Sistemas

SISTEMASProf. Marcelo de Oliveira Rosa

Sistemas Definição

Entidade que manipula um ou vários sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída)

Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída

Sistema

Sina

is d

een

trad

a

Sina

is d

esa

ída

Sistemas Definição

Terminologias adicionais Entradas Excitação x(t) Saídas Resposta y(t)

Matematicamente h{} é uma operação realizada sobre uma

função x(t) para produzir uma função y(t)

h{}x(t) y(t)

Sistemas Diagrama de Blocos

Somador w(t) = x(t) – y(t) + z(t)

+

-

+

x(t)

y(t)

z(t)

w(t)

++

-

+

x(t)

y(t)

z(t)

w(t) Σ+

-

+

x(t)

y(t)

z(t)

w(t)


Amplificador y(t) = K x(t)

K y(t)x(t)

y(t)x(t) K

y(t)x(t)K

Sistemas Diagramas de Blocos

Integrador/diferenciador y(t) = ∫ x(τ) dτ

(de – ∞ até t)

y(t) = dx(t)/dt

∫ y(t)x(t)

d/dt y(t)x(t)

Sistemas Exemplos

Navegação de barcos Entradas

Empuxo da hélice Posição do leme Direção e velocidade da correnteza

Saída Direção do barco Velocidade do barco

Sistema Dinâmica dos fluidos Equações do movimento de corpos

Sistemas Exemplos

Suspensão automotiva Entradas

Distância entre roda e solo Saídas

Distância entre chassi e chão Sistema

Equações dinâmicas de movimento fator de amortecimento energia elástica.

Sistemas Exemplos

Ponte Entrada

Direção do vento Velocidade do vento

Saída Deslocamento da ponte

Sistema Dinâmica dos fluidos Interação entre fluido e estrutura

exemplo: Ponte Tacoma

Sistemas Exemplos

Corpo humano Entradas

Dose de medicamento Saídas

Concentração da dose no corpo Sistema

Equação farmacocinética do medicamento Equação de infusão e eliminação do medicamento

Sistemas Modelagem de sistemas

Definir equações que “ligam” as entradas às saídas Geralmente equações integro-diferenciais

Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) Há sistemas complexos demais para

modelagem detalhada Uso de aproximações e simplificações Tratamento estocástico

Exemplos

Sistemas Propriedades

Resposta com entrada nula Saída do sistema para entrada x(t) = zero Condições de contorno não-nulas

Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída

Resposta com condições iniciais nulas Saída do sistema para entrada x(t) ≠ zero Condições de contorno nulas

Geralmente energia inicial do sistema é nula


Resposta total ≠Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas Existe situações de igualdade EDOs lineares a coeficientes constantes

Solução homogênea Solução particular


Homogeneidade Um sistema é homogêneo quando sua saída é

sempre proporcional à sua entrada Condições iniciais nulas

)t(ay)t(ax)t(y)t(x {}h{}h


Aditividade Duas entradas (x1(t) e x2(t)) produzem

respostas y1(t) e y2(t), respectivamente, para um sistema H.

Condições iniciais nulas O sistema é aditivo se x3(t) [= x1(t) + x2(t)]

produzir resposta y3(t) [= y1(t) + y2(t)]

)t(y)t(y)t(x)t(x

)t(y)t(x)t(y)t(x

21{}h

21

2{}h

2

1{}h

1


Linearidade Combinação de homogeneidade e aditividade. Princípio da superposição.

“Dividir para conquistar” Método comum a classe de sistemas (lineares)

)t(by)t(ay)t(bx)t(ax

)t(y)t(x)t(y)t(x

21{}h

21

2{}h

2

1{}h

1


Linearidade Como aplicar o método a sistemas não-

lineares? Processo de linearização

Linearização Equações diferenciais não-lineares exatas

transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas

Adição de restrições para aproximação Exemplo clássico:

Pêndulo para pequenos ângulos


Invariância no tempo Um sistema é invariante no tempo se uma

entrada x(t) atrasada/adiantada t0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t0 instantes de tempo

Condições iniciais nulas )tt(y)tt(x)t(y)t(x 0{}h

0{}h


Linearidade e Invariância no tempo LTI

“Linear and time-invariant system” Combinação de linearidade e invariância no

tempo Classe específica de sistemas

Análise será baseada em relações em excitações específicas

Uso de convolução


Estabilidade O sistema não “explode” Critério BIBO

Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas

Condições iniciais nulas

B)}t(x{h)t(yA)t(x


Estabilidade Para um sistema descrito por uma EDO linear

com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação)

Descrita por combinação linear de exponenciais complexas

Exponenciais complexas = autofunções Se Re{autovalores} ≥ zero sistema instável Se Re{autovalores} < zero sistema estável

Caso particular importante


Causalidade Um sistema é causal se ele apresenta resposta

somente durante ou após a aplicação de alguma excitação.

Sistema não-antecipatório


00 tt,0)t(ytt,0)t(x


Causalidade Causal Processamento tempo-real Não-causal processamento off-line

Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do “futuro”.


Causalidade Exemplo: Mercado de ações e filtro média-

móvel.


