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Espaços e Subespaços Vetoriais
Universidade Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodosul.edu.br
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Unidade - Espaços e Subespaços Vetoriais
MATERIAL TEÓRICO
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Carlos Henrique de J.Costa
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
Campus Virtual Universidade Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Í N D I C E
Apresentação: “Álgebra Linear”................................................................................... 04
Espaço Vetorial............................................................................................................... 05
Introdução............................................................................................................ 05
Definição............................................................................................................... 06
Exemplos.............................................................................................................. 08
Propriedades dos Espaços Vetoriais.................................................................11
Subespaços Vetoriais.................................................................................................... 12
Definição............................................................................................................... 12
Soma direta de dois subespaços vetoriais....................................................... 14
Finalizando...................................................................................................................... 16
Referências..................................................................................................................... 18
4
Espaços e Subespaços Vetoriais
Apresentação: “Álgebra Linear”
A Álgebra Linear tornou-se, nos últimos anos, parte essencial do
fundamento exigido de matemáticos, físicos, programadores de
computador, engenheiros e outros cientistas, o que atesta a importância
desta disciplina com suas múltiplas aplicações e pelo alcance de sua
linguagem.
Essa importância não se restringe apenas à área de exatas, muitas
questões de grande atualidade, como, por exemplo, na área biológica,
encontram na Álgebra Linear a ferramenta matemática apropriada para
sua abordagem.
Os conteúdos de que trata a Álgebra Linear são vetores e
matrizes, que aparecem, por exemplo, quando procuramos as soluções
para um sistema de equações lineares. Assim, são generalizações do
conceito de número. Por isso, temos um grande desafio: “o ensino da
Álgebra Linear”, quer dizer, de “lançar” a ponte que vai da intuição do
aluno ao conceito matemático.
A nossa intenção é apresentar um texto gradativo, escrito em
linguagem simples e objetiva, com algumas conexões e aplicações a
outras áreas de conhecimento, respeitando, porém, o rigor necessário ao
nível que se destina, que é servir de referência aos alunos deste curso.
Fonte: sosobrevivenciaescolar.blogspot.com
Vamos pensar e refletir!!! Importantíssimo...
“...é impossível desenvolver o nosso físico apenas
observando uma pessoa fazendo ginástica. Da mesma forma,
não se desenvolve em ÁLGEBRA LINEAR tal rigor de
raciocínio apenas lendo demonstrações lógicas feitas por
outra pessoa, senão que buscando-as por si mesma e
discutindo-as...”
Celso Wilmer
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Espaço Vetorial
Introdução:
Para discutirmos o conceito de Espaço Vetorial, vamos definir um
modelo abstrato do que significa um Espaço Vetorial, e indicaremos como
esta noção abstrata pode ser usada para definir propriedades ou
conceitos que são válidos em todos os Espaços Vetoriais concretos. No
entanto, também especificaremos os axiomas (regras) que as operações
devem obedecer e usaremos a palavra escalar para as “entidades”
(números) que podem multiplicar vetores. Nosso objetivo é simplificar e
tornar clara a teoria, desprezando propriedades desnecessárias e
irrelevantes de objetos matemáticos concretos, que confundem a
situação.
Então, para simplificar, utilizaremos as operações de soma e
multiplicação que, independentemente do contexto, em geral, essas
operações obedecem ao mesmo conjunto de regras aritméticas. Logo,
uma teoria geral de sistemas matemáticos envolvendo soma e
multiplicação por escalar (número) vai ter aplicação em diversas áreas
da matemática. Sistemas matemáticos desse tipo são chamados
Espaços Vetoriais ou Espaços Lineares.
Fonte: oquartopoder.com
Olá Pessoal!!!
Antes de começarmos a falar sobre ESPAÇO VETORIAL,
vejam abaixo as definições sobre a palavra “ESPAÇO”, ok!!!
1. Lugar mais ou menos bem delimitado, que pode ser
ocupado por algo ou alguém, ou ser usado para certo
fim.
2. Extensão contínua e indefinida na qual as coisas
existem e se movem.
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Nesta unidade, introduziremos o conceito de Espaço Vetorial que
será usado em todo o decorrer do nosso curso. A definição de espaço
vetorial V, cujos elementos são chamados vetores, envolve um corpo
arbitrário K, cujos elementos são chamados escalares (números).
Então, utilizaremos as seguintes notações:
Agora, acompanhe a definição de espaços vetoriais e o
desenvolvimento de parte da teoria geral de espaços vetoriais.
