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Mecatron Projetos e Consultoria Jnior
Soluo de problemasusando Matlab
Daniel Augusto PereiraAlysson Fernandes Mazoni
2006
1
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SumrioSistemas
lineares..................................................................................................................................
3
Problema
exemplo...........................................................................................................................
3Espao de
estados............................................................................................................................
4Funo de
transferncia...................................................................................................................
8Converso de formas de
representao............................................................................................8Plos,
zeros, freqncia natural e fator de
amortecimento.............................................................
9Reposta a entradas
padronizadas...................................................................................................
10Resposta em
freqncia.................................................................................................................
13A ferramenta
LTIview...................................................................................................................
16Controle linear
bsico....................................................................................................................
17
Controle
proporcional...............................................................................................................
18Outras configuraes de
controle..............................................................................................22
Ferramenta SISOtool (SISO Single input single
output)............................................................22Simulao
de sistemas de controle no
Simulink................................................................................
25Otimizao..........................................................................................................................................34
Problema exemplo
........................................................................................................................
35Otimizao
multiobjetivo..............................................................................................................
36
Problema
exemplo.....................................................................................................................37Computao
simblica.......................................................................................................................
39
Exemplo: sistemas
lineares............................................................................................................40Exemplo:
equaes
diferenciais.....................................................................................................41
2
-
Sistemas lineares
Ao chamar um sistema fsico de linear estamos impondo sobre ele a
hiptese da validade do princpio da superposio, ou seja, para uma
combinao linear das entradas, a sada uma combinao linear das sadas
para cada entrada individualmente. Matematicamente, um sistema
linear se suas equaes de evoluo dinmica (ao longo do tempo) so
difenrenciais lineares e ordinrias.
Um sem nmero de sistemas de importncia na engenharia so tratados
como lineares. A exemplo: circuitos analgicos, motores de corrente
contnua, sistema de troca de calor e estruturas flexveis (metlica);
outros so considerados lineares por trechos, comportam-se como
lineares em uma faixa restrita de operao, como estruturas no
lineares, atuadores hidrulicos, entre outros.
Problema exemplo
Para utilizar as funes do Matlab apropriadas para simulao e
controle de sistemas lineares, utilizaremos o exemplo bastante
comum de controle de um motor de corrente contnua. A representao
utilizada aqui a usual de um conjunto de equaes diferenciais com o
tempo como varivel dependente, o que configura o que se chama de
sistema dinmico em tempo contnuo.
Um esquema da interao entre as partes eltrica e mecnica do motor
mostrado na figura abaixo:
Para esse modelo so escritas as equaes diferenciais:
J cK i a=0L iaRaRsi aK =V
=
em que a posio angular do rotor, , a velocidade; J a inrcia
associada; K, a constante eletromecnica; L, a indutncia da
armadura, Ra , a resistncia de armadura; Rs , resistncia em srie
com a armadura; e ia a corrente de armadura.
Os valores medidos para um motor em particular so mostrados na
tabela:
3
-
Parmetro ValorJ 3,4E-4 Kg.m2
L 5,03E-3 HK 1,3E-2 N.m/Ac 6,7E-5 N.s/mRa 4,03 Rs 1
Espao de estados
Como discutido em cursos de introduo a sistemas lineares e
modelagem, um sistema como esse admite a converso para forma de
espao de estados, o que corresponde a escrev-lo na forma de um
conjunto de equaes diferenciais de primeira ordem. Para um sistema
linear, isso leva, em notao vetorial, a
x=A xB uy=C xD u
em que x representa um vetor com as funes no tempo que so solues
do sistema de equaes diferenciais e chamado vetor de estado. y o
vetor com as funes do tempo que se deseja observar: as sadas. u, o
vetor com sinais impostos ao sistema descrito ao longo do tempo de
observao, o vetor de entradas. As matrizes A, B, C e D contm a
representao do sistema dinmico.
Um resultado elementar da teoria de sistemas lineares o de que
existem infinitas matrizes dessa forma que representam a mesma
relao entre entrada e sada (o mesmo sistema), bastando escolher
vetores de estado diferentes, ajustados entre um e outro por
transformaes lineares.
No caso particular em que o vetor de estados constitudo de
variveis fsicas, diz-se que se possui um modelo fsico nas matrizes
citadas.
Para o caso do motor de corrente contnua citado um modelo fsico
pode ser escrito como:
[ i a ]=[RaR sL KL 0KJ cJ 00 1 0
][ ia ][ 1L00 ]Vy=[0 1 0 ][ ia ][0 ]V
Dessa forma tem-se a entrada representada por V, a sada pela
velocidade angular e o vetor de estados dados pela seqncia
corrente, velocidade e posio. A sada observada, a velocidade
angular, definida pela forma como foi escrita a matriz C.
No Matlab, sugere-se declarar o modelo como:
4
-
>> J = 3.4e-4;>> c = 6.7e-5;>> K =
1.3e-2;>> L = 5.03e-3;>> R = 5.03;>> A = [-R/L
-K/L 0; K/J -c/J 0; 0 1 0];>> B = [1/L; 0; 0];>> C = [0
1 0];>> D =[0];
Como j dito, h outras formas possveis de representar a mesma
relao matemtica entre a entrada e a sada do sistema, porm com
interpretaes diferentes para os estados. Qualquer uma dessas
representaes pode ser usada para calcular, a cada instante de tempo
desejado, a evoluo dos estados no tempo usando os mtodo usuais de
integrao direta. Dadas as matrizes, isso seria conseguido definindo
uma funo e usando um mtodo como o ode45. Para tanto, necessrio
tambm definir uma entrada, por exemplo senoidal.
function u=entrada(t)u=sin(t);
function z = f_motor(t,x);global A Bu = entrada(t);z =
A*x+B*u;
>> tin = 0; % tempo inicial>> tfin = 10; % tempo
final>> x0 = [0;0;0]; % condio inicial>> global A
B>> [t,y] = ode45('f_motor',[tin tfin],x0);
Note que as matrizes, usadas recorrentemente dentro e fora da
funo, foram definidas como variveis globais. A figura abaixo mostra
as respostas temporais do sistema, ou seja, mostra a evoluo no
tempo da corrente de armadura, da velocidade angular e da posio
angular. Observa-se que foi calculada a evoluo temporal de todos os
estados.
