ELECTROMAGNETISMO

2006/07

APRESENTAÇÃO

• Docente: Margarida FacãoGab. 13.2.12mfacao@fis.ua.pt

• Regime de avaliação contínuapresença obrigatória em 2/3 das aulas3 testes ( 2 ao longo do período lectivo e 1 no

período de exames)• Laboratórios – notas válidas desde 2002/03

• Informações e documentos no ELEARNING

BIBLIOGRAFIA

• Fundamentals of Electricity and Magnetism, Arthur Kip

• Introdução à electricidade e magnetismo, S.K. Mendiratta

• Electricidade e magnetismo, cursos de física de Berkeley, vol. 2

ELECTROSTÁTICA

• Electrostática = Estudo dos fenómenos decorrentes de cargas eléctricas estacionárias.

• Carga eléctrica = propriedade de alguns corpos que os divide em 2 classes (positivos e negativos) de tal forma que componentes da mesma classe se repelem entre si e de classes diferentes se atraem.

Propriedades da carga eléctrica

• Conservação da carga - válido num sistema isolado.

• Quantização da carga – carga total é sempre igual a múltiplos inteiros da carga do electrão

e=1.6X10-19 Coulomb

Charles Augustin de Coulomb• Nasceu a 14 de Junho de 1736 em

Angoulême• Morreu a 23 de Agosto de 1806 em

Paris

• Em sua homenagem, deu-se seu nome à unidade de carga elétrica, o coulomb.

• Engenheiro de formação, ele foi principalmente físico. Publicou 7 tratados sobre a Eletricidade e o Magnetismo, e outros sobre os fenômenos de torção, o atrito entre sólidos, etc.

• Experimentador genial e rigoroso, realizou uma experiência histórica com uma balança de torsão para determinar a força exercida entre duas cargas elétricas - Lei de Coulomb.

Wikipedia

LEI DE COULOMB

212120 1084.8 −−−×= mNCε

221

021 4

1dqqFF

πε==

Direcção – linha que une as cargas

Sentido - atractivo para cargas de sinal contrário

- repulsivo para cargas do mesmo sinal

229

0

1094

1 −×= CNmπε

Princípio da sobreposição(distribuição discreta de cargas)

• A força eléctrica total sobre a carga q0 devida à presença de n cargas q1,q2,...,qn é igual à soma vectorial das forças exercidas por cada uma das cargas, ou seja,

i

n

i i

i rrqqF ˆ

4 12

0

00 ∑

=

=πε

onde ir é um vector unitário que aponta de qi para q0.

Exercícios• Três cargas pontuais iguais de valor Q encontram-se nos vértices

de um triângulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule a força em cada uma delas.

• Três cargas pontuais +Q1, -Q2 e +Q3 estão igualmente espaçadas ao longo de uma linha. Se os módulos Q1 e Q2 forem iguais qual terá que ser o módulo Q3 para que a força total na carga Q1 sejazero?

+Q1 -Q2 +Q3

• Qual a força exercida numa carga de valor 2Q colocada no centro de um quadrado de 20 cm de lado se 4 cargas idênticas de valor Qestiverem colocadas uma em cada vértice? Refaça os cálculos parao caso em que uma das cargas dos vértices é removida.

Distribuição contínua de cargas

• Nas distribuições contínuas de carga é conveniente usar a noção de densidade de carga:

– Densidade linear de carga

– Densidade superficial de carga

– Densidade volúmica de carga )(

)(

)(

3

2

1

−

−

−

=

=

=

Cmdvdq

Cmdadq

Cmdldq

ρ

σ

λ

Exercícios

• Uma carga Q está uniformemente distribuída numa esfera de raio 2 cm.– Qual é a densidade volúmica de carga?– Qual é a carga total contida na coroa esférica

externa desde o raio 1 cm ao raio 2 cm.

• Exercício 1 das folhas.• TPC – exercício 3 das folhas

Princípio da sobreposição(distribuição contínua de cargas)

• Quando a distribuição de carga é contínua, a força total na carga q0 é igual ao integral seguinte:

rrdqqF ˆ

4 20

00 ∫=

πε

onde r é um vector unitário que aponta da cargaelementar dq para a carga q0 e o integral se estende a todo o comprimento, área ou volume carregado.

Exercício

• Um anel circular de 3 cm de raio tem uma carga total de 10-3 C uniformemente distribuída. – Qual a força numa carga de 10-2 C colocada

no seu centro?– Qual a força na mesma carga agora colocada

no eixo do anel a uma distância de 4 cm do centro do mesmo?

Campo eléctricoCampo eléctrico = quantidade vectorial definida em

cada ponto do espaço e que representa a força que actuaria numa carga positiva unitária colocada no mesmo ponto.

)/(ˆ4

12

0

CNrrqEP πε

=

Princípio de sobreposição aplicado ao campo eléctrico

Caso de distribuições discretas de cargas

Caso de distribuições contínuas de cargas

i

n

i i

i rrqE ˆ

41

12

0∑=

=πε

rrdqE ˆ

41

20∫=

πε

Exercícios• Oito cargas pontuais idênticas de valor Q C

estão colocadas uma em cada um dos vértices de um cubo cujos lados medem 10 cm.– Calcule o campo eléctrico no centro do cubo.– Calcule o campo eléctrico no centro das faces

do cubo.– Recalcule o campo eléctrico no centro do

cubo para o caso em que uma das cargas é removida.

