

23D

Condutor A

Condutor A

Condutor B

Condutor C

Condutor C

Condutor B

Condutor C

Condutor B Posio 1

Posio 2

Posio 3

1/3 comprimento 1/3 comprimento 1/3 comprimento

Tran

sposi

o

Tran

sposi

o

Figura III.2 Linha trifsica com um ciclo de transposio.

Para a linha da Figura III.2, a indutncia mdia por fase dada por:

s

eq

DD

L ln2pi

= [H/m] (III.5)

onde: eqD Distncia mdia geomtrica entre condutores 3 312312 DDDDeq = [m]

sD Raio mdio geomtrico do condutor [m]



Observar a semelhana entre as expresses (III.4) e (III.5). Em linhas constitudas por mais de um condutor por fase, o raio mdio geomtrico deve ser calculado como anteriormente, ou seja:

( )( ) ( )2n nnnbnabnbbbaanabaas DDDDDDDDDD LLLL= e os termos empregados no clculo da distncia mdia geomtrica ( )312312 e , DDD correspondem s distncias mdias geomtricas entre cada uma das combinaes das fases, ou seja, xYD dado por:

( )( ) ( )Mn nMnBnAbMbBbAaMaBaAmxY DDDDDDDDDDD LLLL==

Os valores do raio mdio geomtrico de cada condutor (Daa, Dbb, etc.) podem ser obtidos diretamente nas tabelas dos fabricantes, juntamente com os demais dados dos cabos (nome cdigo, seo transversal, formao, nmero de camadas, dimetro externo e resistncia eltrica), ou podem ser determinados por intermdio da seguinte expresso:

gKDD = 5,0

onde D o dimetro externo do condutor e Kg uma constante que depende de sua formao (quantidade e tipo de fios), cujos valores encontram-se no Quadro III.2.

Quadro III.2 Valores de Kg para a determinao do raio mdio geomtrico de um cabo.

Formao (nmero de fios)

Fator de formao (Kg)

7 0,7256 19 0,7577 37 0,7678 61 0,7722

Condutor de Alumnio (CA)

91 0,7743 Formao

(fios alumnio/ao) Fator de formao

(Kg) 22/7 0,7949 26/7 0,8116 30/7 0,8250 45/7 0,7939 54/7 0,8099

Condutor de Alumnio com alma de Ao

(CAA)

54/19 0,8099 Fonte: Overhead, Pirelli Technical Manuals

(disponvel em http://www.au.pirelli.com/en_AU/cables_systems/telecom/downloads/pdf/Overhead.pdf)

Para condutores de alumnio, observar que medida que o nmero de fios aumenta o fator de formao (Kg) se aproxima do valor determinado para condutores cilndricos macios, que corresponde a 7788,04

1=

e .

Exemplo III.2 Determinar o raio mdio geomtrico do condutor de alumnio com alma de ao Pheasant 1272 MCM, formado por 54 fios de alumnio e 19 de ao (54/19) que possui um dimetro externo de 3,5103 cm.

Soluo Exemplo III.2: Do Quadro III.2, tem-se que o fator de formao correspondente (54/19) dado por Kg =0,8099. Substituindo na expresso, tem-se:

cm4215,18099,0cm5103,35,05,0 === gKDD

Observar que um valor equivalente pode ser encontrado na tabela do fabricante.



III.4 Capacitncia em derivao

Para uma linha de transmisso monofsica formada por condutores de raio r, conforme a mostra Figura III.3, a capacitncia entre os dois fios desta linha dada por:

r

DkCab

ln

pi=

[F/m]

onde k a permissividade do meio ( kmF9mF120 1085,8 1085,8 ==k , a permissividade do vcuo, geralmente empregada no clculo de linhas areas).

a b D

Figura III.3 Seo transversal de uma linha monofsica.

Assim, a capacitncia de qualquer um dos fios ao neutro corresponde ao dobro do valor determinado pela expresso anterior (associao srie de capacitores), conforme ilustra a Figura III.4.

a

Capacitncia linha/linha

b abC a

Capacitncia linha/neutro

b aNC bNC

N

abbNaN CCC 2==

Figura III.4 Capacitncias linha/linha e linha neutro.

Desta forma, a expresso da capacitncia entre linha/neutro, para uma linha monofsica dada por:

r

DkCN

ln

2pi= [F/m] (III.6)

Para uma linha de transmisso trifsica espaada igualmente e formada por condutores de raio r, conforme mostra a Figura III.5, a capacitncia entre linha/neutro de qualquer uma das fases pode ser obtida, tambm, pela expresso (III.6).

D D

D a

b

c

Figura III.5 Seo transversal de uma linha trifsica.

