SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS:

IDÉIAS QUE OS ENVOLVE E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Umbelina Rodrigues de Sousa

Secretaria de Educação, Esporte e Cultura – SEDUC.

Campina Grande-PB

umbelinarodrigues@hotmail.com

Quem Sabe Somar Sabe Dividir

Somar é a primeira operação matemática que se aprende, a que temos mais

facilidade e a que gostamos mais.

Primeiro agente gosta de somar várias vezes palitos e giz, depois brinquedos e

roupas da moda, depois somar dinheiro, depois somar carros e casas, e sempre somar

alegria e felicidade. Isto já é multiplicação, que também é fácil de aprender, é só somar

várias vezes a mesma coisa.

A Segunda operação que aprendemos é a subtração. Aí começa a ficar estranho.

Principalmente quando tem que “pedir emprestado” na casa do vizinho, digo casa

decimal ao lado. Ninguém gosta mais de diminuir do que somar.

Quando chega na divisão é quase um desespero, ainda mais quando sobra um

resto. É que ninguém entende aonde ou pra quem vai ficar o resto. Até no cotidiano

ninguém gosta de dividir nada. A dificuldade no aprendizado não parece à toa, o

homem rejeita essa prática.

Quando o homem aprender a dividir corretamente e souber onde deve ficar o

resto, entenderá que é o mesmo que somar para alguns, mantendo a quantidade de

outros, sem necessariamente subtrair de alguém, ou seja, é o mesmo que somar igual

para todos; entenderá também que somando os restos teremos mais um inteiro divisível,

fazendo outros felizes. O resultado final também é uma soma, a soma da felicidade

geral. Poderíamos até chamar esta operação de soma distribuída.

Com esta visão, com certeza a matemática daria mais resultados, talvez fosse

dispensável aprender contas de dividir e os homens continuariam felizes a somar

palitos, brinquedos, dinheiros, carros, casas e felicidade, porém não somente para si.

Quem sabe?

Odylanor Havlis

O que é número?

Quando perguntamos a um grupo de pessoas o que é número, notamos a

principio certo constrangimento. Realmente, é estranho não termos, na ponta da língua,

uma definição para algo tão familiar. Usamos números o tempo todo em nossa vida:

para tomar um ônibus, fazer um pagamento, encontrar um endereço, saber a idade da

vizinha etc.

Diante dessa pergunta, aos poucos as pessoas começam a organizar as idéias, e

surgem respostas como: “È quantidade”; “È um símbolo”; “È um símbolo que

representa uma quantidade”. Em geral, alguém corrige: “O símbolo não é numero; é

numeral”.

Os números desempenham várias funções: podem servir como código, pode

descrever quantidade nos resultados de uma contagem ou de uma medição, podem até

mesmo indicar uma ordem. Desempenhando todas essas funções, eles passaram a ser

indispensáveis no cotidiano do homem.

Sistema de Numeração Decimal – SND

Introdução

O nosso ingresso no mundo dos números se dá através da tentativa de construção

de um sistema de numeração que nos permita compreender a utilização dos números na

vida e que torne mais rápida e eficaz a realização dos cálculos.

Há muito tempo o homem percebeu que é mais fácil contar uma grande

quantidade de elementos fazendo agrupamentos, usamos essa idéia até hoje; a esses

agrupamentos dá-se o nome de base de um sistema de numeração; é evidente o uso de

diversas bases nas contagens que realizamos, a exemplo da contagem das horas (base

60), e do sistema binário (base 2), usado com muita propriedade pelo mundo da

informática, quando realizamos a contagem de uma grande quantidade de objetos,

através de agrupamentos de 3 em 3, de 5 em 5 etc., dentre outras.

No Sistema de Numeração Indo-arábico a escolha da base é arbitrária (qualquer

natural maior que 1); por razões históricas e anatômicas a base mais utilizada é a

decimal. Ao adotar uma base muito pequena, usam-se rapidamente muitos algarismos

para representar um número, 100011, por exemplo, é a forma binária de 35 na base dez,

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por outro lado, a escolha de uma base muito grande, leva à necessidade de se estender o

conjunto de símbolos para a representação dos números e a determinação do valor

posicional tornar-se-ia complicado.