• Ex. 6• Ex. 10

Linhas de campo eléctricoO campo elétrico é usualmente representado por linhas

tais que:• Em cada ponto a direcção do campo eléctrico é

tangente a essa linha• A sua densidade numa dada região é proporcional à

intensidade do campo nessa região.• Começam nas cargas positivas e terminam nas cargas

negativas• O número de linhas que começam ou terminam numa

carga é proporcional ao valor dessa cargaPossível devido ao facto do campo eléctrico ser descrito

por uma lei inversamente proporcional ao quadrado da distância.

http://qbx6.ltu.edu/s_schneider/physlets/main/efield.shtml

FLUXOFluxo de um campo vectorial através de uma

superfície é dado pelo integral

.

onde é um vector perpendicular ao elemento de área cuja intensidade é igual a d e sentido para fora.

S

FS

F dS

dS dSS

Φ =

•

∫∫

é o campo nesse pedaço elementar (considerado constante porque o pedaço é muito pequeno)

. é um escalar conhecido como fluxo de através de (é o produto interno entre estes dois vectores

F

F dS F dS•)

SF

θ

cosFS θΦ =

20

22 2

0 0 0

(campo é sempre paralelo a )

(função integranda é constante em toda a superfície)

.

4

44 4

esferade raio R

E dS

E dS

qEdS dSR

q q qdS RR R

πε

ππε πε ε

Φ =

= =

= = × =

∫

∫ ∫

∫

Fluxo do campo eléctricoFluxo do campo eléctrico produzido por uma carga

pontual através de uma superfície esférica de centro na carga

q

Fluxo não depende do raio da esfera.

1dS

2dS θ

220 2

120 1

2 12 22 1

fluxo através do elemento externo

cos4 fluxo através do elemento esférico

4Relação entre os dois elementos de área

dS dScos

q dSR

q dSR

R R

θπε

πε

θ

•

•

•

× =

O fluxo através dos dois elementos é o mesmo

Como existe uma correspondência biunívoca entre os elementos da superfície da esfera e os da superfície

arbitrária.

O fluxo através da superfície arbitrária é igual ao fluxo através da esfera.

0

. , para várias cargas discretasi

i

SF

qE dS

ε=

∑∫

0

. , para uma carga pontualSF

qE dSε

=∫

0

. , para uma distribuição contínua de cargaSF

dqE dS

ε= ∫∫

Lei de Gauss

0

.SF

QE dSε

=∫

O fluxo do campo eléctrico através de uma superfície fechada é igual à carga total no interior

dessa superfície dividida por ε0

- Lei equivalente à lei de Coulomb.- Formulação inversa – através do conhecimento do campo podemos conhecera carga total.-Permite-nos calcular o campo em problemas com distribuições simétricasde carga.

Carl Friedrich Gauss• Nasceu em Braunschweig a 30 de Abril de 1777 e morreu em Göttingen a 23 de Fevereiro de 1855.

• Matemático, astrônomo e físico alemão.

• Desenvolveu teorias e métodos na área dos erros de observação. Entre eles, o método de mínimos quadrados (que inventou aos 18 anos) e a lei de distribuição normal de erros com a sua curva em formato de sino a que se dá o mome de Gaussiana.

Exercícios

• Calcule o campo eléctrico produzido por uma esfera de raio R uniformemente carregada com densidade de carga ρ. Faça os cálculos para dentro e fora da esfera.

• Exercícios 16 e 17.

Trabalho da Força EléctricaPara aproximarmos uma carga de outra do mesmo sinal é

necessário realizar trabalho. O trabalho efectuado é igual em módulo mas de sinal contrário ao trabalho da força eléctrica

o qual neste caso é negativo.

+ +

AB

el. 0B

AW F dl= <∫

A carga afasta-se de B para A pela açção da força eléctrica. Neste caso o trabalho da força eléctrica é positivo.

+ +B A

el. 0B

AW F dl= >∫

Energia Potencial EléctricaComo a força eléctrica é conservativa, o trabalho da força

eléctrica não depende do caminho. Assim é possível definir uma energia potencial eléctrica. Nos casos do slide anterior:

• A energia potencial eléctrica aumentou no primeiro caso,

• A energia potencial eléctrica diminuiu no segundo caso.

el.B

B AA

U U F dl− = −∫

Potencial EléctricoComo a energia potencial eléctrica depende da quantidade

de carga que se está a mover é útil definir energia potencial eléctrica por unidade de carga a que se dá o nome de potencial eléctrico.

el

móvel móvel

..

B

BB A A

BAA

F dlU UV E dl

q q−

= = − = −∫

∫

Se escolhermos um ponto de referência (ponto A fixo) a função só depende do ponto B. Usualmente usamos o ponto fixo no infinito a não ser que tenhamos uma distribuição contínua de carga com carga até ao infinito. Esse ponto fixo fica assim a um potencial zero.

.B

BV E dl∞

= −∫

Potencial do ponto P relativamente ao infinito devido a:

• Uma carga pontual q a uma distância r do ponto P.

• Uma distribuição discreta de cargas.

• Uma distribuição contínua de carga.

0

0

0

(onde é a distância da

carga ao ponto )

(onde é a distância do elemento de carga ao ponto )

4

14

14

i

i

P

iP

i i

P

r

q P

rdq P

qVr

qVr

dqVr

πε

πε

πε

=

=

=

∑

∫

Potencial eléctrico (cont.)

grad x y zV V VE u u u Vx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Reciprocamente o campo eléctrico pode ser definido a partir do potencial da seguinte forma:

O gradiente de V aponta na direcção e sentido do maior crescimento de V e o seu módulo é a taxa de crescimento nessa direcção.