Definição:
Fonte: braian.com.br
Fonte: ntechapeco.pbworks.com
K o corpo dos escalares
a, b, c, k ou l os elementos de K
V o espaço vetorial dado
u, v, w os elementos de V
A próxima definição consiste de 10
(dez) axiomas. À medida que você lê
cada axioma, lembre-se que eles fazem
parte de vários teoremas e definições
matemáticas!!!
Axiomas não são demonstrados, pois são
simplesmente as “regras do jogo”!!!
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Seja V um conjunto não vazio qualquer ( V ≠ 0 ) de objetos no qual
estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação por
escalares (números). Por adição nós entendemos uma regra que associa
a cada par de objetos u e v em V um objeto u + v, chamado a soma de u
com v; por multiplicação nós entendemos uma regra que associa a cada
escalar k e cada objeto v em V um objeto k.v, chamado o múltiplo de v
por k. Se os seguintes axiomas são satisfeitos por todos objetos u, v e w
em V e quaisquer escalares k e l, então nós dizemos que V é um espaço
vetorial e que os objetos de V são vetores.
(01) Se u e v são objetos em V então u + v é um objeto em V.
(02) u + v = v + u
(03) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
(04) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor zero de V, tal que 0 + u = u + 0 = u para cada u em V.
(05) Para cada u em V, existe um objeto – u, chamado um negativo de u, tal que u + ( – u ) = ( – u ) + u = 0.
(06) Se k é qualquer escalar (número) de v é um objeto em V, então k.v é um objeto de V.
(07) l.( u + v ) = l.u + l.v
(08) ( k + l ).v = k.v + l.v
(09) k.( l.u ) = ( k.l ).u
(10) 1.u = u
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Observação:
Dependendo da aplicação, os escalares podem ser números reais ou
complexos. Se na definição, tivermos o conjunto de escalares K como , V é
dito espaço vetorial real, e se os escalares forem tomados em C, V será
chamado espaço vetorial complexo. Lembre-se que a definição de um espaço
vetorial não especifica nem a natureza dos vetores nem das operações.
Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor e as operações de adição e
multiplicação por escalar podem não guardar semelhança ou não ter relação
alguma com as operações usuais em Rn. A única exigência é que os 10 (dez)
axiomas de espaço vetorial sejam satisfeitos.
Exemplos:
Em cada exemplo, vamos especificar um conjunto não-
vazio V e duas operações: a adição e a multiplicação escalar;
em seguida vamos verificar que os 10 (dez) axiomas de espaço
vetorial estão satisfeitos, com isso habilitando V, com as
operações dadas, a ser chamado de espaço vetorial.
Exemplo 1 – Um Espaço Vetorial de Matrizes 2 x 2
Mostre que o conjunto V de todas as matrizes 2 x 2 com entradas
reais é um espaço vetorial se a adição vetorial é definida pela adição
matricial e a multiplicação vetorial por escalar é definida pela
multiplicação matricial por escalar.
Fonte: derbymotta.blogspot.com
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Solução:
Sejam as matrizes genéricas 2 x 2
2221
1211
2221
1211
2221
1211,
ww
wwwe
vv
vvv
uu
uuu
Para provar o Axioma 1, nós devemos mostrar que u + v é um
objeto em V, ou seja, nós devemos mostrar que u + v é uma matriz 2 x 2.
Mas isto segue da definição de soma matricial, pois
Axioma 1:
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
vuvu
vuvu
vv
vv
uu
uuvu
Axioma 2: uvuu
uu
vv
vv
vv
vv
uu
uuvu
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Axioma 3:
wvuww
ww
vv
vv
uu
uu
ww
ww
vv
vv
uu
uuwvu
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Para provar o Axioma 4, nós devemos encontrar um objeto 0
(zero) em V tal que 0 + u = u + 0 = u para cada u em V. Isto pode ser
feito definindo 0 como a matriz
00
000 .
Axioma 4: uuuu
uu
uu
uu
uu
uuu
0
00
00
00
000
2221
1211
2221
1211
2221
1211
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Para provar o Axioma 5, nós devemos mostrar que cada objeto u
em V tem um negativo – u tal que u + ( – u ) = ( – u ) + u = 0. Isto pode
ser feito definindo o negativo de u como
2221
1211
uu
uuu
Axioma 5:
000
00)(
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
uu
uu
uu
uu
uu
uu
uu
uuuu
Similarmente ao Axioma 1, o Axioma 6 vale, pois para cada
número real k nós temos
Axioma 6:
2221
1211
2221
1211
..