Os Hindus, que inventaram os símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, contavam

quantidades agrupando os elementos de dez em dez. Por esse motivo, o sistema de

numeração dos hindus é um sistema de numeração decimal, ou seja, a passagem para a

posição imediatamente superior só será feita mediante agrupamentos de 10, ou seja, 10

elementos de uma ordem qualquer equivalem a um elemento da ordem que lhe é

imediatamente superior.

Outra idéia de contagem está relacionada com o valor que cada algarismo

assume, dependendo da posição que ele ocupa, o que faz o sistema ser posicional, como

revela esta frase de um desconhecido escriba egípcio, escrita muito tempo antes de os

hindus inventarem os famosos símbolos: “De lugar em lugar cada um vale dez o

precedente”, isto é, cada posição confere ao algarismo um valor dez vezes maior que a

posição a sua direita ou, em um número, todo algarismo escrito à esquerda de outro vale

dez vezes mais que se estivesse no lugar desse outro. Não se podem escrever dois

algarismos em uma mesma posição no mesmo número.

Assim, um número é dado pela soma dos valores posicionais, ou seja, todo

número pode ser escrito como a soma dos produtos dos algarismos por diferentes

potências de dez (sucessivas multiplicações por dez), isso encerra as outras duas

características do sistema, ou seja, ele é aditivo e multiplicativo.

Metodologia

É muito comum observarmos que as crianças reconheçam quantidades e lidem

com números e cálculos em situações orais ou mentais (que não necessitam da escrita),

isso em um universo de conhecimentos que eles ainda não os têm sistematizado, ou seja,

ainda não dominam a escrita matemática, mas apresentam dificuldades em relacionar

esses conhecimentos com a escrita numérica e representar seu raciocínio no papel.

“Durante o trabalho com quantificação, antes da introdução de um sistema de

numeração, a criança aprende a associar a certa quantidade inferior a 10 um

símbolo determinado. Para ela o símbolo 4 representa 4 elementos de um

conjunto qualquer. Como fazê-la entender agora que o mesmo símbolo pode

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representar 40, 400, 4000, etc., dependendo da posição que ele ocupa num

número. Para isso é necessário que ela compreenda que o símbolo 4 tanto

pode se referir a 4 objetos de um mesmo conjunto, como também 4

conjuntos de 10 objetos ou 4 conjuntos de 100 objetos, e assim

sucessivamente; é esse o significado de 4 unidades, 4 dezenas, 4 centenas,

etc.” (Miguel, 1986; p. 17)

Quando começam a perceber as regularidades na escrita numérica, as crianças

ampliam seus conhecimentos e vai organizando seus procedimentos para lidar com

números e com o cálculo mental, ampliando sua compreensão das regras do Sistema de

Numeração Decimal, possibilitando-lhe então a leitura e a escrita dos números com

compreensão, bem como o entendimento do cálculo escrito, com todas as suas técnicas

operatórias; é a lógica das características do Sistema de Numeração Decimal que

explica os recursos de troca e destroca que utilizamos na resolução das operações.

Materiais Utilizados

Para alcançar o objetivo final da sistematização e compreensão das características

do Sistema de Numeração Decimal pelos alunos, devemos lançar mão de materiais os

mais diversificados possíveis, desde aqueles que o mercado oferece (material dourado,

ábaco), como os construídos pelos próprios alunos ou pelo professor (fichas coloridas,

jogos, quadro de pregas) e até mesmo material sucata (palitos, tampinhas variadas,

caixas); o professor pode ainda, com a sua percepção e intuição matemática lançar mão

de vários materiais que o mercado oferece e adaptá-los às aulas de matemática.

Primeiramente o material deve ser manipulado livremente pelos alunos aonde

ele irá descobrindo as regularidades existentes e realizando os devidos agrupamentos e

as devidas trocas, esse contato inicial será com materiais do tipo que o aluno perceba a

noção de quantidade total (palitos ou tampinhas agrupadas de dez em dez e reagrupadas

em centenas,...) e depois fazendo trocas com materiais diferentes (10 palitos valem uma

tampinha, 10 tampinhas valem uma caixinha, ...), sempre com a mediação do professor;

num segundo momento o material será usado partindo-se de um referencial (quadro

valor de lugar), também chamado por alguns matemáticos de “ábaco de papel”, pois

será usado o mesmo tipo de material e da mesma cor, para representar as ordens que

formam o número

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Sugestão de Atividade: Jogo Dez Não Pode

Atividade para alunos da alfabetização a 4ª série

Tópicos abordados: Compreensão do Sistema de Numeração Decimal; Idéia do valor

posicional.