Exercício 11

Superfícies equipotenciaisSuperfícies equipotenciais são superfícies onde o potencial

é constante e às quais o campo eléctrico é perpendicular.

Energia de uma distribuição de carga• Distribuição discreta de 4 cargas

A energia desta distribuição de cargas é igual ao trabalho necessário para trazer cada uma das cargas do infinito na presença do campo eléctrico devido às que já lá se encontram.

1

2 2 21

3 3 31 32

4 4 41 42 43

4 4

1 1 1

0

( )( )

(onde representa o potencial em devido à carga )

i

i i iji i j i

ij j

WW q VW q V VW q V V V

U W W q V

V i q= = = −

=== += + +

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Energia de uma distribuição de carga (cont.)

1

2 12

0 21

3 1 23

0 31 32

34 1 24

0 41 42 43

0

4

4

4

W

q qWr

q q qWr r

qq q qWr r r

πε

πε

πε

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

O trabalho será igual se transportarmos as cargas na sequênciaq1, q2, q3 e q4 ou na sequência inversa q4, q3, q2 e q1. Assim a soma das parcelas à esquerda é igual à soma das parcelas à direita.

31 4 21

0 14 13 12

32 42

0 24 23

3 43

0 34

4

4

4

40

qq q qWr r r

qq qWr r

q qWr

W

πε

πε

πε

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Energia de uma distribuição de carga (cont.)31 2 4

0 12 13 14

32 1 4

0 21 23 24

3 1 2 4

0 31 32 34

34 1 2

0 41 42 43

4 4 4

1 1 10

24

4

4

4

1 12 4 2

(onde é o potencial

ji i i

i j iijj i

i

qq q qWr r r

qq q qr r r

q q q qr r r

qq q qr r r

qU W q qV

r

V

πε

πε

πε

πε

πε= = =≠

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

em devido às restantes cargas)ir

Generalização a n cargas pode ser consultada na bibliografia: Mendiratta pag. 22

Energia de uma distribuição de cargaGeneralização para distribuições contínuas

0

12

Q

U Vdq

U Vdvρ

=

=

∫

∫

Onde V é o potencial devido à carga já presente na distribuição.

Onde V é o potencial devido a toda a distribuição de carga.

Exercícios 30 e 33.

Condutores e isoladores• IsoladoresFraca condutibilidade

eléctricaExemplo: vidro

• CondutoresBoa condutibilidade

eléctrica.Exemplo: metais

A condutibilidade eléctrica pode variar com:• a temperatura como no caso dos semicondutores,• a humidade como no caso do ar,• muitas outras condições.Condutor perfeito = material onde o deslocamento das cargas, quando sujeito a um campo eléctrico, se pode fazer sem qualquer restrição à excepção dos limites físicos do condutor.

Campo eléctrico em condutoresSituação de equilíbrio

• Cargas em repouso → Forças nulas → Eint=0• Distribuição de cargas na superfície tal que a soma do

campo por elas criadas com o campo criados por cargas exteriores é nula.

• Potencial é igual em todos os pontos. A sua superfície éuma superfície equipotencial → Esup é perpendicular àsuperfície.

Campo eléctrico em condutoresCavidades dentro de condutores

• Cavidade sem carga:- Eint é nulo- Não existem cargas na superfície interna

• Cavidade com carga:- Cargas de sinal contrário na superfície interna do

condutor para garantir campo eléctrico nulo no interior do condutor

- Eint não é nulo

Forma diferencial da lei de Gauss

.

O teorema da divergência aplica-se a campos vectoriais e é dado por

. div

onde, em coordenadas cartesianas, div é dado por

div

Usando o teorema da divergência na lei

SF Vol

yx z

F dS Fdv

FFF FF

x y z

=

∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

∫ ∫

0 .

0

de Gauss 1.

obtemos

div

SF Vol

E dS dv

E

ρε

ρε

=

=

∫ ∫

Carácter conservativo de EO teorema de Stokes aplica-se a campos vectoriaise é dado por

. rot .

onde, em coordenadas cartesianas, o rot é dado por

ˆ ˆrot

LF S

y yx xz zx y

F dl F dS

FF FF FF FF u u

y z z x x y

=

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

ˆ

Aplicando o teorema de Stokes a

. 0 (válido para campos eléctrostáticos)

obtemos

rot 0

z

LF

u

E dl

E

=

=

∫

Equações de Laplace e Poisson

0

0

Usando a forma diferencial da lei de Gauss

div

e a relação entre o campo eléctrico e o potencial, ou seja

= grad obtemos

lap (Equação de Poisson)

onde, em coordenadas cartesianas, lap

E

E V

V

V

ρε

ρε

=

−

= −

22 2

2 2 2

é dado por

lap

Em regiões onde não existe cargalap 0 (Equação de Laplace)

yx zFF FV

x y z

V

∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

=

As funções grad, div, rot e lap

2

Usando operador nabla, definido da forma

ˆ ˆ ˆ=x

podemos escrevergrad

. div

rot

lap

x y zu u uy z

f f

F F

F F

F F

∂ ∂ ∂∇ + +

∂ ∂ ∂

∇ =

∇ =

∇× =

∇ =

Estas funções têm expressões diferentes quando escritas em Coordenadas esféricas ou cilíndricas.Pode, por exemplo, verhttp://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html

Energia do campo electrostático(outra formulação)

20

A partir da expressão 12

pode-se chegar a uma nova formulação para a energiaelectrostática que é dada por

2

U Vdv

U E dv

ρ

ε

=

=

∫

∫

Condensadores

• Condensador = conjunto de dois condutores muito próximos de tal forma que o campo entre eles não é afectado por outros corpos carregados

Capacidade de um condensadorC=Q/V (Faraday)

onde Q é a carga em cada um deles e V é a diferença de potencial entre os dois.