>> u = entrada(t);>> figure, plot(t,y,t,u);>>
legend('Corrente de armadura [A]' , 'Velocidade Angular [rad/s]' ,
'Posio angular [rad]' , 'Tenso de alimentao [V]');
5
-
O Matlab contm estruturas de dados especficas para lidar com
sistemas lineares representados nesse padro. Um sistema linear
declarado numa estrutura de Matlab que mantm a representao em espao
de estados com o comando:
>> p = ss(A,B,C,D)
em que p passa a ser uma varivel representando um sistema
linear.A partir dessa estrutura de dados, existem comandos no
Matlab especficos para o clculo da
resposta temporal de um sistema. No caso da estrutura p definida
o seguinte cdigo pode ser utlizado:
>> t = 0:0.1:10;>> u = sin(t);>> x0 = [0;0;0];
>> figure, lsim(p,u,t,x0)
Nota-se que visualizada apenas a sada selecionada pela matriz C
do modelo no espao de estados. Caso seja de interesse calcular a
evoluo temporal de todos os estados, bastaria redefinir a matriz C,
criar sua nova representao no espao de estados e ento utilizar
novamente o comando lsim.
>> C2=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; % Clculo de todas as possveis
sadas>> p2 = ss(A,B,C2,D);>> figure,
lsim(p2,u,t,x0)
Verifica-se a nova resposta na figura com as trs sadas. Assim,
fica evidente a importncia do conhecimento da posio de cada estado
dentro do vetor de variveis de estado para a correta observao da
sada desejada.
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 1 0
- 5
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
C o r r e n t e d e a r m a d u r a [ A ]V e l o c i d a d e A n
g u l a r [ r a d / s ]P o s i o a n g u l a r [ r a d ]T e n s o d
e a l i m e n t a o [ V ]
-
70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
1 0
1 2L i n e a r S i m u l a t i o n R e s u l t s
T i m e ( s e c )
Ampli
tude
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
To:
Ou
t(1)
- 1 0
- 5
0
5
1 0
1 5
2 0
To:
Ou
t(2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 2 0
- 1 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
To:
Ou
t(3)
L i n e a r S i m u l a t i o n R e s u l t s
T i m e ( s e c )
Ampl
itude
-
Os grficos gerados a partir do comando lsim podem ser editados
clicando-se o boto direito do mouse e selecionando as opes
desejadas.
Caso o interesse seja armazenar os valores no tempo da sada em
um vetor, ao invs de traar um grfico, basta fazer o seguinte:
>> y = lsim(p,u,t,x0);
Funo de transferncia
Outra maneira de representar um sistema linear atravs de funes
de transferncia. A funo de transferncia definida como a razo entre
a transformada de Laplace da funo de sada sobre a transformada de
Laplace da funo da entrada. Conforme estudado no cursos elementares
de equaes diferenciais, essa razo, para condies iniciais nulas,
pode ser facilmente obtida das equaes diferenciais do sistema
dinmico representado. H uma funo de transferncia para cada par de
entrada e sada do sistema.
Para o sistema do motor de corrente contnua a funo de
transferncia entre a alimentao e a velocidade escrita como
s V s
= K /JL
s RaRsL cJ s c RaR sJL K2
JL.
A transformada de Laplace de um sistema linear e invariante no
tempo sempre uma razo de polinmios na varivel de Laplace (s). Desse
modo, funes de transferncia so especificadas atravs dos
coeficientes dos polinmios do numerador e do denominador. A funo de
transferncia uma maneira unvoca de representar o sistema. Em cdigo
de Matlab:
>> np = [K/(J*L)];>> dp =[1 ((Ra+Rs)/L+c/J)
c*(Ra+Rs)/(J*L)+K^2/(J*L)];>> H = tf(np,dp)
Alternativamente, pode ser definida da seguinte forma:
>> s = tf('s');>> H = (K/(J*L))/(s^2 +
((Ra+Rs)/L+c/J)*s + c*(Ra+Rs)/(J*L) + K^2/(J*L))
A varivel criada (H) tambm um sistema linear, porm representado
na forma de funo de transferncia. Os comandos de manipulao,
caracterizao e simulao de sistemas lineares que sero vistos a
seguir aplicam-se tanto a uma quanto a outra forma de
representao.
Converso de formas de representao
As formas de representao definidas pelos comandos ss e tf podem
ser convertidas de uma para a outra:
>> [a,b,c,d] = tf2ss(np,dp);>> sys_mat =
ss(a,b,c,d);
8
-
>> sys_fisico = ss(A,B,C,D);>>
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d);>> H=tf(num,den)>>
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> H=tf(num,den)
importante observar que as matrizes a, b, c e d fornecidas pelo
comando tf2ss no so iguais quelas deduzidas a partir do modelo
fsico (A, B, C e D). Isso ocorre porque a respresentao de um
sistema no espao de estados no nica e a representao padro do Matlab
no , e nem poderia ser, igual representao baseada no modelo fsico
(intuitivamente mais bvia). possvel checar que os sistemas
descritos pelas difenentes matrizes no espao de estados so os
mesmos. Para isso, basta verificar que os autovalores da matriz A
(e consequentemente os plos do sistema) so os mesmos para ambas as
representaes:
>> eig(A)>> eig(a)
Plos, zeros, freqncia natural e fator de amortecimento
Os plos e zeros de um sistema linear podem ser obtidos
diretamente a partir da funo de transferncia do mesmo,
calculando-se as razes dos polinmios do denominador e do numerador,
respectivamente:
>> polos = roots(dp)
>> zeros = roots(np)
Os plos podem ser obtidos atravs da matriz A do sistema no espao
de estados pois so iguais aos autovalores dessa matriz:
>> polos = eig(A)
Existe ainda um comando especfico para verificar os plos de um
sistema:
>> pole(H)>> pole(sys_mat)
Graficamente possvel verificar a posio dos plos e zeros no plano
complexo:
>> pzmap(H)>> pzmap(sys_mat)
9
-
Conhecidos os plos e os zeros de um dado sistema, alm de seu
ganho esttico (ganho em regime permanente, ou seja, s = 0 na funo
de transferncia), pode-se definir um outra forma de representao de
sistemas lineares:
>> k=dcgain(H);>> z=roots(np);>>
p=roots(dp);>> zp = zpk (z,p,k)
Para um sistema definido em uma varivel de uma certa estrutura
(funo de transferncia ou espao de estados) possvel calcular a
freqncia natural e o fator de amortecimento associados a cada um
dos plos:
>> damp(H) >> damp(sys_fisico) >>
[wn,z,polos]=damp(H)
Reposta a entradas padronizadas
Uma vez com o sistema definido em uma varivel, as repostas a
entradas notveis da teoria de sistemas lineares, usadas para
caracterizar o compostamento do sistema, so obtidas imediatamente.