Material: 90 ou mais palitos de picolé, elástico, Q.V.L construído pelos próprios alunos

em uma folha de papel oficio (que pode ser rascunho) e um dado para cada grupo.

CENTENA DEZENA UNIDADE

Procedimentos

O grupo espalha os palitos numa mesa e sorteia quem vai começar. Na sua vez,

joga o dado e pega o número de palitos que o dado apontar. Quando tiver dez palitos,

passa um elástico, formando um pacotinho. O jogo termina quando acabarem os palitos.

Ganha quem tiver mais palitos.

Procedimentos do professor ao final do jogo:

Quando os grupos acabarem de jogar o professor deverá fazer a devida

mediação, com indagações do tipo:

Quem ganhou o jogo?

Como você descobriu?

Quantos palitos soltos você tem?

Quantos pacotinhos?

Quantos pontos você fez?

Quantos palitos o grupo recebeu?

Observações

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A atividade pode ser feita de modo que os alunos sejam levados a registrar os

resultados obtidos e compreender o valor posicional ou não, no caso de ser realizado

o registro, é aconselhável usar o referencial (ábaco de papel)

Quando a troca é feita amarrando 10 palitos e colocando na casa das dezenas

estaremos trabalhando o material concreto, mas quando troca-se 10 palitos na casa

das unidades por um palito na casa das dezenas nesse caso estamos trabalhando o

material semi-concreto.

Operações com Números Naturais

Só conhecer os números não basta, é preciso saber operar com eles e, mais

ainda, saber quando efetuar com essa ou aquela operação, na resolução de uma dada

situação problema.

Teremos com esse trabalho a oportunidade de refletir sobre o significado das

operações com números naturais, sobre o modo como elas se relacionam e o que deve

ser levado em conta ao desenvolver um bom trabalho em sala de aula.

No inicio da escolaridade, o trabalho com as operações fundamentais pode ter

como contexto a resolução de problemas e como suporte a intuição dos alunos, suas

experiências em situações reais e concretas com pequenas quantidades, com a contagem

ou ainda com a sobrecontagem, o que dará suporte a essas ações do aluno é o trabalho

de identificação das idéias matemática que as veiculam as operações.

Adição

A adição é a operação mais natural na vida das pessoas, porque está presente nas

experiências desde muito cedo. Além disso, envolve apenas um tipo de situação, a de

juntar (ou acrescentar), que é efetivamente prazerosa; quem não gosta de juntar, ganhar

ou colecionar coisas?

Juntar: Duas irmãs vão a feira só com notas de 10 reais e de 1 real. Jovelina leva 43

reais e Selma, 35 reais. Para comprar um tapete para sua casa elas gastam todo o

dinheiro. Quanto pagaram pelo tapete?

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Na idéia de juntar da adição temos as duas quantidades que se juntam para

formar uma outra.

Acrescentar: Num caixote havia 35 laranjas seu Severino colocou no mesmo caixote

27 laranjas. Com quantas laranjas fiou o caixote?

Na idéia de acrescentar temos apenas uma quantidade e uma segunda aparece

para modificar a primeira.

Subtração

Se a adição é uma operação bastante simples de se trabalhar, o mesmo não

acontece com a subtração, e isso por diversos motivos um deles é que a subtração,

embora presente desde muito cedo no dia-a-dia das crianças, tem um aspecto afetivo

adverso, muitas vezes ligado a situações de perda e também porque a subtração envolve

idéias bastante diferentes entre si, como tirar, comparar e completar.

Tirar: Em uma cidade moravam 38 pessoas de uma mesma família. Com o passar do

tempo mudaram-se 19 para outras cidades. Quantas pessoas permaneceram morando na

cidade de origem?

Comparar: Alice tem uma coleção com 72 selos e sua irmã tem 94. Quem tem mais

selos? Quanto a mais?

Completar: Quero comprar uma mochila que custa 56 reais, mas só tenho 48 reais.

Quantos reais me faltam para comprar a mochila?