Cálculo da capacidade

d

Capacidade de um condensador de placas paralelas (dimensão das placas é grande relativamente à distânciaentre as placas).Consideremos a área de cada placa, a distânciaente placas e a carga to

A dQ Aσ=

0

0 0

tal em cada placa.Campo produzido por cada placa (supostamente infinita)

2Entre as placas as duas contribuições do campo somam-se,obtendo-se

A diferença de potencial entre as placas é dad

E

QEA

σε

σε ε

=

= =

0 00

0

a por

Assim a capacidade é igual a

d Q QdV dyA A

ACd

ε ε

ε

= =

=

∫

Exercício 1 da 2ª série

Leis de associação de condensadores

• Condensadores em paralelo

• Condensadores em série

1 1

T ii

iT i

C C

C C

=

=

∑

∑

Campo eléctrico em isoladores/dieléctricos

• Matéria polariza-se na presença de um campo eléctrico.

Na ausência de campo eléctrico, ascargas negativas estão sobrepostasàs cargas positivas.

Na presença de campo eléctrico,as cargas negativas estão afastadasda posição de equilíbrio.

Matéria Polarizada• Cada átomo ou molécula constitui um dipolo que pode

ser caracterizado por um momento dipolar (induzido).

a-q +q p qa=

• Para melhor caracterizar a polarização podemos definir um momento dipolar por unidade de volume ao qual se dá o nome de densidade de polarização (ou apenas polarização):

(onde é o número de dipolos por unidade de volume)

(onde é a carga do electrão e o deslocamento relativo das cargas)

n

e

P np

P neΔ

=

= Δ

Polarização• Nos casos mais simples a polarização é proporcional

ao campo eléctrico médio existente no material.• Note que este campo eléctrico médio se deve à soma

do campo eléctrico externo (ou aplicado) com o campo eléctrico devido a esta polarização do material (sendo este contrário ao aplicado).

• A polarização depende ainda do grau de polarizibilidade do material.

• Assim podemos escrever:

0

onde é a susceptibilidade eléctrica do materialP Eε χ

χ=

1. Qual o campo criado pela matéria polarizada?

Suponhamos o caso mais simples em que a polarização é perpendicular a duas faces do material.

Como calcular este campo médio?

0 apl( , )P E E Pε χ=

Note que o campo médio depende da polarização, no entanto, a polarização é proporcional ao campo médio → problema implícito.

As cargas no interior cancelam e apolarização cria, em média, o mesmo campo que duas superfícies carregadas situadas nas faces perpendiculares à polarização.A densidade superficial de carga é,neste caso, dada por

p ne Pσ = Δ =

Δ

-----

----+++++

+++++

+++++

+++++

+++++

++++

P

Eapl

No caso genérico de faces não perpendiculares à polarização, a densidade superficial de carga é dada por:

cos

representa a componente de perpendicular à superfície(ver página 130)

p ne P

P PKip

σ θ ⊥

⊥

= Δ =

2. Ao campo médio total aplica-se uma lei de Gauss generalizada

0

1. ( )l pSF

E dS q qε

= +∫

carga livre

carga de polarização

Aplicação: condensador preenchido com material dieléctrico

0

Seja um condensador de placas paralelas de área e distância entre placas preenchido com um dieléctrio de susceptibilidade .Pela lei de Gauss generalizada, o campo no interior é dado por

1 ( l p

A d

E

χ

σ σε

= +

0 0 0 0

0 0l

0

)

(1 )

A capacidade do condensador é dada por(1 )QC=

Vonde é a permitividade eléctrica relativa ou constante dieléctrica.A = dá-se o nome de permitivida

l p

l r

r

r

E E E E

A A AEd d d

σ ε σ ε ε χ ε χ

σ ε χ ε ε

εε ε ε

= − = + = +

+= = =

de eléctrica.

Vector deslocamento eléctrico

0

0 total. . . p lSF SF SF

D E P

D dS E dS P dS q q q

ε

ε

= +

= + = − =∫ ∫ ∫

O vector deslocamento eléctrico tem como fonte apenas as cargas livres.

0No vazio

No dieléctrico

D E

D E

ε

ε

=

=

Exercícios 3 e 7.

Corrente eléctrica• Corrente eléctrica é um fluxo de cargas através de

condutores. • Usualmente medida em termos da intensidade de

corrente = quantidade de carga que atravessauma determinada área (ex. secção recta de um fio) por unidade de tempo.

-1 (Ampere = Cs )dqIdt

=

• O sentido positivo da corrente é o sentido do fluxo de cargas positivas. Embora na maior parte dos casos, a corrente seja produzida pelo movimento das cargas negativas.

Corrente eléctrica (cont.)• Define-se uma quantidade vectorial associada a cada ponto do

condutor onde flui a corrente,a que se chama densidade de corrente = vector cuja direcção e sentido coincidem com o fluxo de cargas positivas no ponto e cujo módulo é a intensidade de corrente por unidade de área.

-2 (Am )

.S

j nev

I j dS

=

= ∫

Se a densidade for constante em módulo e

em orientação relativa à superfície, fica

Se o fluxo for perpendicular à superfície, fica

.I j S

I jS

=

=

Lei de Ohm• A corrente eléctrica consegue-se à custa da actuação de

uma força eléctrica sobre as cargas.• Assim, existe um campo eléctrico dentro do condutor

(note que já não estamos em regime estacionário).• Existe também uma diferença de potencial entre as

extremidades do condutor.• Usualmente a intensidade de corrente é proporcional a

esta diferença de potencial de tal forma queV= R I

onde R é uma característica eléctrica do condutor designada resistência (depende do seu material constituinte, tamanho e forma) . Esta lei é conhecida com lei de Ohm.

