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Matemtica FinanceiraMarco A Cunha

cunha@fgvmail.brV0414 10

Um Fundamento da Gesto FinanceiraConceito do Lucro EconmicoConceito de jurosJuros a seu favor (ou contra)Descontos de bancosAplicaes financeirasClculo de prestaes (financiamentos)Como a Matemtica Financeira est presente em sua vida2Matemtica Financeira

O princpio fundamental da matemtica financeira que existe valor do dinheiro no tempo. Um real hoje vale mais do que um real no futuro.3Conceitos Iniciais

Conceito de JurosO conceito fundamental de juros o prmio que um poupador receber por no gastar seu dinheiro, ou seja, a postergao desse direito de gasta-lo. um valor equivalente a um aluguel, s que de dinheiro, e no de um imvel.4Conceitos Iniciais

Analisa operaes de carter financeiro que envolvam entradas e sadas de dinheiro ocorridas em momentos distintos, ou seja:

Estuda o valor do dinheiro ao longo do tempo

A Matemtica Financeira uma ferramenta de auxlio tomada de deciso financeira tima:visam maximizao da riqueza5Conceitos Iniciais

As anlises da matemtica financeira utilizam o conceito de Fluxo de Caixa

Em um momento (T0) ocorre uma sada (de caixa (investimento p/ exemplo): sinal ()

Em outro momento (T1) ocorre uma entrada de caixa (resgate da aplicao): sinal (+)6Fluxo de Caixa

Avalia fluxos de caixa visando a tomada de deciso:Entradas Lquidas de Caixa FC1, FC2, FC4, e FCn

Sadas Lquidas de Caixa FC0 e FC3

FC103...Perodos124n(unid tempo)

Fluxo de Caixa

FC3FC4FCnFC2

FC0

Anlise financeira de um investimento

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FC1FC2FC3FC4FCn01234n -Io

Capital, Juros e Montante As operaes financeiras, por exemplo, emprstimos, envolvem pelo menos 2 valores:O valor que o devedor (tomador de recursos) necessita, e;O valor a ser devolvido ao credor ao trmino do prazo da operao

O credor vai querer receber juros9

Capital, Juros e MontanteJuros a quantidade cobrada pelo credor ao tomador de recursos pelo uso do seu capital, denominado Capital Inicial ou Principal, por um perodo determinado.Findo esse perodo, o credor passa a possuir um novo capital, denominado Montante, que nada mais que o capital inicial mais os juros10

Capital, Juros e Montante

Montante = Principal + Juros

Relao fundamental de equivalncia de capitais: VF = VP + JSendo:Montante ou Valor Futuro= VF (FV)Capital ouValor Presente= VP (PV)Juros= J (i)

Equivalncia de Capitais

Para um perodo (n=1):

R$ 10.000 hoje equivalente a R$ 11.000 daqui a um ano, considerando a taxa de juros de 10% a.a.

FV(1 + i)PV =FV =PV x (1+ i)e

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Taxa de Juros A taxa de juros i caracteriza o valor do aluguel do dinheiro por um determinado perodo

Pode ser expressa nas seguintes formas equivalentes:forma percentualforma decimal (forma percentual dividido por 100)10% 0,10

JurosJPrincipalPVi ==

O processo de incorporao deste juro ao capital denominado capitalizao, e pode ser por 2 mtodos (regimes):Regime de juros simplesRegime de juros compostos14Regimes de Capitalizao

Regime de Juros Simples

Juros simples

Regime de Juros Compostos

Juros compostos

Regime de Capitalizao17

Fator de CapitalizaoRegime de juros simples:

Fator de capitalizao: (1 + i x n)

Frmula de equivalncia: FV = PV (1+i x n)Regime de juros compostos:

Fator de capitalizao: (1 + i )n

Frmula de equivalncia: FV = PV (1+i)n18

Frmulas de Juros SimplesClculo dos juros a partir do capital:Jn = PV x i x n

Clculo do montanteFV = PV (1 + i x n)

