Stima Aula
Reinaldo R. de Carvalho ([email protected])
Introduo Astrofsica
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Captulo 7!!
Classificao dos Espectros Estelares!!
- Tipos espectrais de estrelas!- Distribuio de
Maxwell-Boltzmann!- Equao de Boltzmann!- Equao de Saha!- O Diagrama
HR
Tipos Espectrais de EstrelasCom a inveno da fotometria e da
espectroscopia, a nova cincia da astrofsica desenvolveu
rapidamente. Em 1817, Fraunhofer j tinha determinado que diferentes
estrelas possuem diferentes espectros. Espectros estelares foram
classificados segundo vrios esquemas e na medida que os
instrumentos eram aperfeioados subdivises foram feitas.
O esquema de classificao de Harvard O B A F G K M, uma seqncia
de temperatura, O sendo as mais quentes e M as mais frias. Estrelas
no inicio da seqncia so chamadas early-type enquanto aquelas no
final da seqncia so as late type. Existem sub-divises dentro de
cada classe que variam de 0 a 9 e a nomenclatura early e late tambm
se aplica nas sub-divises, como por exemplo uma estrela K0 early
enquanto uma B9 late. Um dos catlogos mais importantes de estrelas
colecionou cerca de 200000 estrelas e conhecido como catlogo de
Henry Draper. Ainda hoje em dia usa-se a terminologia do numero de
entrada no catlogo Henry Draper, a estrela Betelgeuse HD39801.
A compreenso terica do tomo quntico no inicio do sculo XX deu
aos astrnomos a chave para o entendimento do espectro estelar.
Linhas de absoro so criadas quando um tomo absorve um fton com
exatamente a energia requerida para um eltron fazer uma transio de
um nvel inferior para outro superior. Linhas de emisso so formadas
pelo processo inverso, quando um eltron faz uma transio de um nvel
superior para um nvel inferior e um nico fton carrega a energia
perdida pelo eltron.
A distino entre os espectros das estrelas com diferentes
temperaturas refletem os eltrons ocupando diferentes orbitais
atmicos na atmosfera dessas estrelas. O tomo pode estar em qualquer
um dos vrios estgios de ionizacao e tem um conjunto nico de
orbitais em cada estgio. O estgio de ionizao de um tomo denominado
por um numeral Romano seguido pelo smbolo do tomo. Por exemplo, H I
e He I so hidrognio e hlio neutro, no ionizado. He II o hlio uma
vez ionizado. Si III e Si IV significa o tomo do Silcio que perdeu
dois e trs eltrons, respectivamente.
A cor de uma estrela depende de sua temperatura superficial.
Classe de LuminosidadeEm 1930 W.W. Morgan e P.C. Keenan
desenvolveram um sistema de classe de luminosidade baseado em
pequenas diferenas espectrais observadas nos espectros das
estrelas. Quando estas classes so colocadas do diagrama H-R, elas
fornecem uma subdiviso til dos tipos estelares.
Classes de luminosidade Ia e Ib so compostos de super-gigantes;
classe de luminosidade V inclui as estrelas da seqncia
principal.
Note que para estrelas de uma dada temperatura superficial,
quanto maior o nmero da classe de luminosidade menor a luminosidade
da estrela.
Como veremos mais tarde, diferentes classes de luminosidade
representam diferentes estgios da evoluo de uma estrela.
!Exemplo: o Sol uma estrela G2 V, temperatura de 5800 K e
magnitude absoluta de 4.74.
Paralaxe Espectroscpica
O tipo espectral de uma estrela e a classe de luminosidade,
combinadas com a informao no diagrama H-R, permite determinar a
distncia estrela.
Uma das estrelas da Pliades tem um espectro que revela ser esta
estrela de tipo espectral B8 V (uma estrela quente, azul, da
seqncia principal). Usando o diagrama H-R mostrado anteriormente,
podemos estimar uma luminosidade de ~ 190 L. O fluxo desta estrela
medido como 3.19 x 10-13 F. Assim:
Antes de apresentar a distribuio de Maxwell-Boltzmann, vamos
discutir alguns elementos bsicos da teoria cintica dos gases (ver
os vdeos).
Distribuio de Maxwell-Boltzmann
Um estado do gs pode ser especificado por coordenadas
cannicas
{q1, q2 q3N} {p1, p2 p3N}
{pi,qi}
Um ponto no espao de fase representa um estado do sistema como
um todo, ou seja de todas as partculas.