• A unidade SI de resitência é Ohm (Ω).

Georg Simon Ohm• Nasceu a 16 de Março de 1789 em

Erlangen, Bavaria (Alemanha actual)Morreu a 6 Julho de 1854 em Munique, Bavaria.

• O pai de Georg Ohm era um autodidata notável e ele próprio educou cientificamente os seus filhos.

• Curiosidade: em 1805 Ohm entrou para a Universidade de Erlangen onde em vez de se concentrar nos estudos ocupava o seu tempo com a dança, a patinagem no gelo e o bilhar. O pai de Ohm, zangado pelo filho desperdiçar a oportunidade de estudar que ele nunca tinha tido, retirou-o da Universidade passados 3 semestres.

• O que é hoje conhecido como lei de Ohm foi publicada num livro onde ele descreve a sua teoria completa da electricidade (1827).

Determinação da resistência • Localmente a lei de Ohm pode escrever-se

Condutividade do material

1j E Eσρ

= =Resistividade do material

• Considere um cilindro de comprimento L, área de secção recta A e resistividade ρ

L

A 1 1 ,dV A dVj E I jAdy dy

I LdV dy V IA A

ρ ρ ρρ ρ

= = = =

= ⇒ = ⇒ρLR =A

Leis de associação de resistências

• Resistências em série

• Resistências em paralelo

1 1

T ii

iT i

R R

R R

=

=

∑

∑

• Exercício 11

Circuito eléctrico• Circuito eléctrico = configuração de condutores

no qual a corrente flui por um ou mais caminhos fechados constituído por:– Fontes - repoêm a energia separando a carga contra

o campo eléctrico- as fontes de tensão ideais são

caracterizadas pela d.d.p aos terminais =f.e.m– Carga – parte do circuito que gasta a energia (ex.

resistências, motor, lâmpada)– Fios de resistência baixa que ligam os vários

elementos.

Nomenclatura• Nó – junção de 3 ou mais condutores• Ramo – porção do circuito entre 2 nós• Malha – qualquer caminho fechado• Intensidade de corrente – um valor por cada ramo• Tensão ou diferença de potencial (d.d.p) – associada

aos terminais de cada elemento.

10 V

1 Ω

4 Ω

8 Ω

6 Ω

12 Ω

Leis de Kirchhoff

• Lei dos nós – a soma das correntes que entram num nó é igual à soma das que saem.

Resulta da conservação da carga.

I1

I4

I3

I2

I1=I2+I3+I4

Leis de Kirchhoff (cont.)• Lei das malhas – numa malha

a soma das f.e.m. das fontes é igual à soma das d.d.p. aos terminais das resistências.

Tanto as f.e.m. como as d.d.p. são somadas com as polaridades adquadas. Note qual o sinal do trabalho da força eléctrica.

Resulta do carácter conservativo do campo eléctrico, ou seja,

. 0E dl =∫

4 V

2 V

A

2 Ω

3Ω

3 Ω B

2 V

••

Malha 13xI3+2+2xI1-4=0

Malha 23I3+3xI2-2=0

I1

I2

I3

Análise de circuitosMétodo de Maxwell (das correntes fictícias)

• Atribui-se uma corrente a cada malha.

• Aplica-se a lei das malhas a cada malha, usando a lei de Ohm em cada resistência.

• Aplica-se a lei dos nós aos ramos comuns a duas malhas.

R1 R3

V1 V2

R2

a

b

3

1 1 1 1 2 2

2 2 2 1 2

( ) 0( ) 0

V I R I I RV I R I I R− + + − =+ + − =

I1 I2

Campo magnético• É criado por cargas em movimento• Actua sobre cargas em movimentoHistória:• Imans permanentes usados para navegação.• Oersted observa o movimento da agulha de uma

bússola na presença de uma corrente eléctrica durante uma apresentação pública sobre electricidade e magnetismo (1819). Na altura, estes fenómenos julgavam-se independentes.

• Ampère estuda a força entre dois fios paralelos transportando corrente (1820)

• Einstein explica que o campo magnético é a parte relativista do campo eléctrico.

Lei de Biot-Savart

02

0

Campo magnético criado pelo elemento

de corrente a uma distância ˆ

4ˆ aponta do elemento de corrente para o ponto onde se está a calcular o campo

é a permeabilidade magnética d

Idl r

Idl rdBr

r

μπ

μ

×=

−

−

70

o vazio

104μπ

−=

r

dl

xdB

Linhas de campo magnético• Indicam a direcção do campo magnético• Indicam a grandeza do campo magnético pela

sua densidade• Não têm fontes• São contínuas e fechadas

Exercício 1 – Fio que transporta corrente

Exemplos de linhas de campo magnético

Exercício 3 – anel de corrente

Campo magnético do solenóide

Força produzida pelo campo magnético

dF Idl B= × • Sobre elementos de corrente

• Sobre a carga q com velocidade vF qv B= ×

Equivalência entre as 2 expressões:

cargas por unidade de volumevelocidade média

A área da secção recta do condutor

Q lAnq v tAnqI nqvAt t t

nv

Δ= = = =Δ Δ Δ

===

l=vΔt

dF nAdl qv B

F qv B

= ×

= ×

Exercícios 6 e 9

Movimento de cargas na presença de campos magneticos uniformes

• Campo magnético perpendicular à velocidade inicial – movimento circular

B vF2

n

F qvBvF ma mR

vmRqB

=

= =

=

Este tipo de comportamento é usado em espectrómetros de massa onde se determina a massa de partículas carregadas medindo o seu raio num campo magnético

• Campo magnético não perpendicular à velocidade – movimento helicoidal – componente da velocidade paralela a B mantem-se constante e a componente perpendicular produz o movimento circular.