Memória Um sistema com memória depende das

excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual.

Também chamado sistema dinâmico Um sistema sem memória depende apenas da

excitação no instante atual Também chamado sistema estático


Reversibilidade/Inversibilidade Um sistema é inversível se excitações

singulares produzem respostas singulares


Sistema inverso “anula” completamente os efeitos do sistema direto.

Idéia de função bijetora

)}t(y{h)t(x)}t(x{h)t(y 1

Sistemas Convolução

Estado atual: Sistemas descritos por EDOs

Solução completa soluções particular + homogênea

Solução homogênea combinação linear de autofunções

Questão: Podemos analisar o sistema sem considerar

excitações e respostas?


Princípio básico Excitação

Combinação linear de sinais “elementares” Sistema específico

Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) Uso do princípio de sobreposição

Resposta Combinação linear dos efeitos produzidos pelos

sinais “elementares” Sinal elementar sinal impulso δ(t)


Sistema original F(y, y’, y’’, ..., y(n-1), y(n)) = G(x, x’, x’’, ..., x(m-1),

x(m)) y = y(t) e x = x(t)

Resposta ao impulso h(t) A(h, h’, h’’, ..., h(n-1), h(n)) = B(δ, δ’, δ’’, ..., δ(m-1),

δ(m)) h = h(t) e δ = δ(t)


Obtenção da resposta ao impulso h(t) Encontre solução homogênea de h(t) hh(t) Características da solução particular

Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondência com todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada

Para t = zero Combinação linear de h(t) e suas derivadas =

zero Para t ≠ zero Garantia de solução homogênea “vingar”


Obtenção da resposta ao impulso h(t) n>m

hh(t) u(t) n=m

hh(t) u(t) + Kδ δ(t) n<m

hh(t) u(t) + [K(m-n)u(m-n)(t) + K(m-n-1)u(m-n-1)(t) + ... + K1u1(t) + K0u0(t)]

u0(t) = δ(t), u1(t) = δ’(t), ...


Resposta ao impulso Descrição do sistema para qualquer excitação

Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo!

Como obter resposta dado h(t) e excitação?


Decomposição de x(t) em soma de pulsos Tp duração dos pulsos


Decomposição de x(t) em soma de pulsos Combinação linear de pulsos deslocados no

tempo.

unitário retangular pulso

p

p

pnpp

p

p

np

TnTt

rectT1)nT(xT

TnTt

rect)nT(x

)t(x


Pelo princípio da superposição... Válido para sistemas lineares e invariantes no

tempo Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC,

LC x(t) = pulso unitário y(t) = hp(t) )nTt(h)nT(xT)t(y pp

npp


Exemplo Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC


Exemplo Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC


Considerando o limite Tpτ Excitação

Qualquer sinal = combinação linear de δ(t)

Resposta

Integral de convolução

)tδ()t(x)tδ()x(d)t(x

)t(h)t(x)th()x(d)t(y


Diagrama de blocos y(t) = h(t) * x(t)

Reforçando h(t) resposta ao impulso do sistema

h(t)x(t) y(t)

Sistemas Propriedades da Convolução

Em relação à variável τ x(τ) é mantido é mantida fixa h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de

tempo Reflexão h(–τ) Atraso no tempo h(–(τ – t))

d)th()x()t(h)t(x)t(y


Visualização do processo Para cada t “fixo”, calculamos a integral (–∞ a

+∞)


Convolução entre dois pulsos unitários


Amostragem do impulso

Comutativa

Distributiva

)ttx(A)ttδ(A*)t(x 00

)t(x)t(y)t(y)t(x

)t(z)t(x)t(y)t(x)t(z)t(y)t(x


Associativa )t(z)t(y)t(x)t(z)t(y*)t(x

y(t)x(t) w(t)z(t)

y(t)x(t) w(t)z(t)


Distributiva )t(z)t(x)t(y)t(x)t(z)t(y)t(x

w(t)x(t) ++

+y(t)

z(t)

y(t)+z(t)x(t) w(t)


Se y(t) = x(t)*h(t) Diferenciação

Área

Escala

)t('h)t(x)t(h)t('x)t('y

)t(h de Área)t(x de Área)t(y de Área

)at(h)at(xa)at(y


Estabilidade Se x(t) é limitado

Então

Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável

Existência da convolução

d)(hB)t(h)t(x)t(y

B)t(x


Causalidade Um sistema linear e invariante no tempo é

causal se

Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real

0t,0)t(h


Memória Um sistema linear e invariante no tempo é

estático se:

Sistema sem memória

0t,0)t(h


Genericamente

Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução

M

0m

)m(m

N

0n

)n(n )t(xb)t(ya


Usando integradores (forma direta I):

∫

∫

∫

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

x(t)

∫

∫

∫

1/an

an-1

an-2

a1

a0

y(t)

+

+

+

+–


Pela propriedade de comutação

∫

∫

∫

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

y(t)

∫

∫

∫

1/an

an-1

an-2

a1

a0

x(t)

+

+

+

+–


Simplificando (forma direta II)

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

y(t)

∫

∫

∫

1/an

an-1

an-2

a1

a0

x(t)

+

+

+

+–

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