Clculo do capital FV (1 + i x n)PV =19

Clculo do nmero de perodos

Clculo da taxa de juros

Frmulas de Juros Simples

Frmulas de Juros CompostosClculo dos juros a partir do capital:Jn = PV[(1 + i)n -1]

Clculo do montanteFV = PV (1 + i)n

Clculo do capital FV (1 + i)nPV =21

Clculo do nmero de perodos

Clculo da taxa de juros

Frmulas de Juros Compostos

Taxas pr e ps-fixadasPr-fixadas: Operao quando investidor e devedor j conhecem, no dia da transao, a taxa e o valor do ttulo no dia do resgate.Ps-fixada: Quando o aplicador e o devedor conhecem, no dia de sua efetivao, a taxa de juros e o ndice de atualizao monetria pactuado na operao, porm, o valor nominal s ser conhecido no dia do resgate 23

Taxa de juros realcorresponde ao juro recebido descontado a inflao no perodo. calculada atravs da seguinte frmula:

Sendo:Ir a taxa de juros reaisIj a taxa de juros da operaoIi a taxa de inflao

Taxas de juros reais

Taxa de juros realExemplo (perodo ano): Capital = $ 1.000 Juros = 17,6% e Inflao = 5%

1 + 0,1761,1761 + 0,051,05ir ==-1-1=1,12 - 1=0,12

FV1.176PV1.0500,12 (12%)i =-1 =-1 = =1,12 - 1

Taxas de juros reais

Sries de Pagamentos / RecebimentosSries uniformes antecipadas, postecipadas e diferidas; Perpetuidades; Sries no uniformes26

Srie uniforme de pagamentos

(1 + i)n - 1PMTe =PV(1 + i)n i

3

Srie de pagamentos postecipadaPMT0124 . . . .nPerodos

Srie uniforme de pagamentos

(1 + i)n i(1 + i)n - 1(1 + i)PMTb =PV

3

Srie de pagamentos antecipadaPMT012 . . . .nPerodos

Frmulas para clculo do valor de PMT em sries postecipadas (end) e sries antecipadas (begin):

(1 + i)n i(1 + i)n - 1(1 + i)n - 1(1 + i)PMTb =PMTe =PV(1 + i)n iPV

Frmulas para clculos PMT

FVi(1 + i)n - 1FV =PMT(1 + i)n - 1iPMT =PMT =PV(1 + i)n i(1 + i)n - 1PV =PMT(1 + i)n - 1(1 + i)n i

30Frmulas para clculos (modo end)

Anuidades e perpetuidadesUma anuidade consiste numa srie uniforme de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de n perodos de tempoQuando uma anuidade no tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo infinito, ento chamada de perpetuidade. Nestes casos, o PV no pode ser calculado da mesma forma que as sries finitas31

Anuidades e perpetuidades

Em ambiente perpetuidade, o PV calculado da seguinte forma:

PV = PMT i

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Fluxos no uniformesOcorre quando a srie de pagamentos (ou recebimentos) no constante. Nestes casos, necessrio calcular o valor presente (PV) de cada prestao individualmente, e somando-se os resultados encontramos o valor presente (PV) do fluxo

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Exemplo de fluxo no uniformeCalculando o PV de um fluxo no uniforme (i = 10%)

T0 T1 T2 T3 T4

100170200140

34

Exemplo de fluxo no uniformeCalculando o PV de um fluxo no uniforme (i = 10%)

T0 T1 T2 T3 T4

100170200140

VP (T1) = 90,9090VP (T2) = 140,4959VP (T3) = 150,2630VP (T4) = 95,6219

VP total = 477,2898

35

35

Sistemas de AmortizaoSistema Price, SAC e SAA36

Sistemas de amortizaoO processo de quitao de um emprstimo consiste em efetuar pagamentos peridicos (prestaes) de modo a liquidar o saldo devedor.Tais prestaes so formadas por duas parcelas: a amortizao (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do emprstimos ainda no amortizados. Prestao = amortizao + juros 37