Lei de Ampère• Qual o valor da circulação (=integral de

linha ao longo de um caminho fechado) do campo magnético?

.B dl∫1. Caso do fio infinito1.1 Ao longo de uma circunferência de raio r

0 00

circunf.raio

.2 2

r

I IB dl Bdl dl dl Ir r

μ μ μπ π

= = = =∫ ∫ ∫ ∫dlB

1.2 Ao longo de um caminho qualquer. O caminho pode ser subdividido em componentes de arco centrado no fio e componentes radiais.

• Componentes de arco - dl aumenta com r- B diminui com

• Componentes radiais – contribuição nula para a circulação.

0Caminhoarbitrário

.B dl Iμ=∫

Lei de Ampère

0 0L A

. .B dl I j dSμ μ= =∫ ∫

Pode provar-se que para qualquer configuração de corrente a circulação de B é sempre dada por:

Qualquer caminho fechado Soma das correntes que atravessam uma área definida por L

Área definida por L

Em situações de simetria, esta lei pode ser usada para calcular o campo magnético.

Campo magnético devido a um solnóide

Anel de corrente

Solenóide muito comprido

Campo magnético de uma bobina toroidal

Pela simetria do problema, as linhas docampo serão circunferências concêntricas com o eixo da bobina toroidal.

Forma integral da lei de Ampère

0

0

Partindo da lei de Ampère

B.dl= .

e usando o teorema de Stokes

. rot .

obtemos

rot

j dS

F dl F dS

B j

μ

μ

=

=

∫ ∫

∫ ∫

Fluxo do campo magnético• O fluxo do campo magnético através de uma

superfície fechada é nulo, ou seja,

SF vol

. 0

E, usando o teorema da divergência

. div

obtemos

div 0

SF

B dS

F dS Fdv

B

=

=

=

∫

∫ ∫

Relembramos que as linhas de campo magnético são contínuas.

Força electromotriz induzida

• Quando esta é colocada numa região de campo magnético variável no tempo.

• Quando o campo magnético é constante no tempo mas a área definida pela espira varia no tempo.

• Quando a espira se movimenta numa região onde o campo magnético varia espacialmente.

• Quando a orientação relativa entre o plano da espira e o campo magnético variam no tempo.

Aparecimento de uma força electromotriz induzida numa espira:

vB

v

N S

B

N S

v

Lei de Faraday

é a área definida pela espira onde aparece a f.e.m.

onde .A

A

d B dSdtφε φ= − = ∫

Todas os efeitos descritos anteriormente têm em comum uma variaçãotemporal do fluxo do campo magnético através da superfície definidapelas espiras onde aparece a f.e.m. Matematicamente escrevemos

Princípio de Lenz: a f.e.m. tem sinal tal que a corrrente eléctrica induzida produzcampo magnético que contraria a variação do fluxo.

Energia magnética• Suponhamos um circuito contendo uma fonte de tensão, uma

resistência e uma bobina, do tipo

LdIV Ldt

= −

V0 R

L

Enquanto a corrente passa de I=0 até ao valor final I é necessário produzir trabalho contra a tensão em L que se opõe à variação de fluxo. Esta tensão é, em cada instante, dada por

O trabalho é dado pelo produto da diferença de potencial pela carga que a atravessa.tal que

2

0

12

L

I

dI dqdW V dq L dq L dI LIdIdt dt

W dW LIdI LI

= − = = =

= = =∫ ∫

Este valor é igual à energia armazenada na bobina e esta está associada ao campomagnético criado pela bobina.

Energia Magnética (cont.)

22

0

Supomos que a bobina é um solenóide comprido cujo coeficientede auto-indução é dado por

.

Usando a expressão de e

Qual a expressão da energia armazenada na bobina em termos do campo magnético?

NL Rl

μ π=

22 2 2 22 2 20

0 20 0

2

nergia encontrada no slide anterior, obtemospara a energia

1 1 vol2 2 2

A densidade de energia magnética obtida acima é válida paraoutros indutores sendo dada por:

1vol 2

N N I BU R I R ll l

U B

μμ π πμ μ

μ

= = =

=0

Transformadores• O funcionamento de um transformador baseia-se no fenómeno de indução

mútua. O transformador é composto por um enrolamento primário e um enrolamento secundário, ambos contendo um núcleo de ferro para uma melhor eficiência. O enrolamento primário é alimentado por uma tensão AC e o secundário tem menos ou mais espiras que o primário consoante queiramos diminuir ou aumentar a tensão, respectivamente.

1 1 2 2

1 1

2 2

e

A razão entre as duas tensões é igual à razão entre o número de espiras, ou seja

d dV N V Ndt dt

V NV N

φ φ= − = −

=

O núcleo de ferro permite que quase todo o fluxo do enrolamento primárioatravesse o enrolamento secundário. Assim:

Gerador de corrente alternada

Conversor de energia mecânica (rotação da bobina) em energia eléctrica.A f.m.e. Obtida é do tipo sinusoidal, ou seja,

sin( )BA tε ω ω= −

(como foi obtido no exercício 1 da 4ª série)

Motor eléctrico DC• Conversor de energia eléctrica em energia mecânica.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/motdc.html

• Espira com corrente num campo magnético uniforme sofre um torque que a faz rodar.• Um comutador é usado para inverter a corrente quando o torque é zero, para que a rotação não inverta o sentido.