Por exemplo, a resposta ao degrau:
>> step(p)
10
- 1 0 0 0 - 9 0 0 - 8 0 0 - 7 0 0 - 6 0 0 - 5 0 0 - 4 0 0 - 3 0
0 - 2 0 0 - 1 0 0 0- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1P o l e - Z e r o M a p
R e a l A x i s
Ima
gina
ry
Axis
-
>> step(H)
Com esse comando traado o grfico da resposta ao degrau do
sistema. Uma das vantagens da utilizao da funo step a possibilidade
de avaliar diretamente no grfico os parmetros da resposta ao degrau
(sobressinal, tempo de estabilizao, tempo de subida e valor de
regime). Para isso, basta pressionar o boto direito do mouse,
selecionar a opo characteristics e em seguida selecionar os
parmetros desejados (Peak Response, Settling Time, Rise Rime,
Steady State).
Ou ainda, pode-se desejar obter os valores no tempo da resposta
e no traar o grfico:
>> [y,t] = step(p);
>> [y,t] = step(H);
Assim possvel armazernar os valores desejados para clculos
futuros ou para traar grficos de forma mais conveniente. Outro
exemplo clsssico a resposta ao impulso:
>> impulse(p)
>> impulse(s)
>> [y,t] = impulse(p);
>> [y,t] = impulse(s);
O grfico gerado pela funo impulse tambm pode ser editado
clicando-se o boto direito do mouse.
11
-
12
S t e p R e s p o n s e
T i m e ( s e c )
Ampli
tude
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
S y s t e m : HF i n a l V a l u e : 2 5 . 7
S y s t e m : HS e t t l i n g T i m e ( s e c ) : 1 3 . 2
S y s t e m : HR i s e T i m e ( s e c ) : 7 . 4 3
Im p u l s e R e s p o n s e
T i m e ( s e c )
Ampli
tude
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00
1
2
3
4
5
6
7
8
S y s t e m : HP e a k a m p l i t u d e : 7 . 5 2A t t i m e (
s e c ) : 0 . 0 3 7 3
S y s t e m : HS e t t l i n g T i m e ( s e c ) : 1 3 . 3
-
Resposta em freqncia
O termo resposta em freqncia significa a resposta em regime
permanente de um sistema a uma entrada senoidal. Nos mtodos de
resposta em freqncia varia-se a freqncia do sinal de entrada dentro
de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. Uma das
vantagens dos mtodos de resposta em freqncia a possibilidade de se
utilizar os dados obtidos diretamente a partir das medies em um
certo sistema fsico sem necessitar recorrer a modelos
matemticos.
Os mtodos de resposta em freqncia foram desenvolvidos no perodo
entre 1930 e 1940 por Nyquist, Bode, Nichols e muitos outros. Esses
mtodos so dos mais poderosos na teoria de controle
convencional.
As respostas em regime permanente s entradas senoidais podem ser
obtidas diretamente a partir da substituio de s por na j funo de
transferncia, onde a freqncia. Dessa forma, a resposta em regime
permanente dada por:
H j=Me j
onde M o mdulo da funo de transferncia senoidal (ou relao de
amplitude entre a entrada e a sada) e a defasagem (ou diferena de
fase entre a entrada e a sada). Ressalta-se que qualquer nmero
complexo pode ser escrito em funo um mdulo e uma fase.
O diagrama de Bode constitudo de dois grficos: um o grfico do
mdulo em dB (20 log |H(j)|) de uma funo de transferncia senoidal; o
outro o grfico do ngulo de fase (em graus). Ambos so traados em
relao freqncia em escala logartmica. Ou seja, os grficos so traados
a partir do cmputo dos valores do mdulo e da fase para toda uma
faixa de freqncias.
A principal vantagem de se utilizar o diagrama de Bode que a
multiplicao dos mdulos pode ser convertida em soma. Alm disso, as
curvas podem ser traadas a partir de aproximaes assintticas
simples. A expanso da faixa de baixas freqncias pelo uso da escala
logartmica de freqncia muito vantajosa, visto que as caractersticas
dos sistemas em baixas freqncias, na prtica, so as mais
importantes.
muito simples obter o diagrama de Bode no Matlab. O cdigo em
Matlab a seguir mostra duas formas de se obter graficamente o
diagrama utilizando a funo bode.
>> figure, bode(H) >> w = 0:0.01:10e4;>>
[mag,phase] = bode(H,w);>> magdb = zeros(1,length(mag)); %
ajuste de dimenso>> phase_mod = zeros(1,length(phase)); %
ajuste de dimenso>> magdb(1,:) =
20*log10(mag(1,1,:));>> phase_mod(1,:) = phase(1,1,:);
>> figure, subplot(2,1,1), semilogx(w,magdb), axis([0 10e4
-150 50])>> subplot(2,1,2), semilogx(w,phase_mod)
13
-
14
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0M
agn
itude
(dB
)
1 0 - 2 1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
- 4 5
0
Phas
e (de
g)B o d e D i a g r a m
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
-
Para analisar a estabilidade de um sistema linear pode ser
utilizado o diagrama de Nyquist, que o lugar geomtrico de H(j) no
plano complexo medida que varia de - a +. o grfico possvel perceber
a marcao do ponto -1 no eixo real. Esse ponto fundamental para a
anlise da estabilidade do sistema. Sem entrar em detalhes, nesse
caso percebe-se que o sistema estvel porque o ponto -1+j0 no
envolvido pela curva fechada que representa o lugar geomtrico de
H(j).