Um grande nmero de estados do gs corresponde a uma dada condio
macroscpica do gs.
P, V, T
q
p
Gibbs chamou esta coleo de sistemas um ensemble. O ensemble
descrito por uma funo (p,q,t) tal que (p,q,t) dp dq seja o nmero de
pontos representativos, que num dado tempo t est contido no
elemento infinitesimal dp dq de centrado em p,q.
Teorema de Liouville
Se ns seguirmos o movimento de um ponto representativo no espao
, encontramos que a densidade de pontos representativos na
vizinhana constante.
Outro importante conceito o de ergodicidade, que diz que se
esperamos um tempo suficientemente longo, o locus de um ponto
representativo do sistema cobrir todo o espao de fase. Ou seja, o
ponto representativo se aproxima de qualquer ponto acessvel no
espao de fase: isto quer dizer que o ensemble correspondente ao
equilbrio termodinmico aquele para o qual constante sobre o espao
de fase acessvel.
q
p
ponto representativo
Para se compreender o esquema de classificao espectral duas
questes so importantes e devem ser investigadas. Em que rbitas os
eltrons so mais comumente encontrados ? Qual o nmero relativo de
tomos nos diferentes estgios de ionizao ?
Distribuio de Maxwell-Boltmann
A Mecnica Estatstica a rea da fsica que trata das propriedades
estatsticas de sistemas compostos de muitas partculas. Por exemplo,
um gs contm um grande nmero de partculas com uma grande variao de
velocidades e energias.
Na prtica seria impossvel descrever o comportamento detalhado de
cada partcula individualmente, no entanto o gs como um todo tem
certas propriedades bem definidas como temperatura, presso e
densidade. Para um gs em equilbrio trmico (o gs que no aumenta nem
diminui sua temperatura rapidamente) a funo de distribuio de
velocidades de Maxwell-Boltzmann descreve a frao de partculas que
possuem velocidades dentro de um certo domnio. Assim, o nmero de
partculas por unidade de volume tendo velocidades entre e + d dado
por
onde n o nmero de partculas por unidade de volume, n = n/, m a
massa da partcula, a constante de Boltzmann e T a temperatura do
gs.
O expoente da funo de distribuio a razo da energia cintica de
uma partcula do gs e a energia trmica caracterstica.
frao de partculas com velocidades entre e + d
No existe um nmero significativo de partculas com energia muito
maior ou muito menor que a energia trmica. A distribuio atinge um
mximo quando estas energias so iguais, numa velocidade denominada
velocidade mais provvel.
Devido a assimetria na distribuio com um excesso de valores de
alta velocidade, vemos que a velocidade mdia quadrtica, vmq,
ligeiramente maior do que a velocidade mdia quadrtica de uma
distribuio gaussiana.
Exemplo 1: A rea sob a curva entre duas velocidades igual a frao
de partculas naquele intervalo de velocidades. Para determinar a
frao de tomos de Hidrognio em um gs de temperatura T = 10000 K com
velocidades entre 2.0 x 104 m/s e 2.5 x 104 m/s necessrio integrar
a funo de Maxwell-Boltzmann entre os dois limites. A partir da
equao
A equao acima tem soluo analtica entre 0 e , mas entre dois
valores quaisquer necessita de integrao numrica. Mas em primeira
aproximao podemos fazer v = (v2 + v1)/2 e escrever
Aproximadamente 12.5% dos tomos de Hidrognio em um gs a 10000 K
tem velocidades entre 2.0 x 104 m/s e 2.5 x 104 m/s. Uma integrao
numrica mais precisa fornece 12.76%.
A Equao de BoltzmannOs tomos ganham e perdem energia na medida
que colidem. Assim, a distribuio de velocidades, dada pela equao de
Maxwell-Boltzmann, produz uma distribuio definida de eltrons entre
as rbitas atmicas. A distribuio de eltrons governada por um
resultado fundamental da mecnica estatstica.
Seja sa um conjunto de nmeros qunticos que identifica um certo
estado de energia, Ea. Similarmente seja um conjunto sb para um
outro estado Eb. Por exemplo, consideremos Ea = -13.6 eV, o estado
fundamental do Hidrognio, com sa = {n = 1, l = 0, ml = 0, ms =
1/2}. Ento a razo entre a probabilidade P(sb) que o sistema esteja
num estado sb e a probabilidade P(sa) que o sistema est no estado
sa dada por:
Onde T a temperatura comum aos dois estados. O termo e-E/kT
denominado fator de Boltzmann.