Correntes de Foucault = Correntes de Eddy

• Correntes induzidas em condutores de secção finita por campos magnéticos variáveis no tempo.

• Seguindo o princípio de Lenz, estas correntes tendem a cancelar as variações do campo magnético.

• São usados em travões magnéticos, detectores de metal, etc.

• São desvantajosas quando, por exemplo, se estabelecem nos núcleos de transformadores porque provocam perdas.

Efeito pelicular = Skin effect

• Efeito que consiste na distribuição de correntes alternadas preferencialmente à superfície dos cabos condutores. Este efeito aumenta com a frequência.

Causa: correntes de Foucault que contrariam a variação do fluxo, o qual se consegue se a corrente se concentrar na superfície.

Consequência: resistência aumenta com a frequência. Porquê?

Circuitos corrente alternada (a.c.)

• Circuitos cuja fonte de tensão varia sinusoidalmente no tempo.

• Vamos estudar o comportamento de circuitos constituídos por resistências (R), bobinas (L) e condensadores (C).

Funções sinusoidais

0

0

sin( )Amplitude Frequência Angular

Frequência 2

v V tV

ω

ωωπ

=V0

0

-V02π/ωπ/ω 0

t

Comportamento da resistência• Continua válida a

lei de Ohm 00

( ) ( )

( ) cos( ) ( ) cos( )

v t Ri tVv t V t i t tR

ω ω

=

= ⇒ =

• intensidade de corrente e tensão têm a mesma frequência e estão em fase• as amplitudes obedecem à lei de Ohm

V0

V0/R

0

-V0/R

-V02π/ωπ/ω 0

t

v(t)i(t)

Comportamento da bobina

00

( )

( ) cos( ) ( ) cos2

L

L

div t Ldt

Vv t V t i t tL

πω ωω

=

⎛ ⎞= ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ -I

V0

V0/(ωL)

0

-V0/(ωL)

-V02π/ωπ/ω 0

t

v(t)i(t)

A corrente na bobina está atrasada de π/2 relativamente à tensão aos seus terminais.

Comportamento do condensador

0 0

( )( )

( ) cos( ) ( ) cos2

C

C

i t dtq tvC C

v t V t i t V C t πω ω ω

= =

⎛ ⎞= ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫+ -

IV0

V0ωC

0

-V0ωC

-V02π/ωπ/ω 0

t

v(t)i(t)

A corrente no condensador está adiantada de π/2 relativamente à tensão aos seus terminais

Os elementos têm tensões e correntes com variação temporal sinusoidal de frequência igual à da fonte.

No entanto, as amplitudes e as fases relativas variam.

Num dado circuito, cada uma das tensões ou correntes pode ser representada por uma amplitude e uma fase relativa a um

sinal de referência

Para isso, usa-se um número complexo ou vector –usualmente designado por fasor

2 2

cis ( ) eonde

e arctg

iz x iy

yx yx

θρ θ ρ ρ θ

ρ θ

= + = = =

⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

θρ

Fasores e impedâncias

2

2

0 0

0 0

( ) cos( ) e

( ) cos( ) eNesta nova notação, as relações entre tensão e intensidade para cadaum dos elementos são algébricas

e1 1e

i

i

R

iL

iC

V t V t V V

I t I t I I

V RI

V L I i LI

V I IC i C

π

π

δ

α

ω δ

ω α

ω ω

ω ω−

= + ⇒ =

= + ⇒ =

=

= =

= =

Cada tensão ou corrente pode ser representada por um fasor

À constante complexa característica de cada elemento que é a razão entre o fasor tensão e o fasor intensidade

dá-se o nome de impedância e designa-se por .

1

R

L

C

ZZ R

Z i L

Zi C

ω

ω

==

=

Análise de circuitos a.c.

• Continuam válidas as leis de Kirchoff.• Estas leis aplicadas aos fasores têm como

resultado equações algébricas.• Leis de associação de impedâncias:

eq

eq

Impedâncias em série

1 1Impedâncias em paralelo

ii

i i

Z Z

Z Z

=

=

∑

∑

Circuito RLC série

~

R

C

L

0( ) cos( )V t V tω=

0

22

0

02

2

02

2

Aplicando a lei das malhas aos fasores, obtemos

10

1 10 arctg

1

( ) cos( )1

V i L R Ii C

L CV R L IC R

VI

R LC

VI t t

R LC

ωω

ω ωω θ θω

θ

ωω

ω θ

ωω

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= −⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Exercício: circuito RLC paralelo

Potência em circuitos a.c.• Resistências gastam energia• Condensadores armazenam energia sob a

forma de campo eléctrico enquanto carregam mas dispensam a energia de volta ao circuito quando descarregam.

• Bobinas armazenam energia sob a forma de campo magnético enquanto a corrente aumenta mas dispensam a energia de volta ao circuito quando acorrente diminui para zero.

Em estado estacionário, condensadores e bobinas armazenam e libertam energia mas não dissipam energia.

Potência em circuitos a.c. (cont.)