15
1 0 - 2 1 0 0 1 0 2 1 0 4- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 - 2 1 0 0 1 0 2 1 0 4 1 0 6- 2 0 0
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
-
A ferramenta LTIview
As funcionalidades de anlise de sistemas LIT (lineares
invariantes no tempo) so centralizadas na ferramenta LTIview, que
permite acessar diversos tipos de grficos j vistos, como dagrama de
Bode, de Nyquist, resposta ao degrau, diagrama de lugar das razes e
outras como carta de Nichols e diagrama de valor singular. Nada
pode ser alterado no sistema, esse apenas um gerenciador grfico
para as diversas abordagens de visualizar um sistema LIT.
acessada por:
>> ltiview
Usando o menu Edit Plot configurations escolhe-se quatro grficos
por janela e as opes de resposta seguintes na ordem: resposta ao
degrau, resposta ao impulso, diagrama de bode em magnitude e
diagrama de Nyquist. A configurao e as respostas obtidas so
mostradas nas duas figuras abaixo.
16
- 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0- 1 5
- 1 0
- 5
0
5
1 0
1 5N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
Imag
ina
ry Ax
is
-
Controle linear bsico
Um dos objetivos de se obter um modelo de um sistema linear
projetar um controlador ou compensador para que se obtenham algumas
caractersticas particulares na sua resposta. O caso mais comum de
objetivo de controle o regulador: um sistema que tem o objetivo de
levar a resposta do sistema a zero em um tempo finito diante de
qualquer entrada, ou to prximo disso quanto possvel. J o
controlador chamado rastreador tem a funo de fazer a sada do
sistema acompanhar a sua entrada, da forma mais prxima possvel,
para qualquer entrada.
comum denominar o sistema a ser controlado de planta e a
configurao com planta e controlador de malha fechada.
A teoria de controle de sistemas lineares extensa e ainda em
desenvolvimento, porm, pode-se dizer que a configurao de controle
mais comum, ou seja, a conexo lgica e fsica entre um sistema e o
seu controlador mais recorrente, a seguinte:
17
-
Essa configurao corresponde ao controle em realimentao de sada.
O controlador um sistema linear que dispe da informao da sada da
planta. A entrada da planta com o controlador passa a ser a
diferena entre a entrada original e o sinal de controle.
H uma infinidade de outras configuraes possveis, por
exemplo:
em que o controlador recebe o sinal de erro, ou seja, a diferena
entre a entrada e a sada da planta.
Controle proporcional
O primeiro controlador possvel o controlador proporcional,
representado por uma constante multiplicativa na segunda configurao
mostrada acima. Isto , regula-se o controle como um mltiplo do
sinal de erro.
Para ajustar o sinal o comportamento do sistema controlado pelos
plos que ele possui pode-se usar o diagrama no lugar das razes.
Esse diagrama traa a localizao dos plos do sistema quando h um
controlador proporcional. Variando-se o ganho desse controlador, os
plos variam; o grfico resultante o citado diagrama. Ou seja, o
ganha proporcional altera a localizao dos plos no plano
complexo.
Para o sistema do motor de corrente contnua que usamos como
exemplo, o diagrama de lugar das razes produzido pode ser usado
para ajustar um ganho de 32,9 levando a plos de malha fechada
complexos e de parte real -500 e imaginria 15,8. Esse valor foi
escolhido ao acaso apenas para ilustrao, levando-se em conta
obviamente que o ganho deve levar a plos de malha fechada que
mantenham o sistema estvel (plos no semiplano esquerdo do plano
complexo).
>> rlocus(p)
18
Planta
Controlador
SadaEntrada
PlantaControlador SadaEntrada
-
Para se obter a malha fechada como varivel usa-se o comando:
>> mf = feedback(p,32.9)
Nesse caso, a varivel recm criada um sistema linear que
representa o motor original com o controlador proporcional. Nota-se
que esse controlador est inserido no ramo da realimentao (conforme
a primeira figura dos diagramas de controle). Podem ser traados sua
resposta ao impulso e mapa de plos e zeros para verificar as
caractersticas do novo sistema com a incluso do controlador
projetado.
>> step(mf)>> pzmap(mf)
19
-
A posio atingida ao final das variaes prxima de 0,03, distante
do valor do degrau (1). Esse erro pode ser corrigido multiplicando
a entrada do sistema por um valor de ajuste.
No mapa de plos e zeros, plos so representados por X e zeros por
crculos. So visualizados para esse caso, trs plos (um na origem e
um par complexo conjugado com parte real -500 e imaginria 16,9) e
um zero na origem.
Verificou-se que h uma difenrena na parte imaginria, que foi
definida anteriormente como sendo 15,8. Isso surgiu devido forma do
diagrama, que possui uma mudana abrupta nessa
20
-
regio, ou seja, apenas uma erro devido forma como feita a
interpolao dos pontos do grfico.Uma outra abordagem seria utilizar
o modelo com a sada em posio e no em velocidade.
O diagrama para esse caso, depois de aproximado por zoom:
Usando o ganho de 11,8 o sistema obtido possui o seguinte
comportamento de resposta ao degrau.
21
-
A figura mostra um sistema de elevada freqncia natural (com
oscilaes rpidas) comparativamente com o primeiro caso.
Usando o clique direito pode-se marcar caractersticas padro da
resposta do sistema, como o tempo de estabilizao ou o valor de
regime permanente.