Observar que na expresso (III.5) no foi contemplada a existncia da terra que causa uma descontinuidade no meio dieltrico (passa de isolante para condutivo). Embora a considerao do efeito da terra, geralmente, no provoque alteraes significativas no valor da capacitncia (em outras palavras, a capacitncia entre as fases muito maior do que a capacitncia entre as fases e a terra), possvel determinar esta componente aplicando-se o mtodo das imagens.



Considerando os condutores fase e as imagens, mostrados na Figura III.6, a capacitncia mdia com relao ao neutro dada por4:

+

=

=

3

3

3

3lnln

2

lnln

2

pipi

cba

cbaeq

cba

cbaeqN

DDD

DDDr

D

k

DDD

DDDr

D

kC [F/m] (III.7)

sendo 3 cabaabeq DDDD = a distncia mdia geomtrica entre condutores. Observar a semelhana entre as expresses (III.6) e (III.7). Como os condutores das linhas de transmisso so suspensos e adquirem a forma de uma catenria, a altura adotada no clculo da capacitncia diferente da altura de suspenso (H), pois o cabo apresenta uma flecha f, sendo sua altura mdia inferior. Usualmente, a altura empregada no clculo, h, dada por: fHh 7,0= .

abDa

b

c

bcD

aD bD

aD bD cD

caD

cD

Condutores

Imagens

Superfcie do solo

Figura III.6 Seo transversal de uma linha trifsica assimtrica e sua imagem.

Sendo f a freqncia de operao da linha e NC a capacitncia linha/neutro, determinada pelas expresses (III.6) e (III.7), a reatncia capacitiva dos condutores em relao ao neutro dada por:

NC fCX pi2

1=

[m]

Observar que a unidade de LX diferente da unidade de CX , enquanto o primeiro dado em /m (pois a

reatncia diretamente proporcional indutncia que dada em H/m), o segundo dado em m (pois a reatncia inversamente proporcional capacitncia que dada em F/m).

4 As duas expresses a seguir so idnticas, apenas diferem com relao ao sinal e a expresso do 2o termo do

denominador lembrar que ( ) ( )abba lnln = . Observar que o termo 3 cba DDD (diagonais) sempre maior que 3

cba DDD (verticais), motivo pelo qual o segundo termo sempre reduz o valor do denominador, ou seja, a considerao do efeito da terra aumenta a capacitncia com relao terra.



Exemplo III.3 Para as duas configuraes abaixo (vertical e horizontal), determinar a indutncia srie e a capacitncia em derivao por unidade de comprimento (km). Considerar que ambas as linhas so transpostas.

D

a

b

c a b c

H

Vertical

Horizontal

Superfcie do solo

D

D

H

D

m 20m 0,7

(RMG) cm 021,1cm 257,1

Grosbeak MCM 636 Cabo 1085,8

104

kmF9

0

kmH4

0

=

=

=

=

==

==

HDDr

kk

s

pi

Soluo Exemplo III.3: Para ambas as configuraes, tm-se: m 82,826,122 3333 312312 ===== DDDDDDDDDDDD cabcabeq logo, pela expresso (III.5): km

H3kmH4

0 1035,1

m 0,01021m 82,8ln

2104ln

2

===pi

pi

pi

s

eq

DD

L

Para a configurao vertical, tem-se:

( )( )( ) m 70,5315481822232 333 =+++= DHDHDHDDD cba

( )( ) m 76,5214688022242 333 =++= HDHDHDDD cba logo, pela expresso (III.7), tem-se: km

F9kmF9

3

3 1051,8

m 52,76m 70,53ln

m 0,01257m 82,8ln

1085,82

lnln

2

=

=

pipi

cba

cbaeqN

DDD

DDD

r

D

kC

Negligenciando o efeito do solo, observar que a capacitncia das configuraes vertical e horizontal seria igual a:

kmF9km

F9 1048,8

m 0,01257m 82,8ln

1085,82

ln

2

=

==pipi

r

DkCeq

N

Neste caso, a capacitncia com relao ao neutro sem considerar o solo, NC , corresponde a 99,6% de NC5.

Para a configurao horizontal, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) m 19,4137,698832222 33 2222223 =+++= DHDHDHDDD cba m 00,40222233 === HHHHDDD cba logo, pela expresso (III.7), tem-se: km

F9kmF9

3

3 1052,8

m 40,00m 18,41ln

m 0,01257m 82,8ln

1085,82

lnln

2

=

=

pipi

cba

cbaeqN

DDD

DDD

r

D

kC

Neste caso, a capacitncia com relao ao neutro sem considerar o solo, NC , corresponde a 99,5% de NC .