....
vkvk
vkvk
vv
vvkvk
e, portanto k.v é uma matriz 2 x 2 e conseqüentemente um objeto em V.
Axioma 7:
vlulvv
vvl
uu
uul
vv
vv
uu
uulvul ......
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Axioma 8:
vlvkvv
vvl
vv
vvk
vv
vvlkvlk ....).(.
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Axioma 9: ulkuu
uulk
ulkulk
ulkulk
uu
uulkulk ..)..(
....
........
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Finalmente, o Axioma 10 é um simples cálculo com o elemento
neutro 1 (um) da multiplicação:
Axioma 10: uuu
uu
uu
uu
uu
uuu
2221
1211
2221
1211
2221
1211
.1.1
.1.1.1.1
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Exemplo 2 – Rn é um Espaço Vetorial
O conjunto V = Rn com as operações conhecidas de adição e
multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
Os três casos especiais mais importantes de Rn são R (os números
reais), R² (os vetores do plano cartesiano) e R³ (os vetores do espaço
tridimensional).
Solução:
Propriedades dos Espaços Vetoriais:
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K de escalares, então:
1. K, ., onde é o elemento neutro para a adição de
vetores em V.
2. v V, 0.v , 0K.
3. Se .v , onde K e vV , então 0 ou v
.
4. K, v V, ().v .(v) (.v) .
Fonte: netto-
piadasenviadasporamigos.blogspot.com
Soma de vetores: (a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)
Multiplicação por escalar: k.(a1, a2, ..., an) = (k.a1, k.a2, ..., k.an)
O vetor nulo: 0 = (0, 0, ..., 0)
O simétrico de um vetor: – (a1, a2, ..., an) = (– a1, – a2, ..., – an)
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Consequências:
4.a. v V , (1).v v .
4.b. ,K, v V, ().v .v .v .
4.c. K, u, v V, .(u v) .u .v
5. O vetor nulo é único.
6. vV, !(v) V, v (v) (v) v .
7. Se u, v,w V e u v wv , então u = w.
Consequência:
7.a. u, vV, !x V, se u + x = v então x = v – u.
8. u V, (u) u.
Subespaços Vetoriais
Definição:
Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V,
subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”.
Tais conjuntos serão chamados subespaços de V. Isto acontece, por
exemplo, em V = R², o plano, onde S é uma reta deste plano, que passa
pela origem.
Observe a seguir o Espaço Vetorial:
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Veja que a reta S funciona sozinha como espaço vetorial, pois ao
somarmos dois vetores de S, obtemos um outro vetor em S. Da mesma
forma, se multiplicarmos um vetor de S por um número, o vetor
resultante ainda estará em S. Isto é, o subconjunto S é “fechado” em
relação à soma de vetores e à multiplicação destes por escalar.
Estas são as condições exigidas para que um subconjunto S de um
espaço vetorial V seja um subespaço.
Em geral, nós devemos verificar os 10 (dez) axiomas de espaço
vetorial para mostrar que um conjunto S forma um espaço vetorial com
uma adição e multiplicação por escalar. No entanto, se S é parte de um
conjunto maior V que já é sabido ser um espaço vetorial, então alguns
axiomas não precisam ser conferidos para S, pois eles são “herdados” de
V. Por exemplo, não há necessidade de conferir que u + v = v + u
(Axioma 2) para S, pois a comutatividade da adição vale para todos os
vetores de V e consequentemente para todos os vetores de S. Um critério
mais simples de identificar subespaços é dado abaixo:
Suponha que S é um subconjunto do espaço vetorial V. Então S é
um subespaço de V se as propriedades abaixo são verdadeiras:
u
v
u + v
x
y S
ESPAÇO VETORIAL “V” (R²: O PLANO XY)
SUBESPAÇO VETORIAL: RETA “S”
0
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Espaços e Subespaços Vetoriais
OBS:
1. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais,
chamados de “subespaços vetoriais impróprios de V”, que são o próprio
espaço vetorial V e o {0}, este último chamado de “subespaço zero ou nulo”.
Esses dois também são chamados “subespaços triviais de V”. Os demais
subespaços de V são chamados “subespaços próprios de V”.