Outras configuraes de controle
Outros tipos de controlador e configuraes so usadas. O primeiro
passo nesse sentido supor um controlador que no esttico (um ganho)
mas um sistema tambm dinmico. Os mais comuns so os controladores
PID e avano-atraso. Seus mdotos de projeto podem ser executados em
Matlab usando os comandos citados e testando a resposta.
Ferramenta SISOtool (SISO Single input single output)
O projeto de sistemas de controle pode fazer uso da janela de
funes acessada por:
>> sisotool
Acessa-se o menu File Import para obter a varivel com os dados
do sistema. Ou, j informando o sistema a ser analisado:
>> sisotool(H)
22
-
Na janela que se abre na parte superior direita h um diagrama de
blocos indicando qual a estrutura de controle usada. Clicando sobre
o boto FS as posies dos blocos so alteradas. Nota-se que so
considerados os seguintes tipos de bloco: a planta (G), o sensor (H
caso precise ser levado em conta no modelo), um pr-filtro da
entrada (F) e o controlador (C).
A funo do sensor tem o objetivo de modelar a dinmica do
transdutor utilizado para medir a sada do sistema quando da
modelagem de uma planta real. O pr-filtro simula a caracterstica de
limitao em banda de freqncia do sinal que se pode impor planta e ao
controlador. No caso aqui apresentado supe-se que o sensor mede
perfeitamente, sem atraso e sem ganho a sada e que a entrada no
possuir componentes em freqncia que no possam ser realmente
impostas planta e ao controlador. Ou seja, F = H = 1.
esquerda mostra-se a forma do controlador a ser ajustada
(current compensator). Abaixo, os trs grficos padro so o diagrama
do lugar das razes e os dois grficos do diagrama de Bode.
O SISOtool se aplica apenas a sistemas com uma entrada e uma
sada (como diz o nome em ingls). Sua operao consiste em escolher
uma forma no domnio de Laplace para o controlador e ajustar seus
parmetros variando caractersticas requeridas nos grficos de
resposta mostrados.
Usando o modelo do motor com sada em velocidade e a configurao
de controle fornecida pela janela inicial, clica-se sobre a caixa
de edio do controlador.
Al pode-se escolher a funo de transferncia desejada acrescentado
ou retirando plos e zeros. Para adicionar plos ou zeros reais ou
imaginrios basta clicar no boto correspondente e digitar o valor
inicial desejado. Para excluir, marca-se a opo delete.
23
-
Sugere-se incluir um plo e um zero reais e negativos. Essa
configurao corresponde aos controladores em avano ou em atraso. Ou
seja, um controlador com a seguinte funo de transferncia:
C s=K s zs p .
Escolhida a estrutura do controlador (clicando em OK), a
ferramenta permite alterar qualquer desses trs parmetros
dinamicamente. Nos grficos de resposta mostrados basta clicar e
arrastar os elementos que se deseja alterar e observar ar mudanas
correspondentes nos outros grficos.
Plos de malha fechada so representados por quadrados. Plos do
controlador por X e zeros do controlador por crculos. Todos esses
elementos pode ser arrastados com o mouse e as alteraes
correspondentes sero efetuadas. A curva de resposta do diagrama de
Bode direita pode ser arrastada para cima ou para baixo, mudando a
banda de passagem e o ganho do controlador.
Um exemplo de teste assim com o sistema exemplo pode levar ao
grfico mostrado abaixo:
24
-
Os plos e zeros do controlador podem ser acrescntados ou
retirados tambm usando o clique direito sobre um dos grficos e add
pole/zero ou delete pole/zero. Os casos de derivador
(differentiator) ou integrador (integrator) presentes por exemplo
em um controlador PID podem ser acrescentador diretamente.
Outros grficos podem ser mostrados na janela do SISOtool usando
o menu View e escolhendo o grfico ou dado a ser mostrado. No menu
Analysis pode-se acessar a resposta do sistema em malha fechada
invocando o LTIview, por exemplo, a resposta ao degrau obtida em
uma nova janela em Analysis Rejection of step disturbance.
Simulao de sistemas de controle no Simulink
Os sistemas de controle trabalhados anteriormente podem ser
simulados atravs do Simulink. Nota-se que os controladores devem
ser previamente projetados porque o Simulink uma ferramenta de
simulao e de suporte anlise.
O primeiro caso de simulao a ser abordado o controle
proporcional da velocidade angular do mesmo motor de corrente
contnua que vem sendo utilizado. Nesse caso, h duas diferentes
maneiras de se posicionar o controlador: no ramo direto
(amplificando o sinal de erro que entra na planta) ou no ramo
inverso (amplificando o sinal de sada enviado para realimentao).
As
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-
duas hipteses foram simuladas. Para tanto, utilizou-se o mesmo
ganho proporcional (Kp) projetado anteriormente, ou seja, um ganho
de 32,9.
A figura a seguir mostra os dois esquemas de controle
proporcional utilizados para simulao.
Para a simulao, utilizada como entrada uma funo do tipo degrau
unitrio. Esse tipo de entrada gerada a partir do bloco Step
disponvel na opo Sources da biblioteca de blocos. Ao ser inserido
na rea de criao, o bloco pode ser editado clicando-se duas vezes
sobre o mesmo. Aqui o valor do degrau mantido unitrio, mas caso
fosse necessrio poderia ser escolhido uma amplitude diferente de 1
e tambm poderia ser alterado o instante no qual o degrau
aplicado.
26
-
O sistema sob controle (motor CC) definido a partir de seu
modelo de estados (matrizes A, B, C e D) utilizando-se o bloco
State-Space encontrado na opo Continuous. necessrio duplo clique
sobre a caixa inserida para que se defina as matrizes de estado
desejadas. Pode-se digitar as matrizes diretamente nos espaos
disponveis ou apenas digitar nos espaos adequados as variveis j
calculadas e disponveis na rea de comando do Matlab, conforme
mostra a figura a seguir.
O ganho proporcional Kp representado pelo bloco Gain encontrado
na opo Commonly Used Blocks. Para alterar o ganho basta clicar no
bloco e fazer a alterao.