5 Isto explica porque o efeito da terra muitas vezes desprezado no clculo da capacitncia das linhas de transmisso.



Exemplo III.4 (Provo 2002) Questo relativa s matrias de Formao Profissional Especfica (nfase Eletrotcnica).



Mdia (escala de 0 a 100) % escolha Brasil Regio Sul Instituio Brasil Regio sul Instituio 8,0 8,1 16,8 17,7



Exerccio III.1 Descrever e demonstrar com exemplo as alteraes necessrias na disposio dos cabos (altura, arranjo das fases, arranjo do bundle, etc.) para: a) Reduzir a indutncia srie de uma linha de transmisso. b) Aumentar a capacitncia em derivao de uma linha de transmisso.

III.5 O modelo da linha de transmisso

As linhas de transmisso so classificadas de acordo com seu comprimento:

Linhas curtas: at 80 km.

Linhas mdias: at 240 km.

Linhas longas: mais de 240 km

Embora as linhas nem sempre possuam espaamento eqiltero e sejam plenamente transpostas, a assimetria resultante em sistemas de alta e extra-alta tenso pequena e as fases podem, geralmente, ser consideradas equilibradas (via de regra, a carga bastante equilibrada).

Os parmetros utilizados nos estudos de fluxo de carga para representar linhas curtas e mdias podem ser obtidos diretamente das expresses anteriores basta multiplic-los pelo comprimento da linha de transmisso. Para linhas longas necessrio fazer uma correo para considerar que os parmetros so distribudos.

Qualquer linha de transmisso pode ser representada de modo exato, a partir dos seus terminais, por um circuito pi equivalente, como mostrado na Figura III.7, onde:

kmZ Impedncia srie total da linha de transmisso [] kmY Admitncia em derivao (linha/neutro) total da linha de transmisso [S]

Constante de propagao da linha: yzj =+= [1/km] z Impedncia srie por unidade de comprimento [/km] y Admitncia em derivao (linha/neutro) por unidade de comprimento [S/km]

Constante de atenuao [neper/km] Constante de fase [rad/km] l Comprimento da linha [km]

k llZZ kmkm

=

senh

2kmY

m

2

2tanh

22 l

lYY kmkm

=

Figura III.7 Circuito pi equivalente de uma linha de transmisso.

Para linhas de transmisso mdias, tem-se que:

1senh

ll

e 1tanh

2

2

l

l



Logo, para linhas de transmisso mdias, pode-se utilizar diretamente a impedncia srie total da linha (pois kmkm ZZ =

) e a metade da admitncia em derivao total (pois 22 kmkm ZY = ), resultando no chamado circuito pi nominal.

Para linhas de transmisso curtas, pode-se desprezar a admitncia em derivao e utilizar-se somente a impedncia srie total da linha.

Observar que, geralmente, a condutncia em derivao insignificante, ou seja, a admitncia em derivao composta apenas pela susceptncia em derivao shunt

Exerccio III.2 Para a configurao vertical do Exemplo III.2, determinar o circuito equivalente, considerando a resistncia em corrente alternada por unidade de comprimento igual a km 10054,0 =r , 60 Hz, e que o comprimento da linha : a) 500 km (linha longa) b) 150 km (linha mdia) c) 50 km (linha curta).

Aps realizadas as correes necessrias para levar em conta o comprimento, a representao das linhas de transmisso no fluxo de carga realizada pelo seu equivalente pi, mostrado na Figura III.8 que definido por trs parmetros: a resistncia srie kmr ; a reatncia srie kmx e a susceptncia em derivao (shunt) shkmb .

k kmI km

r kmjx

shkmjb shkmjb

m mkII

kkk VV = mmm VV =

Figura III.8 Modelo equivalente pi de uma linha de transmisso.

A impedncia e admitncia do elemento srie so dadas por: kmkmkm jxrZ += 2222

1kmkm

km

kmkm

km

kmkmkmkmkm

xr

xjxr

r

jxrjbgY +

++

=

+=+=

Para uma linha de transmisso, kmr e kmx so positivos (portanto, kmg positivo e kmb negativo) e o elemento em derivao, shkmb , tambm positivo em funo de representar a capacitncia linha/neutro da linha de transmisso.

As correntes kmI e mkI so obtidas a partir dos fasores tenso das barras k e m ( kkk VV = e

mmm VV = , respectivamente):

( ) ( ) mkmkshkmkmkshkmmkkmkm VYVjbYVjbVVYI +=+= (III.8)

( ) ( ) mshkmkmkkmmshkmkmkmmk VjbYVYVjbVVYI ++=+= (III.9)

Documents

Sérgio Haffner - Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos Em Regime Permanente - 2007