Subespaos Vetoriais

Seja V um espao vetorial e S um subconjunto, que fechado para as operaes de adio e

multiplicao por escalar em V, isto , se u e v S e a R, ento u + v S e av S, ento S

um subespao de V. Em particular, S um EV.

Propriedades:

1) O vetor nulo de V est em S.

2) Se u S e v S ento u + v S

3) Se u S e R ento S

Exemplo 2:

Exemplo 3:

Seja S = {(x,y,z) R3/ x + y + z = 0}, S um subespao de R3?

Exerccios:

1. Verificar se W = {(x,y,z)/ y = ax e z = bx} um subespao de R3.

2. Considere os espaos vetoriais reais R2 e R3, verifique se os seguintes conjuntos so

subespaos vetoriais dos espaos vetoriais, onde esto definidos:

a) F = { (x,y) R2/ x= 2y}

b) G = {(a,b,c) R3/ b + c = 1}

c) M = {(x1, x2,x3) R3/ x1 = x2

2}

3. Sejam M(2,2) =

; , , , e S = 0 0

; , . Verifique se S um

subespao vetorial de M(2,2).

4. Verifique se o conjunto-soluo de um sistema linear homogneo a trs variveis

um subespao vetorial de M(3,1). Considerando o sistema homogneo:

3 + 4 2 = 0

2 + = 0 + 3 = 0

Interseo de dois Subespaos Vetoriais

Sejam S1 e S2 dois subespaos vetoriais de V. A interseo S de S1 e S2, que se

representa por S = S1 S2, o conjunto de todos os vetores v V tais que v S1 e v S2.

Teorema

A interseo S de dois subespaos vetoriais S1 e S2 de V um subespao vetorial de V. De fato:

I) Se u, v S1, ento u + v S1

Se u, v S2, ento u + v S2. Logo:

u + v S = S1 S2 II) Para qualquer R:

Se v S1, ento v S1;

Se v S2, ento v S2. Logo:

v S = S1 S2

Exemplo:

2. Seja o espao vetorial R3 = {(a,b,c); a,b ,c R} e os subespaos

S 1 = { (a, b, c). a, b,c, R} e S2 = {(0,0,c} , c R}. A interseo S1 S2 o

subespao vetorial S = {(0,0,0)} = {0}

Soma de dois subespaos vetoriais

Sejam S1 e S2 dois subespaos vetoriais de V. A soma S de S1 e S2, que se representa por

S = S1 +S2, o conjunto de todos os vetores u + v de V tais que u S1 e v S2.

Teorema

A soma S de dois subespaos vetoriais S1 e S2 de V um subespao vetorial de V.

De fato:

I) Se u1, u2 S1, ento u1 + u2 S1.

Se v1, v2 S2, ento v1 + v2 S2.

Por outro lado:

u1 + v1 S

u2 +v2 S

logo:

(u1 + v1) +(u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) S1 + S2 = S

II) Para qualquer R;

Se u1 S1, ento u1 S1.

Se v1 S2, ento v1 S2.

Por outro lado:

u1 + v1 S

logo:

(u1 + v1) = u1 + v1 S1 + S2 = S

Exemplo:

Sejam os subespaos vetoriais S1 = {(a,b,0); a,b R} e S2 = {(0,0,c); c R} do espao vetorial

R3 = {(a,b,c); a,b,c R}.

A soma S1 + S2 o subespao vetorial S = {(a,b,c); a,b,c R}, que no caso, o prprio R3.

Soma Direta de dois Subespaos Vetoriais

Isto , se o nico vetor comum a ambos os subespaos S1 e S2 for o vetor nulo.

Os smbolos so utilizados para indicar que a adio e a multiplicao por

escalar no so as usuais.

Exerccios:

2. Se um sistema linear no for homogneo, o que acontece com seu conjunto soluo?

Considere o exemplo:

A = 2 + 4 + = 1 + + 2 = 1 + 3 = 0

Provar que a soma de dois vetores soluo nem sempre um vetor- soluo, e assim o

conjunto soluo no um subespao vetorial.