A visualizao da resposta feita atravs do bloco Scope retirado da
opo Sinks. Clicando-se no bloco aparece uma janela com um grfico
bidimensional. Salienta-se que padro do Matla mostrar apenas os
ltimos 5000 pontos calculados, o que pode ser alterado clicando-se
no segundo cone no canto superior esquerdo (parameters) da janela
grfica, conforme mostra a figura abaixo.
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A simulao das duas configuraes de controle proporcional, Kp no
ramo direto e Kp no ramo inverso, so mostradas, respectivamente,
nas duas figuras a seguir. Observa-se que os resultados so os
mesmos obtidos nas simulaes anteriores, quando no foi utilizado o
Simulink.
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Para realizar o controle de posio, o procedimento o mesmo
adotado para o controle de velocidade. Para tanto, basta alterar a
matriz C do sistema no espao de estados para [0 0 1], o que pode
ser feito diretamente na rea de trabalho ou no prprio bloco
State-Space. Utiliza-se o mesmo ganho proporcional projetado
anteriormente, ou seja Kp = 11,8. Novamente so utilizadas as
configuraes com Kp no ramo direto e Kp no ramo inverso. Os
diagramas so mostrados nas figuras a seguir.
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A simulao dos dois sistemas de controle pode ser vista nas duas
figuras a seguir. A primeira figura resultado da aplicao de Kp no
ramo direto e a segunda da aplicao de Kp no ramo inverso.
Outro tipo de controlador projetado anteriormente, com o auxlio
da ferramenta SISOtool, foi um controlador em avano (ou em atraso)
de fase. Para inserir um controlador desse tipo, basta escolher a
estrutura Zero-Pole encontrada na opo Continuous, e ento definir os
plos, os zeros e o ganho desejados para realizar o controle em
avano (ou atraso). A figura a seguir mostra o esquema desse tipo de
controlador.
A figura a seguir mostra a resposta ao degrau visualizada no
bloco Scope.Uma considerao importante a se fazer: possvel alterar o
mtodo (solver) utilizado pelo
Simulink para calcular as respostas temporais que so mostradas
nos blocos Scope. Por exemplo, pode-se mudar de passo fixo para
passo varivel, o que evita problemas quando h singularidades. Para
isso, necessrio clicar na opo Simulation na barra de ferramentas
superior e escolher a opo Configuration Parameters... e ento
aparecer a janela mostrada a seguir, onde possvel fazer todas as
alteraes desejadas.
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-
Tambm possvel definir o sistema a ser simulado diretamente a
partir de sua funo de transferncia. Para isso basta definir seu
diagrama de blocos, o qual pode ser facilmente construdo no
Simulink, conforme mostrado na figura abaixo. Nesse caso no so
mostrados os valores dos ganhos, os quais so tirados diretamente da
funo de transferncia entre alimentao e velocidade (motor CC).
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Nota-se novamente a existncia de um bloco somador, Sum, o qual
est disponvel na opo Commonly Used Blocks. Esse bloco pode ser
editado conforme os demais. Assim, possvel alterar o nmero de
entradas e os sinais das mesmas.
H ainda blocos integradores, que so os responsaveis por integrar
a derivada da posio para fornecer a posio. Esses blocos esto
disponveis na opo Continuous com o nome Integrator.
possvel criar subsistemas selecionando certos blocos,
clicando-se o boto direito e selecionando a opo Create Subsystem.
Selecionando todo o subsistema correspondente ao motor de corrente
contnua, ser criado um subsistema conforme mostrado na figura a
seguir.
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Tambm possvel fazer um controle proporcional conforme os
anteriores, bastando para isso utlizar o subsistema gerado a partir
do diagrama de blocos, os ganhos e o somador para a realimentao. Um
controlador proporcional (para a velocidade) inserido no ramo
direto, com o mesmo Kp j projetado ( Kp = 32,9).
A figura com o resultado da simulao pode ser observada abaixo.
Percebe-se que os
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-
resultados so os mesmos j obtidos quando o sistema foi definido
com o bloco State-Space.
Otimizao
O problema matemtico da otimizao o de encontrar, para uma dada
funo, seu valor mnimo (ou mximo) e o ponto ou intervalo em que ele
ocorre. Isso pode ser escrito como:
minx
f x ou maxxf x .
Determinar x para o qual f(x) mnimo ou mximo. x potencialmente
uma varivel vetorial, ou seja, f pode depender de vrias variveis.
Para o caso de valor mnimo tem-se um problema de minimizao;
maximizao para o caso contrrio. As funes da Matlab e outros
programas e pacotes em geral so escritas de modo a contemplar
apenas um dos dois problemas (geralmente o de minimizao). Isso
porque eles so intercambiveis: maximizar f(x) o mesmo que minimizar
-f(x). A funo f chamada funo objetivo.
Essa descrio a de um problema de otimizao irrestrita, ou seja, a
varivel x pode assumir qualquer valor. O conjunto de problemas mais
complexo o da otimizao restrita, dado por:
minx
f x sujeito a g x 0h x=0.
O que quer dizer que a varivel (chamada em teoria de otimizao de
varivel de deciso) deve pertencer a um conjunto delimitado por
funes na forma de igualdades e desigualdades (f e g so funes
vetoriais, podendo haver vrias igualdades e vrias desigualdades,
que podem ser estritas ou no). Para o caso de desigualdades no
sentido positivo, basta mutilplic-las por -1, pois g(x) < 0 o
mesmo que -g(x) > 0.
Esses dois problemas representam a primeira diviso na otimizao,
h mtodos especficos para problemas irrestritos e para problemas
restritos (muito mais complicados).