Trabalhando o termo desconhecido

Para levar as crianças a identificarem com competência a operação que resolve

um problema é conveniente colocá-la em contato com diferentes situações aditivas e

subtrativas que, para serem resolvidas, ora demandam adições, ora subtrações. É ilusão

pensar que problemas que demandam uma adição para serem resolvidos são mais

“fáceis” do que aqueles que necessitam de uma subtração para encontrarmos sua

solução.

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Assim, os problemas oferecidos aos alunos devem levá-los a tomar consciência

de que é possível prever mentalmente certos resultados de uma situação aditiva ou

subtrativa, na procura de um total, de quantos falta, do que resta, do quanto tem a mais.

No desenvolvimento das atividades é preciso dar oportunidade aos alunos de inventar

ou experimentar estratégias pessoais, de elaborar novos processos para “calcular”, num

contexto numérico que lhe seja familiar e, também de validar os resultados.

A seguir você encontra algumas situações que onde poderá analisá-las e

descobrir que idéias da adição e da subtração estão sendo trabalhadas em cada situação.

Nº SITUAÇÃO-PROBLEMA ESQUEMA IDÉIA DA SITUAÇÃO

ESTRATÉGIA DE

RESOLUÇÃO01 Joana tinha alguns lápis e deu 5

deles a seu irmão, ficando com 3. Quantos lápis Joana tinha?

subtrativa Aditiva3 + 5 = 8

02

Lucas levou 8 bolachas para a escola. Quando voltou para casa ainda tinha 3 bolachas. Quantas bolachas Lucas comeu na escola?

subtrativa Subtrativa8 – 3 = 5

03Luis ganhou R$ 15,00 e comprou uma bola por R$ 3,00. Com quantos reais Luis ficou?

subtrativa subtrativa15 – 3 = 12

04Júlio tinha R$ 4,00 e ganhou R$ 5,00 de seu pai. Com quantos reais Júlio ficou?

aditiva aditiva4 + 5 = 9

05

Numa caixa foram colocadas 5 laranjas, ficando a caixa com 11 laranjas.Quantas laranjas havia na caixa?

aditiva subtrativa11 – 5 = 6

06Carla tem R$ 8,00 e quer comprar um caderno por R$ 12,00. De quantos reais lhe falta para comprar o caderno

aditiva Subtrativa12 – 8 = 4

Embora os problemas 4 e 5 apresentem situações aditivas, as operações

adequadas para resolvê-los são diferentes assim como também são diferentes as idéias e

as ações que essas operações representam; também as situações subtrativas podem ser

resolvidas com operações diversas (adição ou subtração) que expressam idéias e ações

diferentes.

Multiplicação

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Na maioria das escolas a multiplicação é vista apenas sob seu aspecto de

“adição de parcelas iguais”. É necessário, no entanto que o professor tenha em mente a

multiplicação é também uma operação que está relacionada a situações de problemas

de contagem em que dois tipos de grandezas são combinadas para formar um terceiro

tipo, nesse caso o raciocínio combinatório nos permite organizar os elementos de

todos os modos possíveis para obtermos os resultados, problemas em que se trabalha

com os elementos de uma dada grandeza organizados numa configuração retangular,

em linhas e colunas e problemas que em que as primeiras idéias ligadas a

proporcionalidade (que é uma das mais poderosas idéias matemáticas) começam a ser

construídas pelas crianças.

Adição de parcelas iguais: Um ferreiro precisa colocar ferraduras em 6 cavalos. De

quantas ferraduras ele vai precisar?

Para responder o aluno pode fazer 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, então o professor

introduz a notação da multiplicação 6 x 4 = 24

Disposição Retangular: Seu Januário está construindo uma parede em sua casa. Ele

está colocando 6 tijolos em cada fileira. Já fez 5 fileiras. Quantos tijolos ele já gastou?

Para responder esta situação o aluno pode fazer: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ou 6 + 6 +

6 + 6 + 6 então o professor retoma a notação da multiplicação 6 x 5 ou 5 x 6.

Combinando Possibilidades: Uma gincana esportiva está sendo realizada em duas

fases. Cada participante deverá se inscrever em uma só modalidade esportiva para cada

fase, obedecendo a tabela. Juca gosta de todos os esportes oferecidos. Quantos tipos de

escolha diferentes ele poderá fazer, para decidir em quais modalidades se inscreverá na

gincana?