2. Quando 0 (zero) não pertence a S, S não é subespaço vetorial de V. O
inverso não é prova suficiente para que S seja subespaço vetorial de V.
Quando usamos as operações “habituais” de adição e produto num
espaço vetorial conhecido é comum a não definição destas operações e a
verificação das propriedades é a esperada, mas há casos de espaços vetoriais
não comuns, isto é, as operações não são habituais, daí precisarem ser
definidas e verificadas as propriedades respectivas.
Soma direta de dois subespaços vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço
vetorial V.
Diz-se que S é soma direta de S1 e S2, e se escreve S = S1 S2,
se
S = S1 + S2 e S1 S2 {}
OBS: Caso V = S1 + S2 , dizemos que S1 e S2 são “suplementares”.
a) V 0 S (O vetor nulo 0 pertence a S).
b) uv S u + v S
c) K, v S v S
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Espaços e Subespaços Vetoriais
TEOREMA:
Seja V um espaço vetorial onde V é soma direta de S1 e S2 , S1 e
S2 são subespaços vetoriais de V, então todo vetor v, v V, se escreve
de modo único, na forma v v1 v2 , onde v1 S1 e v2 S2.
Demonstração:
Como hipótese temos que V = S1 S2 v V, v v1 v2 ,
onde v1 S1 e v2 S2 .
Suponhamos que pudéssemos escrever v = x + y, onde x S1 e y
S2 .
Como v = v, temos que v1 v2 = x + y v1 x y v2, onde
v1 x S1 e y v2 S2 .
Também temos que v1 x y v2 S1 S2 e como = S1
S2 então v1 x y v2 , portanto v1 x e v2 y , por isso, a
maneira de se expressar v é única.
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Espaços e Subespaços Vetoriais
FINALIZANDO
Bem, espero que vocês tenham gostado de
estudar e trabalhar com Espaços Vetoriais. Parece ser
difícil, mas com a prática dos exercícios, vai ficar mais
fácil, portanto, não deixem de praticar para fixar os
conceitos que aprenderam e tirar suas dúvidas.
Estou confiante, tenho certeza que vocês conseguiram
acompanhar e que estão satisfeitos por terem conseguido vencer mais
essa etapa. Não se esqueçam do que falamos no início e que é muito
importante: para aprender Álgebra Linear é preciso praticar, ok!!!
Agradeço a todos, continuem se esforçando sempre e até a
próxima!
Um forte abraço!
Fonte: cicloceap.com.br
APROVEITANDO, LEMBREM-SE: SE
HOUVER QUALQUER DÚVIDA, ENVIEM-A
DIRETAMENTE PARA SEU PROFESSOR
“TUTOR”, QUE COM CERTEZA, IRÁ
AJUDÁ-LOS, OK!!!
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Anotações
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_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
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Espaços e Subespaços Vetoriais
Referências
ANTON, Howard, RORRES, Chris; ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES, Editora Bookman, Porto Alegre, 2001. BOLDRINI, José Luiz, COSTA, Sueli I.Rodrigues, RIBEIRO, Vera Lúcia F.F., WETZLER, Henry G.; ÁLGEBRA LINEAR, Editora Harper & Row, São Paulo, 1978. CALLIOLI, CARLOS A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C.F.; ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES, Editora Atual, São Paulo, 1990. KAPLAN, Wilfred, LEWIS, Donald J.; CÁLCULO E ÁLGEBRA LINEAR, Editora LTC, Rio de Janeiro, 1973. LEON, Steven J.; ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES, Editora LTC, Rio de Janeiro, 1999. LIMA, Elon; ÁLGEBRA LINEAR, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 2008. LIPSCHUTZ, Seymour, LIPSON, Marc Lars; TEORIA E PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR, Editora Bookman, Porto Alegre, 2004. LIPSCHUTZ, Seymour; ÁLGEBRA LINEAR, Editora Makron Books, São Paulo, 1994. NOBLE, Bem, DANIEL, James W.; ÁLGEBRA LINEAR APLICADA, Editora Prentice-Hall, Rio de Janeiro, 1986. SILVA, Valdir Vilmar; ÁLGEBRA LINEAR, Editora da UFG, Goiás, 1998. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo; ÁLGEBRA LINEAR, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 2000. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo; INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, Editora Pearson, São Paulo, 1997. WILMER, Celso; CADERNO DE ÁLGEBRA LINEAR, Editora Guanabara, Rio de Janeiro, 1989.
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