Consideremos, por exemplo, que Eb > Ea. Note que na medida
que kT decresce para 0 (T 0) a quantidade -(Eb - Ea)/kT - e
portanto P(sb)/P(sa) 0. Isto exatamente o que esperamos se no
existe qualquer energia trmica disponvel para elevar a energia de
um tomo a um nvel superior. Por outro lado, se existe considervel
energia trmica disponvel (T ) e -(Eb - Ea)/T 0 e P(sb)/P(sa) 1.
Novamente isso exatamente o que se espera, uma vez que com um
reservatrio ilimitado de energia trmica todos os nveis de energia
disponveis do tomo tm a mesma probabilidade.
Mas lembrem que os nveis de energia do sistema podem ser
degenerados, com mais de um estado quntico tendo a mesma energia.
Para levar em conta o nmero de estados que tem um nvel de energia,
define-se ga como o nmero de estados com energia Ea. Similarmente
como gb para o nmero de estados com energia Eb. Eles so chamados de
pesos estatsticos dos nveis de energia.
A razo da probabilidade P(Eb) que o sistema ser encontrado em
qualquer um dos gbs estados degenerados com energia Eb e a
probabilidade P(Ea) que o sistema ser encontrado em qualquer um dos
gas estados degenerados com energia Ea dada por
Atmosferas estelares contm um nmero grande de tomos, assim a
razo de probabilidades indistinguvel da razo do nmero de tomos.
Logo podemos escrever a equao de Boltzmann como:
Exemplo: Para um gs de tomos de HI, em qual temperatura o nmero
de tomos com eltrons no nvel fundamental (n = 1) ser igual ao nmero
de tomos com eltrons no primeiro nvel de excitao (n = 2) ?
Lembremos que a degenerescncia igual a 2n2. Associando o estado
a com o estado fundamental e o estado b com o primeiro estado de
excitao e fazendo N2 = N1, temos
Altas temperaturas so requeridas para um significativo nmero de
tomos de HI ter eltrons no primeiro estado de excitao. A figura ao
lado mostra a ocupao relativa dos nveis fundamental e de primeira
excitao, N2 / (N1 + N2) como funo da temperatura.
!Lembre que as linhas de absoro de Balmer so produzidas por
eltrons nos tomos de HI que realizam uma transio do nvel n = 2 para
um nvel superior. Se uma temperatura de ~ 85000 K necessria para
prover eltrons ao primeiro nvel excitado, ento porque as linhas de
absoro de Balmer alcanam seu mximo de intensidade a uma temperatura
muito mais baixa (~9520 K) ?
En = =13.6 / n2
Vamos agora calcular a frao de tomos de Hidrognio no nvel n = 2
em relao ao n = 1 para temperaturas de T=10000 K e 20000 K. Como a
diferena de energia entre os nveis 10.2 eV, temos que E2 - E1 =
10.2 g2 = 8 e g1 = 2.
Agora perguntamos - qual o comprimento de onda de um fton com
com energia equivalente a 10.2 eV ? E = h = h c / . Usando h =
4.135667 x 10-15 eV s, c = 3.0 x 108 m s-1, temos = 1216 . Usando a
Lei de Wien temos que o comprimento de onda mximo max (T = 10000 K)
= 2899 e max (T = 20000 K) = 1449 . Assim, uma estrela com Tef =
20000 K tem muito mais ftons com energia suficiente para excitar o
eltron do tomo de Hidrognio ao nvel 2.
N2 / N1 (T = 10000 K) = 0.000029 enquanto que N2 / N1 (T = 20000
K) = 0.0108, que ~ 372 vezes maior (usamos = 8.617 x 10-5
eV/K).
A intensidade de uma linha depende do nmero de tomos no estado
de energia a partir do qual a transio ocorre. Assim, precisamos
calcular que frao de todos os tomos de um elemento esto naquele
estado de energia, que depende da temperatura T. Para um sistema em
equilbrio trmico, o nmero de tomos num estado no muda com o tempo.
Cada excitao, em mdia, compensa uma des-excitao.
A Equao de Saha
A resposta questo colocada na ltima seo encontra-se no fato de
que necessrio levar em conta o nmero relativo de tomos em
diferentes estgios de ionizao. Seja i a energia de ionizao
necessria para remover um eltron de seu estado fundamental num
tomo, assim levando de um estgio de ionizao i para i+1. Por
exemplo, a energia de ionizao do Hidrognio 13.6 eV. No entanto,
pode ser que os ons iniciais e finais no sejam o estado
fundamental.