Sistemas de amortizaoAmortizao o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. a devoluo do capital emprestado.Os juros so calculados sobre o saldo devedor do perodo anterior.38

Sistemas de amortizaoOs sistemas principais (e mais utilizados) de amortizao de emprstimos so:

Sistema de amortizao francs (Price)

Sistema de amortizao constante (SAC)

Sistema de amortizao americano (SAA)39

Sistema PriceO valor principal acrescidos dos juros so pagos em prestaes iguais e consecutivas (sries uniformes de pagamento).Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce medida que as prestaes so quitadas, eles sero decrescentes e, portanto, as amortizaes do principal sero crescentes.40

Exemplo de sistema PriceUm emprstimo de $ 100.000 (PV) ser pago em 5 (n = 5) prestaes (PMT) mensais postecipadas, com uma taxa de juros de 5% a.m. (i = 5). O valor da parcela (PMT) ser ento de:PMT = $ 23.097,48

41

Planilha de amortizao Price

MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,00123.097,485.000,0018.097,4881.902,52223.097,484.095,1319.002,3562.900,17323.097,483.145,0119.952,4742.947,69423.097,482.147,3820.950,1021.997,60523.097,481.099,8821.997,600,00115.487,4015.487,40100.000,00

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Pagando, neste perodo, os juros devidosPlanilha de amortizao Price com carncia

MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,0015.000,005.000,000,00100.000,0025.000,005.000,000,00100.000,00323.097,485.000,0018.097,4881.902,52423.097,484.095,1319.002,3562.900,17523.097,483.145,0119.952,4742.947,69623.097,482.147,3820.950,1021.997,60723.097,481.099,8821.997,600,00125.487,4025.487,40100.000,00

No pagando, neste perodo, os juros devidosPlanilha de amortizao Price com carncia

MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,00100.000,0010,005.000,000,00105.000,0020,005.250,00110.250,00325.464,975.512,5019.952,4790.297,53425.464,974.514,8820.950,1069.347,43525.464,973.467,3721.997,6047.349,83625.464,972.367,4923.097,4824.252,35725.464,971.212,6224.252,350,00127.324,8627.324,86100.000,00

0,000,00

Sistema SACNeste sistema, as prestaes so decrescentes, as amortizaes constantes e os juros decrescentesCalcula-se a amortizao dividindo o principal (PV) pelo nmero de perodos de pagamento (n)Os juros so calculados sobre o saldo devedor do perodo anterior, como na Price45

Exemplo de sistema SACUm emprstimo de $ 100.000 (PV) ser pago em 5 (n = 5) prestaes (PMT) mensais poste-cipadas, com uma taxa de juros de 5% a.m. (i = 5). O valor da 1a parcela (PMT) ser ento de: PMT1 = (100.000 / 5) +(100.000 x 0,05)PMT1 = 20.000 + 5.000PMT1 = $ 25.00046

Planilha de amortizao SAC

MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,00125.000,005.000,0020.000,0080.000,00224.000,004.000,0020.000,0060.000,00323.000,003.000,0020.000,0040.000,00422.000,002.000,0020.000,0020.000,00521.000,001.000,0020.000,000,00115.000,0015.000,00100.000,00

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Sistema Americano SAANeste sistema, a amortizao do capital ocorre na ltima parcela, com ou sem pagamentos peridicos de juros (cupom).