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Podemos resolver esta situação de várias maneiras, vejamos:

1ª)Escrevendo todas as possibilidades

2ª) Tabela de duas entradas

3ª) Diagrama de árvore

O professor deverá levar aluno a perceber que a resposta é exatamente o

resultado da multiplicação de 3 (esportes da 1ª fase) por 2 (esportes da 2ª fase).

Proporcionalidade: Uma caixa contém 5 lápis de cores. Quantos lápis haverá em 2

caixas? E em 3 caixas? E em 6 caixas?

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natação e salto; natação e arremessocorrida e salto; corrida e arremessociclismo e salto; ciclismo e arremesso

Esta idéia poderá ser mais bem trabalhada a partir de receitas diversas. O aluno

irá perceber que o resultado poderá ser encontrado através da multiplicação

Curiosidade: A Multiplicacão com o Auxílio dos Dedos

René Taton define o cálculo mental como a arte de efetuar de cabeça operaçes

aritméticas sem escrever os números que nele intervém, nem utilizar nenhum meio

material suscetível de ajudar a memória.

Uma criança a quem se manda resolver um problema há de ter, no mínimo,

retido na memória a velha tabuada. Antigamente, decorava-se a tabuada à custa da

palmatória, mas hoje, felizmente, quando nãois se emprega esse desagradável método,

as crianças resolvem os problemas efetuando os cálculos operacionais com o auxílio dos

dedos. Como injustificadamente a consulta às maquinazinhas é proibida, a

multiplicação, por exemplo, calculada sem um método lógico, demanda tempo, o que

prejudica a rapidez na resolução das operações, que deverão ser efetuadas, numa prova

de matemática, com tempo prefixo.

Enquanto a tabuada de multiplicação não se torna maquinal devido a numerosas

repetições, bem que os professores poderiam ensinar o curioso artifício empregado, já

no Século XVII, pelo matemático sírio Beha-Eddin, em seu livro Khelasat al-Hissab

(Essência do Cálculo).

A tabuada dos números maiores do que 5 e menores do que 10 é, como até os

adultos sabem, a mais difícil de memorizar. Vamos, então, verificar em que consiste o

artifício matemático empregado por aquele sábio sírio, para esses algarismos.

Inicialmente, devemos esclarecer que a mão fechada, vale 5. Se levantamos um

dedo, temos 6, se erguemos dois, temos 7, etc. Na multiplicação de 8x9, por exemplo,

levantamos na mão direita, três dedos e, na mão esquerda, quatro. A soma dos dedos em

pé, é o algarismo das dezenas (3+4=7) e o produto dos dedos que ficam abaixados é o

algarismo das unidades (2x1=2), o que dá 72. No produto de (6x8=48), levantamos, na

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mão direita um dedo e na esquerda, três. A soma dos dedos em pé é o algarismo das

dezenas (1+3=4) e o produto dos dedos das duas mãos, que ficam abaixados, o

algarismo das unidades (2x4=8), o que resulta (6x8=48).

Um pouco mais complicado, mas sem fugir à regra, é o produto de (6x6 e de

6x7). Por exemplo, o produto de (6x7=42). Como o produto dos dedos abaixados é 12,

uma dezena e duas unidades; o algarismo das unidades é 2; a soma dos dedos

levantados é3 (dezenas) com mais uma dezena, temos 4, que é o algarismo das dezenas,

o que resulta (6x7=42). O mesmo procedimento deverá ser adotado para (6x6).

Divisão

A divisão está intimamente ligada à multiplicação, surgindo como sua operação

inversa, nas situações-problema. Os problemas que envolvem números naturais sempre

se referem a uma coleção de elementos organizados em certa quantidade de grupos,

sendo que cada grupo possui a mesma quantidade de elementos.

Nesse cenário (que é multiplicativo) é possível encontrar problemas que podem

ser resolvidos com uma divisão, porém as idéias que lhe dão suporte podem ser muito

diferentes. A divisão esta ligada a duas diferentes idéias: repartir igualmente e medir,

sendo a primeira bem mais enfatizada, por isso e a idéia que a maioria das pessoas tem

da divisão.

Situação 1: Dona Jurema fez 3 bolos iguais, gastando ao todo 15 ovos. Quantos ovos

são necessários para cada bolo?