0

2 2 20

2 2 20 0

Seja uma resistência atravessada por uma intensidadesin( )

A potência instantânea é dada porsin ( )

Usualmente define-se potência média, dada por

1sin ( )

dW dW dqP VIdt dq dt

I I t

P VI RI RI t

P RI t RI

ω

ω

ω

= = =

=

= = =

= =2 2

2 0 0

0

sin ( )2 2

T RI RITt dtT T

ω = =∫

Potência em circuitos a.c. (cont.)A potência média dissipada por um circutito é

igual • à soma das potências dissipadas por cada

resistência ou

0 0

0 0 0 00

( ) ( )sendo ( ) cos( ) e ( ) cos( )a tensão e a corrente na fonte, respectivamente

1 1cos( ) cos( ) cos2

T T

T T T T

T

T T T T

P V t I tV t V t I t I t

P V I t t dt V IT

ω ω θ

ω ω θ θ

• == = +

= + =∫Factor de potência

Nomenclatura de circuitos a.c.

• Valores de tensão e corrente eficazes = valores de tensão e corrente d.c. que provocariam a mesma dissipação média de energia.

d.c.

2 2 0ef 0 ef

0ef

12 2

De modo semelhante obteríamos:

2

P PIRI RI I

VV

=

= ⇒ =

=

• Frequência de ressonância = frequência para a qual a impedância total do circuito é puramente resistiva. Nesta situação a tensão e a corrente na fonte estão em fase.

Magnetismo na matéria

• À semelhança do que acontece com o campo eléctrico, a matéria reage ao campo magnético externo funcionando também como fonte de campo magnético – resultando num campo magnético médio diferente do externo.

• No entanto, neste caso a contribuição da matéria nem sempre é contrária ao campo magnético externo.

• Assim, temos 3 tipos de fenómenos: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo.

Diamagnetismo• Ocorre em todos os materiais. No entanto, o efeito pode ser cancelado pelos efeitos paramagnéticos e ferromagnéticos que são mais fortes.

• Resulta num decréscimo do campo magnético externo.

• É provocado pela perturbação do movimento orbital dos electrões. Seguindo o princípio de Lenz esta perturbação é de forma a contrariar o campo magnético aplicado.

Paramagnetismo• Ocorre em materiais que têm electrões desemparelhados (electrões com spin por emparelhar).

• Resulta num acréscimo do campo magnético externo.

• O spin do electrão tem propriedades idênticas a uma espira de corrente. Na ausência de campo magnético externo, os vários electrões desemparelhados apresentam-se como espiras de corrente com orientação aleatória. Na presença do campo magnético estas espiras orientam-se com o campo da forma descrita abaixo.

Torque sobre uma espira de corrente na presença de um campo magnético

• I

X I

Bext

F

F

Bespira

O torque é tal que orienta o campo magnético da espira segundo o seu eixo com o campo magnético externo.

Ferromagnetismo

• Materiais ferromagnéticos são materiais em que o spin do electrão origina um campo magnético que tende a alinhar os spins dos outros electrões, estabelecendo-se domínios onde todos os spins estão alinhados.

• Na presença de um campo magnético, os vários domínios alinham-se com o campo.

• Resulta num acréscimo significativo do campo magnético externo.

• Exemplos de ferromagnéticos: ferro, níquel e cobalto.• Os ferromagnetes têm tendência para manter a sua

magnetização depois de retirado o campo externo→efeito usado em memórias magnéticas.Fenómeno que deriva do seu comportamento mais geral designado de histerese.

Os campos magnetização e H• Define-se o campo vectorial M que se designa por

magnetização que descreve as fontes de campo magnético na matéria.

• Define-se ainda o campo H que descreve apenas as fontes externas de campo magnético.

0

0

0 0 0

0

0

( )

Na ausência de matéria M=0 B=

Em alguns materiais é proporcional a

( )

(1 )

m

m

m

r

B H M

H

M H

M H

B H M H H

H

H H

μ

μ

χ

μ μ μ χ

μ χ

μ μ μ

= +

⇒

=

= + = + =

= + =

= =

Susceptibilidademagnética

Permeabilidade magnética relativa

Permeabilidademagnética

Valores típicos da susceptibiladade magnética:

ferro

zinco

alumínio

cobre 51.0 10−− ×

52.3 10−×

52.0 10−− ×

3~ 10

O diamagnetismo e o paramagnetismo não são observáveis no nosso laboratório.

Curva de histerese para uma ferromagnete

• Campos magnéticos variáveis no tempo dão origem a campos eléctricos.

Pela lei de Faraday

•Campos eléctricos variáveis no tempo darãoorigem a campos magnéticos?

. .BE dl dSt

∂= −

∂∫ ∫

0A lei de Ampère dita . .B dl j dSμ=∫ ∫

~

Sup.cinzenta

Sup.branca

. 0

. 0

j dS

j dS

≠

=

∫

∫

Resultado que parece violar a lei de Ampère.

Maxwell postulou uma nova fonte de campo magnético –o campo eléctrico variável

Neste caso, e considerando um condensador de placas paralelas infinitas. 0

d dEjdt dtσ ε= =

Em geral: 0 0 0. . .EB dl dS j dSt

μ ε μ∂= +

∂∫ ∫ ∫

Equações de Maxwell no vazio

. .BE dl dSt

∂= −

∂∫ ∫ rot BEt

∂= −

∂

0

1.SF

E dS dvρε

=∫ ∫

Forma integral Forma diferencialLei de Faraday – equação do campo magnético induzido

Equação do fluxo eléctrico

0

divE ρε

=

. 0SF

B dS =∫ d iv 0B =Equação do fluxo magnético

Lei de Ampère – equação do campo magnético induzido

0 0 0. . .EB dl dS j dSt

μ ε μ∂= +

∂∫ ∫ ∫ 0 0 0rot EB jt

μ ε μ∂= +

∂