Os juros so calculados sobre o saldo anterior

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Pagando periodicamente os jurosPlanilha de amortizao SAA

MsPrestaoJurosAmortizaoS. devedor(n)(PMT)(Jn = SDn-1 x i)(An = PMTn - Jn)(SDn = SDn-1 - Na)00,000,000,00100.000,0015.000,005.000,000,00100.000,0025.000,005.000,000,00100.000,0035.000,005.000,000,00100.000,0045.000,005.000,000,00100.000,005105.000,005.000,00100.000,000,00125.000,0025.000,00100.000,00

Deciso de investimentoAnlise de Fluxos de Caixa50

Anlise de fluxos de caixaSo dois os mtodos mais importantes de avaliao de fluxo de caixa no uniformes:Mtodo de valor presente lquido VPLMtodo da taxa interna de retorno TIR

Para a avaliao, necessria estabelecer uma taxa de juros para descapitalizar os fluxos de caixa, chamada de taxa mnima de atratividade (TMA) ou custo de oportunidade

Taxa Mnima de Atratividade

(+) Custo de oportunidade Selic, no mnimo(+) Prmio associado ao risco pelo tipo do negcio(+) Prmio associado a durao do investimento

(=) Expectativas dos Investidores

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Valor Presente de um AtivoAvaliao de ativos pelo mtodoFLUXO DE CAIXA DESCONTADO

53

Exemplo

Devemos projetar os resultados futuros deste investimento pelos prximo 3 anos Avaliando um projeto que tenha uma vida economicamente til de 3 anos54

Projetar os Resultados Futuros

T0 T1 T2 T3 VPFC1FC2FC355

55

Descontar os Fluxos de Caixa

T0 T1 T2 T3 VPFC1FC2FC3

56

56

Somatrio dos VPs dos FCs projetados

VP = + +Valor do Projeto hoje57

57

ExemploUm projeto paga os seguintes fluxos de caixa para os prximos 3 anos:

T1 T2 T311.000 12.10013.310

Considere a taxa de juros de 10% a.a.58

Exemplo Representando de forma integral os fluxos de caixa do projeto: T0 T1 T2 T3 11.00012.10013.31010.00010.00010.00030.000

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Valor Presente Liquido VPLMEDE $$$$$$Queremos saber se o projeto custa mais do que vale ou vale mais do que custa.VPL positivo o LUCRO. VPL negativo o PREJUZO. VPL = Valor (t0) Custos (t0) VPL = VP I060

Anlise do VPL:

Deciso atravs do VPL

Exemplo Projeto A Um projeto precisa de R$ 27.000,00 e gera os seguintes fluxos de caixa para os prximos 3 anos:

1 Ano:11.0002 Ano:12.1003 Ano:13.31062

Exemplo Projeto ARepresentando de forma integral os fluxos de caixa do Projeto B:

T0 T1 T2 T3-27.00011.00012.10013.310

Considere Taxa de desconto de 10%63

Exemplo Projeto ASoluo:Taxa= 10%VP = 30.000I0 = 27.000VPL = VP I0 VPL = 30.000 27.000 = 3.000

Taxa de desconto de 10%

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Exemplo Projeto ALanamentos na Calculadora HP12C

27.000 CHSgCfo11.000gCfj12.100gCfj13.310gCfj10 ifNPV = 3.000,00

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Taxa Interna de Retorno TIRTambm chamada de taxa interna de jurosMEDE Taxa %Queremos saber se um investimento apresenta taxas de retorno maiores ou menores que a taxa de seu custo de capitalA TIR deve ser maior que a TMA do projeto para ser vivel a taxa que Zera o VPL66

Anlise da TIR ou TIJ:Deciso atravs da TIR ou TIJ

Taxa Interna de Retorno TIR

Projeto X

T0 T1 (1.000)1.200

TIR = ?

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Taxa Interna de Retorno TIR

Projeto X

T0 T1 (1.000)1.200

TIR = 20% a.a.

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Taxa Interna de Retorno TIR

Projeto X na Calculadora

1.000 chsgCfo 1.200gCfj fIRR = 20%70

Exemplo Projeto ASoluo:Taxa= 10%VP = 30.000Inv.= 27.000VPL = 3.000TIR = 16,00% a.a.71

FimObrigado e sucesso a todos

cunha@fgvmail.br 72

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