!Assim, define-se a funo de partio Z como a soma ponderada do
nmero de modos que o tomo pode arranjar seus eltrons com a mesma
energia com as configuraes mais energticas recebendo menor peso
atravs do fator de Boltzmann quando a soma realizada.
!Se Ej a energia do j-simo nvel de energia e gj a degenerescncia
deste nvel, ento a funo de partio Z definida como:
Se usamos as funes de partio Zi e Zi+1 para o tomo em seus
estgios inicial e final de ionizao, a razo do nmero de tomos no
estgio (i+1) e no estgio i dada por
Esta equao conhecida como equao de Saha, em homenagem ao
astrofsico Meghnad Saha. Note que:
1) uma vez que um eltron livre produzido no processo de ionizao,
no surpreendente que a densidade de eltrons livres, ne, (nmero de
eltrons livres por unidade de volume) esteja no lado direito da
equao.
2) Outro fato importante que quando ne aumenta, o nmero de tomos
no nvel superior de ionizao diminui, uma vez que existem mais
eltrons com os quais o on pode recombinar.
3) O fator 2 na equao reflete os dois possveis estados de spin
do eltron livre, ms = 1/2.
4) O termo em parntesis tambm relacionado ao eltron livre com me
sendo a massa do eltron.
Algumas vezes escreve-se esta equao em termos da presso de
eltrons, Pe = ne T (Lei dos gases ideais)
Combinando as equaes de Boltzmann e de SahaAgora podemos
combinar as duas equaes e explicar os espectros estelares que
observamos. Consideremos n = 2 (linhas de Balmer). O Hidrognio s
tem dois estados de ionizao, ou neutro ou ionizado.
N = N0 + N1
N0 a densidade numrica do Hidrognio neutro
N1 a densidade numrica do Hidrognio ionizado
Para determinar a intensidade da linha de absoro de Balmer
precisamos saber a densidade numrica do Hidrognio neutro com
eltrons em n = 2. Em relao ao nmero total de tomos de Hidrognio e
ons podemos escrever:
Para temperaturas tpicas em atmosferas estelares, T 50000 K T 4
eV. No entanto necessrio E = 10.2 eV para levar um eltron do nvel
fundamental ao nvel n = 2.
Grande parte dos tomos de Hidrognio na atmosfera estelar est no
nvel fundamental.
N0 a densidade numrica do Hidrognio neutro
N1 a densidade numrica do Hidrognio ionizado
frao de tomos de Hidrognio que tem um eltron no nvel n = 2.
Exerccios
1 - Mostre que temperatura ambiente a energia trmica T ~ 1/40
eV. A que temperatura T igual a 1 eV e a 13.6 eV ?
2 - Usando a figura ao lado estime a frao de tomos de Hidrognio
com uma velocidade dentro de 1 km s-1 do valor mais provvel de
velocidade.
3 - Mostre que o valor mais provvel de velocidade da distribuio
de Maxwell-Boltzmann dado por
4 - Para um gs de tomos de Hidrognio, em que temperatura o nmero
de tomos excitados no primeiro nvel 1% do nmero de tomos no estado
fundamental ? em que temperatura o nmero de tomos excitados no
primeiro nvel 10% do nmero de tomos no estado fundamental ?
5 - Considere um gs de tomos de Hidrognio neutro:
a) Em que temperatura o nmero de tomos no estado fundamental ser
igual ao nmero de tomos no segundo estado excitado (n = 3) ?
b) A uma temperatura de 85400 K, quando um nmero igual de tomos
(N) est no estado fundamental e no primeiro estado excitado,
quantos tomos estaro no segundo estado excitado (n=3). Expresse sua
resposta em termos de N.
c) Quando a temperatura, T, vai para como os eltrons no tomo de
Hidrognio estaro distribudos, de acordo com a equao de Boltzmann ?
Isto , qual ser o nmero relativo de eltrons nos nveis n = 1, 2, 3 ?
Esta ser realmente a distribuio que acontecer ? Por que ?
6 - Quando se diz que a uma temperatura de 10000 K quase todos
os tomos de Hidrognio esto no estado fundamental e que portanto a
funo de partio ZI g1 2.0, que aproximao est sendo feita neste caso
? (considere somente os trs primeiros termos da equao de
partio)