Outros casos que representam divisores de guas na otimizao
so:
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funo objetivo linear e restries lineares problema de programao
linear, resolvido usando o algoritmo simplex ou um mtodo de ponto
interior (para muitas variveis, centenas);
funo objetivo quadrtica e restries lineares algoritmo de
programao quadrtica; funo objetivo no linear e restries no lineares
programao quadrtica seqncial,
mtodo da penalidade, lagrangiano aumentado, mtodos de ponto
interior; funo objetivo no linear, sem restries mtodo de Newton;
funo objetivo descontnua ou caixa preta (sem informao das derivadas
nem
aproximaes) mtodo de Nelder-Mead (busca), algoritmo genticos;
varivel de deciso restrita a ser um nmero inteiro programao
inteira; no caso de a
varivel alm de inteira ser binria tem-se a programao inteira
binria.O Matlab possui implementaes para todas essas classes de
problemas, em alguns casos, as
funes identificam a ordem de grandeza do problema e trocam de
algoritmo ou modo de operao dependendo do tamanho do problema.
Um problema historicamente anterior ao de otimizao porm que pode
ser tratado por algoritmos semelhantes o de resolver um sistema de
equaes no lineares, ou seja, encontrar x tal que h(x) = 0. Por essa
razo so includos no mesmo pacote de otimizao no Matlab.
A funes apropriadas para lidar com esses problemas so mostradas
na tabela abaixo. Todavia, no esgotam o universo de funes de
otimizao do Matlab:
Classe de problema Funo(es)Minimizao escalar (uma funo e uma
varivel)
fminbnd
Minimizao irrestrita fminunc, fminsearch
Programao linear linprogPrograo quadrtica quadprogMinimizao
restrita fminconProgramao inteira binria bintprogSoluo de equao no
linear fzeroSoluo de sistema no linear fsolve
As funes de otimizao exigem que sejam passadas a funo objetivo e
as funes da restries. Isso pode ser feito de duas formas, definindo
cada funo na forma de um arquivo de Matlab (.m), definindo um funo
inline ou uma funo annima.
Problema exemplo
Como exemplo prope-se o seguinte problema de otimizao
restrita:min f x=ex14x1
22x224x1 x22x21
sujeito a x1 x2x1 x21,50
x1 x210.
Convertendo a segunda restrio para a forma menor do que zero,
podem-se definir duas funes no Matlab para representar a funo
objetivo e as restries.
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A funo das restries, pelo padro da mtodo a ser usado (fmincon)
deve fornecer tambm restries de igualdade como matriz vazia caso no
existam.
function [c, ceq] = confun(x)% Restries de desigualdade.c = [1.5
+ x(1)*x(2) - x(1) - x(2); -x(1)*x(2) - 10];% Restries de
igualdade.Ceq = [];
function z = fobj(x);% Funo objetivo.Z =
exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
Esse um problema de duas variveis. Uma chamada possvel para a
funo fmincon, supondo um ponto inicial de busca da soluo [-1,
1]
x0 = [-1,1];options = optimset('LargeScale','off');[x, fval] =
... fmincon(@fobj,x0,[],[],[],[],[],[],@confun,options)
A varivel options usada para determinar parmetros que controlam
a execuo do algorimo. Quase todas as funes do pacote de otimizao
admitem a estrutura com tais parmetros. Essa estrutura pode ser
criada pela funo optimset informando nome e valor dos parmetros que
se deseja fazer diferentes dos padres. Neste caso, escolheu-se usar
a forma padro do algoritmo e desativar o modo de problemas de
grande porte, que inicializidado por padro e pode inclusive ser
trocado automaticamente caso isso seja decidido pela funo de
otimizao chamada.
O valor timo da funo obtido armazenado em fval e a varivel de
deciso tima em x.x = -9.5474 1.0474
fval = 0.0236
A restries foram quase exatamente satisfeitas (quase nulas),
como pode ser verificado avaliando-as:>> [c,ceq] =
confun(x)
c = 1.0e-007 * -0.9032 0.9032
ceq = []
Otimizao multiobjetivo
Todos esses problemas envolvem uma funo objetivo escalar, ou
seja, apenas um objetivo de otimizao. Uma extenso da otimizao est
em imaginar que vrias funes devem ser otimizadas simultaneamente.
Nesse ponto entra a otimizao multiobjetivo. A abordagem mais
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comum a de definir uma funo que combina de forma monotnica todas
as funes envolvidas e minimizar essa funo definida. Outra abordagem
a de obter computacionalmente o que se chama se superfcie de
Pareto: o conjunto dos pontos para os quais h pelo menos uma das
funes objetivos otimizada sem que se possa melhorar outra funo sem
piorar alguma que j timo.
O Matlab no implementa, at a presente verso, mtodos de otimizao
que produzem automaticamente superfcies de Pareto, isso precisaria
ser programado pelo usurio. No entanto, a primeira maneira citada
de lidar com o problema pode ser usada.
Problema exemplo
O problema exemplo de minimizao multiobjetivo consiste de
encontrar valores timos para um controlador PID para otimizar o
erro na resposta no controle de um sistema afetado por no
linearidades de atuao.
Considere o sistema descrito pela funo de transferncia:
H s= 1,550s343s23s1
,
em cuja entrada existam duas no linearidades: um limite de
saturao e um limite no slew rate, que o tempo mnimo para uma rampa
de 1 V.
Coloca-se um controlador PID na entrada com parmetros iniciais
provisrios inicializados no espao de trabalho e constri-se o modelo
no Simulink.
Coloca-se um degrau como entrada no sistema e o sinal de erro
entre referncia e sada alimentado no controlador. Dentro do bloco
do controlador colocam-se variveis como valores dos parmetros: Kp,
Kd e Ki.
O diagrama em Simulink ser ento usado para simular repetidamente
e obter a resposta do sistema variando os valores dos parmtros do
controlador at atingir valores timos no sentido de minimizar a soma
dos quadrados dos erros entre a entrada em degrau e a sada. Aqui
entra o conceito de multiobjetivo, pois a idia minimizar todos os
erros simultaneamente, o critrio adotador o de minimizar a soma dos
quadrados de todos eles.
Basta definir em Matlab uma funo que invoca o diagrama e o
simula dados os parmetros
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-
do controlador. A sugesto aqui a de usar uma funo que produzir
os parmetros timos pela seqncia: inicializao e chamada da funo de
minimizao de quadrados.