Para resolver essa situação, manipulando material concreto, a criança age de

maneira intuitiva, sabendo que são 3 bolos vai distribuindo 1 ovo para cada bolo até se

esgotarem os ovos, descobrindo que precisará de 5 ovos. A ação que ele realizou foi

“repartir igualmente os 15 ovos em 3 grupos”. A natureza do resultado é igual a da

grandeza que foi dividida.

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Situação 2: Dona Jurema tem 15 ovos e vai fazer bolos que gastam 5 ovos.Quantos

bolos dona Jurema poderá fazer?

Para resolver essa situação, manipulando material concreto, a criança precisa ir

fazendo grupos de 5 ovos, até se esgotarem todos. Só então ela verifica quantos grupos

de 5 ovos foram formados. A ação da criança agora foi descobrir “quantos grupos de 5

ovos cabem em 15 ovos” ou seja, ela está medindo os 15 ovos, tendo como unidade de

medida os 5 ovos. A natureza do resultado é diferente da grandeza que foi dividida.

Podemos perceber claramente a idéia de medir da divisão na seguinte situação:

0,3 : 0,05 = 6, se não foram inteiros divididos, como ficaram 6 inteiros para cada um ?

Nesse caso não estamos repartindo igualmente, mas medindo quantas vezes 0,05 está

contido em 0,3.

Os dois problemas podem ser resolvidos com a mesma conta. Ao se trabalhar

com números pequenos os alunos não verão a necessidade de fazer contas. Mas quando

se trabalha com números grandes os alunos facilmente irão perceber essa necessidade,

tomando consciência de que a operação é um instrumento de ajuda nos cálculos. E

chegada então a hora de introduzir o algoritmo.

Relação entre o Resto e o Quociente da Divisão

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Relação entre o resto e o divisor: o resto deve ser sempre menor que o divisor.

Uma questão que está relacionada com o resto de uma divisão e, que geralmente

não é percebida, pela falta de discussão aprofundada e pela necessidade de capacidade

interpretativa, é a seguinte: o resultado da divisão é influenciado pelo resto e

depende do contexto da situação problema. Vejamos os exemplos a seguir:

a) Repartir igualmente 27 livros com 4 pessoas. Quantos livros cada uma recebera?

b) Uma classe de 27 alunos vai a uma excursão, mas a escola não tem ônibus. Cada

professor poderá levar 4 alunos em seu carro. Quantos professores deverão ser

convocados para a excursão?

c) Repartir igualmente 27 tortas com 4 creches. Se o total das tortas deve ser distribuído,

que porção caberá a cada creche?

Por esses exemplos, podemos verificar que a mesma divisão foi efetuada em

diferentes problemas e conduziu a resultados diferentes (6, 7, 6 ¾ respectivamente),

influenciados pelo resto da divisão e pelo contexto.

Referências Bibliográficas

TOLEDO, Marília Barros Almeida e CÂNDIDO, Suzana Laino. TP 1: Planejando

e Ensino de Matemática – Cadernos de Teoria e Prática do Programa Gestão da

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* Agora 6 professores poderão levar 24 alunos e sobrarão 3 alunos. Porem esses alunos devem ir ao passeio, logo será necessário mais 1 carro, e o resultado será aumentado de 1 unidade, pois a situação exige: 7 professores serão convocados.

* No caso cada pessoa recebe 6 livros e os 3 que sobram, sobram mesmo; não influencia no resultado

* Como cada torta e uma grandeza de natureza contínua o resultado poderá ser expresso por um numero racional 6 ¾. Cada creche recebera 6 tortas inteiras e ¾ de outra.

Aprendizagem Escolar – GESTAR. Brasília, FUNDESCOLA/MEC, 2002.

__________. TP 2: Números Naturais: Conceito e Representação – Cadernos de

Teoria e Prática do Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR.

Brasília, FUNDESCOLA/MEC, 2002.

__________. TP 3: Operações com Números Naturais Caderno de Teoria e

Prática do Programa Gestão da Aprendizagem Escolar – GESTAR. Brasília,

FUNDESCOLA/MEC, 2002.

TOLEDO, Marília e TOLEDO, Mauro, Didática da Matemática. Como dois e

dois: A construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática Brasília: MEC/SEF, 1998.

SOUSA, Umbelina Rodrigues de. Um Modelo Matemático para o Estudo das

Dificudades do Sistema de Numaração Decimal – Monografia do Curso de

Especialização em Ensino de Matemática Básica. UEPB. Setembro 2002.

15