Sugere-se tambm, por organizao, definir a funo que produz o
sinal de erro a ser minimiado dentro da funo geral.
function [Kp,Ki,Kd] = otimizaPID% Otimizao de parmetros de um
PID por mnimos quadrados. pid0 = [0.63 0.0504 1.9688]; % valores
iniciais
% Opes do algoritmo de otimizao.options =
optimset('LargeScale','off','Display','iter',...
'TolX',0.001,'TolFun',0.001);% minimizao do erro usando a fun
definida abaixopid = lsqnonlin(@erro, pid0, [], [], options);Kp =
pid(1); Ki = pid(2); Kd = pid(3); function F = erro(pid) % Produz o
sinal de erro entre a sada e o degrau unitrio. Kp = pid(1); Ki =
pid(2); Kd = pid(3);
% Parmetros de simulao simopt =
simset('solver','ode5','SrcWorkspace','Current'); % Simulao
[tout,xout,yout] = sim('optsim',[0 100],simopt); % Erro entre sada
e degrau F = yout-1; endend
O resultado obtido ao se invocar [Kp,Ki,Kd] = otimizaPID
>> Kp
Kp =
0.6300
>> Kd
Kd =
1.9688
>> Ki
Ki =
0.0504
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Computao simblica
A manipulao matemtica de smbolos representando variveis chamada
computao simblica. uma rea da matemtica ainda de desenvolvimento e
cheia de problemas ainda no resolvidos, por exemplo, no h algoritmo
definitivo ou mesmo robusto para simplificao de expresses
matemticas que opere para um conjunto amplo de tipos de expresses.
Teoricamente, os programas de computao simblica usam de estruturas
de rvores para armazenam e manipular as expresses.
O Matlab implementa algumas tcnicas de manipulao simblica atravs
do Symbolic Toolbox. bastante conhecido que esse o ponto fraco do
programa e h pacotes mais adaptados para manipulao simblica no
mercado, como o Mathematica. No entanto a presena desse pacote
atende a um requisito de completude do programa.
Define-se uma varivel simblica atravs de um nome de varivel
(como em outros casos) e uma string que a representao escrita na
tela desta varivel. Para definir uma varivel chamada
var escrita na tela como x,
>> var = sym('x')
Para definir uma varivel simblica representada por uma string
lexicamente idntica ao seu
nome pode-se usar o atalho (varivel x escrita como x)
>> syms x
A utilizada da primeira verso do comando consiste em usar
representaes simblicas familiares mesmo quando as letras usadas
coincidem com nomes de outras variveis em um programa longo.
As funes so baseadas em analogias com operaes realizadas quando
se realiza manipulao de expresses manualmente. Isto , h funes para
fatorar um termo, expandir produtos notveis, entre outras na tabela
abaixo:
Operao FunoAgrupar termos comuns collectExpanso de polinmios
expand
Fatorar factorSeparar numerador e
denominadornumden
Procurar forma mais curta de escrever
simple
Simplificao simplifyReescrever em termo de sub-
expressessubexpr
Ainda, muitas funes numricas so sobrecarregadas no pacote
simblico, pode ser aplicadas com a mesma chamada sobre variveis
numricas ou simblicas, outras so exclusivar do pacote, algumas mais
comuns:
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Operao FunoDerivada diffIntegral int
Matriz jacobiana jacobianLimite limit
Expresso para uma srie symsumSrie de Taylor taylorDeterminante
det
Autovalores e autovetores eigMatriz inversa inv
Tringularizao superior de matrizes
triu
Tringularizao inferior de matrizes
tril
Valores singulares svdExponencial matricial expm
Composio de funes composeSoluo de equaes solve
Funo inversa finverseSoluo de equao diferencial dsolve
Grfico de funo simblica ezplot
Ainda, todos os operadores do Matlab matm sua validade para
variveis simblicas, tais como /, *, .*, ./, \,.
Exemplo: sistemas lineares
Definindo as variveis simblicas e o sistema:
>> syms a b c d r s>> A = [a b; c d];>> y =
[r; s];>> x = A\yx = -(b*s-r*d)/(a*d-c*b)
(a*s-c*r)/(a*d-c*b)
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Exemplo: equaes diferenciais
Para esse caso h um comando particular no pacote simblico:
dsolve. O operador de derivada denotado por uma letra D seguida de
um nmero representando a ordem da derivada. Para esta funo, os
argumentos so strings no havendo a necessidade de definir variveis,
porm, o resultado produzido uma estrutura contento variveis
simblicas.
>> resp =
dsolve('2*Dy+3*y-x=5','Dx+x+(1/2)*y=0','y(0)=0','x(0)=0');>>
resp.x ans =
-5/7+1/2*exp(-5/4*t)*(50/21*sin(1/4*3^(1/2)*t)*3^(1/2)+10/7*cos(1/4*3^(1/2)*t))
>> resp.y ans =
10/7+exp(-5/4*t)*(20/21*sin(1/4*3^(1/2)*t)*3^(1/2)-10/7*cos(1/4*3^(1/2)*t))
Argumentos opcionais so as condies iniciais e a varivel
independente. Quando no informadas as respostas produzidas dependem
de constantes padronizadas C1, C2, etc, e da varivel t. Ou seja,
outra maneira de chamar esta funo seria:
>> resp = dsolve('2*Dy+3*y-x=5','Dx+x+(1/2)*y=0','x');
O que produziria respostas em funo das constantes e com x como
varivel independente.
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Sistemas linearesProblema exemploEspao de estadosFuno de
transfernciaConverso de formas de representaoPlos, zeros, freqncia
natural e fator de amortecimentoReposta a entradas
padronizadasResposta em freqnciaA ferramenta LTIviewControle linear
bsicoControle proporcionalOutras configuraes de controle
Ferramenta SISOtool (SISO Single input single output)
Simulao de sistemas de controle no SimulinkOtimizaoProblema
exemplo Otimizao multiobjetivoProblema exemplo
Computao simblicaExemplo: sistemas linearesExemplo: equaes
diferenciais
